二次函数的系数与图象的关系
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数的图象与系数的关系
二次函数的图象与系数的关系二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数的关系如下：1、a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
2、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，则开口越小；a 越小，则开口越大。
3、a 、b 的符号决定抛物线的对称轴：当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧。
4、c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标：当0=c 时，抛物线经过原点；当c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；当c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴。
5、ac b 42-决定图象与x 轴是否相交：当ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴只有一个交点；当ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
应用上述关系，便能简洁明快地根据a 、b 、c 的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a 、b 、c 的符号。
例1（海淀区中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ） A 、a b c ><>000，， B 、a b c <<>000，， C 、a b c <><000，， D 、a b c <>>000，， 析解：由抛物线开口向下可知a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，可知a 、b 异号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴可知c ＞0例2（天津市中考题）图2为二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限析解：由抛物线的开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，可知a 、b 同号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交于负半轴可知c ＜0，所以bc ＜0，所以一次函数bc ax y +=不经过第二象限，故选B 。
二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)
二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。
由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由 决定：① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由 决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时，有 交点；(2)当042=-ac b 时，有 交点；(3)当042<-ac b 时，没有交点；二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，试确定代数式①a ；②b ；③c ；④b 2-4ac ；⑤2a+b ；⑥a+b+c ；⑦a-b+c ；⑧4a+2b+c 的符号.练习1：根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ； （5）2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ； （7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；练习2：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．（1）试确定代数式的符号①abc ______0；②3a +c ______0；③（a +c ）2﹣b 2______0； ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0（2）证明：a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．练习3.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，证明： a ﹣b ≤m （am +b ）（m 为实数）；例2二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，（1）试确定代数式的符号4a +b 0；（2）9a +c 3b ；（2）证明：8a +7b +2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小（4）若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，判断﹣1，5，x 1，x 2的大小变式1：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为 ；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为 ；（6）若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为 ，变式2.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝1．下列结论中：①方程ax 2+bx +c ＝3有两个不相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；③若点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的有变式3.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是 例3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），（1）求代数式（a +c ）2﹣b 2的值（2）若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，求这四个根的和（3）求a 的取值范围 （4）求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2+a 的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 三、课后作业1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞2时，y随x的增大而减小C．当﹣1＜x＜1时，y＜0D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和32.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣3，0），顶点为P（﹣1，n）．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝04.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示（1）.判断正误并说明理由：①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b（2）证明：（a+c）2＜b26.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①﹣2b+c＝0；；②4a+2b+c＜0；③若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．其中正确的是8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的是9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，求证：无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：1.a的作用：决定开口方向和开口大小2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）3.c的作用：与y轴交点的位置。
4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。
5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。
针对训练：1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。
