5.2 二元函数的偏导数与全微分
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系【摘要】二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系是数学分析领域一个重要的研究课题。
本文从二元函数的偏导数和全微分的定义入手，深入探讨了二元函数连续偏导数与全微分之间的关系。
通过证明思路和数学推导，揭示了二元函数各阶偏导数存在且连续时，全微分存在且连续的结论。
进一步分析了这一关系在实际问题中的意义，探讨了其在科学研究和工程技术中的应用。
展望了相关研究的未来方向，为这一领域的深入发展提供了借鉴。
通过本文的研究，读者将更加深入地了解二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，对其在实际问题中的应用有更清晰的认识。
【关键词】二元函数、偏导数、全微分、连续、关系、证明、推导、实际意义、研究展望1. 引言1.1 研究背景二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分领域一个重要而复杂的问题。
在实际应用中，我们常常需要对二元函数进行微分运算，而二元函数的连续性和偏导数性质对于微分的计算有着至关重要的作用。
深入研究二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系对于提高我们对函数性质的认识和应用具有重要意义。
1.2 问题提出偏少或者格式指导等。
在研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系时，一个重要的问题是如何理解连续偏导数和全微分之间的联系和区别。
连续偏导数描述了二元函数在某一点的变化率，而全微分则描述了函数在整个定义域上的变化率。
这两个概念之间的关系可以帮助我们更深入地理解二元函数的性质和行为。
本文将探讨二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，从而拓展我们对这些数学概念的认识，以及它们在实际问题中的应用和意义。
2. 正文2.1 二元函数的偏导数二元函数的偏导数指的是在给定点处，分别对两个自变量求导得到的函数。
具体来说，对于一个函数f(x, y)，其对x 的偏导数记为\frac{\partial f}{\partial x}，对y 的偏导数记为\frac{\partialf}{\partial y}。
第三节偏导数与全微分
dz = z′ dx + z′ dy x y
= [2(sin xy )(cos xy ) y + y ]dx
2
+ [2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx ]dy .
2.偏导数 设有函数 z = f ( x , y ), 如果极限 偏导数
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim = lim0 ∆y → ∆y → 0 ∆ y ∆y
∆ yz
存在, 存在 则称此极限为 f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数.
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数 二元函数的偏导数 1.改变量 改变量
全改 变量 偏改 变量 偏改 变量
x : x 0 → x 0 + ∆x
y : y 0 → y 0 + ∆y
∆ z = f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
+ x ln x
y
f x′ (1,2) = 2e 2 + 2 f y′ (1,2) = e 2 .
y ∂z ∂z 例3 设 z = arctan x , 求证 x + y = 0. ∂x ∂y
证
∂z = ∂x
y y (− 2 ) = − 2 2 y 2 x +y x 1+ ( ) x ∂z 1 x 1 = ( ) = 2 y 2 x ∂y x + y2 1+ ( ) x y x ∂z ∂z x ) + y( 2 ) = 0. +y = x(− 2 2 2 x +y x +y ∂x ∂y
二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
5.2 二元函数的偏导数与全微分
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（1）几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所 截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜 率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的 斜率.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例1 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2)处的偏导数. z z 解法1 2x 3y, 3x 2 y x y z z y (1,2) x (1,2) 解法2
z
y2
x2 6x 4
z 记为 y f ， y x x0
y y0 x x0 y y0
， f y ( x0 , y0 ) 或 zy
x x0 y y0
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它称为函数 z f ( x , y ) 对自 变量 x的偏导函数，简称偏导数. z f 记作 ， ， zx 或 f x ( x, y ) . x x
同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导 z f 数，记作 ， ， zy 或 f y ( x, y). y y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数 u f ( x , y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处
偏导数与全微分
偏改 变量
y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
2.偏导数 设有函数 z f (x, y), 如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x0
x
存在,则称此极限值为f (x, y)在点
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2 已知 f ( x, y) e xy x y , 求 f x( x, y), f y( x, y), f x(1,2), f y(1,2).
解 f x( x, y) ye xy yx y1 f y( x, y) xe xy x y ln x
zy
xe x y ( x 1) 1 1 y
zy (1.0) e 2
dz 2edx (e 2)dy. (1,0)
定理8.2 如果函数 f (x, y) 在点P(x, y)及其邻域 内有连续的偏导数 f x( x, y)和 f y( x, y), 则该函数在点 P(x, y) 处可微.
(3)关系 函数 f (x, y)在 ( x0 , y0 )处的偏导数等于
偏导函数在( x0 , y0 ) 处的函数值.
