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2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形7正弦定理余弦定理练习含解析

正弦定理、余弦定理考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cosC2；cosA ＋B2＝sin C2. (5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 C解析因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝. 答案 45°解析由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝. 答案7 332解析易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b ;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C . (1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a . 解 (1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ，可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13，所以∠ADB ＋∠ADC ＝π，则cos∠ADB ＋cos∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ，所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44，解得b ＝6或b ＝－8(舍)，因此a 2＝2b 2－44＝28，所以a ＝27.思维升华解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1 (2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解 (1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ， ∴sin2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3， ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， ∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得 c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在；若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sinπ6＝R ， c ＝2R sin2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23，解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为232＋12－2×23×1×cosπ6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos 2π3＝3＋34＋3×32＝212. 题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 三角形形状判断例2 在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2 B 2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B2，即cos B ＝ac.方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin Asin C ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c ＝sin 2 B 2”改为“sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝a c，所以b ＝c . 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2 三角形的面积例3 (2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sinB ＝c sinC ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2，由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ，得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1，故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34. 选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在．选择③：因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2，所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tanπ6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3 与平面几何有关的问题例4 如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114. (2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714. ∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49. ∴CD ＝7. 教师备选1．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π3，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝c 2＋b 2－a22bc ，∴b 2＝a 2，即b ＝a ，又C ＝π3，故三角形为等边三角形．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －c cos(B ＋C )＝－b3cos A ＋B .(1)求tan C ；(2)若c ＝3，sin A sin B ＝1627，求△ABC 的面积．解 (1)∵a cos C －c cos(B ＋C ) ＝－b3cos A ＋B ，∴a cos C ＋c cos A ＝b3cos C.由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B3cos C ，∴sin(A ＋C )＝sin B3cos C ，即sin B ＝sin B3cos C ，又∵sin B ≠0， ∴cos C ＝13，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， tan C ＝sin Ccos C ＝2 2.(2)若c ＝3，由正弦定理asin A ＝bsin B ＝csin C，得asin A ＝b sin B ＝3223＝924，则a ＝924sin A ，b ＝924sin B ，则ab ＝924sin A ·924sin B ＝16216sin A sin B＝16216×1627＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×223＝2 2.思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练 2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝ (2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 D解析因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB 为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解 ①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去；当BD ＝8时，cos∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin∠BAD ＝8521，又sin∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin∠ADB cos∠BAD －cos∠ADB sin∠BAD＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ADsin C ，即CD ＝ADsin C ·sin∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于() A.π2 B.π3C.π4D.π6答案 C 解析根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4. 2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于( ) A.35 B.31 C ．6D ．5答案 B解析因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12，解得c ＝31.3．(2022·济南质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos2A ＝－725，则△ABC 外接圆半径为( ) A ．5B ．3C.52D.32答案 C解析因为cos2A ＝－725，所以1－2sin 2A ＝－725，解得sin A ＝±45，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5，所以R ＝52. 4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 B解析 ∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ， ∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 5．(多选)(2022·山东多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( )A ．cos∠BAC ＝－66 B ．S △ABC ＝3 5 C ．BE ＝2D ．AD ＝ 5答案 AD解析由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25；C 项，由角平分线性质可知AEEC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝152，∴BE ＝302；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝ 5.6．(多选)(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形答案 ABD解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， ∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由于B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·潍坊质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为．答案 1534解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3， ∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534. 8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案 2 2解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ，又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝ 3. 10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos∠CAD ＝32，求△ABC 的面积．解 (1)∵cos∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos∠ADC ＝－17. 在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin∠ADC ＝437，sin∠CAD ＝12， ∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314. 由正弦定理得CD ＝AD sin∠CAD sin C ＝7×121314＝4913， ∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝(a＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( ) A ．1B ．－22C.22D.32 答案 C解析因为S ＝12ab sin C ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22. 12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于( )A.1314B.1114C.12D ．－12答案 B解析因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A ·sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，又a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，即a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－c 2＝－ab ，a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，c ＝7.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32＋72－522×3×7＝1114. 13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为．答案 1或5解析因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32， AC ＝35，由正弦定理可得AC sin B ＝AB sin∠ACB，所以sin∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55，又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD 互余，因此cos∠ACD ＝sin∠ACB ＝55，在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD，所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD ＝1或CD ＝5.14．(2022·大连模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为．答案 9 3 解析在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积 S ＝12BC ·AC sin30°＋12CD ·AC sin30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．(多选)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222(S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶si n B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为4213D ．△ABC 的中线CD 的长为3 2答案 AB解析 A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t 2×4t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7t 2＋4t 2－9t 222，解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213， R ＝2213， C 错误；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝18，所以C 为锐角，则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此， S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574. (2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a ＋12－a ＋222a a ＋1＝a 2－2a －32a a ＋1<0，则0<a <3，由三角形三边关系可得a ＋a ＋1>a ＋2，可得a >1，因为a ∈N *，故a ＝2.。