(1)a___0； b___0； c___0；△__0.(2)a___0； b___0； c___0；△__0.(3)a___0； b___0； c___0；△__0.(4)a___0； b___0； c___0；△__0.(5)a___0； b___0； c___0；△__0.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空：a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.3.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a －b+c<04.二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，则点 A （b 2-4ac ，-ba ）在第 象限．5．已知 a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a ； (2)b ； (3)c ； (4)a+b+c ； (5)a-b+c ；(6)b 2-4ac ；(7)4ac-b 2； (8)2a+b ； (9)2a-b7.练习：填空（1）函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴的下方，则方程ax 2+bx+c=0的解得情况为：.3题图 4题图 6题图（3）二次函数y=ax 2+bx+c 中，ac ＜0，则抛物线与x 轴有 交点。
二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数间的关系一 知识梳理1，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 ：注 ①a 的正否决定抛物线的开口方向和大小 ②a,b 决定对称轴的位置，左同右异。
③c 决定抛物线与Y 轴的交点的位置。
④取特值：如当x=1,y=a+b+c ，当x=2是，y=4a+2b+c 等。
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：（1） 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 题型一、二次函数、一次函数及反比例函数图像确定例1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图像可能是（ ）A．B．C．D．例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．例3、一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象位置大致是( )课堂练习：1、二次函数y=ax2+bx的图像如图所示，那么一次函数y=ax+b的图像大致是（）A．B．C．D．2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则函数y=ax与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图像是（）A．B．C．D．3、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C｡D．题型二、二次函数图像与系数之间的关系基础题型例1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0例2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图像关于直线x=1对称B ．函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是﹣4C ．﹣1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大例3、如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课堂练习：1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则点P （b 2﹣4ac ，a+b+c ）所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤题型三、二次函数图像与系数之间的关系能力题型例1、已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有．例2、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤9a﹣3b>16a+4b正确的说法有．（把正确的答案的序号都填在横线上）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤c+=﹣2，其中正确的结论有 ．（请填序号）课堂练习1、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2、.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc ＜0；④4ac-b 2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b ＞ax 2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）．3、已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．课堂测试：1、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>A、1B、2C、3D、42、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小3、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个5、.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是（只填序号）．①abc＞0，②c=-3a，③b2-4ac＞0，④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．6、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x 1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个课后作业：1、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞03、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞05、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜06、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、411．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大12．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．413．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a﹣2b+c ＜0；③ac＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，3OA =，2AB =.抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点A 和点B ，与x 轴分别交于点D 、E （点D 在点E 左侧），且1OE =，则下列结论：①0>a ；②3c >；③20a b -=；④423a b c -+=；⑤连接AE 、BD ，则=9ABDE S 梯形，其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点为A ､B ，对称轴为直线x=1，与y 轴负半轴交于点C ，且OB=OC>2，下面五个结论：①bc<0；②4a+2b+c>0；③2a+b=0；④一元二次方程ax 2+bx+c=﹣2必有两个不相等的实数根；⑤1c 2a+=-． 那么，其中正确的结论是_____。
二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ．
⑴当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；
⑵当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大．
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
3.二次函数 的图象如图所示．
有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；
⑤当 时， 等于 ．⑥ 有两个不相等的实数根
⑦ 有两个不相等的实数根
⑧ 有两个不相等的实数根
⑨ 有两个不相等的实数根
其中正确的是（ ）
4.已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其中正确的结论有（ ）。
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
总结：
3.常数项
⑴当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
