二次函数图象与各项系数的关系

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二次函数知识点总结和题型总结(1)

二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数,叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题:例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值。

练习、若函数y=（m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 . 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4。

()2y a x h k =-+的性质:(技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k;如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b24a ）1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1,3），则b ＝ ,c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D 。

第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ) A5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ） A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+（m －1）x+m －1有最小值为0,则m ＝。

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。

二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。

根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。

根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。

根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。

当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。

二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。

平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。

初中二次函数知识点总结(全面)

初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。

考点12 二次函数(精讲)(解析版)

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。

而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。

当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

中考难点二次函数知识点及例题最强解析

中考难点二次函数例题解析二次函数可谓是初中数学考试中的常客，月考，期中考试，期末考试，模拟考试都会有它的身影，中考每年都会有一道关于二次函数的压轴题。

中考二次函数主要以综合题的形式考察，通过对近几年中考二次函数考察情况的分析，二次函数综合题得分率不高，难度系数在0.45-0.55之间，属于中考压轴题之一。

所以掌握二次函数的考点至关重要。

下面我们通过习题，引出知识点总结归纳，二次函数将不再茫然！基础知识一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2a≠）的函数，叫做二次函数。

y ax bx c=++（a b c，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有最【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型第二部分考察重点1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数各个系数与图像之间的关系

二次函数各个系数与图像之间的关系
二次函数是一种常见的数学函数，它在数学、物理和其他学科中都扮演着重要的角色。

它以Y=ax2+bx+c的形式出现，其中a、b、c 都是二次函数的系数。

本文将讨论二次函数系数与图像之间的关系。

首先，我们来看看a是如何影响图像的。

a是二次函数的系数，它代表着函数Y的曲率。

如果其值大于0，则函数图像弯曲向上，函数叫做凸函数；如果其值小于0，则函数图像弯曲向下，函数叫做凹函数。

通常来说，当a变化时，函数的曲率也会变化，从而影响函数的图像。

接下来，我们来看看b的作用。

b是二次函数的系数，它代表着函数Y的轴对称性。

如果值为正，则图像关于Y轴对称；如果值为负，则图像关于X轴对称。

随着b的变化，函数图像的轴对称性也会改变，从而影响整体图像。

最后，我们来看看c的作用。

c是二次函数的系数，它代表着函数Y的平移性。

当c变化时，函数图像的纵坐标会发生变化，但函数的形状不会受到影响。

由此可见，c系数有着重要的意义，它会影响函数图像的整体位置。

综上所述，可以清楚地看出，a,b,c是二次函数的三个重要系数，它们与函数的图像有着密切的关系。

a决定了函数的曲率，b决定了函数的轴对称性，c决定了整体图像的整体位置。

因此，当计算二次函数时，我们要特别注意这三个系数，以便根据它们了解函数的图像特征。

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系

二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点与X 轴两个交点与X 轴一个交点与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。

二次函数图像与系数的关系

二次函数的图象与各项系数之间的关系技巧讲解1. 二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠．① 当0a >时，抛物线开口向上；② 当0a <时，抛物线开口向下； ③a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。

2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．②ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，①当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即①当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； ②当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4．特殊形式（1）当x=1时，可以求出a+b+c 的值；若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;（2）当x=-1时，可以求出a-b+c 的值；若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0;（3）根的别式b 2-4ac ，可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数，当b 2-4ac>0时，方程2y ax bx c =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值，即断抛物线与x 轴有2个交点；同理b 2-4ac=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点。

二次函数中各项系数与图像的关系

一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b+2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a+b=0；⑤a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a+b+c ＜0；其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a= ．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。