(4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数,
对 y 求偏导把 x 看作常数,
原
按一元函数求导法则求.
始
法 则
重要注意事项
二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
z z f (x, y)
.P
.O
y0
x0
T2
y
叙述二元函数偏导,可微,连续的关系
叙述二元函数偏导,可微,连续的关系二元函数是指一个含有两个自变量的函数，例如f(x,y)，其中x和y是独立变量，而f(x,y)是它们的函数值。
在数学上，二元函数的偏导数、连续性和可微性是重要的性质，它们直接影响到函数的性质和应用。
一、二元函数的偏导数偏导数是指多元函数中对某一变量求导数时，将其他变量看做常数而求出的导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以分为两种类型：偏导数和混合偏导数。
1. 偏导数：偏导数常用∂来表示，表示函数f(x,y)对x或y中的其中一个变量求导的结果。
例如，f(x,y)对x 求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) - f(x,y)] / Δx同理，f(x,y)对y求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂y = lim(Δy→0) [f(x,y+Δy) - f(x,y)] / Δy2. 混合偏导数：混合偏导数是指对一个二元函数f(x,y)的某个变量求偏导数之后，再对其余变量求偏导数，也就是先后求导数的结果。
例如，对f(x,y)先对x求偏导之后再对y求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂x ∂y)同理，对f(x,y)先对y求偏导之后再对x求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂y ∂x)如果∂²f(x,y) / (∂x ∂y) = ∂²f(x,y) / (∂y ∂x)，则称混合偏导数存在且相等。
二、二元函数的可微性可微性是指一个函数在某个点可导且导数存在，则称该函数在该点可微。
对于二元函数f(x,y)，其可微与单变量函数类似，需要同时满足以下两个条件：1. 偏导数存在：即f(x,y)对x、y的偏导数都存在；2. 偏导数连续：即f(x,y)对x、y的偏导数都是连续函数。
如果一个函数在某一点可微，则在该点的局部变化可以近似于一个线性变化，其近似表达式为：Δf(x,y) = ∂f(x,y)/∂x Δx + ∂f(x,y)/∂y Δy其中Δx 和Δy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量，Δf(x,y) 表示函数在 (x,y) 点处的局部变化量。
偏导数与全微分
因为函数在（0，0）处的极限不存在，从而在点 （0，0）处不连续.
函数在点(0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
可微的充分条件
定理 5.4（充分条件） 如果函数 z f ( x , y )的
z z 偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点 x y ( x , y )可微分．
2z 2z 导数 及 在区域 D 内连续，那末在该区域 yx xy
内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6-19 方程
验证函数 z ln x 2 y 2 满足拉普拉斯
2z 2z 2 0. 2 x y
1 ln x y ln( x 2 y 2 ), 解 2 z x z y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
z ( x , y )可微分，则该函数在点( x , y )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分 y
为
z z dz x y ． x y
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
同理可得
z B . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 x y2 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0 . x y 0
2 2
Hale Waihona Puke 在点(0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
二元函数：z = f(u , v) u =φ (x , y) v = ψ (x , y)
5.2偏导数与全微分
二元函数的微积分学
二元函数的微积分学作为数学中的基本概念，函数在现代科学和技术中有着广泛的应用。
在微积分学中，函数的导数和积分是重要的研究对象。
而二元函数的微积分学，则是研究二元函数的一阶和二阶导数以及二重积分的理论和应用。
本文将重点介绍二元函数的微积分学的概念、性质和应用。
一、二元函数的概念及其图像二元函数是指自变量有两个的函数，通常用f(x,y)表示，其中x 和y是两个自变量，f是因变量。
二元函数的定义域是由所有可能的自变量组成的集合，通常用D表示。
对于每一个自变量的组合(x,y)，都有唯一的因变量值f(x,y)。
二元函数的图像是指在平面直角坐标系中，所有满足f(x,y)=k 的(x,y)点的集合。
这时，因变量f(x,y)被看作是平面上某一点的高度，而(x,y)是它的坐标。
例如，二元函数f(x,y)=x^2+y^2的图像是一个抛物面。
因为二元函数的自变量有两个，所以无法将其用一条曲线表示。
但是，可以将其投影在坐标轴上，得到两个函数f(x,y)和g(x,y)。
f(x,y)表示x轴为常数时，y轴上的数值，也就是二元函数的截面；g(x,y)表示y轴为常数时，x轴上的数值，也就是二元函数在y轴上的截面。