2.一次项系数
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴．
⑴在 的前提下，
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵在 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；
A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口 ，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。
二次函数图像与系数的关系
二次函数的图象与各项系数之间的关系 技巧讲解1. 二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠．① 当0a >时，抛物线开口向上；② 当0a <时，抛物线开口向下； ③a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。
2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．②ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，①当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即①当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4．特殊形式（1）当x=1时，可以求出a+b+c 的值； 若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;（2）当x=-1时，可以求出a-b+c 的值； 若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0;（3）根的别式b 2-4ac ，可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数，当b 2-4ac>0时，方程2y ax bx c =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值，即断抛物线与x 轴有2个交点；同理b 2-4ac=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点。
二次函数的各项系数与图象的位置关系
二次函数的各项系数与图象的位置关系一、知识点1．a的正负决定抛物线开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．2．a的绝对值决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小．3．a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b在异号，对称轴在y轴右侧；b=0时，对称轴为y轴．4．c＞0时，抛物线与y轴交点在轴上方；c=0时，抛物线过坐标原点；c﹤0时，抛物线与y轴交点在轴下方．5．b2-4ac﹥0，抛物线与轴有两个交点；b2-4ac=0，抛物线与轴有一个交点；b2-4ac﹤0，抛物线与轴无交点．二、例题【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0【例2】二次函数y=a2bc的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-bc，b2-4ac，2ab中，值大于0的个数有（）A．5B．4 C．3D．2三、强化练习1．满足a﹤0，b＞0，c=0的函数y=a2bc的图象是图26-3中的（）2．在二次函数y=2bc中，若bc=0，则它的图象一定经过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（1，1）3．若ac﹤0，则二次函数y=a2bc的图象与轴交点个数为（）A．2个B．l个C．0个D．无法确定4．已知，图26-4为二次函数y=a2bc的图象，则一次函数y=abc的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知抛物线y=a2bc的图象如图26-5所示，则关于的方程a2bc-3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根6．已知二次函数y=a2bc的图象如图26-6所示，下列结论中：①abc﹥0；②b=2a；③abc＜0；④a-bc＞0．正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．l 个7．已知一次函数y=ac与二次函数y=a2bc，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（）8．已知反k的图象如图26-8所示，则二次函数y=22-2的图象比例函数y=x大致为图26-9中的（）9c（a﹤c）的图象可能是图．在同一坐标系中，函数y=a2c与y=x26-10中的（）10．在同一坐标系中，函数y=a2与y=a-1（a≠0）的图象可能是图26-11中的（）11．如图26-12，已知二次函数y=a2bc的图象的对称轴是直线=1．下面给出了4个结论：①a﹤0，b＞0；②2ab=0；③abc＞0；④4a2bc=0．正确结论的序号是．四、解答【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0思维入门指导：由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置来判断．解：∵抛物线开口向下，∴a﹤0．∵对称轴在y 轴右侧，∴-a b 2＞0．又a ﹤0，∴b＞0． ∵抛物线与y 轴交点在轴上方，∴c＞0．∴选D ．点拨：直接推导a 、b 、c 符号即可．【例2】二次函数y=a 2bc 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-bc ，b 2-4ac ，2ab 中，值大于0的个数有（）A ．5B ．4C ．3D ．2思维入门指导：当=-1时，y=a-bc ．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y 轴左侧，∴a，b 同号．又a ＞0，∴b＞0．∵抛物线与y 轴的交点在轴下方，∴c﹤0．∴ab＞0，ac ﹤0．∵抛物线与轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0．∵对称轴=-a b 2=-1，∴b=2a．∴2ab﹥0 当=-1时，y=a-bc ﹤0．∴选C ．点拨：abc ，a-bc 分别是=l ，=-1时，函数y=a 2bc （a≠0）的函数值．参考答案1．C 点拨：∵a﹤0，b ﹥0，∴对称轴在y 轴右侧．∵c=0，∴抛物线过坐标原点．2．D 点拨：∵bc=0，∴b=-c ，y=a 2-cc ．当=-1时，y=1cc=2c1；当=1时，y=1bc=1．∴过（1，1）点．3．A 点拨：ac ﹤0，∴a≠0，b 2-4ac ﹥0，∴抛物线与轴有两个交点．4．B 点拨：∵抛物线开口向上，∴a﹥0．∵对称轴在y 轴左侧，∴b﹥0．∵与y 轴交点在轴下方，∴c﹤0．∴一次函数y=abc 的图象过一、三、四象限．5．C 点拨：由图象知，抛物线顶点纵坐标为3，∴原图象向下平移3个单位得到y=a 2bc-3．∴方程a 2bc-3=0有两个相等的实数根．6．A 点拨：由图象知，a ﹤0，b ﹤0，c ﹥0．当=1时，y=abc ﹤0；当=-1时，y=a-bc ﹥0．对称轴-a b 2=-1，∴b=2a． 7．C 点拨：由y=ac 过一、二、四象限得a ﹤0，c ﹥0；抛物线y=a 2bc 开口向下，与y 轴交点（0，c ）在轴上方，得a ﹤0，c ﹥0；抛物线与直线交于同一点（0，c ）．8．D 点拨：由y=x k 的图象知，﹤0，∴y=22-2的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴．9．A点拨：若抛物线开口向上，即a﹥0，则c﹥0．∴C、D 均错．若抛物线开口向下，即a﹤0．由A、B可知c﹥0，则双曲线只可能在第一、三象限．10．B点拨：若y=a2开口向上，则a﹥0．∴y=a-1过一、三、四象限．若y=a2开口向下，则a﹤0，∴y=a-1过二、三、四象限．11．①②③④。
二次函数图象与系数的关系最全总结
二次函数图象与系数的关系最全总结二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。
所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。
