杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所着的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
杨辉三角的规律公式
杨辉三角的规律公式杨辉三角，又称帕斯卡三角，是古代数学中一种重要的图形。
它的构造方法非常简单：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和。
下面我们将深入探讨杨辉三角的规律和公式。
1. 杨辉三角的构造让我们以一个简单的示例来说明杨辉三角的构造过程。
首先是第一行的唯一元素1。
然后，每一行的两端都是1，如下所示：11 1接着，根据规则，我们可以继续构造出下一行：11 11 2 1依此类推，我们可以继续构造出更多行，形成完整的杨辉三角。
2. 杨辉三角的规律杨辉三角不仅仅是一种几何图形，它还蕴含着许多有趣的规律。
其中最引人注目的规律之一就是每一行的数字都遵循一定的数学公式。
首先，每一行的数字个数是递增的，从1开始逐渐增加；其次，除了两端的数字是1之外，其他数字都是其上一行相邻两个数字之和。
这一规律可以用数学公式表示如下：考虑第n行的第k个数字，我们记为T(n, k)。
根据规律，有：T(n, k) = T(n-1, k-1) + T(n-1, k)当k等于1或n时，T(n, k)为1。
这个公式描述了杨辉三角中每个数字的生成过程。
3. 应用与拓展杨辉三角虽然看似简单，却有着丰富的应用。
在数学领域，它与组合数学和多项式有着密切的联系；在计算机科学领域，它则与动态规划等算法密切相关。
此外，杨辉三角还有不少拓展和变体。
例如，帕斯卡梯形（Pascal’s Trapezium）就是杨辉三角的一个拓展形式，每一行的元素都是由对应的斜线上的元素之和得到。
结语杨辉三角作为古代数学的经典之作，展现了数学中的奇妙规律和美丽结构。
通过对其规律和公式的探究，我们可以更深入地理解其内在的数学之美。
愿每一个探索者在这个数学的世界里都能发现属于自己的精彩之处！。
杨辉三角形的规律口诀
杨辉三角形的规律口诀
杨辉三角形的规律口诀如下：
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。
2、第n行的数所组成的数字为11n-1。
3、第n行的数字之和是2n-1。
4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。
5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。
6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。
7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。
主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
数在杨辉三角中的出现次数。
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
杨辉三角的系数规律公式
杨辉三角的系数规律公式杨辉三角，这玩意儿在数学里可有着独特的魅力。
咱们先来说说啥是杨辉三角。
它就是一个像三角形一样的数字排列组合。
从最上面的“1”开始，然后下面每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。
比如说，最上面那行是 1，第二行就是 1 1 ，第三行就是 1 2 1 ，第四行就是 1 3 3 1 ，就这么一直排下去。
那杨辉三角的系数规律公式是啥呢？其实就是二项式定理的系数嘛。
咱们就拿（a + b）² = a² + 2ab + b²来说，这里的系数 1 2 1 正好就是杨辉三角第三行的数字。
再比如（a + b）³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角第四行的数字。
我还记得我之前给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大了去了。
就比如说咱们算组合数的时候，杨辉三角就能帮上大忙。
”这杨辉三角里的数字排列可是有很多有趣的规律。
比如说每行数字的和是 2 的幂次方。
像第二行 1 1 ，和是 2；第三行 1 2 1 ，和是 4；第四行 1 3 3 1 ，和是 8 ，就这么一直下去。
还有呢，杨辉三角是左右对称的，就像照镜子一样。
而且每行中间的数字最大。
咱们在解题的时候，杨辉三角能让复杂的计算变得简单明了。
比如有个题目让咱们算从 10 个不同的球里选 3 个的组合数，要是直接去算，那可麻烦了。
但要是咱们对照着杨辉三角，一下就能找到对应的系数，轻松得出答案。
我之前碰到过一个实际问题，就是在安排座位的时候。
教室里有 5排座位，每排要安排不同数量的学生，而且要求总的安排方式要尽可能多。
这时候我就想到了杨辉三角，通过分析其中的规律，很快就找到了最优的安排方案。
总之，杨辉三角的系数规律公式虽然看起来有点神秘，但只要咱们认真去琢磨，就能发现它在数学世界里就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门，让咱们在数学的海洋里畅游得更畅快！所以啊，同学们，可别小看了这杨辉三角，好好研究它，能让你们的数学更上一层楼！。
杨辉三角的规律公式6种
杨辉三角的规律公式6种
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
数在杨辉三角中的出现次数。
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
杨辉三角的规律以及推导公式word版本
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律以及推导公式doc资料
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角
前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i个数等于第n 行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。
（公式见右图）7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
应用性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。
杨辉三角的图算与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3以此类推。
又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
222则为：11(11）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)6，…n31615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
n(3)中第2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2(n-1)。
（2的(n-1)次方）5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n。
2相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。
在他1261年所着的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。
杨辉三角的规律公式4种初中
杨辉三角的规律公式4种初中
杨辉三角，是一种有规律的数列，它同时具有非常丰富的结构和几何模型，在数学上有着独特的含义。
研究杨辉三角的四种规律公式可以帮助我们更好地理解它。
首先我们重点来讲一下杨辉三角第一规律，即第一和最后一个元素等于1。
它
体现在任一行的首尾都是1，而其他的元素由他的上两个支配并以此衍生出来，即任一行的元素都可由上一行的两个元素得出，即“用上一行的两个元素相加得到下
一行的元素”。
其次引入的是第二规律，即它的对角元素均为1，这个规律关系到了二项式定理，二项式定理推出杨辉三角形、杨辉三角也是由二项式定理推出来的。
它由真子集和虚子集进行组合组成，真子集和虚子集其实就是两条对角线。
紧接着是第三规律，即每行元素之和等于改行第一个元素的平方，这明确了杨辉三角是一种对称性物体，这表示任一行的元素之和等于首元素的平方，即p 1 = 1^2 、p 2 = 2^2 、p 3 = 3^2，以此类推。
最后一规律是任一行的元素的积为改行第一个元素的次方，即任一行的元素的乘积等于首元素的数量，即P 1 = 1^1 、P 2 = 2^2 、P 3 = 3^3，以此类推。
显然，杨辉三角是一种有特殊规律、有充分结构和几何模型的数列，它的四种规律公式使我们可以更加深入地理解它，从而在数学研究和想象上开阔视野，获得新的启发与收获。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n 次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
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杨辉三角的规律以及定理
二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
2的展开式来探讨。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121
由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。
为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1
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1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1）
（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233
(a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。
b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2)
方。
系数是杨辉三角里的系数。
、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．
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首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
1(1)
11(1+1=2)
121(1+2+1=4)
1331(1+3+3+1=8)
14641(1+4+6+4+1=16)
15101051(1+5+10+10+5+1=32)
1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)
…
相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次
杨辉三角中斜行和水平行之间的关
(1)
1(2)n=1
11(3)n=2
121(4)n=3
1331(5)n=4
14641(6)n=5
15101051n=6
1615201561
把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20
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把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
1
11
121
133
14641
15101051
1615201561
由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
(n-1)。
（2的行数字和为2(n-1)次方） n4、第n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
5 (a+b)[1]
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6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质
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