二、偏导数和全微分对于二元函数f(x,y)，可以定义其偏导数。
偏导数是指在一个自变量变化时，另一个自变量保持不变的情况下，函数的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim [f(x+Δx,y) - f(x,y)]/Δx （y为常数）∂f/∂y = lim [f(x,y+Δy) - f(x,y)]/Δy （x为常数）其中，∂f/∂x表示f在x方向的变化率，∂f/∂y表示f在y方向的变化率。
偏导数的计算类似于一元函数的导数，只需要将其中一个自变量看做常数，进行求导即可。
全微分则是指函数f(x,y)在某个点(x,y)处的微分。
全微分可以表示为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是x和y的微小增量。
偏导数与全微分解析
偏导数与全微分解析偏导数和全微分是微积分中的重要概念，用来描述多变量函数的变化率和微小变化。
在本文中，我们将深入探讨偏导数和全微分的定义、计算方法和应用。
一、偏导数偏导数是用来描述多变量函数在某一点上沿着某个特定方向的变化率。
对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y，表示函数在x轴和y轴上的变化率。
计算偏导数的方法为将函数中的其他变量视为常数，只对所求的变量求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + cos(xy)，要计算∂f/∂x，我们将y视为常数，对x求导得到2x - ysin(xy)。
偏导数的存在性与连续性紧密相关。
如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么该函数在该点可微。
二、全微分全微分是用来描述多变量函数在某一点上的微小变化量。
对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
全微分可以看做是偏导数的线性组合，表示函数在该点的微小变化量。
在数学中，全微分在解析几何和微分几何中有广泛的应用。
由于全微分是偏导数的线性组合，其计算方法与偏导数类似。
通过对变量的求导，我们可以计算出全微分的数值。
对于函数f(x, y) = x^2+ cos(xy)，可以计算出其全微分df = 2x * dx - ysin(xy) * dx + (-xsin(xy)) * dy。
三、偏导数与全微分的应用偏导数和全微分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，偏导数和全微分可以描述物体在多个方向上的运动变化率和微小变化量。
在经济学中，偏导数和全微分可以描述不同变量对经济模型的影响程度和微小变化的效应。
在工程学中，偏导数和全微分被广泛应用于优化问题和控制系统设计。
通过求取偏导数，可以找到函数的驻点和最值点，从而优化系统的性能。
通过求取全微分，可以找到系统在某一点上的微小变化量，从而进行控制系统的设计和分析。
二元函数的偏导数与全微分
二元函数的偏导数与全微分二元函数是指有两个自变量的函数，例如 $z=f(x,y)$，其中$x$ 和 $y$ 是自变量，$z$ 是因变量。
在微积分中，二元函数的偏导数和全微分是比较重要的概念。
一、偏导数的定义偏导数是指在多元函数中，对某一个变量求导时，把其他变量当作常数来对函数进行求导。
对于二元函数 $z=f(x, y)$，它的偏导数可以用符号 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partialz}{\partial y}$ 表示。
其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示当$y$ 固定时，$z$ 对 $x$ 的变化率；$\frac{\partial z}{\partial y}$ 表示当 $x$ 固定时，$z$ 对 $y$ 的变化率。
例如，二元函数 $z=x^2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y}$，则有：$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$$二、全微分的定义对于二元函数 $z=f(x,y)$，它的全微分可以表示为：$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partialy}dy$$全微分表示 $z$ 在 $(x, y)$ 处的微小变化量，可以理解为$z$ 的无限小增量。
全微分的概念在微积分中有着广泛的应用，如求方程组的解、最大值、最小值等。
例如，对于二元函数 $z=x^2y$，它的全微分可以表示为：$$dz=2xydx+x^2dy$$三、偏导数与全微分的关系对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数与全微分有着密切的联系。
根据全微分的定义，可以推导出：$$\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$将上述式子代入全微分，可以得到：$$dz=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Deltax}dx+\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}dy$$当 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋近于 $0$ 时，可以认为二元函数$z=f(x,y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分。
二元函数的全微分
二元函数的全微分二元函数的全微分指的是，对于一个由两个变量 x 和 y 组成的函数f(x,y)，它在固定一个点 (x0,y0) 处的微小变化Δx 和Δy 所产生的函数值变化Δf(x0,y0) 的近似值。
