运动的合成与分解中的牵连速度问题
专题+关联速度的问题
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．
D
．
ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2
A．
B．
C．
D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短
绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（
即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入
专题2.3 力与曲线运动(解析版)
第二部分核心主干专题突破专题2.3 力与曲线运动目录【突破高考题型】 (1)题型一曲线运动、运动的合成与分解 (1)题型二平抛(类平抛)运动的规律 (4)题型三圆周运动 (7)类型1水平面内圆周运动的临界问题 (7)类型2竖直平面内圆周运动的轻绳模型 (8)类型3竖直平面内圆周运动的轻杆模型 (9)【专题突破练】 (11)【突破高考题型】题型一曲线运动、运动的合成与分解1．曲线运动的理解(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向。
(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧。
2．运动的合成与分解(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成。
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵循平行四边形定则。
【例1】(2022·学军中学适应考)2021年10月29日，华南师大附中校运会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开始起飞，在空中进行跟踪拍摄。
若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图所示，则无人机()A．在0～t1的时间内，运动轨迹为曲线B．在t1～t2的时间内，运动轨迹为直线C．在t1～t2的时间内，速度均匀变化D．在t3时刻的加速度方向竖直向上【答案】C【解析】在0～t1的时间内，无人机沿x方向和y方向均做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动仍是直线运动，A错误；在t1～t2的时间内，无人机的加速度沿y轴负向，但初速度为t1时刻的末速度，方向不是沿y轴方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹应是曲线，B错误；在t1～t2的时间内，无人机加速度沿y轴负向，且为定值，因此其速度均匀变化，C正确；在t3时刻，无人机有x轴负方向和y轴正方向的加速度分量，合加速度方向不是竖直向上，D错误。
【例2】．(2022·成都诊断)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。
第2节 运动的合成与分解
四、关联速度模型
算一算：如图,A、B两个物体用细绳相连，A
在力F作用下在水平面上运动，B在竖直方向
运动。当细绳与水平面间的夹角为θ时，B的
速度为V1,求此时物体A的速度多大？
v2
V1=Vcosθ
v
v1
F
θ
θA
V=V1/cosθ
解题关键：找到沿绳的速度
找到真正的合速度（实际速度）
V1
B
V1
四、关联速度模型
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
拓展：怎么操作才能将乒乓球吹进纸筒？
)
二、合运动的性质与运动轨迹
一个分运动是匀速直线运动，垂直方向上的分
运动是匀加速直线运动 ，合运动的轨迹是？
二、合运动的性质与运动轨迹
理论分析
加速度与合速度不共线， 物体一定做曲线运动。
v
vy
0
加速度恒定， 物体一定做匀变速曲线运动。
(2) 等效性----各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效。
(3) 同体性----各分运动与合运动是同一物体的运动。
(4) 独立性----各分运动独立进行，互不影响；
一、运动的合成与分解
3.运动的合成与分解
运动的合成与分解是指 x、v、 a 的合成与分解。
运动的合成
分运动
合运动
运动的分解
分解原则:根据运动的实际效果分解，也可以正交分解。
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果 v 合与 a 合共线，为匀变速直线运动
如果 v 合与 a 合不共线，为匀变速曲线运动
思考：一匀速直线与一匀变速曲线互成角度合成合运动是？
可能直线运动；可能曲线运动
运动合成与分解的应用-牵连速度问题总结
v
运动的合成和分解的应用 3.杆物牵连速度问题
❖ “杆+物”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿杆方向的运动； ②垂直于杆方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.要牢记在杆上各点沿杆的方向上的速度相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。
运动的合成与分解的应用
1.小船渡河问题
v船 v船
v船
v水
v船
v船 v船
v水
v船
θ
θv水
结论：船当头v船指<向v与水时上，游最河岸短成航θ程：不c等os于河宽vvd2。
• 如果：
１、在船头始终垂直对岸的情况下，在行 驶到河中间时，水流速度突然增大，过 河时间如何变化？ 答案：不变
２、为了垂直到达河对岸，在行驶到河中 间时，水流速度突然增大，过河时间如 何变化？ 答案：变长
va
α vb
❖ “杆+物”问题
【例4】如图所示，滑块B以速度vB向左运动时，触点P
沿杆移动的速度如何？
寻找分运动效果
vB
【答案】 v vB cos