1. a决定抛物线的开口方向及大小具体内容：•a>0，抛物线开口向上•a<0，抛物线开口向下•|a|越大，抛物线的开口越小•|a|越小，抛物线的开口越大我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.图象示例：2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置对称轴的位置具体内容：•b=0时，对称轴为y轴•b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）•b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.图象示例：3. c决定抛物线与y轴交点的位置具体内容：•c=0，抛物线过原点•c>0，抛物线与y轴交于正半轴•c<0，抛物线与y轴交于负半轴可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例：4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数具体内容：•b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）•b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）•b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）图象示例：5. 特例•当x=1时，y=a+b+c•当x=-1时，y=a-b+c•当x=2时，y=4a+2b+c•当x=-2时，y=4a-2b+c•若a+b+c<0，即当x=1时，y<0•若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0•当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0•当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.例题讲解例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以<0，则点M（b，）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.例2若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A.a＞0B.a＞- 4/9C.a＞9/4D.a＜9/4且a≠0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a 中正确个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】•a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；•a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x 轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；•根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；•由图象得抛物线的对称轴为直线•x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.。
二次函数图像与系数的联系_二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数的联系_二次函数图像与系数的关系二次函数是一个具有以下形式的多项式函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是系数。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置取决于这些系数。
1.系数a的影响：系数a决定了抛物线的开合方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
a的绝对值越大，抛物线越窄。
2.系数b的影响：系数b对抛物线的对称轴产生影响。
对称轴是与抛物线对称的直线，其方程为x=-b/2a。
如果b大于0，则对称轴向左移；如果b小于0，则对称轴向右移。
3.系数c的影响：系数c决定了抛物线与y轴的交点，即抛物线的y截距。
当c大于0时，抛物线上升；当c小于0时，抛物线下降。
4.零点和顶点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
使用配方法可以求得零点的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
这些零点是抛物线与x轴的交点。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x轴的中点，即x=-b/2a。
顶点的纵坐标为f(-b/2a)。
5.平移和拉伸：对二次函数进行平移时，只需要调整常数项c和x轴的平移量。
当c 增加时，抛物线上升；当c减小时，抛物线下降。
将抛物线沿x轴平移h 个单位，则将所有x的值都减去h。
二次函数的图像可以通过拉伸来改变。
将a乘以常数k大于1，则抛物线的开口变窄，变为k倍；将a乘以常数k小于1，则抛物线的开口变宽，变为1/k倍。
6.对称性：二次函数具有对称性，即抛物线关于其顶点对称。
如果(x,y)是抛物线上的一个点，那么(-x,y)也是抛物线上的一个点。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0． （1） 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 （2） 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．5 例1（重庆2004年）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则点M （b ，ac ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限选D例2、（2004陕西）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a - b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b例4、已知二次函数()02≠++=a c b aχχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A 例5 二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，13χ=为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例１、已知y=ax 2+bx+c 图象如图1，则下列关系中成立的是( )120.<-<a bA 220.<-<abB 221.<-<a bC12.=abD 剖析 特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=12=-a b 这里221<-<ab ，所以选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0<α<2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②，①②(α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a.121222)2(2>+=+=+=-∴αααa a a b 221<-<∴ab求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0<α<2)，B(2，0)， 则A 、B 中点坐标是12122>+=+αα 221<-<∴ab所以选 C ． 注意：若题目为“已知抛物线y=ax 2+bx+c 过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax 2+bx+c 如图2，则下列结论： ①601-<a ，②0601<<-a ，③a-b+c>0，④a<b<-12aA ．①③ B． ①④ C ． ②③ D ． ②④剖析 排除法判定，易知c=2．4把(12，0)代入y=ax 2+bx+c 中得： 144a+12b+2．4=0，11205a b ++=，由图象知a<0，对称轴2b x a-=11120560a a ∴+<<-，， 即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ． 111201201255a b a b b a++=∴+-<<- ，，，000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a 代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．∵a-b+c=0，∴a+c=b ，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a 2，∵b=a+c ，∴b 2=c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a 2，b 2-2ac>5a 2， ④正确． 所以选D ．注意 ：有时利用x=±1时，y=a±b+c ，x=±2时，y=4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号．例4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于(-2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，①a<b<0，②2a+c>0，③4a+c<0，④2a-b+1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b b x a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a<b<0 ①正确． ∵抛物线过(-2，0)，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b<0∴4a+c<0，③正确． ∵4a-2b+c=0，2cb a 2-=-∴ ∵0<c<2，12c->-∴，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确． 所以选D ．补充练习：1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a +b +c ＞0D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