全微分的概念在数学、物理和工程学中都有广泛的应用，比如在微积分和偏微分方程中，以及在热力学和流体力学中，都有重要的应用。
一、二元函数的全微分定义二元函数的全微分可以定义为：∆f(x0,y0) = (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy其中∆f(x0,y0) 是在点 (x0,y0) 处的函数值变化，∂f/∂x 和∂f/∂y 分别是函数 f(x,y) 对 x 和 y 的偏导数，Δx 和Δy 分别是 x 和 y 在点 (x0,y0) 处的微小变化。
这个公式也可以写成以下形式：df(x,y) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中 df(x,y) 是由一个或多个变量定义的函数 f(x,y) 的全微分，dx 和 dy 分别代表 x 和 y 的微小增量。
二、二元函数的全微分的性质二元函数的全微分具有以下性质：1.全微分是线性的。
即对于任意的常数 a 和 b，有 df(a,b) = a df(x,y) + b df(u,v)。
2.全微分满足链式法则。
即若 f(x,y) 和 g(u,v) 都是可微的二元函数，且y 是以 u 和 v 为自变量的函数 y = h(u,v)，则有：df(x,y) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)(∂y/∂u)du + (∂f/∂y)(∂y/∂v)dv3.全微分是可加的。
即若 f(x,y) 和 g(x,y) 都是可微的二元函数，则它们的和 h(x,y) = f(x,y) + g(x,y) 也是可微的，且有：dh(x,y) = df(x,y) + dg(x,y)三、二元函数的全微分的应用二元函数的全微分在物理和工程学中有广泛的应用，下面列举几个例子：1.热力学中的熵变。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系1. 引言1.1 介绍二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分中一个重要而复杂的问题。
在研究二元函数时，我们经常需要考虑其在某一点处的偏导数和全微分。
偏导数描述了函数在特定方向上的变化率，而全微分则描述了函数在整个空间上的变化。
二者之间的关系可以帮助我们更深入地理解函数的性质和行为。
在介绍这个问题之前，我们需要先了解什么是二元函数。
二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)。
它描述了一个平面上的点在空间中的映射关系，因此我们可以通过二元函数来分析和描述各种复杂的现象。
研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系具有重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解函数在不同方向上的变化规律，从而为优化算法和物理建模等领域提供重要参考。
通过研究这一关系，我们能够揭示函数的微小变化对整体性质的影响，为相邻点之间的函数值变化提供更准确的预测。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分领域一个复杂而有意义的问题，通过深入研究这一关系，我们可以加深对函数性质的理解，提高数学建模和实际问题求解的能力。
1.2 研究意义研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系具有重要的理论意义和实际应用意义。
在数学分析领域，理解二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助我们深入理解多元函数的微分学理论，为进一步研究高维空间中的函数提供基础。
在工程领域，掌握二元函数连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助工程师更好地理解和分析复杂的物理现象和工程问题，优化设计方案，提高工程效率和质量。
对二元函数连续偏导数和全微分之间关系的研究也对人工智能领域的发展具有重要意义，促进机器学习算法的发展和应用。
深入研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，对于推动数学理论的发展、提高工程实践的水平以及推动人工智能技术的发展都具有重要意义。
1.3 研究对象二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是数学分析中一个重要的研究对象。
(整理)二元函数的偏导数.
二、偏导数的求法
从偏导数的定义可以知道，求z对x的偏导数的时候可以把变量y认为是常数，从而可以利用一元函数求导法则和求导公式进行求导；同样，在z对y求偏导数的时候可以把x认为是常数进行求导。
讲解、提问
新课讲解
（35分钟）
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一、二元函数偏导数的定义
定义1：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，当y固定在y0，而x0有增量 时，相应的函数有增量（此时称为二元函数z=f(x,y)对x的偏增量，记为 ），即 ，若极限 存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x0的偏导数，记作 。同样可以定义z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于y0的导数值。
四、高阶导数
二元函数z=f(x,y)的两个偏导数 一般仍然是x，y的二元函数，若这两个函数对x，y的偏导数仍然存在，则称为这些偏导数为z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序不同，二阶偏导数有如下几种形式：
在上述公式中要注意 是先对x求偏导数然后再对y求偏导数，而 是先对y求偏导数然后再对x求偏导数。它们正好相反，它们包
5.