❖ “杆+物”问题
【例5】如图所示，长L的杆AB，它的两端在地板和竖直墙
壁上，现拉A端由图示位置以速率v匀速向右运动，则B端坐
标y和时间的函数关系是：
。B端滑动的速度
度vPx、 vPxy2是多y2 少? a 2l 2 (l al )2 1
寻找分运动效果
【答案】
vPx a ctg v A
vPy (1 a)v A
❖ “杆+物”问题 寻找分运动效果
“关联速度”模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
运用求导的方法处理两种“关联”速度模型
运用求导的方法处理两种“关联”速度模型作者：王新锋来源：《中学物理·高中》2015年第10期在处理高中物理“运动的合成与分解”一节内容时，经常会碰到“关联”速度问题，该类问题的特点是：用绳、杆相互牵连的物体在运动过程中，各物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.常见的模型有如下两种.1不同物体通过“绳”或“杆”发生速度“关联”例1如图1所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时A.人拉绳行走的速度为vcosθB.人拉绳行走的速度为vcosθC.船的加速度为Fcosθ-FfmD.船的加速度为F-FfmC、D选项暂不讨论，对于A、B选项的传统处理方法，笔者有如下3点体会：（1）在A、B选项的选择上，学生的典型错误解法及其原因分析：①认为人和船速度大小相等②认为人的速度是合速度，根据平行四边形定则作出如图2所示的分解，得出人拉绳行走的速度为v′=vcosθ，错选B.错误①可能源自一个错误的知识迁移，在讲解绳中张力时，老师们往往会告诉学生：只要是同一根绳子，里面的张力大小处处相等.学生因此会误认为此处被同一根绳子“联系”着的人、船速度大小也理应相等.错误②的原因是把沿绳方向的速度误认为是合速度，进而把该速度进行错误地分解，最终得出一个错误的速度关系.（2）在A、B选项的讲解上，老师的典型讲解程序及其理由：第一步：确定合运动的方向（物体实际运动的方向），此题为小船的沿水面向左的运动为合运动.第二步：分析合运动所产生的实际效果（一方面使轻绳收缩，另一方面使轻绳绕定滑轮顺时针方向转动），由此确定两个分速度的方向（沿轻绳的方向和垂直轻绳斜向左下方的方向），根据平行四边形定则可作如图3所示的分解.第三步：由于人和船速度上的关联，人拉绳行走的速度即为v′=vcosθ.笔者把这种常见的传统处理方法称为“找寻合速度与分速度的关系法”，其解题核心是抓住物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.（3）看似清晰的讲解背后体现了老师的思维对学生思维的“绑架”.首先第一步中把小船沿水面向左的运动作为合运动学生就不好理解，为什么人向左的运动不能作为合运动？人向左的运动难道不是实际发生的运动吗？因为教材告诉学生合运动具有如下特点：合运动是“真实的”实际发生的运动.其次第二步中关于合速度与分速度关系的解释学生听得更是一知半解，换一个物理情景，学生处理起来照样很棘手.其实这是一个典型的“关联”速度问题，既然是关联速度，那至少就有两处不同的速度，而这两个物体又都在动，它们的运动当然都是“真实的”，都是实际发生的运动，所以绝不能简单用上述“（2）”中第一步中的理由来找所谓的合运动，进而搬出第二步中所谓的“效果”分解合运动找到两个速度所谓的“关联”.笔者通过采用求导的办法使该类问题迎刃而解，具体做法如下：找寻不变量：该题中定滑轮距水面的高度h为不变量找出图1中三个量L、x、h（不变量）之间的关系如下：h2=L2-x2，两边求导：ddth2=ddt（L2-x2），0=2LdLdt-2xdxdt，0=Lv′-xv，解得：人拉绳行走的速度v′=xLv=vcosθ，A选项正确.2不可视为质点的物体的不同部位发生速度“关联”例2如图4所示，细杆AB搁置于半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以不变的速率v做直线运动，细杆与水平面夹角为α的图示瞬间，细杆与半圆柱相切与C点，此时杆上C点的速度大小vC是多少？解析虽然该题中的细杆AB看起来只是一个个体，没有像例1那样通过媒介（绳子）与其他物体相连接，但很明显该题中的细杆AB不能当质点，其上A、C两点的速度也不同，但A、C两点的速度之间存在着某种关联，也是一种典型的关联速度模型，若用传统的“合速度与分速度的关系法”求解，学生在合速度的寻找、合速度的分解上都会有障碍.现同样运用上面介绍的求导法处理如下：找寻不变量：半圆柱半径R为不变量找出图4中三个量半径R（不变量）、AO间距x、AC间距y之间的关系如下：R2=x2-y2，两边求导：ddtR2=ddt（x2-u2），0=xdxdt-ydydt，0=xv-yvC.解得：杆上C点的速度大小vC=xyv=vcosα.通过上面两个例题的分析求解不难看出，求导法在处理类似“关联”速度模型时的优越性是不言而喻的，它巧妙地避开了传统解法中学生头疼的两个步骤：确定合运动与分解合运动，借助高中数学已经覆盖的知识点——导数，把这个复杂问题的求解转化为简单的两个步骤：（1）找寻不变量并写出相应方程；（2）对方程两边求导找出关联速度之间的关系. 可以说求导法在该处的成功应用在开阔了学生视野的同时，也把学生对物理规律的认识引向更深更广处，它不仅发展了学生的思维，更重要的是培养了学生对未知的好奇心.。
牵连(关联)速度问题
牵连（关联）速度问题一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 如图，一半圆形碗的边缘上装有一定滑轮，滑轮两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个小物体，质量分别为m 1、m 2, m 1、m 2．现让m 1从靠近定滑轮处由静止开始沿碗内壁下滑．设碗固定不动，其内壁光滑、半径为R ．则m 1滑到碗最低点时的速度为 、 、A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】【详解】设m 1到达最低点时，m 2的速度为v 、m 1的速度沿绳子方向的分速度等于m 2的速度则到达最低点时m 1的速度v ′=cos 45v、根据系统机械能守恒有m 1gR -m 2=12m 2v 2+12m 1v ′2 联立两式解得v ′=故选D 。