【试题】高考理科数学第一轮专题三角函数与解三角形测试题参考答案

【关键字】试题高考理科数学第一轮专题《三角函数与解三角形》测试题&参考答案尝试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·长春质检]已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cosα＝( )A. B.C. D.答案C解析由三角函数定义sinα＝，cosα＝，故sin2α＋cosα＝2sinαcosα＋cosα＝.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f(x)＝sin(x∈R)，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象( )A．向左平移个单位 B.向右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位答案A解析∵f(x)＝sin可变形为f(x)＝cos＝cos，∴平移函数g(x)＝cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f(x)的图象．为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象向左平移个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A．1 B.2 C．3 D.4答案A解析设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)的一个对称中心坐标是( )A. B.C. D.答案A解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)的对称中心为，故选A.5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝，则tan＝( )A. B.－C. D.－答案B解析解法一：因为sinα＋cosα＝，α是第四象限角，所以sinα＝－，cosα＝，则tan＝＝＝＝－.解法二：因为α是第四象限角，sinα＋cosα＝，则cosα＝，是第二、四象限角，tan＝－＝－＝－＝－＝－.6.[2016·安庆二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<，如图所示，则f(x)的递增区间为( )A.，k ∈ZB.，k ∈ZC.，k ∈ZD.，k ∈Z 答案 B解析解法一：由图象可知A ＝2，T ＝－＝，所以T ＝π，故ω＝2.由f ＝－2，得φ＝2k π－(k ∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝－. 所以f(x)＝2sin. 由2x －∈(k ∈Z)，得x ∈(k ∈Z)．解法二：T ＝－＝，所以T ＝π，－＝－＝－，＋＝＋＝，所以f(x)的递增区间是(k ∈Z)．7．[2016·北京高考]将函数y ＝sin 图象上的点P 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D.t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B.cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＋2cos2α＝0 D.cos2β＝2cos2α答案 D解析 sin θ＋cos θ＝2sin α⇒1＋sin2θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2017·辽宁抚顺模拟]将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6 B.35π6 C.49π12 D.17π4答案 C解析由题意可得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 2－x 1)max ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝49π12，故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32B.－22 C ．－24 D.－34答案 C解析设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2016·河北百校联盟联考]已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0有6个根答案 C解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A 、B 项正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．12．[2016·长春质检]在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B.直角三角形C ．等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D解析如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝AD sin B ＝BD cos C ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.答案2＋1解析由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝________. 答案 79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－3π2 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.15．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C 、F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A 、E 、G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案 1255解析如图，由题意BC ＝DE ＝5步，设AH ＝h 步，BF ＝123步，DG ＝127步，BC AH ＝BF HF ，HF ＝123h5步，同理HG ＝127h5步，由题意得(HG －DG )－(HF －BF )＝1000步，即127h 5－123h5－4＝1000，h ＝1255.16．[2017·江西九江十校联考]已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝30°，a ＝1，D 为BC 的中点，则|AD →|2的最大值为________．答案43＋74解析 AD →＝12(AB →＋AC →)，|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos A ) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2＋2cb 32＝14(b 2＋c 2＋3bc )．根据余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又a ＝1，得b 2＋c 2－1＝3bc ，故b 2＋c 2＝3bc ＋1，由b 2＋c 2＝3bc ＋1≥2bc ，得bc ≤2＋3，|AD →|2＝14(23bc ＋1)≤14(43＋7)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.(2分)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z . ∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.(4分)由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(5分) (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示． (10分)18．[2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A2＋()cos B －3sin B cos C ＝1. (1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .解 (1)2cos 2A2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1，故cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(2分)则－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(4分) 展开得：sin B sin C －3sin B cos C ＝0，∵sin B ≠0，即tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，C ＝π3.(6分) (2)三角形面积为12ab sin π3＝3，故ab ＝4.(8分)由余弦定理得4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以a ＋b ＝4，(10分) 故a ＝b ＝2.(12分)19．[2016·四川高考](本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解 (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .(2分)代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．(4分)在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(6分)(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.因为A ∈(0，π)，(9分) 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，(11分) 故tan B ＝sin Bcos B ＝4.(12分)20．[2017·河北武邑二调](本小题满分12分)某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( A >0,0<ω<1，|φ|<π2 )，x ∈[0,3]的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝120°.(1)求A ，ω，φ的值；(2)若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．解 (1)由已知A ＝2，(1分)且有2sin(ω·0＋φ)＝3，即sin φ＝32，由|φ|<π2，得φ＝π3.(3分) 又∵最高点为(1,2)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＋π3＝2，解得ω＝π6，(5分)∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(6分) (2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式，得y B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋π3＝1， ∴BD ＝12＋(4－3)2＝ 2.(8分)在△BCD 中，设∠CBD ＝θ，则∠BDC ＝180°－120°－θ＝60°－θ.由正弦定理，有BD sin120°＝CD sinθ＝BC sin (60°－θ)， ∴CD ＝263sin θ，BC ＝263sin(60°－θ)，(9分)∴BC ＋CD ＝263[sin θ＋sin(60°－θ)] ＝263⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋32cos θ－12sin θ ＝263sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴当且仅当θ＝π6时，折线段BCD 最长，最长为263千米．(12分)21．[2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝22，AC＝2，且cos(A ＋B )＝－22.(1)求AB 的长度；(2)若f (x )＝sin(2x ＋C )，求y ＝f (x )与直线y ＝32相邻交点间的最小距离．解 (1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝22，∴C ＝45°.(2分)∵BC ＝22，AC ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝(22)2＋22－82cos45°＝4， ∴AB ＝2.(4分) (2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝32，解得2x ＋π4＝2k π＋π3或2x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ，(6分)解得x 1＝k 1π＋π24或x 2＝k 2π＋5π24，k 1，k 2∈Z .(8分)因为|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(k 2－k 1)π＋π6≥π6，当k 1＝k 2时取等号，(10分)所以当f (x )＝32时，相邻两交点间最小的距离为π6.(12分)22.[2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．解 (1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC. 因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32.(2分)又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.(4分)于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°.(6分)(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x .于是sin B＝ACBC＝33，cos B＝63，AB＝6x.(8分)在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，即(22)2＝6x2＋4x2－2×6x×2x×63＝2x2，(10分)得x＝2.故DC＝2.(12分)此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

