§52 线线角与线面角(教案)

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高二数学 空间角——线线角与线面角

高二数学 空间角——线线角与线面角

(2)法一 如图 1,取 PB 中点 F,连接 EF,AF,
则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC 与 AE 所成的角.
在△AEF 中,由于 EF= 2,AF= 2,
F
AE=12PC=2.
则△AEF 是等腰直角三角形,
所以∠AEF=π4.
因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
因为 PD= 22+2 22=2 3,CD=2, 所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3=2 3.
求异面直线所成的角
【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面
ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积. (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
n0=±13,-23,23.( )
(3)已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则 a∥c,a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是0,π2,
二面角的范围是[0,π].( ) (5)已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=-12,则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积. (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
规律方法
z
本题可从两个不同角度求异面直线所成的

直线与平面所成的角的教案

直线与平面所成的角的教案

直线与平面所成的角教学目标:1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质;2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角;3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点:直线与平面所成的角的定义及其性质,求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点:直线与平面所成的角的求解,将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备:直角三角形模型,平面模型,直线模型。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 引入直线与平面所成的角的概念,让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角,如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形,让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解(15分钟)1. 讲解直线与平面所成的角的定义:直线与平面相交时,直线与平面内的任意一条直线所成的角,称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质:直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法:利用直角三角形,将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析(10分钟)1. 分析实例:楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例:墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习(5分钟)1. 让学生独立完成练习题,巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展(5分钟)1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维:直线与平面所成的角在现实生活中的应用,如建筑设计、导航等。

教学反思:通过本节课的学习,学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法,并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中,要注意引导学生观察实例,培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题,提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标:1. 学会使用工具(如量角器)测量直线与平面所成的角;2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理;3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

第6节  第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
方向向量为u,平面α的法向量为n,则 sin θ=|cos<u,n>|=

|u|||
离就是在直线 l 上的投影向量的长度.因此 PQ=

·
||
=
·
||
=
| ·|
.
||
常用结论
最小角定理:cos θ=cos θ1cos θ2.
如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为
平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所
题组三 连线高考
7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( D )
√3
A.
2
√10
B.
10
3
C.
5
2
D.
5
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空
是向量a,b的夹角.( × )
3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b
的夹角的大小.( × )
4.利用||2= ·可以求空间中有向线段的长度.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正
解析 由题得,B(1,0,0),B1(1,0,2),C(0,1,0),

线和角小学数学教案

线和角小学数学教案

线和角小学数学教案
主题:线和角
年级:小学三年级
教学目标:
1. 认识线和角的基本概念;
2. 能够辨别不同类型的线和角;
3. 掌握测量角度的方法;
4. 练习使用直尺和量角器进行实际测量。

教学内容:
1. 线的定义和分类:直线、射线、线段;
2. 角的定义和分类:锐角、直角、钝角、平角;
3. 角度的测量:使用量角器进行角度的测量。

教学步骤:
1. 师生互动:让学生观察教室中不同的线和角,并讨论它们的特点;
2. 理论讲解:介绍线和角的基本概念,以及不同类型的线和角;
3. 实践练习:让学生使用直尺和量角器进行实际测量,并练习书写各种线和角的名称;
4. 拓展应用:让学生在日常生活中寻找更多线和角的例子,并尝试用数学知识描述它们。