2.如图，A、B 分别为固定的定滑轮，一根不可伸长的细绳跨过定滑轮，用一外力使细绳上端以v =3m/s 向右匀速运动，下端连接的小物块沿水平地面向左运动，当角度β=θ=530时,小物块的速度大小为（已知：sin53°、0.8、cos53°、0.6 、A. 3m/sB. 4m/sC. 5m/sD. 1.8m/s【答案】C 【解析】【详解】设小物块沿水平地面向左运动速度为1v ，根据运动的合成与分解可知1cos v v β=，解得小物块的速度大小为15/cos vv m s β==，故C 正确，A、B、D 错误； 故选C、3. 如图所示，作用于轻绳端点A 竖直向下的拉力F ，通过跨在光滑小滑轮的轻绳拉一处在较远处的物体B ，初始位置绳与水平方向的夹角很小，使物体沿水平面向右匀速滑动，直到接近滑轮下方，在此过程中（ ）A. 绳端A 的速度逐渐增大B. 绳端拉力F 逐渐增大C. 物体B 对地面的压力逐渐减小D. 绳端拉力F 的功率逐渐增大【答案】C 【解析】 【分析】【详解】A ．对B 的速度分解，设绳与水平夹角为α，则沿绳方向的速度为'cos v v α=由于角度增大，故该速度不断减小，即绳端A 的速度逐渐减小，A 错误； B ．由于B 匀速运动，故其在水平方向受力平衡，故有cos (sin )F mg F αμα=-解得gcos sin m F μαμα=+随角度α的增大，力F 先变小后变大，B 错误； C ．由于力F 的竖直向上的分力为1gsin 1tan m F F μαμα==+随α的增大力1F 逐渐增大，故物体对地面的压力减小，C 正确； D ．由于力F 先变小后变大，故其功率g cos 1tan m vP Fv μαμα==+由表达式可知随角度的增大，功率减小，D 错误。
运动的合成与分解问题归纳
抛体运动；运动的合成与分解问题归纳一. 教学内容：抛体运动；运动的合成与分解问题归纳二. 学习目标：1、理解曲线运动的条件，能够根据条件判断运动的性质及轨迹。
2、掌握运动的合成与分解的方法，理解合运动是物体的实际运动，合运动与分运动的关系。
3、重点理解牵连速度的分解问题及小船渡河类问题的分析方法。
三. 考点地位：曲线运动的条件及运动的合成与分解问题是高中物理问题的难点所在，特别是绳子的牵连速度问题，小般渡河问题是学生们学习曲线运动问题的难点，同时这部分内容也是学习和理解好平抛运动问题的基础，对于本部分内容的考查，在出题的形式上既可以通过选择题的形式单独考查，也可以融合在大型的计算题当中，如2007年广东卷理科基础卷的第5题，第6题，2005年上海卷的第10题是通过选择题目的形式出现的。
四. 重难点解析：（一）抛体运动：1、曲线运动的概念及性质：所有物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类，即直线运动和曲线运动。
运动轨迹是直线的运动称为直线运动；运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
2、曲线运动的速度：曲线运动中质点在某一时刻的（或在某一点的瞬时速度方向，就是质点从该时刻（或该点）脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向。
3、曲线运动的性质速度是矢量，速度的变化，不仅指速度大小的变化，也包括速度方向的变化。
物体曲线运动的速度（即轨迹上各点的切线方向）时刻在发生变化，所以曲线运动是一种变速运动，一定具有加速度。
4、物体做曲线运动的条件曲线运动既然是一种变速运动，就一定有加速度，由牛顿第二定律可知，也一定受到合外力的作用。
当运动物体所受合外力的方向跟物体的速度方向在一条直线上（同向或反向）时，物体做直线运动。
这时合外力只改变速度大小，不改变速度的方向，当合外力的方向跟速度方向不在同一直线上时，可将合外力分解到沿着速度方向和垂直于速度方向上，沿着速度方向的分力改变速度大小，垂直于速度方向的分力改变速度的方向，这时物体做曲线运动。
运动的合成与分解中的牵连速度问题
运动的合成与分解中的牵连速度问题（1）概念：三种速度（以船渡河为例）动点—运动的质点（船）；动系—运动的参考系（水）；静系—静止的参考系（河岸）。
.（2）三种速度①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）；②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）；③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。
（［例（2（1（2θcos=。
端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球Av1v2v.练习1.如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v.2.如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？、3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示.若此时m1的速度为v1,则m2的速度为多大？..5．如图所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量均为ｍ的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动质量也为ｍ小球Ｃ上升，在某一时刻连接Ｃ球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
⑴此时Ｃ球上升的速度是多少？⑵此时C的加速度是多少？参考答案：1．tanα45．。
浅探_牵连运动_问题的处理方法_运动的合成与分解
的速度 v 和 v B 分解为两个分速度 v 1(沿绳 方向的 速度) 和
! 43 !