分析：本题是一个三元函数的偏导数问题，在此题中我们的解题思路和上面是一样的，例如在求对x的偏导数时候，我们可以把y，z看成是常量，从而可以利用一元函数的求导法则来相应的三元函数的偏导数问题。
分析：本题和以上各题不一样之处在于f(x,y)是二元分段函数求在原点处的偏导数，此种题型的一般方法是利用定义来求，所以，在本题的讲解中要贯彻二元函数的导数的定义，所以要求学生务必对二元函数在某点的导数定义要比较熟悉。（在黑板上书写详细的解题过程）
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系1. 引言1.1 引言在数学分析中，二元函数是指具有两个自变量的函数。
研究二元函数的性质时，连续性是一个重要而基础的性质。
连续性可以从多个角度进行讨论，其中一种角度是连续偏导数的概念。
连续偏导数是指二元函数在某一点处所有偏导数都存在且连续的性质。
在实际应用中，对于连续偏导数的要求往往较高，因为它能够确保函数在某点附近有良好的局部性质。
全微分是描述二元函数在某点附近改变量的线性逼近。
全微分可以通过偏导数来表示，它提供了一种近似描述函数变化的方式，同时也体现了函数的整体性质。
二元函数的连续偏导数与全微分之间存在着密切的关系。
通过对二元函数的连续偏导数进行分析，可以推导出全微分的表达式，进而理解函数在某一点附近的变化规律。
这种关系不仅在理论分析中有重要意义，也在实际问题的求解中提供了有效的方法。
在本文中，我们将探讨二元函数的连续性、连续偏导数的定义、全微分的定义，以及二元函数连续偏导数与全微分之间的关系，以期深入理解二元函数的性质及其在实际问题中的应用。
2. 正文2.1 二元函数的连续性二元函数的连续性指的是在定义域内，当自变量发生微小变化时，函数值也只会发生微小的变化。
换句话说，函数在定义域内没有突变或断点，而是平滑地变化。
连续性是分析二元函数性质的重要基础，也是讨论函数的导数和微分的前提条件。
具体来说，二元函数在某个点处连续，意味着在这个点处该函数的极限存在且等于函数在该点的值。
也就是说，当自变量x,y 分别在该点趋近于某个值时，函数值f(x,y) 也会趋近于某个值。
如果一个二元函数在其定义域内的所有点都是连续的，那么这个函数就是二元函数的连续函数。
连续性是一个很实用的性质，可以帮助我们判断函数在某些点的表现，进而判断函数的导数和微分是否存在。
在实际问题中，我们常常需要研究二元函数的连续性，来分析函数的变化规律和性质。
当一个二元函数在某个点处连续，我们可以更方便地计算其偏导数和全微分，从而深入研究函数在该点的性质。
多元函数偏导数与全微分
多元函数偏导数与全微分多元函数的偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念。
在研究多元函数的变化率和近似值时，偏导数和全微分起着至关重要的作用。
本文将对多元函数的偏导数和全微分进行详细讨论。
1. 偏导数偏导数是指多元函数对于其中某个变量的导数，其他变量视为常数。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)，则函数f关于x的偏导数记为∂z/∂x，表示在给定y的值下，函数z对于x的变化率。
类似地，关于y的偏导数记为∂z/∂y。
对于多元函数来说，偏导数有多个，可以依次求取。
2. 偏导数的计算计算偏导数的方法与一元函数类似，将其他变量视为常数，对目标变量求导即可。
例如，对于函数z=x^2+y^2，我们分别求偏导数。
关于x的偏导数为∂z/∂x=2x，关于y的偏导数为∂z/∂y=2y。
求导的过程中，将其他变量视为常数，对目标变量进行求导计算。
3. 偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数为例，对于函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)处的偏导数∂z/∂x表示函数图像在该点处关于x轴的切线斜率，而∂z/∂y则表示关于y轴的切线斜率。
通过偏导数的计算，我们可以了解函数在不同方向上的变化率和趋势。
4. 全微分全微分是用线性逼近来描述函数值的微小变化。
对于函数z=f(x,y)，其全微分可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
这里的dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量。
全微分主要用于函数值的近似计算和误差分析。
5. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数之间存在着密切的关系。
对于二元函数而言，全微分dz可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中，∂z/∂x和∂z/∂y分别是偏导数，dx和dy是自变量的微小变化量。
可以看出，全微分dz与偏导数有着相似的表达形式，但全微分考虑了两个自变量的微小变化。
6. 全微分的应用全微分在实际问题中有着广泛的应用。
通过使用全微分，我们可以对函数值进行近似计算，从而得到函数在某一点的近似值。
多元函数中的偏导数与全微分推导
多元函数中的偏导数与全微分推导在数学中，多元函数是指依赖于多个自变量的函数。
为了研究这样的函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念。
本文将从基础概念出发，讲解多元函数中的偏导数和全微分的推导过程。
1. 偏导数的定义和性质偏导数是多元函数在某一点对某一自变量的偏导数，其他自变量保持不变。
对于二元函数 f(x,y)，它的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数的定义如下：∂f/∂x = lim(h→0) [(f(x+h,y) - f(x,y))/h]∂f/∂y = lim(k→0) [(f(x,y+k) - f(x,y))/k]在计算偏导数时，我们需要先固定其他自变量，然后对目标变量进行求导。
偏导数有以下性质：- 常数的偏导数为零；- 若函数 f 为可微分函数，则对于任意自变量，其偏导数存在。
2. 全微分的定义和性质全微分是多元函数在某一点处的线性逼近，可以用来描述函数的微小变化。
对于二元函数 f(x,y)，其全微分可以表示为df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
全微分的定义如下：df = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y)根据全微分的定义，我们可以得到以下性质：- 全微分是对函数变化的一种近似，当自变量的变化趋近于零时，全微分接近于函数的实际变化；- 若函数 f 为可微分函数，则全微分在每一点处存在。
3. 偏导数与全微分的关系偏导数与全微分之间存在一定的关系。
偏导数可以通过全微分进行计算。
对于二元函数 f(x,y)，偏导数与全微分的关系可以表示为：∂f/∂x = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy通过上述公式，我们可以将偏导数转化为全微分的形式。
在实际计算中，我们可以先计算全微分，再根据全微分的形式得到偏导数。
4. 全微分的性质全微分具有以下性质：- 全微分是函数的线性逼近；- 全微分在某一点处的值等于函数在该点局部变化的近似。