三角函数测试题及答案

三角函数测试题及答案# 三角函数测试题及答案## 一、选择题1. 题目：在直角三角形中，若角A的正弦值等于1/2，那么角A的余弦值是多少？- A. √3/2- B. 1/√2- C. -1/2- D. 1/2答案： A2. 题目：已知sin(θ) = 0.6，求cos(θ)的值（假设θ在第一象限）。

- A. 0.8- B. 0.5- C. 0.4- D. 0.2答案： A3. 题目：以下哪个表达式是正确的？- A. tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)- B. sin(θ) = cos(θ)- C. cos(θ) = 1 / tan(θ)- D. sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1答案： D## 二、填空题4. 已知一个角的正弦值为0.8，其对应的余弦值是____。

答案：±0.65. 一个角的正切值为2，那么其正弦值与余弦值的比值为____。

答案： 26. 根据三角函数的周期性，sin(360° + θ) = ____。

答案：sin(θ)## 三、简答题7. 解释正弦函数的周期性，并给出一个例子。

答案：正弦函数是周期函数，其周期为360°或2π弧度。

这意味着每隔360°，正弦函数的值会重复。

例如，sin(0°) = 0，sin(360°) = 0，sin(720°) = 0，以此类推。

8. 已知sin(α) = 3/5，cos(α) = 4/5，求tan(α)的值。

答案：tan(α) = sin(α) / cos(α) = (3/5) / (4/5) = 3/4## 四、计算题9. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC的长度。

答案：根据勾股定理，BC = √(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - 6^2) =√(100 - 36) = √64 = 8。

10. 已知sin(θ) = √3 / 2，求θ的度数（假设θ在第一象限）。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ，即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于．解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