V
ol. (
31 N o. 2010)
5
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
∀
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∀ 物∀ 理∀ 教∀ 师∀ ∀ PH YSICS T EACHER
∀
∀∀
∀
∀∀
∀
∀∀∀
∀
∀∀
第 31 卷第 5 期 2010 年
v 2( 垂 直 于 绳 方 向 的 速 度 ) ,
s1 =
s cos
. 由速 度的定义有
s1 t
=
s t
cos
, 即 v0=
v cos
.故 v=
v0 cos
.
之后 的解 法 同方 法
1.
点评: 分析有关运 动分解问 题时,
要正确判 断研 究对 象 的实 际运 动 ( 合
运动) , 分析清楚分运 动产生 的实际 意
义及效果, 这一点是解 答问题的 关键,
例 1. 如图 1 所 示, 小 车用 轻 绳 子跨 过 光滑 的 定滑 轮 ( 不计滑轮的质量) 牵引小船靠岸, 若小车向左以 v 0 匀速运 动, 则小船的运动情况如何?
图1∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ 图 2
解析: 要判断小船的运动情况, 只需求出小船运动的速 度即可知小船的运动情况.
方法 1: 船向左运动的的方向就 是合运动的 速度方 向, 这个运动产 生了两个运 动效果, 其一 是使系 小船的绳 子缩
也是重难 点, 若 只满 足 矢量 运算 法 则
相关速度求解
V
变式：两相同的正方形铁丝框如图所示， 并沿对角线方向分别以速度v和2v向两侧 运动，问两框交叉点运动的速度为多少？
v
2v
综合练习.细杆ABC在一竖直平面上靠着一个 台阶放置，A端可沿着水平地面朝台阶运动， 细杆不离开台阶拐角。当ABC杆与水平地面夹 角为图中所示的φ时，杆的B点恰好位于台阶 拐角处，而且C端运动速度值恰为A端运动速 度值的2倍。试求杆BC长与AB长的比值α
V车地
A
θ
θ
V雨车
V雨地
B
C
例2：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其 下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速 ω转动，见下图。在图示的瞬时，OA=r， 凸轮轮缘与A接触法线n与OA之间的夹角 为α， 试求此瞬时顶 杆AB 的速度。
例3、一辆邮车以V1=10m/s的速度延平直公路匀 速行驶，在离此公路d=50m的B处有一个邮递员， 当邮车在与邮递员相距L=200m的A处时，邮递员 以速度V2=3m/s奔跑，为了使人跑到公路上时， 恰能与车相遇，问：1)、小奔跑应取什么方向？ 2)、需要多少时间才能赶上汽车？ 3） 若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑 时，该人可以与汽车相遇的最小奔跑速度是多 少？
v船 cos a = v水
d
B、若v船<v水,不能垂直 过河,只有当V船 ⊥V合 时，过河的位移最小。
v水 cos a = v船
v水
例1：某人驾船从河岸A处出发横渡过河，如果他保 持船头与河岸垂直的方向航行，则经过10分钟后到 达对岸下游120m的C处，如果他使船逆斜向上游与河 岸成α角后航行，则经过12.5分钟后恰好到达河对 岸B处，求河的宽度。
2、绝对运动、相对运动和牵连运动：
绝对运动：质点相对于静止参考系的运动
“关联速度”模型
“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。
模型典案：【典案1】如图1，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2。
根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。
所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
解法二：位移微元法如图3，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。
牵连速度(两物体交点速度)的合成与分解
牵连速度（两物体交点速度）分解专题两个各种形状物体在运动过程中，其交点速度问题一直以来比较棘手推荐几个有梯度的题帮助理解：分析：交点的速度实际是滑AC 斜向上的，可以认为是，MN 棒上的P 点一方向沿自己本来的速度向左运动，同时再沿自身的杆向上运动，两个合运动即为交点的运动。
所以，交点的速度应该为：0v 1.39/cos30m s分析：先假设右边方框不动，求一下交点的速度V 1，再假设左边方框不动，求一下交点的速度V 2，二者一起动的话，就是两个速度的合速度。
先假设两个方框原来是重合的，而且右边方框静止不动，左侧方框向左匀速的速度为V ，交点实际速度是沿着图中1的方向运动，可以看作在沿自身的速度2的方向向左以速度V 运动，同时沿着自身杆的方向3运动到交点位置，所以速度V 1应该为22v 。
同理，如果左框不动的话，右框速度为2V ，可求出交点的V 2速度为222v 。