全微分的性质使得它成为研究多元函数的重要工具。
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r z. z r
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证
p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号,不能看作
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
dz z x z y． x y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
证 由全增量公式
得到对x 的偏增量
x x
x
z lim xz A x x0 x
同样可证 z B, 因此有 y
令y 0, Ax o( x )
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在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz df Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
“可微”与“连续”的关系？
定理 2 如果函数z f (x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点连续.
证 z Ax By o(), lim z 0, 0
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 7 验证函数u(x, y) ln x2 y2 满足方程
2u 2u x2 y2 0.
证 Q ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
u x
u y
x
x2
y2
,
y x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) 存在，则称此
x0
x
极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的偏导
数，记为
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
2u y2
(x2 y2) (x2
y y2 )2
2y
x2 (x2
y2 y2 )2
.
2u x 2
2u y2
0.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数
满足
方程
2u 2u 2u u x2 y2 z2 0.
变量 x的偏导函数，简称偏导数.
记作
z x
，
f x
，
zx
或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f (x, y)对自变量 y 的偏导
数，记作
z y
，
f y
，
zy
或
f
y(
x,
y)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数u f (x, y, z)在点 (x, y, z) 处
分子与分母的商 !
p V
V T
T p
RT pV
1.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
2.偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
dz
z dx x
z dy y
.
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为：
du u dx u dy u dz. x y z
lim f ( x x, y 来自) lim[ f (x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
所以函数z f (x, y)在点(x, y)处连续.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
“可微”与“偏导数存在”的关系？
定理 3（可微的必要条件） 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
三、全微分
全增量
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的某邻域 内有定义，并设P(x x, y y)为这邻域内 的任意一点，则称这两点的函数值之差
f (x x, y y) f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全 增量，记为 z ，
3z y x2
.
解
z ex2y
z 2ex2y
x
y
2z x2
e x2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y y x
2z y2
4 e x2y
3z y x2
x
(
2z ) 2e x2y y x
注意:此处 2z 2z ,但这一结论并不总成立. x y y x
即 z f (x x, y y) f (x, y)
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ) 的全增量 可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关，则称函数 f ( x, y )在点( x, y) 可微，Ax By称为函数 f ( x, y)
（2）偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数
1、偏导数的定义
定义 1 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻
域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量x
ux
(
x,
y,
z)
lim
x0
u(
x
x,
y, z) x
u( x,
y,
z)
,
uy
(
x,
y,
z)
lim
y0
u(
x,
y
y, z) y
u(
x,
y,
z)
,
uz
(
x,
y,
z)
lim
z0
u(
x,
y,
z
z) z
u(
x,
y,
z)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
问题 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那么在该区域内 yx xy 这两个二阶混合偏导数必相等．
例如, 对三元函数u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x fx (x, y) ,
z y fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x , y)
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例2 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证: x z 1 z 2z y x ln x y