教学反馈:
1. 观察学生在练习中的表现,及时纠正错误并表扬正确的做法;
2. 帮助学生解决可能遇到的困难,鼓励他们勇于探索和发现。

教学资源:
1. 直尺、量角器、书本或练习册等教学工具;
2. 线和角的图片或实物示例。

教学评估:
1. 每节课结束时进行小测验,检查学生对线和角的理解程度;
2. 综合考察学生在课后作业中的表现,评估他们对知识的掌握程度。

教学反思:
1. 总结每节课的教学效果,找出不足之处并加以改进;
2. 鼓励学生在日常生活中多加练习,提高对线和角的敏感度和理解力。

以上是一份关于线和角的小学数学教案范本,希望能对您有所帮助。

祝教学顺利!。

专题一:立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件

专题一:立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件
专题一:立体几何中“线线角、 线面角、面面角”的求法
知识回顾
1. 异面直线所成角; 2. 直线与平面所成角; 3. 两平面所成角.
知识点一:线线角
关键:把空间角转化成平面角 步骤:①选点平移;
②定角; ③算角(解位线平移
知识点一:线线角
变式1. 已知四面体ABCD的各棱长均 相等,E、F分别为AB、CD的中点, 求AC与EF所成角的大小.
定义:以二面角的棱上任意一点为端点,
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l
O
A
知识点三:面面角
方法:①定义法(点在棱上)
②三垂线法(点在一个平面内) 例3.在四面体ABCD中,平面ABD 平面BCD, ③射影法(找一个平面内对应的点 AB BD DA a, CD BD,DBC=30. 在另一个平面内的射影)
定义:过斜线AP上且斜足以外的一点P向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
知识点二:线面角 关键:①找垂足 ②等体积法求高
例2.如图,设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, (1)求直线AB1与平面A1B1CD所成的角; (2)求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值.
(1)求二面角A DC B的大小;
④垂面法(点在面外)
(2)求二面角A BC D的平面角的正切值.
⑤补形法
通过本节课的学习谈谈你的收获或感想:
作业:

高中数学线面角教案

高中数学线面角教案

高中数学线面角教案
教学目标:
1. 理解线面角的概念及其特点。

2. 掌握线面角的基本性质。

3. 能运用线面角的知识解决相关问题。

教学内容:
1. 线面角的定义。

2. 线面角的种类。

3. 线面角的性质及相关定理。

教学步骤:
一、导入(5分钟)
教师引入线面角的概念,以实际生活中的角度为例,让学生对线面角有一个直观的认识。

二、讲解(15分钟)
1.讲解线面角的定义及性质。

2.讲解线面角的种类,如平面角、平行线面角等。

三、练习(20分钟)
1.提供一系列练习题,让学生巩固线面角的概念和相关性质。

2.指导学生完成相关练习题,并讲解解题思路。

四、拓展(10分钟)
引导学生拓展思维,探讨线面角在其他几何问题中的应用,如平行线、相似三角形等。

五、总结(5分钟)
要求学生总结本节课所学的知识点,并提出问题和疑惑。

六、作业布置(5分钟)
布置相关作业,巩固学生所学知识,并要求学生在课后复习相关内容。

教学资源:
1. 教材内容
2. 多媒体教学PPT
3. 练习题集
教学反思:
在教学过程中,应重点讲解线面角的概念及性质,并引导学生通过实际练习题来巩固所学知识。

同时,要引导学生拓展思维,将线面角的知识与其他几何知识进行联系,以提高学生的综合应用能力。

线线角,线面角

线线角,线面角

点O可任选,一般取特殊位置,如线段的中点或端点等。
探究:
(1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直? 即a∥b,若a⊥c,则b⊥c c
ab
(2)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
下面我们来探究更一般的角的问题
平移法: 即根据定义,以“运动” 的观 点,用“平移转化”的方法,使 之成为相交直线所成的角。
O
小结归纳
2.计算直线与平面所成角采用的思想: 空间角转化为平面角
3.解题技巧: 线线角找平行
线面角找射影
小结归纳
1. 直线与平面所成角的计算步骤
























“一作” “二证” “三算”
【课外延伸】
1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的 正方形,PD⊥底面ABCD, PD=AD, E为 AB的中点。求:(1)异面直线PB与CE 所成 角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角
2
AD= ,因此cos∠ANDN=D2 NA2 AD2 30 .
2ND NA
10
5
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
异面直线所成角θ的取值范围:(0,90]

1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)

1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)