高三一轮复习三角函数专题及答案解析

三角函数典型习题 1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++C B A . （I ）试判断△ABC 的形状;（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)(Ⅱ)4．在∆(1)求(2)若5（1（26(I)(II)若7(Ⅰ)(Ⅱ)当0,2x ∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.8．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡答案解析1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭===22∴C II.163∴ (Ⅱ)∵由(Ⅰ)∵C 2∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A = 由正弦定理得:sin sin AB BC C A= ∴BC ==8【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△∴△②4=a 2∴∵△∴△42sin (2)a 2+故S 5π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 6【解析】:(I)由已知得3sin 3sin 222A A a c b ⇒=⋅-+(II)而b 又S 所以7 =所以(Ⅱ)1-所以此时444428。

2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）tan 45︒的值等于（）A ．2B ．1C D 2. （陕西省2022年（A 卷））如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（）A ．sin ABBCα=B ．sin BCABα=C ．sin ABACα=D ．sin ACABα=4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（）A B ．C ．13D ．35. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos ∠APC 的值为（）A B ．C ．25D 6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（）A ．13B ．12C D 7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ，连接PO 并延长与O 交于点C 、D ，若12CD =，8PA =，则sin ADB ∠的值为（）A ．45 B ．35C ．34D ．438. （云南省2022年）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是OO 的弦，AB ⟂CD ．垂足为E ．若AB =26，CD =24，则∠OCE 的余弦值为（）A ．713B ．1213C ．712D ．13129. （湖南省湘潭市2022年）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（）A ．2B ．32C ．12D 10. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共12小题） 11. （广东省2022年）sin30°的值为．12. （山东省滨州市2022年）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A = . 13. （江苏省扬州市2022年）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为．14. （湖南省益阳市2022年）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则cos B ＝_____．15. （江苏省常州市2022年）如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠= ．16. （四川省凉山州2022年）如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点O 反射后照射到B 点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝12，则tanα的值为．17. （黑龙江省绥化市2022年）定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，()sin 4530︒+︒=12=，则sin15︒的值为． 18. （江苏省连云港市2022年）如图，在66⨯正方形网格中，ABC 的顶点A 、B 、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A = ．19. （山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2021-2022学年）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠= ．20. （广西河池市2022年）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝．21. （四川省凉山州2022年）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是．22. （湖南省湘西州2022年中考数学试卷）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A b 2＝a 2＋c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2＋b 2﹣2ab cos C现已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠A ＝60°，则BC ＝_____．三、解答题（本大题共9小题）23. （湖南省湘西州20222tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．24. （2022年西藏中考数学真题试卷）计算：01|()tan 452+︒．25. （湖南省岳阳市2022年）计算：2022032tan 45(1))π--︒+--．26. （湖南省株洲市2022年）计算：()202212sin 30-︒．27. （2022年四川省乐山市中考数学真题）1sin 302-︒28. （湖南省常德市2022年中考数学试题）计算：213sin 30452-︒︒⎛⎫- ⎪⎝⎭29. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3．求AC 的长和sin A 的值．30. （黑龙江省哈尔滨市2022年）先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭的值，其中2cos451x =︒+．31. （黑龙江省哈尔滨市2021年）先化简，再求代数式2323111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭的值，其中2sin 451a =︒-．参考答案1. 