所以二者一起运动的话，是两个的合速度，即102v同理，再看我们最近刚作的这一道题目：分析：先假设右框不动，左框以速度V 向右运动，交点沿右框上移。
如图交点处速度的合成关系放大一些如下图右框不动情况下，交点逐渐升高的情况下，交点的实际速度是V 1，可以看作左框在沿着自身的速度V 向右运动，同时沿自身的圆弧切线方向2运动，由于1、2的对称性，设V 1与水平方向成θ角，由三形关系可得，12cos V v θ=12cos v V θ=，同理，左框不动可框动时，此速度也是也速度V 1大小相等、左右对称的速度。
二者一起运动的时候，合速度为1sin 2sin tan cos v V v θθθθ==，方向竖直向上，因为θ角是越来越小，所以交点越过最高点前，交点的合速度是向上，逐渐减小。
所以此题答案是向上，向减小后增大。
同理，如果两个圆框的速度不相等，同理可以计算。
并且此方向可以推广到其它题。
总结，交点的速度可看作：在沿自身的实际速度方向运动，同时沿自身杆的方向运动到交点位置此为个人拙见，大家共同讨论，看看是否还有不同的例子，可以更进一步完善。
牵连运动问题中的速度分解解读
牵连运动问题中的速度分解解读在物理学中，牵连运动问题是一个基本的概念。
它包括了很多常见的运动现象，例如斜抛运动、圆周运动等等。
在这些常见的运动过程中，速度是一个非常重要的物理量，而速度分解是解决这些问题的关键。
速度分解的定义速度分解是指把一个物体的速度沿着坐标轴分解成两个正交方向的分速度的过程。
这里的坐标轴可以是任意方向的直线或平面。
通过速度分解，我们可以很方便地计算出物体在各个方向上的速度和加速度。
牵连运动中的速度分解下面我们以斜抛运动为例，来解释牵连运动问题中的速度分解。
斜抛运动是指将一个物体以一定的起始速度和角度，向上抛出后，在重力的影响下做抛体运动的过程。
在这个过程中，我们可以把速度分解成水平分速度和竖直分速度。
具体地，我们可以用以下公式计算分速度：•水平分速度：$v_x=v\\cdot\\cos\\theta$•竖直分速度：$v_y=v\\cdot\\sin\\theta$其中v是物体的速度，$\\theta$是运动的角度。
通过分解速度，我们可以计算物体在水平方向和竖直方向上的加速度。
竖直方向上的加速度是重力加速度g，可以用以下公式表示：•竖直加速度：a y=g在水平方向上，重力的作用可以忽略不计，因此水平方向上的加速度为0。
在这种情况下，物体的速度和位移都只在竖直方向上变化。
速度分解的应用速度分解在物理学中有广泛的应用，除了上面提到的斜抛运动问题，它还可以用于解决许多其他的运动问题。
例如圆周运动，我们可以将一个物体的速度分解为径向速度和切向速度，从而计算它在圆周运动中的加速度。
同时，速度分解还可以用于解决物体在非惯性系中的运动问题，通过将速度分解为相对于惯性系的分速度，从而在非惯性系中计算物体的加速度。
结论速度分解是解决牵连运动问题中的关键概念之一。
通过分解速度，我们可以计算出物体在各个方向上的速度和加速度，进而解决许多常见的运动问题。
熟练掌握速度分解的方法可以让我们更好地理解和应用牵连运动问题中的物理原理。
专题拓展课一 小船过河与关联速度问题
专题拓展课一小船过河与关联速度问题【学习目标要求】 1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。
2.会用运动合成与分解的理论分析小船过河问题。
3.会分析实际运动中的关联速度问题。
拓展点1小船过河问题1.小船参与的两个分运动(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。
2.区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合。
3.两类最值问题(1)渡河时间最短问题由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。
因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。
由图甲可知，t短＝dv船，此时船渡河的位移x＝dsin θ，位移方向满足tan θ＝v船v水。
甲(2)渡河位移最短问题①v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝dv船sin θ，船头与上游河岸夹角θ满足cos θ＝v水v船，如图乙所示。
乙②若v水>v船，如图丙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。
这时船头与上游河岸夹角θ满足cos θ＝v船v水，最短位移x短＝dcos θ，而渡河所用时间仍用t＝dv船sin θ计算。
丙【例1】(2020·黑龙江哈尔滨三中高一月考)某人以一定的速度使船头垂直于河岸向对岸划船，当水流匀速时，对于他过河所需时间、发生的位移与水速的关系描述正确的是()A.水速小时，位移小，时间短B.水速大时，位移大，时间长C.水速大时，位移大，时间不变D.位移、时间与水速无关解析由分运动和合运动具有独立性和等时性可知，水流速度对过河时间没有影响，水速大时，合速度较大，位移较大，故只有C项正确。
答案 C【例2】已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝dv1＝1005s＝20 s。