探究交流
向量与的夹角
例 7 如图 1.4-19,
ABCD 中, M,N
例 7 如图 1.4-19,在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形)
ABCD 中, M,N 分别为 BC ,AD 的中点,求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值.
夹角的余弦值.
追问1:这个问题的已知条件是什么?根据以往的经验,你打算通过什么途径将这个
=
=

3
3

×1
2
2
.
所以直线与平面所成的角正弦值等于
3
z E
A
N
B
O
M
x
C
y
D
探究交流
用空间向量求直线 与平面所成角的步骤和方法:
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与
平面的法向量的夹角
②计算cos , =


的值
③直线与平面所成的角的
立体几何问题转化成向量问题? 几何法 基底法
坐标法
解:取中点,过作⊥平面,

z E
以为原点,,,所在直线为轴、轴、轴,建立
A
如图所示的空间直角坐标系.
N
B
O
y
D
M
x
C
请同学们课后完成!
探究交流
将立体几何问题转化成向量问题的途径:
途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉
求直线与平面所成
角的正弦值.
夹角的余弦值.
3
( ,0,0),
2

向量与平面的法向量的夹角
1
(0, ,0),
2
3

线线角和线面角

线线角和线面角

线线角和线面角[重点]:确定点、斜线在平面内的射影。

[知识要点]:一、线线角1、定义:设a、b是异面直线,过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0,]3. 向量知识:对异面直线AB和CD(1);(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角;(3)二、线面角1、定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,斜线和平面所成角的范围是(0,).2、直线在平面内或直线与平面平行,它们所成角是零角;直线垂直平面它们所成角为,3、范围: [0,]。

4、射影定理:斜线长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;(3)垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理:平面的一条斜线与平面所成的角,是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

6、向量知识(法向量法)与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.[例题分析与解答]例1.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:异面直线BA1与AC所成的角.分析:利用,求出向量的夹角,再根据异面直线BA1,AC所成角的范围确定异面直线所成角.解:∵,,∴∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴∴又∴∴所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.点评:求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2.如图(1),ABCD是一直角梯形,AD⊥AB,AD//BC,AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD,PD与平面ABCD成30°角.(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示)解法一:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,∵AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,又AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,∴BE⊥PD.(2)解:设G、H分别为ED、AD的中点,连BH、HG、GB(图(1))易知,∴BH//CD.∵G、H分别为ED、AD的中点,∴HG//AE则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角,而,,,在ΔBHG中,由余弦定理,得,∴.∴异面直线AE、CD所成角的大小为.解法二:如图(2)所示建立空间直角坐标系A-xyz,则,,,,,(1)证明:∵∴∴∴(2)解:∵∴∴异面直线AE、CD所成角的大小为例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,,求BE1与DF1所成角的余弦值.解:以D为坐标原点,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为4,则D(0,0,0),B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则,∴,∵.∴∴BE1与DF1所成角的余弦值为点评:在计算和证明立体几何问题中,若能在原图中建立适当的空间直角坐标系,把图形中的点的坐标求出来,那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解,这样可以避开较为复杂的空间想象。

第五单元线和角的认识(教案)-三年级下册数学青岛版(五四学制)

第五单元线和角的认识(教案)-三年级下册数学青岛版(五四学制)

第五单元线和角的认识(教案)-三年级下册数学青岛版(五四学制)一、教学目标1.学生能够了解线的基本概念,能够用不同的方式描述线;2.学生能够认识直线、射线、线段等不同类型的线,并能够进行分类;3.学生能够理解角的基本概念,能够用不同的方式描述角;4.学生能够认识直角、锐角、钝角等不同类型的角,并能够进行分类。

二、教学内容1.线的基本概念及其分类–直线、射线、线段2.角的基本概念及其分类–直角、锐角、钝角三、教学重点1.理解线的基本概念及其分类;2.理解角的基本概念及其分类。

