5.2 二元函数的偏导数与全微分

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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 7 验证函数 u( x, y) ln x 2 y 2 满足方程
证
2u 2u 2 0. 2 x y 1 2 2 ln x y ln( x 2 y 2 ), 2 u x u y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y 2u ( x 2 y 2 ) x 2 x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) u (x y ) y 2 y x y 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y ) 2u 2u 2 2 0. 上页 x y
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 则称它们是z = f (x , y) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 2 2 z z z z ( ) f f ( x , y ); ( ) x y ( x, y ) x x 2 y x x y x x x
同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导 z f 数，记作 ， ， zy 或 f y ( x, y). y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数 u f ( x , y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
z x
f ， x x0 x
y y0
x x0 y y0
( x0 , y0 ) 或 Z ， fx x ( x0 , y0 )
同理可定义函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为 f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim y 0 y
z 记为 y f ， y x x0
y y0 x x0 y y0
， f y ( x0 , y0 ) 或 zy
x x0 y y0
.
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如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它称为函数 z f ( x , y ) 对自 变量 x的偏导函数，简称偏导数. z f 记作 ， ， zx 或 f x ( x, y ) . x x
z x2 y 2e y x 3z 2z x2 y 2 e ( ) 2 y x x y x 2 2 z z ,但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
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问题
具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数 z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内 y x x y
这两个二阶混合偏导数必相等．
例如, 对三元函数u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称此 x 0 x 极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导
数，记为
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“可微”与“偏导数存在”的关系？
定理 3（可微的必要条件） 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数
如图
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（1）几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所 截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜 率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的 斜率.
2 2 2 2 2
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例8 证明函数
满足
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0. x y z
证
2
2 3 x r 1 3 x u 1 3 5 3 4 2 r x r r x r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 3 5 , 3 5 利用对称性,有 2 2 y r r z r r
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一、偏导数
二、高阶偏导数
三、全微分
四、全微分在近似计算中的应用
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一、偏导数
1、偏导数的定义
定义 1 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
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（2）偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 y2 , 例如,函数 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
依定义知在(0,0) 处， f x (0,0) f y (0,0) 0 .
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定义2
如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ) 的全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关，则称函数
Ax By 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y )在点( x, y) 可微，
z x (1, 2)
z
x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3 y y
2
z y (1, 2)
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求证: ） ， 例2 设 z x ( x 0, 且 x 1 x z 1 z 2z y x ln x y
y
证
x z 1 z y x ln x y
u( x x , y, z ) u( x, y, z ) u , x ( x , y , z ) lim x 0 x
u( x, y y, z ) u( x, y, z ) uy ( x, y, z ) lim , y 0 y
u z ( x , y , z ) lim u( x, y, z z ) u( x, y, z ) . z 0 z
r2
u u u 3 3( x 2 y 2 z 2 ) 2 2 3 0 2 5 x y z r r
2 2 2
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三、全微分
全增量
如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的某邻域 内有定义，并设 P ( x x, y y ) 为这邻域内 的任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x x, y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x , y 的全 增量，记为 z ， 即 z f ( x x, y y ) f ( x , y )
2 z 2z z z ( ) f yx ( x, y ); ( ) 2 f yy ( x, y ) x y y x y y y
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第二、三个偏导数称为混合偏导数. 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为
2 3
2
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例6 解
求函数 z e z x2 y e x
x2 y
z e x2 y 2 x
2 2
3z . 的二阶偏导数及 2 y x z x2 y 2e y 2 z 2 e x2 y x y 2z x2 y 4e 2 y
RT V , p
V R T p
偏导数记号是一个
整体记号,不能看作
分子与分母的商 !
p V T RT 1. V T p pV
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2.偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
z = f (x , y)关于x的 n –1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶 偏导数为
( y
nz ) x n1 y
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二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例 5 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
z z z z z 求 2、 、 、 2及 3. x x yx xy y
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例1 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2)处的偏导数. z z 解法1 2x 3y, 3x 2 y x y z z y (1,2) x (1,2) 解法2
z
y2
x2 6x 4
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz df Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
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“可微”与“连续”的关系？
定理 2 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微, 则函数在该点连续.
2
2 2
2
3
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z z 2 3 2 6 xy , 2 x 18 xy; 6 y , 2 2 x y x 3 2 2 z z 2 2 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x y 9 y 1. xy yx
证
z Ax By o( ),
0
lim z 0,
0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z ] x 0
y 0
f ( x, y)
所以函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处连续.
2z
例3 求 的偏导数 . 2x x r 解 2 2 2 x 2 x y z r r z . z r 上页
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例4 已知理想气体的状态方程 p V T 1 (R 为常数) , 求证: V T p RT p RT 2 , 证 p V 说明: 此例表明, V V