二次函数的各项系数与图象的位置关系

二次函数的各项系数与图象的位置关系一、知识点1．a的正负决定抛物线开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．2．a的绝对值决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小．3．a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b在异号，对称轴在y轴右侧；b=0时，对称轴为y轴．4．c＞0时，抛物线与y轴交点在轴上方；c=0时，抛物线过坐标原点；c﹤0时，抛物线与y轴交点在轴下方．5．b2-4ac﹥0，抛物线与轴有两个交点；b2-4ac=0，抛物线与轴有一个交点；b2-4ac﹤0，抛物线与轴无交点．二、例题【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0【例2】二次函数y=a2bc的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-bc，b2-4ac，2ab中，值大于0的个数有（）A．5B．4 C．3D．2三、强化练习1．满足a﹤0，b＞0，c=0的函数y=a2bc的图象是图26-3中的（）2．在二次函数y=2bc中，若bc=0，则它的图象一定经过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（1，1）3．若ac﹤0，则二次函数y=a2bc的图象与轴交点个数为（）A．2个B．l个C．0个D．无法确定4．已知，图26-4为二次函数y=a2bc的图象，则一次函数y=abc的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知抛物线y=a2bc的图象如图26-5所示，则关于的方程a2bc-3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根6．已知二次函数y=a2bc的图象如图26-6所示，下列结论中：①abc﹥0；②b=2a；③abc＜0；④a-bc＞0．正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．l 个7．已知一次函数y=ac与二次函数y=a2bc，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（）8．已知反k的图象如图26-8所示，则二次函数y=22-2的图象比例函数y=x大致为图26-9中的（）9c（a﹤c）的图象可能是图．在同一坐标系中，函数y=a2c与y=x26-10中的（）10．在同一坐标系中，函数y=a2与y=a-1（a≠0）的图象可能是图26-11中的（）11．如图26-12，已知二次函数y=a2bc的图象的对称轴是直线=1．下面给出了4个结论：①a﹤0，b＞0；②2ab=0；③abc＞0；④4a2bc=0．正确结论的序号是．四、解答【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0思维入门指导：由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置来判断．解：∵抛物线开口向下，∴a﹤0．∵对称轴在y 轴右侧，∴-a b 2＞0．又a ﹤0，∴b＞0． ∵抛物线与y 轴交点在轴上方，∴c＞0．∴选D ．点拨：直接推导a 、b 、c 符号即可．【例2】二次函数y=a 2bc 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-bc ，b 2-4ac ，2ab 中，值大于0的个数有（）A ．5B ．4C ．3D ．2思维入门指导：当=-1时，y=a-bc ．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y 轴左侧，∴a，b 同号．又a ＞0，∴b＞0．∵抛物线与y 轴的交点在轴下方，∴c﹤0．∴ab＞0，ac ﹤0．∵抛物线与轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0．∵对称轴=-a b 2=-1，∴b=2a．∴2ab﹥0 当=-1时，y=a-bc ﹤0．∴选C ．点拨：abc ，a-bc 分别是=l ，=-1时，函数y=a 2bc （a≠0）的函数值．参考答案1．C 点拨：∵a﹤0，b ﹥0，∴对称轴在y 轴右侧．∵c=0，∴抛物线过坐标原点．2．D 点拨：∵bc=0，∴b=-c ，y=a 2-cc ．当=-1时，y=1cc=2c1；当=1时，y=1bc=1．∴过（1，1）点．3．A 点拨：ac ﹤0，∴a≠0，b 2-4ac ﹥0，∴抛物线与轴有两个交点．4．B 点拨：∵抛物线开口向上，∴a﹥0．∵对称轴在y 轴左侧，∴b﹥0．∵与y 轴交点在轴下方，∴c﹤0．∴一次函数y=abc 的图象过一、三、四象限．5．C 点拨：由图象知，抛物线顶点纵坐标为3，∴原图象向下平移3个单位得到y=a 2bc-3．∴方程a 2bc-3=0有两个相等的实数根．6．A 点拨：由图象知，a ﹤0，b ﹤0，c ﹥0．当=1时，y=abc ﹤0；当=-1时，y=a-bc ﹥0．对称轴-a b 2=-1，∴b=2a． 7．C 点拨：由y=ac 过一、二、四象限得a ﹤0，c ﹥0；抛物线y=a 2bc 开口向下，与y 轴交点（0，c ）在轴上方，得a ﹤0，c ﹥0；抛物线与直线交于同一点（0，c ）．8．D 点拨：由y=x k 的图象知，﹤0，∴y=22-2的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴．9．A点拨：若抛物线开口向上，即a﹥0，则c﹥0．∴C、D 均错．若抛物线开口向下，即a﹤0．由A、B可知c﹥0，则双曲线只可能在第一、三象限．10．B点拨：若y=a2开口向上，则a﹥0．∴y=a-1过一、三、四象限．若y=a2开口向下，则a﹤0，∴y=a-1过二、三、四象限．11．①②③④。

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

39.二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与各项系数之间的关系

4. Δ>0⇔与x轴有两个交点； Δ=0⇔与x轴有一个交点，即顶点在x轴上； Δ<0⇔与x轴没有交点；
5.当x＝1时，y的值为a＋b＋c；当x＝－1时，y的值为a－b＋c．
6.当对称轴x＝1时，x＝ b ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；
2a
当对称轴x＝－1时，x＝
b 2a
＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．
因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝
b 2a
与1的大小，若对称轴
在直线x＝1的左边，则-
b 2a
< 1 ，再根据a的符号即可得出结果；
判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与－1的大小.
典例解析

确定二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c及相关代数式的值或符号
例.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
知识梳理
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系
1.a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；
2.a、b同号对称轴在y轴的左侧（左同）； a、b异号对称轴在y轴的右侧（右异）；
b＝0对称轴为y轴； 3.c>0⇔与y轴正半轴相交；
c＝0⇔经过原点； c<0⇔与y轴负半轴相交；
总结归纳
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系
考点
确定二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c及相关代数式的值或符号
再见
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D)
A．1
B．2

二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式为y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c均为常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和顶点坐标与a的符号有关。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。