四、教学难点1.理解直线、射线和线段的区别;2.理解什么是直角、锐角和钝角。

五、教学方式1.通过PPT讲解线的基本概念及其分类;2.通过实物展示让学生进行观察、感知,了解线的分类;3.通过图例演示角的基本概念及其分类。

六、教学过程1. 线的基本概念及其分类(1)引入老师出示几张图片,让学生观察、比较,让学生尽可能的描述图中的线条,引导学生认识线的基本概念。

(2)概念讲解介绍直线、射线、线段的概念及其特点,通过图例演示帮助学生理解。

(3)分类讨论让学生通过观察实物及图例进行分类练习,通过小组合作的方式,让学生进行交流、比较,共同归纳出不同种类线的特点。

2. 角的基本概念及其分类(1)引入通过展示几张图,让学生描述图中的角,引导学生认识角的基本概念。

(2)概念讲解介绍直角、锐角、钝角的概念及其特点,通过图例演示帮助学生理解。

(3)分类讨论通过观察实物及图例进行分类练习,通过小组合作的方式,让学生进行交流、比较,共同归纳出不同种类角的特点。

七、教学评价1.通过小组讨论、项目演示的方式,评价学生根据线的分类特点进行分类的能力;2.通过绘制图形、判断角度大小,评价学生对于角的分类和理解的能力。

八、家庭作业针对3-5个年级学生,老师会布置不同难度的作业,巩固学生对线和角的认识。

作业内容如下:1.编写两道线的分类题目,并作答;2.绘制一个包含3种不同角的图片,并标注出每种角的类型和角度大小;3.讲述一个实事例,说明直线、射线、线段在日常生活中的应用场景。

小学数学教案线角

小学数学教案线角

小学数学教案线角
主题: 线与角
教学目标:
1. 学生能够认识线和角的基本概念。

2. 学生能够运用线和角的知识解决简单的几何问题。

3. 学生能够在实际生活中观察并描述线和角的形状。

教学内容:
1. 线的概念及表示方法。

2. 角的概念及表示方法。

3. 不同类型的角: 直角、锐角、钝角等。

教学步骤:
1. 引入:让学生观察周围环境中的线和角,引发学生对线角的兴趣。

2. 探究:通过示意图和实物模型让学生理解线和角的概念,并介绍不同类型的角。

3. 实践:让学生在纸上画出不同类型的角,并尝试测量角的大小。

4. 运用:设计一些几何问题,让学生运用所学知识解决问题。

5. 总结:回顾本节课所学内容,并强调线和角在几何问题中的重要性。

教学方式:
1. 演示讲解
2. 小组合作
3. 图像展示
4. 问题解答
教学资源:
1. 黑板、彩色粉笔
2. 笔记本、铅笔、尺子
3. 实物模型、示意图
评价方式:
1. 参与度和表现评价
2. 课堂练习成绩
3. 学生互评
教学反思:
本节课设计的内容较为基础,对于理解线和角的基本概念起到了很好的引导作用。

在未来的学习中,可以通过更丰富的实例呈现,提高学生的学习兴趣,并进一步拓展角的相关知识。

用空间向量法研究线线角和线面角

用空间向量法研究线线角和线面角

(4)判断直线和平面所成的角 θ 和〈l,n〉的关系,求出角 θ.
当堂检测:
如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,点 F1
是 A1C1 的中点,BC=CA=2,CC1=1.
(1)求异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值;
(2)求直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角.
= ,
2 2 2
π
所以 θ= ,
4
π
所以直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为 .
4
课堂小结:
作业布置:
练习册 分层精炼33
高考链接:
(2022全国甲卷)18. 在四棱锥 P-ABCD中,PD⊥ 底
面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP= .
(1)证明:BD ⊥ PA ;
n BP 3 y 3z 0
则 cos n, DP
n DP
n DP


3, 3 , DP 0,0, 3 ,
5

5
所以 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为
5
.
5
,则 l1 与 l2 所成的角
6
为( A )
π
A.
6