二次函数a、b、c与图像的关系
一一、首首先就 y=ax +bx+c（a≠0）中的 a，b，c 对图像的作用用归纳如 下：
1 a 的作用用：决定开口口方方向：a > 0 开口口向上；a < 0 开口口向下；
决定张口口的大大小小：∣ a∣ 越大大，抛物线的张口口越小小．
2 b 的作用用：b 和 a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．
3.（2015•泸州）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下
列列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正 确结论的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
4.（2015•仙游县二二模）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：y ①② NhomakorabeaO
x
③④ 例例 3 已知二二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列列结果 ①b2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+ c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论 是（ ） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
2
练习
1. （2015•重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）在平面面直⻆角坐标系中的
4 a,b,c 共同决定判别式的符号进而而决定图象与 x 轴的交点 与 x 轴两个交点 与 x 轴一一个交点 与 x 轴没有交点
5 几几种特殊情况：x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c ．
二次函数系数与图像的关系(共32张PPT)
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
小结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与
抛物线的关系
数
形
a a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
由抛物线捕捉对称信息的方式有：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c的符号：
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
3个
对称轴是y轴: b=0
三、随堂演练
1.根据图象判断a、b、c的符号
y
a _＞___0
y
b__＜__0
0
c__＜___0
0
x
a _＜___0
抛物线的关系
数
形
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
y
2、当x=-1时， y=a-b+c
3、当x=2时，
y=4a+2b+c
4、当x=-2时， y=4a-2b+c
二次函数系数关系、图象共存和对称变换
星期六教案：二次函数的图象与各项系数之间的关系1、二次项系数a二次函数2=++中，a作为二次项系数，显然0y ax bx ca≠．⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2、一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．概括的说就是“左同右异”（即对称轴在左边，a、b同号，对称轴若在右边，则a、b异号）3、常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．科翰——竭力打造中学课外辅导第一品牌典型例题：1、（2009•黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1其中所有正确结论的序号是（）A、①②B、①③④C、①②③⑤D、①②③④⑤2、（2009•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=错误!未找到引用源。
，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c＜0，②abc＜0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b=0．你认为其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、（2009•鄂州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c， 4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的个数为（）A、2B、3C、4 D 、5（第1题）（第2题）（第3题）4、（2008•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个5、（2008•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A、M＞0B、M＜0C、M=0D、M 的符号不能确定（第4题）（第5题）总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
第22章：二次函数与反比例函数知识点总结
第22章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。
a 越大，开口越小。
a 越小，开口越大。
（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若0>ab ，则对称轴a b x 2-=在y 轴左边，若0<ab ，则对称轴a bx 2-=在y 轴的右侧。
若b=0，则对称轴abx 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0∆=时，抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．注：a +b +c 表示x=1时，对应的函数值。
a -b +c 表示x= －1时，对应的函数值.4a +2b +c 表示x=2时，对应的函数值。
9a -3b +c 表示x= －3时，对应的函数值.等知识2：一次函数的图象与系数的关系.一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y ＝xk（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与各项系数之间的关系一、知识梳理1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
②|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2、一次项系数b：a,b共同决定了抛物线对称轴的位置，“左同右异”。
3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、△= b2-4ac>0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点；△= b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点；△= b2-4ac<0方程ax2+bx+c=0没有实数根函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点；5、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.6、特殊代数式：二、典型例题例1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④9a＋3b＋c＜0；⑤2a+b=0，⑥3a+c<0，⑦8a+c>0；⑧am2＋bm>a+b(m≠1).则其中结论正确的是( )例2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④当x<0时，y随x增大而增大；则其中结论正确的是( )例3.当b<0时，一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（）x变式练习1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①②当x=1时，函数有最大值。