速度分解中的误区
速度分解中的误区作者：唐权来源：《新课程·教师》2016年第07期在运动的合成与分解中，速度的分解对学生来讲又抽象又难理解，特别是和力的分解容易混淆，下面通过一个例题呈现当中出现的问题。
矢量的分解都遵从同样的法则——平行四边形定则。
满足平行四边形定则的任意分解方式对于学生会出现什么问题呢？我们来看下面的例子。
分析其原因：1.力就是这样分解的，所以速度也这样分解。
2.在学生刚接触到运动的分解时对运动的相对关系不清楚。
3.链接体的限制性条件（这里为绳子长度不变）没有理解。
所以，导致几乎所有学生都会这样分解而把题做错。
下面我们看一下应该怎样分解，为什么要这样分解。
对比两种解法发现，两种解法得到了截然不同的结果，检查两种解法的运算并无错误。
速度和力都是矢量，分解都满足同样的原则，检查分解也并无错误，那问题在哪呢？对比图2和图3发现：速度分解方式不同，vb的大小是不同的。
为什么会出现这样的结果呢？以滑轮为参考系来看，连接A这段绳上每一点的速度都不一样，绳上的点既要沿着绳子方向运动，又要绕滑轮转动，由于绳子长度不变，所以沿绳子方向的速度是相同的，但转动的速度却不同。
B物体的运动是沿着绳子的，所以B物体的速度一定等于沿着绳子的速度分量。
若按图3分解，速度的效果是独立的。
沿绳子方向的速度只使绳子沿着绳方向滑动，不引起绳子与滑轮的夹角变化；垂直于绳子方向的速度只改变绳子与滑轮的夹角，不引起绳子的滑动。
而按图2的分解，两个分量都同时导致了绳子的滑动，换句话说，图2的分解并无不可，只是绳子的速度不是vb，而是vb-v⊥cosα。
可见，解法二是正确的。
而解法一的错误在于，没有准确理解B物体的速度与A物体分速度的关系，是对分速度效果理解不够透彻造成的，这也是速度矢量分解较力更难的原因。
从上面的分析可以看出，速度和力一样，分解是任意的。
但是对于绳子牵连的物体速度分解时，将速度沿着绳子和垂直于绳子分解是最简单而不容易引起问题的方法。
高一物理速度的合成与分解试题答案及解析
高一物理速度的合成与分解试题答案及解析1.在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，下列说法中正确的是 ()A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)【答案】AD【解析】由甲乙图像可知，前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动，在沿y方向静止，选项A 正确；后2 s内物体在x方向以2m/s做匀速运动，在y方向做初速为零的匀加速运动，其合运动为匀变速曲线运动，选项B错误；4 s末物体在x方向的位移为，y方向的位移为，则物体的位置坐标为(6 m,2 m) ，选项D 正确。
【考点】运动的合成；v-t图像。
2.如图所示为北京奥运会火炬接力过程，假如当时的风速为零，可燃气体从火炬喷出的速度为3m/s，火苗向后的偏角为53°(相对竖直方向)．那么火炬手的运动速度大约为()．A．5 m/s B．4 m/s C．3 m/s D．6 m/s【答案】B【解析】在无风、静止的情况下火焰应是竖直方向的．当火炬手运动时，火焰会受到向后的风的作用．在向上和向后两股气流的共同作用下，形成斜向后上的燃烧情形．分析如图，故向后的风速为v′＝vtan 53°＝3×m/s＝4 m/s.3.某人骑自行车以10 m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以同样大小的速率从北方吹来，实际上风的速度是()．A．14 m/s，方向为北偏西45°B．14 m/s，方向为南偏西45°C．10 m/s，方向为正北D．10 m/s，方向为正南【答案】A【解析】如右图所示，人的速度为v人，风的速度为v风，在人的行驶方向上感觉不到风，说明风在人的行驶方向上与人同速，仅感觉到从北方吹来的风，则v人＝v风sin θ，v＝v风cos θ，tan θ＝＝1，θ＝45°，v风＝v人＝14 m/s.4.如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。
重点高中物理曲线运动速度的合成与分解牵连运动中的速度分解
精心整理牵连运动问题中的速度分解1、微移法处理牵连运动这类问题，可以从实际情况出发.设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间的速度大小的关系.例１、如图1-1所示，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以3m/s 的速度将绳子收短，此时绳与水面夹角30°角，求此时小船的速度.解：设船在Δt 内由Ａ移到Ｂ,位移为ΔS ２,如图1（a ），取OC ＝OB ，则绳子缩短ΔS １，绳子端点横向摆动ΔS ３，合位移ΔS ２可以分解为ΔS １和ΔS ３两个分位移．当Δt →0，ΔS ２→0，∠ACB →90°，此时：ΔS １＝ΔS ２cos30°，即有：02130cos ⋅∆∆=∆∆tS t S ，即：02130cos V V = 所以有：)/(32330cos 23012s m V V === 2、速度的分解法此题也可直接由速度分解的方法进行.