B.
6
π 5π
C. 或
6 6
D.以上均不对
解析 l1 与
故选 A.


π
l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线所成角的范围为0, ,
2

学以致用
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是
A1D1、A1C1的中点,求异面直线AE与CF所成角

空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路

空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路

DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下:①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊的位置上;②证明作出的角即为所求的角;③利用解三角形来求角。

简称为“作,证,求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下:〔假设线面平行,线在面,线面垂直,那么不用此法,因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角;③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作,证,求〞注:斜线和平面所成的角,是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角,即假设θ为线面角,β为斜线与平面任何一条直线所成的角,那么有θβ≤;〔这个证明,需要用到正弦函数的单调性,请跳过。

在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法:①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上;:如图,BAC∠在一个平面α,,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且=〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证:OAN OAM∠∠=〔OAN OAM∠∠=,所以AO为BAC∠的角平分线,所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明:PA=PA,PN=PM,90PNA PMA∠∠︒==PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴=①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等)= O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭==== 所以,点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

用空间向量求解线线角、线面角教学设计.

用空间向量求解线线角、线面角教学设计.

《用空间向量求解线线角、线面角》
高二数学组
孟文静
《用空间向量求解线线角、线面角》教学设计
二、 新知探究 1.求异面直线所成的角 设两异面直线m ,n 所成的角为θ(θϵ ),它们的方向向量a →,b →所成的角为φ,如下图所示,
则θ与φ存在什么数量关系?
2.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a →,平面α的法向量为n →,
所求直线与平面所成的角为θ,(θϵ ),a →与n →的夹角为φ,如下图所示,则θ与φ存在什么数量关系?
三、合作探究,问题解决
例1、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=√3,求异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.
例2、如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为√2a,求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小.
例3、在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若P A=PD=AB=DC,∠APD=90°,求AP与侧面PBC所成角的余弦值.。

线线角-线面角的向量求法

线线角-线面角的向量求法

04 向量求法在解题中的应用
解题思路
向量表示
首先,将线线角或线面角用向 量表示出来,通常是通过两个
向量的点乘或叉乘来表示。
建立方程
根据向量的性质和题目条件, 建立关于这些向量的方程。
求解方程
解方程以找到未知数,这通常 涉及到向量模长、角度等。
得出结论
根据解得的向量,计算出线线 角或线面角。
实例解析
线线角-线面角的向量求法
目录
• 引言 • 线线角的向量求法 • 线面角的向量求法 • 向量求法在解题中的应用 • 结论
01 引言
主题简介
01
02
03
线线角
两条直线之间的夹角,通 常用角度或弧度表示。
线面角
一条直线与一个平面之间 的夹角,通常用角度或弧 度表示。
向量求法
利用向量的数量积、向量 的点积等性质来求解线线 角和线面角的方法。
解题步骤 2. 根据点乘结果,确定$theta$的范围并求出其值。
问题描述:求两条直线$l_1$和$l_2$之间的线 线角,已知两直线的方向向量分别为$vec{a}$ 和$vec{b}$。
1. 计stheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$。
理论完善
深入研究向量求法的理论基础,完 善相关定理和推论,为未来的研究 提供更有力的支撑。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
向量表示法
直线向量的表示
直线的方向向量可以用两个非共线向 量的线性组合来表示。
平面向量的表示
平面的法向量可以用三个非共线向量 的线性组合来表示。
计算方法
• 公式法:利用向量的点积和叉积,可以推导出线面角的计算公式。具体公式为 cosθ=∣∣→a⋅→n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→ a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅ →n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n| → | → | → | → | → | → |→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→| →|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→ | → | →| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT|| · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || ·||

经典导学案——立体几何向量法求线线角与线面角

经典导学案——立体几何向量法求线线角与线面角

§3.2立体几何中的向量方法(4)向量法求线线角与线面角一、学习目标1.理解直线与平面所成角的概念.2.掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法.二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角?它的范围是什么?怎样用定义法求它的大小? 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ, 则〈a ,b 〉与θ ,cos θ= 。