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4（第1题）（第2题）（第3题）2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①ab c>0；②b<a+c；③4a+2b+c >0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、abc＞0；B、b2-4ac>0；C、2a+b＞0；D、4a+2b+c＜04、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（）①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2aA、4B、3C、2D、15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线．6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△<0，函数的图象经过象限。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数 a 、b 、 c 与图像的关系知识要点二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（ 1） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞ 0；否则 a ＜ 0．（ 2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由 对称轴公式 x=判断符号 ． （ 3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定： 交点在 y 轴正半轴，则 c ＞ 0；否则 c ＜0．（ 4）b 2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定： 2 个交点， b 2-4ac ＞ 0；1 个交点， b2-4ac=0；没有交点， b 2-4ac ＜ 0．（ 5）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，可确定 a-b+c 的符号．（ 6）由对称轴公式 x=，可确定 2a+b 的符号．一．选择题（共 9 小题）21．（ 2014?威海）已知二次函数+bx+c （ a ≠0）的图象如图，则下列说法：y=ax ① c=0； ② 该抛物线的对称轴是直线 2x= ﹣1； ③ 当 x=1 时， y=2a ；④ am +bm+a ＞ 0（ m ≠﹣ 1）．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（ 2014?仙游县二模）已知二次函数 2y=ax +bx+c （ a ≠0）的图象如图所示，给出以下 结论： ① a+b+c ＜ 0； ② a ﹣b+c ＜ 0； ③ b+2a ＜ 0；④ abc ＞ 0．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③ ④B ．② ③C ．① ④D ．① ②③23．（ 2014?南阳二模） 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示， 那么关于此二次函数的下 列四个结论： ① a ＜ 0； ② c ＞0； ③ b 2﹣ 4ac ＞ 0； ④＜ 0 中，正确的结论有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个2与 y=x 的图象如图，有以下结论：4．（ 2014?襄城区模拟）函数 y=x +bx+c 2； ③ 3b+c+6=0 2① b ﹣ 4c ＜ 0；② c ﹣ b+1=0 ； ④ 当 1＜ x ＜ 3 时， x +（ b ﹣ 1） x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．（ 2014?宜城市模拟）如图是二次函数 2x= ﹣ 1，y=ax +bx+c 图象的一部分，其对称轴为 且过点（﹣ 3， 0）下列说法：① abc ＜ 0；② 2a ﹣b=0 ；③ 4a+2b+c ＜ 0；④ 若（﹣ 5，y 1 ），（2，y 2）是抛物线上的两点，则 y 1＞ y 2 ．其中说法正确的是（）A ．① ②B ．② ③C ．② ③④D ．① ②④6．（ 2014?莆田质检）如图，二次函数 2的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y y=x +（ 2﹣ m ）x+m ﹣ 3 轴的右侧，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞ 2B ． m ＜ 3C ． m ＞ 3D ． 2＜ m ＜ 37．（ 2014?玉林一模）如图是二次函数 2A （﹣ 3， 0），y=ax +bx+c 图象的一部分，图象过点 对称轴为 x=﹣ 1．给出四个结论： ① b 2＞ 4ac ； ② 2a+b=0； ③ 3a+c=0 ；④ a+b+c=0 ． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个28．（ 2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），顶点坐标为（ 1， n ），与y 轴的交点在（ 0， 2）、（ 0，3）之间（包含端点） ．有下列结论：① 当 x ＞ 3 时， y ＜ 0；② 3a+b ＞ 0；③ ﹣ 1≤a ≤﹣ ；④≤n ≤4．其中正确的是（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③9．（ 2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数 2y=ax +bx+c （ a ＞ 0）的图象与＜ x 1＜ 2，下列结论正确的个数为（ ） ① b ＜ 0； ② c ＜0； ③ a+c ＜ 0； ④ 4a ﹣ 2b+c ＞ 0． A ．1 个 B ．2 个C ．3 个D ．① ③④x 轴交于点（﹣ 1， 0），（x 1， 0），且1 D ．4 个210、（2011?重庆）已知抛物线 y=ax +bx+c （ a ≠ 0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的 是（ ）A 、a ＞ 0B 、 b ＜ 0C 、c ＜ 0D 、 a+b+c ＞ 011、（ 2011?雅安）已知二次函数 2x=-1，给出下列结果 y=ax +bx+c 的图象如图，其对称轴 ① b 2＞ 4ac ；② abc ＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c ＞ 0；⑤ a-b+c ＜0 ，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤12、（ 2011?孝感）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12， 1 ），下列结论：① ac ＜ 0；② a+b=0；③ 4ac-b 2=4a ；④ a+b+c ＜ 0．其中正确结论的个数是（）A 、1B 、 2C 、 3D 、4答案一．选择题（共9 小题）21．（ 2014?威海）已知二次函数y=ax +bx+c （ a≠0）的图象如图，则下列说法：2① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x= ﹣ 1；③当 x=1 时， y=2a ；④ am +bm+a＞ 0（ m≠﹣ 1）．其中正确的个数是（）A ． 1B． 2C． 3 D ． 4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣ 1，（故②正确）；当x=1 时， y=a+b+c∵对称轴是直线 x= ﹣ 1，∴﹣ b/2a=﹣1， b=2a，又∵ c=0，∴ y=3a，（故③错误）；x=m 对应的函数值为2y=am +bm+c ，x= ﹣1 对应的函数值为y=a﹣ b+c，又∵ x= ﹣ 1 时函数取得最小值，22∴ a﹣ b+c＜ am +bm+c ，即 a﹣b＜ am +bm，∵ b=2a，2∴ am +bm+a＞ 0（m≠﹣ 1）．（故④正确）．故选： C．2点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax对称+bx+c（ a≠0）系数符号由抛物线开口方向、轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．2．（ 2014?仙游县二模）已知二次函数2① a+b+c＜0；② a y=ax+bx+c （ a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：﹣ b+c＜ 0；③ b+2a＜ 0；④ abc＞ 0．其中所有正确结论的序号是（）A ．③ ④B ．② ③C ．① ④D ．① ②③考点 ： 二次函数图象与系数的关系． 专题 ： 数形结合．