船的实际速度V ２是合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度V １为沿绳方向的速度，即等于将绳子收短的速度3m/s ，分速度V ３为绕O 点以OA 为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢量图如图1（b ）所示，从而求出)/(32330cos 23012s m V V ===3、沿绳的速度相等法中学物理对于绳子的形变一般都不计，因此，绳拉紧时绳上各点的速度大小必定相等. 例2、一根绳通过定滑轮两端分别系着两个物体A 和B ，如图2所示，物体A 在外力作用下向左以v 匀速运动，某一时刻连A 的绳子与水平方向成α角，连B 的绳子与水平方向成β角，求此时物体B 的速度的大小.解：物体A 的实际速度大小为v ，方向向左，把沿绳方向和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度αcos /v v=设物体B 的实际速度为B v ，则沿绳子方向的分速度βcos /B B v v =由于沿绳上各点的速度大小相等，所以：βαcos cos B v v =，即：v v B⋅=βαcos cos4、功率法中学物理对于绳子的质量和形变一般都不计，因此，绳子没有动能，重力势能、弹性势能、内能，即绳子没有能量，不能和外界交换能量，只能传递能量，所以绳子两端的瞬时功率必定相等.例3：如图3所示，一轻绳的一端通过光滑的定滑轮O 与处在光滑的倾角为300的斜面上的物体A 连接，A 的质量为m ，轻绳的另一端和套在竖直光滑直杆上的物体B 连接，B 的质量为M ，OB 绳水平且距离S ＝3m ，当B 由静止释放下降h=1m 时，A 的速率由多大？解：设A 的速度大小为1v ，方向沿斜面向上，B 的速度大小为2v ，方向竖直向下，此时绳子与杆的夹角为α，由几何关系可得060=α；由机械能守恒得：)1...(..........30sin )60sin (2121002221⋅-++=s s mg Mv mv Mgh 设绳子得张力为T ，由绳子两端的瞬时功率相等，即有：02160cos Tv Tv =即：)2..(..........60cos 021v v =联立（1）（2）两式可得：mM mgMg v +--=4)32(21精心整理〖例３〗在光滑的水平面上，放一质量为Ｍ，高度为ａ的木块，支承一长Ｌ的轻质杆，杆的一端固定着质量为ｍ的小球，另一端用Ｏ点绞链着，如图１－５所示。
高中物理必修一必修二知识点依据逻辑总结
高中物理必修一必修二知识点依据逻辑总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】物理基本知识点总结第一、二章一、概念1、机械运动物体的空间位置随时间变化2、参考系描述物体运动时，用来作为参考，且假定是不动的另一个物体。
3、坐标系描述物体位置及位置的变化4、质点描述物体运动时，若物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体抽象为一个有质量的点。
5、时刻指某一瞬间，在时间轴上用一个点表示6、时间两时刻的间隔，在时间轴上用一段长度来表示7、矢量既有大小又有方向，且遵守平行四边形法则的物理量 标量只有大小，没有方向的物理量8、位移从初位置到末位置的有向线段，为矢量 9、路程物体运动的轨迹长度，是标量10、速度v=位移/时间=s/t ，为矢量，表示物体运动的快慢。
1m/s=h 。
大小为 s-t 图中的正切tan θ。
1、平均速度：位移与时间的比值2、瞬时速度：运动物体在某一时刻来表示 11、速率1、平均速率：路程与时间的比值2、瞬时速率：瞬时速度的大小12、加速度：定义速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，定义式a=Δv/t,为矢 量。
大小为v-t 图中的正切tan θ。
a 、v 同向时，不管a 怎么变化，v 一定变大； a 、v 反向时，不管a 怎么变化，v 一定变小。
13、打点计时器（计时工具）电磁打点计时器（4~6V 交流电）电火花打点计时器（220V 交流电） 二、匀变速直线运动的基本公式1、匀变速直线运动的定义：物体沿一条直线做加速度不变的运动。
2、四个重要公式速度与时间关系式：v=v 0+at 位移与时间的关系式：x=v 0t+221at 位移与速度的关系式：2ax=v 2-v 02 平均速度公式2v v v +=-3、三个重要推论相邻相等时间位移差：2aT x =∆X=X n -X n-1=aT 2中间时刻速度202v v v tt +=中间位置速度2222v vv x +=V x/2>V t/24、自由落体运（v 0=0、a=g ） v t =gth=1/2gt 2v t 2=2ghh n –h n-1=gt 2注意：v h/2>v t/2、5、逐差法求加速度a 公式舍去X 1，232544)()(TX X X X a +-+=6、比例公式：设v 0=0的匀加速直线运动。
详析牵连速度