而最值则可以根据解析式直接求出。

除了基本形式外，二次函数还有其他形式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。

它们的图像形态、顶点坐标、对称轴和最值也有相应的规律。

对于二次函数的题目，需要根据题目中给出的条件确定函数的具体形式，然后再利用对称轴、顶点、最值等性质解决问题。

练时要多做一些不同形式的二次函数题目，熟练掌握各种形式的性质和解题方法。

同时，也要注意二次函数的概念、基本形式和常见变形的记忆，以便在解题时能够迅速确定函数的形式。

1.若二次函数y=ax^2+bx+c的最值为k，则a>0且最值点为(-b/2a,k)。

2.已知抛物线经过坐标原点，即y=0时，x=0，则代入抛物线方程可得m=0.3.抛物线y=x^2+3x的顶点坐标为(-3/2,-9/4)，位于第二象限。

4.代入点(2,0)可得a=3/2，顶点坐标为(2/3,-1/4)，距离原点的距离为14/3.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax^2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。

6.二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1的最小值为1/4，代入可得m=3/2.7.平移步骤：确定抛物线的顶点坐标，然后根据平移规律进行平移。

8.抛物线y=x^2+4x+9的对称轴为x=-2，开口向上，顶点坐标为(-2,1)。

9.抛物线y=2x^2-12x+25的开口向上，顶点坐标为(3,1)。

《二次函数》题型总结

二次函数题型总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ①y=2x 2； ①y=2x 2+4x ； ①y=－3x ； ①y=－2x －1； ①y=mx 2+nx+p ； ①y =； ①y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为。

6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为交点式：y=(x -x 1)(x -x 2), 则对称轴为：，最值为：。

1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是。

二次函数图象与系数之间的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与各项系数之间的关系一、知识梳理1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。

②|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2、一次项系数b：a,b共同决定了抛物线对称轴的位置，“左同右异”。

3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、△= b2-4ac>0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点；△= b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点；△= b2-4ac<0方程ax2+bx+c=0没有实数根函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点；5、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.6、特殊代数式：二、典型例题例1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④9a＋3b＋c＜0；⑤2a+b=0，⑥3a+c<0，⑦8a+c>0；⑧am2＋bm>a+b(m≠1).则其中结论正确的是( )例2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④当x<0时，y随x增大而增大；则其中结论正确的是( )例3.当b<0时，一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（）x变式练习1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①②当x=1时，函数有最大值。

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4（第1题）（第2题）（第3题）2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①ab c>0；②b<a+c；③4a+2b+c >0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、abc＞0；B、b2-4ac>0；C、2a+b＞0；D、4a+2b+c＜04、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（）①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2aA、4B、3C、2D、15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线．6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△<0，函数的图象经过象限。

二次函数系数与图像的关系

B
04 单击此处添加小标题
二次函数和一次函数
二次函数和一次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（C ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
二次函数和一次函数
在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b和二次函数的图象可能为 ()
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
1.如图，若a＜
0，b＞0，c＜0，
则抛物线y=ax2
＋bx＋c的大致
图象为
△＜０时抛物线于x轴没有交点
对称是一种数学美，
它展示出整体的和谐与平衡之 A
B
美，抛物线是轴对称图形，解
题中应积极捕捉，创造对称关
系，以便从整体上把握问题，
由抛物线捕捉对称信息的方式 0
有：
1.从抛物线上两点的纵坐
标相等获得对称信息; A
B
2.从抛物线上两点之间的
0
线段被抛物线的对称轴垂
直平分获得对称信息.
y
2、当x=-1时， y=a-b+c
3、当x=2时， y=4a+2b+c
●
x
4、当x=-2时， y=4a-2b+c
-2 -1 o 1 2

二次函数的图象与各项系数之间的关系

第1页二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次函数c bx ax y ++=2的图象开口方向取决于a 的符号,开口大小取决于a 的大小;对称轴为直线a b x 2-=,当0>a
b ,对称轴与y 轴的相对位置关系取决于b a ,的符号;图象与y 轴的交点为()
c ,0,交点在y 轴上的位置取决于c 的符号. 与二次项系数a 的关系
（1）当0>a 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,a 的值越小,开口越大;
（2）当0<a 时,抛物线开口向下,a 的值越大,开口越大,a 的值越小,开口越小.
总之,a 的值越大,抛物线的开口越小.
与一次项系数b 的关系
二次项系数a 和一次项系数b 共同决定了抛物线的对称轴. 若抛物线的对称轴在y 轴的右侧,即02>-
=a b x ,则b a ,异号;若抛物线的对称轴在y 轴的左侧,即02<-=a
b x ,则b a ,同号. 总之,b a ,的符号遵循“左同右异”的规律.
特别地,当对称轴是y 轴时,02=-
=a b x ,此时0=b . 与常数项c 的关系
对于二次函数c bx ax y ++=2,当0=x 时,c y =,函数图象与y 轴的交点为()c ,0:
（1）当0>c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即交于y 轴的正半轴;
（2）当0=c 时,抛物线经过坐标原点;
（3）当0<c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即交于y 轴的负半轴.
上述结论反之亦成立.。