分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号， 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解： ① 当 x=1 时， y=a+b+c=0 ，故 ① 错误；② 当 x=﹣ 1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于﹣ 1，∴ y=a ﹣ b+c ＜ 0， 故② 正确； ③ 由抛物线的开口向下知 a ＜ 0， ∵对称轴为 0＜x= ﹣ ＜ 1，∴ 2a+b ＜ 0， 故③ 正确；④ 对称轴为 x= ﹣＞0， a ＜ 0∴ a 、b 异号，即 b ＞ 0，由图知抛物线与 y 轴交于正半轴，∴ c ＞ 0∴ abc ＜0，故④ 错误；∴正确结论的序号为 ②③ ．故选： B ．点评： 2二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定：（ 1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a ＞0；否则 a ＜ 0； （ 2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式x= ﹣ 判断符号；（ 3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c ＞ 0；否则 c ＜0；（ 4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x= ﹣ 1 时，可以确定 y=a ﹣ b+c 的值．23．（ 2014?南阳二模）二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① a ＜ 0； ② c ＞0； ③ b 2﹣ 4ac ＞ 0； ④ ＜ 0 中，正确的结论有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个考点 ： 二次函数图象与系数的关系．专题 ： 数形结合．分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解： ① ∵图象开口向下，∴ a ＜ 0；故本选项正确；② ∵该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴，∴ c ＞ 0；故本选项正确；22③ ∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点，∴根的判别式 △=b ﹣ 4ac ＞0；故本选项正确； ④ ∵对称轴 x= ﹣ ＞0，∴ ＜ 0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有 4 个．故选 D ．2点评： 本题主要考查了二次函数的图象和性质， 解答本题关键是掌握二次函数y=ax +bx+c 系数符号的确定， 做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（ 2014?襄城区模拟）函数2y=x +bx+c 与 y=x 的图象如图，有以下结论：22① b ﹣ 4c ＜ 0；② c ﹣ b+1=0 ； ③ 3b+c+6=0 ； ④ 当 1＜ x ＜ 3 时， x +（ b ﹣ 1） x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 由函数 y=x 22﹣ 4c ＜ 0；当 x=﹣ 1 时，y=1 ﹣b+c ＞ 0；当 x=3 时，y=9+3b+c=3 ； +bx+c 与 x 轴无交点， 可得 b当 1＜x ＜ 3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x 2 +bx+c ＜ x ，继而可求得答案． 解答： 解：∵函数 2y=x +bx+c 与 x 轴无交点，∴ b 2﹣4ac ＜ 0；故① 正确；当 x= ﹣ 1 时， y=1﹣ b+c ＞0，故② 错误；∵当 x=3 时， y=9+3b+c=3 ， ∴ 3b+c+6=0 ；③ 正确；∵当 1＜ x ＜ 3 时，二次函数值小于一次函数值， 2∴ x +bx+c ＜ x ，2∴ x +（ b ﹣ 1） x+c ＜ 0． 故④ 正确．故选 C ．点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（ 2014?宜城市模拟）如图是二次函数 2x= ﹣ 1，且过点（﹣ 3，0）下列y=ax +bx+c 图象的一部分，其对称轴为说法：① abc ＜ 0； ② 2a ﹣b=0 ；③ 4a+2b+c ＜ 0；④ 若（﹣ 5， y 1），（2， y 2）是抛物线上的两点，则 y 1＞ y 2． 其中说法正确的是（ ）A ．① ②B ．② ③C ．② ③④D ．① ②④考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 根据抛物线开口方向得到 a ＞ 0，根据抛物线的对称轴得 b=2a ＞0，则 2a ﹣ b=0 ，则可对 ② 进行判断；根 据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c ＜0，则 abc ＜ 0，于是可对 ① 进行判断；由于 x= ﹣2 时， y ＜ 0，则得到 4a ﹣ 2b+c ＜ 0，则可对 ③ 进行判断；通过点（﹣ 5， y 1）和点（ 2， y 2）离对称轴的远近对 ④ 进行判断．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴ a ＞ 0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣ =﹣ 1，∴ b=2a ＞ 0，则 2a ﹣ b=0 ，所以 ② 正确；∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴ c ＜ 0，∴ abc ＜0，所以 ① 正确； ∵ x=2 时， y ＞ 0，∴ 4a+2b+c ＞ 0，所以 ③ 错误； ∵点（﹣ 5， y 1）离对称轴要比点（ 2， y 2）离对称轴要远，∴ y 1＞ y 2，所以 ④ 正确．故选 D ．点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 2a 决定抛物线的开口y=ax +bx+c （a ≠0），二次项系数 方向和大小，当 a ＞ 0 时，抛物线向上开口；当 a ＜ 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即 ab ＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜ 0）， 对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异） ．抛物线与 y 轴交于（ 0，c ）．抛物线与 x 轴交点个数： △=b 2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △ =b 2﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △ =b 2﹣ 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．6．（ 2014?莆田质检）如图，二次函数 2y 轴的右侧，y=x +（ 2﹣m ） x+m ﹣ 3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 则 m 的取值范围是（ ）A ． m ＞ 2B ． m ＜ 3C ． m ＞ 3D ． 2＜ m ＜ 3考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m 的不等式，由图象交y 轴于负半轴也可得到关于 m 的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答： 解：∵二次函数 y=x 2+（2﹣ m ） x+m ﹣ 3 的图象交 y 轴于负半轴，∴ m ﹣ 3＜0，解得 m ＜3，∵对称轴在 y 轴的右侧，∴ x= ，解得 m ＞2，∴ 2＜m ＜3．故选： D ．点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y 轴的交点解决问题．7．（ 2014?玉林一模）如图是二次函数 2A （﹣ 3， 0），对称轴为 x=﹣ 1．给y=ax +bx+c 图象的一部分，图象过点 出四个结论：2① b ＞ 4ac ； ② 2a+b=0； ③ 3a+c=0； ④ a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜ 0；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴ b 2﹣4ac＞ 0，即 b2＞ 4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣ 1，∴2a=b， 2a+b=4a，∵ a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点 A （﹣ 3， 0），∴9a﹣3b+c=0 ， 2a=b，所以 9a﹣ 6a+c=0， c= ﹣ 3a，③正确；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴ c＞ 0由图象可知：当x=1 时 y=0，∴ a+b+c=0，④正确．故选 C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数2y=ax +bx+c（ a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定．