浅析牵连速度玉山一中物理组黄小燕在运动合成与分解中,牵连速度的问题是经常遇到的.其典型的例题是:如图,一个人在岸上通过光滑的定滑轮拉一小船,当绳与竖直方向成θ角度时,人拉绳的速度是V0,求此时船的速度?我们现在知道应该将船的速度沿绳和垂直与绳的方向分解,其中沿绳方向的分速度和人拉绳的速度V0相同.从而得到船的速度V船=V0/sinθ.但是初学的同学很容易犯这样的错误:将船这端的绳的速度沿水平和竖直分解.得到V船=V0sinθ.错误的原因是把速度的方向和力方向混淆起来了，绳拉小船的力是沿绳斜向上的，绳的速度是沿绳斜向上的吗？绳的速度不是沿绳的，其中绑在船头的绳的末端速度应该和船的速度是一样是水平的。
还有一个很重要的问题：定滑轮两边的绳子的速度就一定相等吗？看下面2种情况：１．如图，一个人沿绳竖直向下拉绕过定滑轮的绳一端，左端下降，右端上升，这时，两边绳子都沿绳方向运动，且由于绳不可伸长，很容易得到，此时定滑轮的速度大小两边相等．２．如图，一个拉绕过定滑轮的绳的一端，让绳以定滑轮的顶端Ｏ点做圆周运动．即不改变绳的长度，但改变绳的方向（如与竖直方向的夹角）．此时很明显，左边绳速度方向不沿绳子，定滑轮两边绳速度大小不相等：左边动了，右边没运动．此时左边绳的速度对右边没有影响．这说明定滑轮两边的绳的速度大小是不一定相等的．绳子的速度也不一定沿绳方向的，那么什么时候定滑轮两边绳子速度相等呢？恰好是当绳的速度是沿绳方向的时候，两边绳的速度相等．我们再看第３种情况，一个人拉绕过定滑轮的一端以Ｖ0速度水平向外走．我们应该注意到此时左边绳的长度发生变化，方向也发生变化．此时绳的速度也不是沿绳的。
我们可以认为左边绳同是参与了１．２两种运动．但只有１运动（即只改变绳长度的分运动）对右边绳速度有影响．所以人由Ａ位置水平走到Ｂ位置的这个运动过程，可以分解为人沿绳拉绳，使绳升长，和做圆周运动到Ｂ点．其中沿绳方向的分运动，使得右边的绳运动，并且两者速度大小相等（绳不可升长）。
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运动的合成与分解中的牵连速度问题
（1）概念：三种速度（以船渡河为例）
动点—运动的质点（船）；
动系—运动的参考系（水）；
静系—静止的参考系（河岸）。
.
（2）三种速度
①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）；
②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）；
③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。
（3）速度矢量运算公式：水对岸船对水船对岸v v v += (遵循平行四边形定则) 例题
［例1］河宽以d 表示，船的划行速度以v 1表示，水流的速度设为ｖ2，求（1）渡河的最短时间；（2）最小位移。
（1）最短时间：船头指向正对岸时，渡河所用时间为最短。
最短时间为：1v d t =； （2）最小位移 分为两种情况：①当v 1＞ｖ2时，且满
足1
2cos v v =θ，渡河位移最小为d ； ②当v 1＜ｖ2时，最小位移为d v v d s ⋅==
12cos θ。
［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.
解：选取方块上与棒接触点B 为动点，棒为动系，轴O 为静系。
v 1——动点B 对动系的速度（B 点相对棒的速度）
v 2—动系对静系的速度（棒对轴O 转动的线速度）
v —动点对静系的速度（B 点对轴O 的速度）
由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.
设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ
令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . 练习
1.如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v.
2.如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少 、
3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.
4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示.若此时m 1的速度为v 1,则m 2的速度为多大..
5．如图所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量均为ｍ的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动质量也为ｍ小球Ｃ上升，在某一时刻连接Ｃ球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
⑴此时Ｃ球上升的速度是多少
⑵此时C 的加速度是多少
参考答案：
1．v=v 0cos45°=220v 2．v B =0cos cos v β
α 3．v A =v B tan α;a A =a B tan α
4．又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，得v 2=2v 1
5．(1)ＶＣ＝Ｖ／ＣＯＳα; (2)m mg T a -=αcos 2。