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图：∴∠B =90°-45°=45°，∴△ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∴根据正切定义，tan 1BCA AC∠==， ∵∠A =45°， ∴tan 451︒=，故选 B ． 2. 【答案】D 【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ．【详解】解：∵26BD CD ==， ∴3CD =，∵直角ADC 中，tan 2C ∠=， ∴tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，∴直角ABD △中，由勾股定理可得，AB === 故选D ． 3. 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．【详解】∵BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形， ∵∠ABC =α， ∴sin ACABα=，故选：D ． 4. 【答案】C 【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°，又∵OP AB ∥，则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形， ∴OA =OB ，设OC =x ，则OB =2OC =2x ，则OB =OA =3x ， ∴tan 133OC x OAP OA x ∠===． 5. 【答案】B 【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∥AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos ∠APC ＝cos ∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∥AB ， ∴∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC 5DE ==， ∴22252025EC DC DE +=+==， ∴DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∴cos ∠APC ＝cos ∠EDC＝DC DE =故选：B ． 6. 【答案】C 【分析】证明四边形ADBC 为菱形，求得∠ABC =30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：连接AD ，如图：∵网格是有一个角60°为菱形，∴△AOD 、△BCE 、△BCD 、△ACD 都是等边三角形， ∴AD = BD = BC = AC ，∴四边形ADBC 为菱形，且∠DBC =60°， ∴∠ABD =∠ABC =30°， ∴tan ∠ABC = tan30°= 故选：C ． 7. 【答案】A 【分析】连结OA ，根据切线长的性质得出PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ，再证△APD ≌△BPD （SAS ），然后证明∠AOP =∠ADP +∠OAD =∠ADP +∠BDP =∠ADB ，利用勾股定理求出OP=10=，最后利用三角函数定义计算即可．【详解】解：连结OA∵PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ， ∴PA =PB ，OP 平分∠APB ，OP ⊥AP ， ∴∠APD =∠BPD ，在△APD 和△BPD 中， AP BPAPD BPD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP10=，∴sin∠ADB=84105 APOP==．故选A．8. 【答案】B 【分析】先根据垂径定理求出12CE CD=，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CE CD OEC==∠=︒，OC=12AB=13，∴12 cos13CEOCEOC∠==．故选：B．9. 【答案】A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tanα的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2，故选：A ．10. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽ ∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC ，若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B11. 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12．故答案为：1212. 【答案】1213 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AC =5，BC =12，∴AB=13，∴sin A =1213BC AB =．故答案为：1213．13. 【详解】解：如图所示：在Rt ABC 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =，22a ac c ∴+=，0a >， 0b >，0c >，2222a ac c c c +∴=，即：21a a c c⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出a c =或a c =∴在Rt ABC 中：in s a c A ==，故答案为： 14. 【答案】45 【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sin A ＝BC AB ＝45， ∴cos B ＝BC AB ＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．15. 【分析】过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD =【详解】解：过点D 作BC 的垂线交于E ，90DEB ∴∠=︒90A ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，//,1DE AB AD BE ∴==，ABD BDE ∴∠=∠， BD 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，//AD BE ，ADB CBD ∴∠=∠，∴∠CDB =∠CBD3CD CB ∴==，1AD BE ==，2CE =∴，DE ∴BD ∴sinBE BDE BD ∴∠==，sin ABD ∴∠=故答案为：16. 【答案】43【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得,A B αβ∠=∠=，从而可得A B ∠=∠，再根据相似三角形的判定证出AOC BOD △△，根据相似三角形的性质可得OC 的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：OP CD ⊥，AC CD ⊥，AC OP ∴，A α∴∠=，同理可得：B β∠=，αβ=，A B ∴∠=∠，在AOC △和BOD 中，90A B ACO BDO ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， AOCBOD ∴， OC AC OD BD∴=， 3,6,12,AC BD CD OD CD OC ====-，1236OC OC ∴-=，解得4OC =，经检验，4OC =是所列分式方程的解，则4tan tan 3OC A AC α===，故答案为：43．