问题3:用向量的数量积可以求异面直线所成的角,能否求线面角?如图,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,θ=〈a ,n 〉, 则sin φ= 。

三、例题探究例1.如图,M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点.求异面直线MN 与'CD 所成的角.变式:在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AB =AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点,Q 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )A .30°B .45°C .60°D .90°例2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.变式:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,P A⊥底面ABCD,且P A=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练(时间:5分钟)1. 1.若平面α的法向量为μ,直线l 的方向向量为v , 直线l 与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是 ( ) A .cos θ=μ·v |μ||v| B .cos θ=|μ·v||μ||υ| C .sin θ=μ·v |μ||v| D .sin θ=|μ·v||μ||v|2.如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1=D 1F 1=411B A , 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A .1715 B .21 C .178D .233.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等,则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( ) A .54 B .104 C .52 D .1024.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =4,CC 1=2,则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( ) A.32 B.52 C.105 D.10105.正四棱锥S —ABCD ,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO =OD ,则直线BC 与平面P AC 所成的角为 .ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法(4)向量法求线线角与线面角一、学习目标1.理解直线与平面所成角的概念.2.掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法. 用向量方法求空间中的角 角的分类 向量求法范围异面直线 所成的角设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a ,b , 则cos θ= |cos 〈a ,b 〉| = . |a·b ||a |·|b |(0,π2]直线与平面所成的角 设直线l 与平面α所成的角为θ,l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,则sin θ=|cos |〈a ,n 〉= . |a·n ||a ||n |[0,π2]二面角设二面角α—l —β的平面角为θ,平面α、β的法向量为n 1,n 2,则|cos θ|=|cos 〈n 1,n 1〉|=|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.[0,π]设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ,则〈a ,b 〉与θ相等或互补,∴cos θ=|a ·b ||a |·|b |.2.求直线与平面所成的角如图,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,θ=〈a ,n 〉,则sin φ=|cos θ|=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n ||a ||n |.二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角?它的范围是什么?怎样用定义法求它的大小? 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设l 1与l 2是两异面直线,a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量,l 1、l 2所成的角为θ, 则〈a ,b 〉与θ ,cos θ= 。

线线角线面角学习教材PPT课件

线线角线面角学习教材PPT课件

C A D
B
热点题型2: 直线与平面所成角
C1 A1 F A C B
E B1
热点题型3: 立体几何中的探索问题
如图,在四棱锥P—ABCD,底面ABCD为矩 形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB= 3,BC=1, PA=2,E为PD的中点 (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面PAB P 内找一点N,使NE⊥ 面PAC,并求出N E 点到AB和AP的距离 C D
D
A
O B
C
课堂小结
(1)高考基本内容:向量的概念、向量的 几何表示、向量的加减法、实数与向 量的积、两个向量共线的充要条件、 向量的坐标运算以及平面向量的数量 积及其几何意义、平面两点间的距离 公式、线段的定比分点坐标公式和向 量的平移公式。 (2)高考热点: 平面向量的数量积及坐标运算; 平面向量在三角,解析几何等应用
A B
热点题型4: 立体几何与转化的思想
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC= kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面 ABC. 1 ( Ⅰ ) 当 k= 时,求直线PA与平面PBC所成角的 2 大小; (Ⅱ) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好 P 为△PBC的重心?
知识整合: 1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
热点题型1: 异面直线所成角
C1 A1
B1
课时考点15
线线角与线面角