8．（ 2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线21， n），与y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），顶点坐标为（y轴的交点在（ 0， 2）、（ 0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当 x＞ 3 时， y＜ 0；② 3a+b＞ 0；③﹣ 1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．① ②B．③ ④C．① ③D．① ③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：① 由抛物线的对称轴为直线x=1 ，一个交点 A（﹣ 1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；② 根据抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b=﹣ 2a，将其代入（ 3a+b），并判定其符号；③ 根据两根之积=﹣3，得到 a=，然后根据 c 的取值范围利用不等式的性质来求 a 的取值范围；④ 把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c= c，利用 c 的取值范围可以求得n 的取值范围．解答：解：① ∵抛物线2y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1，0），对称轴直线是 x=1 ，∴该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3， 0），∴根据图示知，当x＞ 3 时， y＜ 0．故① 正确；② 根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴 x==1，∴b=﹣ 2a，∴3a+b=3a﹣ 2a=a＜0，即 3a+b＜ 0．故② 错误；③ ∵抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（﹣1， 0），（ 3， 0），∴﹣ 1×3= ﹣ 3，=﹣ 3，则 a=．∵抛物线与y 轴的交点在（0， 2）、（ 0， 3）之间（包含端点），∴ 2≤c≤3，∴﹣ 1≤≤，即﹣1≤a≤．故③ 正确；④根据题意知， a=，=1，∴ b=﹣ 2a=，∴n=a+b+c= c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④ 正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选 D．2点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定．9．（ 2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数21，0），（ x1，0），且 1＜y=ax +bx+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴交于点（﹣x1＜ 2，下列结论正确的个数为（）①b＜ 0；② c＜0；③ a+c＜ 0；④ 4a﹣ 2b+c＞ 0．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：① ∵ y=ax 2+bx+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴交于点（﹣1， 0），（ x1， 0），且 1＜ x1＜ 2，∴对称轴在 y 轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞ 0∴ b＜0，故①正确；②显然函数图象与y 轴交于负半轴，∴ c＜0 正确；2③ ∵二次函数y=ax +bx+c （ a＞0）的图象与x 轴交于点（﹣ 1， 0），∴a﹣ b+c=0，即a+c=b，∵ b＜0，∴ a+c＜0 正确；2④ ∵二次函数y=ax +bx+c （ a＞0）的图象与x 轴交于点（﹣ 1， 0），且 a＞ 0，∴当 x=﹣ 2 时， y=4a﹣ 2b+c＞ 0，故④ 正确，故选 D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。
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•O
•x
•A
•B
•C
•D
•4、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点和 •第一、第二、第三象限，则有( •B ) •A、a>0,b<0, c=0 •B、a>0,b>0, c=0 •C、a<0,b>0, c=0 •D、a>0,b<0, c=0
•5、抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点在x轴
1
•∵抛物线与x轴有两个交点 •∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 •∴ △=b2-4ac>0
•1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
•(1)
•y
•(1)a•_>__0; b_•_>_0; c_•<__0; • △ _•_>_0
•O
•x
•(2)
•y
•(2)a•_>__0; b_•<__0; c_•=__0;
•的下方的条件是( •B )
•A、b2-4ac≥0
B、 b2-4ac<0
•C、b2-4ac>0
D、 b2-4ac≤0
•6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 所示，判断下列各式的符号：
•(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c;
•(5)a-b+c; b2;
•(8)2a+b;
(6)b2-4ac;
二次函数的系数与图象的关 系
•二次函数图象 •与字母系数的关系
•二次函数图象有如下规律： •1、二次函数y= ax2+bx+c的图象是__•_抛__物__线__， •这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) •是由•_二__次__项__系__数__a_决定的。
• a相同 •抛物线的形状相同
•|a|越大，开口越窄 • a>0 •开口向上 • a<0 •开口向下
•考察x=-•••2_ba_ •可，得“左同右异”； •b=0 •抛物线的对称轴是y轴。 •a,b同号 •抛物线的对称轴在y轴左侧； •a,b异号 •抛物线的对称轴在y轴右侧；
•二次函数图象有如下规律： •4、抛物线与x轴交点的个数由•_b_2-_4_a_c_的__符__号__决定。
• 二次函数与一元二次方程有着内在联系。欲 •判断二次函数的图象与x轴有无交点，只要 •判断相应一元二次方程有无实数根，即判断 •△=b2-4ac的正负，具体如下：
•O
•x
•2、二次函数y= ax2+bx+c中，a>0，b>0，c=0，
•则其图象的顶点坐标在(•C )
•A、第一象限
B、第二象限
•C、第三象限
D、第四象限
•3、二次函数y= ax2+bx+c和一次函数y=ax+b的
•图象在同一坐标系内大致图象是(•C )
•y
•y
•y
•y
•O •x
•O
•x •O
•x
•y
(9)2a-b
(7)4ac-
•-
•0
•1
•x
1
•7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示 ，根据图象回答问题：
•(1)抛物线的对称轴是________;
•(2)x______时，y随x的增大而减小。
•y
•(3)x______时，y＜0？
•(4)x______时，y＞0？
•0
•-
•5
•x
•二次函数图象有如下规律： •2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置 •是由_•_常__数__项__c__决定的。
• c=0 • c>0 • c<0
•抛物线经过原点； •抛物线交y轴的正半轴； •抛物线交y轴的负半轴；
•二次函数图象有如下规律： •3、抛物线y= ax2+bx+c的对称轴的位置是由 •__•_a_和__b_联__合__决定的。
• △ _•_>_0
•O
•x
•1、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
•(3) •y
•(3)a_•_>_0; b_•_<_0; c_•_>_0; • △ _•_<_0
•O
•(4)a_•_<_0; b_•_>_0; c_•_<_0; • △ _•_=_0
•x •(4) •y
•O
•x
•(5)
•y
•(5)a_•_<_0; b_•_=_0; c_•_>_0; • △ _•_>_0
•△>0 •抛物线与x轴有两个交点；
•△=0 •抛物线与x轴有一个交点；
•△<0 •抛物线与x轴无交点。
•例 已知抛物线y= ax2+bx+c如图， •y
•试确定a、b、c及△=b2-4ac
•的符号，并说明理由。
•解：∵抛物线的开口向下 •∴a<0
•o
•x
•∵抛物线交y轴于正半轴 •∴c＞0
•又∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，即- <0 •∴a,b同号 •又∵a<0，∴b<0