17. 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒=sin 45cos30cos45sin30︒︒︒︒-=12==故答案为： 18. 【答案】45 【分析】如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，先求出CE ，AE 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由题意得43CE AE ==，，∴5AC =， ∴4sin =5CE A AC =，故答案为：45．19. 【答案】725【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE 5=，BC=AD=8，证得Rt △EGF ~Rt △EAG ，求得253EA =，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解．【详解】矩形ABCD 中，GC=4，CE =3，∠C=90︒，∴5==，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90︒，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180︒，∴∠AGE=90︒，∴Rt△EGF~Rt△EAG，∴EG EFEA EG=，即535EA=，∴253 EA=，∴73 =，∴773sin DAE25253DEAE∠===，故答案为：725．20. 【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出OA OB=△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22AF AD BE BC==，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴12AF BE AD==，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD=2AB，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG ≌△BEH （SAS ），∴∠BAG =∠EBH ，∴∠BAG +∠ABO =∠EBH +∠ABO =∠ABG =90°， ∴∠AOB =90°，∵BG ＝EH ＝25BE ＝2， ∴BE =5，∴AF =5，∴AG =∵∠OAB =∠BAG ，∠AOB =∠ABG ， ∴△AOB ∽△ABG ， ∴OA OB AB AB BG AG ==，即52OA OB ==∴OA OB ==， ∵OM ⊥ON ，∴∠MON =90°=∠AOB ，∴∠BOM =∠AON ，∵∠BAG +∠FAG =90°，∠ABO +∠EBH =90°，∠BAG =∠EBH ， ∴∠OBM =∠OAN ，∴△OBM ～△OAN ， ∴OB BM OA AN=， ∵点N 是AF 的中点， ∴1522AN AF ==，∴52BM =，解得：BM =1， ∴AM =AB -BM =4， ∴552tan 48AN AMN AM ∠===．故答案为：5821. 【分析】取AB 中点D ，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，由垂径定理得OD ⊥AB ，则OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==，再证∠ACB =∠DOB ，即可解．【详解】解：取AB 中点D ，如图，由图可知，AB =6，AD =BD =3，OD =2，∴OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∴OB ==cos ∠DOB =13OD OB ==， ∵OA =OB ，∴∠BOD =12∠AOB ，∵∠ACB =12∠AOB ，∴∠ACB =∠DOB ，∴cos ∠ACB = cos ∠DOB =故答案为：22. 【分析】从阅读可得：BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB AC cos A ，将数值代入求得结果．【详解】解：由题意可得，BC 2＝AB 2＋AC 2﹣2AB •AC •cos A＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC故答案为：【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．23. 【答案】6【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，再合并即可．【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．24. 【答案】2【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．【详解】解：01|()tan 452+︒11-2=【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键． 25. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．【详解】解：2022032tan 45(1))π--︒+--32111=-⨯+-3211=-+-1=．26. 【答案】3【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．【详解】解：()2022112sin 3013213132-︒=+-⨯=+-=． 27. 【答案】3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】解：原式113322=+-=． 28. 【答案】1【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝1142-⨯+1=．29. 【答案】AC =4，sin A =35 【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴4AC ．3sin 5BC A AB ==．30. 【答案】11x -，2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x ，继而代入计算可得．【详解】解：原式22131(1)(1)2x x x x x ⎡⎤---=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2(1)(3)1(1)2x x x x ----=⋅- 221(1)2x x -=⋅-11x =-∵2112x =⨯+=∴原式==31. 【答案】11a +，【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值，即可求解．【详解】解：原式=223(1)23111a a a a a a ++-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=33231(1)(1)a a a a a a +---⋅+- =1(1)(1)a a a a a -⋅+- =11a +，当2sin 451a =︒-=21=1时，原时。