高考考纲透析: 线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成 角,直线与平面所成角 高考热点: 异面直线所成角,直线与平面所成角 知识整合: 1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平 面所成的角转化为平面角,然后解三角形;
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B
1
D
1
A D
C
1
B
C
A
1
§线线角与线面角(教案)
一、复习目标
1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法.
2.理解直线与平面所成角的概念,并掌握求线面角常用方法.
3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”
的思想方法.
二、课前预习
1.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=3,AD、BC所成的角
为.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο,则异面直线B1C 和C1D所成角的余弦值为( )
(A).
4
6
(B).
3
6
(C).
6
2
(D).
6
3
3.平面α与直线a所成的角为
3
π
,则直线a与平面α内所有直线所成的角的取值范围是.
4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为
( )
(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο
5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上,
当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值
是.
三、典型例题
例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF 所成角的余弦值.
备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:
①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线
或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容
易发现两条异面直线的关系.
2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过
程,还要有合理的步骤.
A
C
B
D
B
P
C
D
A
C
B
F E
例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角.
备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在
此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作
平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂
直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊
位置.
例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC=a2. (1)若D 为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明:EF⊥FC1; (2)试问:若AB=a2,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.
备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.
A
D
C
1
D
1
A
1
B
1
C
B
A
1
C
B
A
B
1
D
C
1
E
F
α
四、反馈练习
1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则( )
(A)A=B=C (B)A=B⊂C (C)A⊂B⊂C (D) B⊂A⊂C.
2两条直线a,b与平面α所成的角相等,则直线a,b的位置关系是( )
(A)平行(B)相交(C)异面(D) 以上均有可能.
3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AA1和BB1的中点,则直线CM和D1N所成角的正弦值为.
4已知a、b是一对异面直线,且a、b成60o角,则在过空间任意点P的所有直线中,与a、b均成60o角的直线有条.
5异面直线a、b互相垂直,c与a成30o角,则c与b所成角的范围是 .
6∠ACB=90ο在平面α内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面α所成的角为.
7设线段AB=a,AB在平面α内,CA⊥α,BD与α成30ο角,BD⊥AB,C、D在α同侧,CA=BD=b.
求: (1)CD的长;
(2)CD与平面α所成角正弦值.
A
C
D
B
课前预习 1. 60
ο
2.A
3. [
3
π,
2
π
] 4.C 5.
4
6 典型例题
例1解:∵CB ∥AD
∴∠CBF 为异面直线AD 与BF 所成的角. 连接CF 、CE
设正方形ABCD 的边长为α,则BF=a 2 ∵CB ⊥AB, EB ⊥AB
∴∠CEB 为平面ABCD 与平面ABEF 所成的角
∴∠CBE=∠60
ο
∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=
4
2
例2解:(1)设所求的角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1,则sin α=sin ∠OC 1B=
1BC OB =2
1
.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1-A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H
⊥平面A 1BC 1,连A 1H, ∠B 1A 1H 是直线A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.设A 1B 1=a 则A 1B =a 2得A 1H =
a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角为3
6
arccos
例3解:(1)连接OF ,容易证明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB 的射影,且DF ⊥FC 1,
∴FC 1⊥EF.
(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο
,则ED =DF ·tan 60ο
=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,
∴AD=a 3.∵a 15>a 3.
∴E 在DA 的延长线上,而不在线段AD 上;故线段AD 上的E 点不可能使EF 与平面BB 1C 1C
成60ο
角.
反馈练习
1. D
2. D
3.
9
54 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο
7.解:(1)作DD '⊥α于D ',连接AD ',BD '.CA ⊥α,∴CA ∥DD '.四边形CAD 'D 是直角
梯形,∠CAD '=∠D D 'A =90ο
,AB α⊂,AB ⊥DD '.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ',BD '⊂平面BDD '.∴AB ⊥BD '.∵∠DBD '是BD 与α所成的角,∴∠DBD '=30ο
,BD =b ,DD '=
2
b
,BD '=23b .在△ABD '中,AB=a ,BD '=23b ,∠ABD '=90ο,∴AD '=22'BD AB +=4
322b a +.在CAD 'D 中,CD=
222'2')(b a D D AC AD +=-+.
(2)作D 'C '∥DC 交CA 于C ',∠C 'D 'A 是CD 与α所成的角,
sin
∠C '
D

A=22'2''b
a b
D C AC +=
.。

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