(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形6函数y=Asinωx φ练习含解析

函数y＝A sin(ωx＋φ)考试要求 1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( √ ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( × )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( √ )教材改编题1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，只要把y ＝sin3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 C2．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案 D3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，A >0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2k π，k ∈Z ，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14].题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )等于( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 答案 B解析依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．(2)(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π3答案 C解析 y ＝sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由题意知2φ－π2＝π6＋2k π(k ∈Z )，则φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又0≤φ<π2，所以φ＝π3.教师备选1．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 D解析函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6，所以只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．2．(2020·江苏)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________．答案 x ＝－5π24解析将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近．思维升华 (1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练 1 (1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值C ．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象D ．把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象答案 AC解析 T ＝2π1＝2π，故A 正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故B 错误．y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――――――――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故C 正确．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的――――――――――――――――――――――――――――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫13x ＋π3的图象，故D错误．(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 D解析将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，故π6为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期，即2k πω＝π6(k ∈N *)，则ω＝12k (k ∈N *)，故当k ＝1时，ω取得最小值12.题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的大致图象如图所示，将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3k π，3k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π，3k π＋3π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋3k π，5π4＋3k π(k ∈Z ) 答案 C 解析依题意，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝－1，故f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4，故T ＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝1，故π6＋φ＝2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1；将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1，再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3－π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.答案－ 3解析由题意可得，34T ＝13π12－π3＝3π4，∴T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝13π12时，ωx ＋φ＝2×13π12＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－136π(k ∈Z )．令k ＝1可得φ＝－π6，据此有f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝2cos 5π6＝－ 3.教师备选1．(2022·天津中学月考)把函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象，已知函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案 D解析先根据函数图象求函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，由振幅可得A ＝1，显然T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，再由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由|φ|<π2可得φ＝－π6，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，反向移动先向左平移π4个单位长度可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.答案－ 3解析由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3.思维升华确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析由图象知π<T <2π，即π<2π|ω|<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1<|ω|<2，故k ＝－1，得ω＝32，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y ＝g (x )的图象，至少要将函数y ＝f (x )的图象向右平移________个单位长度．答案π86 解析由图象可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2×[6－(－2)]＝16， ∴ω＝2π16＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋φ，由于函数f (x )的图象过点(－2,0)且在x ＝－2附近单调递增， ∴－2×π8＋φ＝2k π(k ∈Z )，可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋π4，假设将函数f (x )的图象向右平移t 个单位长度可得到偶函数g (x )的图象，且g (x )＝f (x －t )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －πt 8＋π4，∴－πt 8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得t ＝－2－8k (k ∈Z )，∵t >0，当k ＝－1时，t 取最小值6.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合应用例3 (2022·衡阳模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数g (x )为偶函数，则f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 D解析依题意可得ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，所以f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又函数g (x )为偶函数，所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴为x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，排除A ，C ，由2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，则f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，排除B ，当k ＝1时，－π12＋π2＝5π12，故D 正确．命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是_____．答案 [－2,1)解析同例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当t ＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )A ．摩天轮离地面最近的距离为4米B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则h ＝－60cosπ15t ＋68 C ．若在t 1，t 2时刻，游客距离地面的高度相等，则t 1＋t 2的最小值为30 D ．∃t 1，t 2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米答案 BC解析由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A 不正确；t 分钟后，转过的角度为π15t ，则h ＝60－60cosπ15t ＋8＝－60cos π15t ＋68，故B 正确； h ＝－60cosπ15t ＋68，周期为2ππ15＝30，由余弦型函数的性质可知，若t 1＋t 2取最小值，则t 1，t 2∈[0,30]，又高度相等，则t 1，t 2关于t ＝15对称，则t 1＋t 22＝15，则t 1＋t 2＝30，故C 正确；令0≤π15t ≤π，解得0≤t ≤15，令π≤π15t ≤2π，解得15≤t ≤30，则h 在t ∈[0,15]上单调递增，在t ∈[15,20]上单调递减，当t ＝15时，h max ＝128，当t ＝20时，h ＝－60cosπ15×20＋68＝98>90，所以h ＝90在t ∈[0,20]只有一个解，故D 不正确．教师备选(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时，则( )A ．点P 第一次到达最高点需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动50秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h (米)与t (秒)的函数解析式为h ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π3＋2答案 ABC解析设点P 距离水面的高度h (米)和时间t (秒)的函数解析式为h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h max ＝A ＋B ＝6，h min＝－A ＋B ＝－2，T ＝2πω＝60，h 0＝A sin ω·0＋φ＋B ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝2，ω＝2πT ＝π30，φ＝－π6，故h ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.故D 错误；对于A ，令h ＝6，即h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，解得t ＝20，故A 正确；对于B ，令t ＝155，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝2，故B 正确；对于C ，令t ＝50，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝－2，故C 正确．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则下列说法正确的是( )A ．直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减C ．函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得到y ＝cos2x 的图象D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1答案 ABD解析 ∵f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ＝cos(2x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴φ＝π6.则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝cosπ＝－1，∴直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减，故B 正确；函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为cosπ＝－1，故D 正确．(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 答案 AD解析对于A ，由A (3，－33)，知R ＝32＋－332＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60；当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ，解得sin φ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，可知f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π60t －π3，当t ∈(0,60]，π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误；对于C ，当t ∈(0,60]， π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时精练1．函数f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的振幅、初相分别是( )A ．－2，π4B ．－2，－π4C ．2，π4D ．2，－π4答案 C解析振幅为2，当x ＝0时，φ＝π4，即初相为π4.2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝sin2x B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 答案 C解析向右平移π4个单位长度后得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.3．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，将其图象向左平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．－12B.32C ．1 D.12答案 D解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，图象向左平移π3个单位长度后所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π6＝sin π6＝12. 4．(2022·天津五十七中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2答案 A解析根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝1， 12·2πω＝2π3－π6， ∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象．令2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z ，可得函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3. 5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝2(sin x ＋cos x ) C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝2sin x ＋ 2 答案 AD解析 f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4与f (x )＝2sin x ＋2经过平移后能够重合． 6．(多选)(2022·深圳模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 B ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2C ．将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合答案 BD解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，令x ＝－π12，求得f (x )＝－1，为最小值，故f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，故A 错误；若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为T 2＝12×2π2＝π2，故B 正确；将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故C 错误；将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，与曲线E 重合，故D 正确．7．(2022·北京丰台区模拟)将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一) 答案π4解析将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得g (x )＝cos(2x ＋2φ)，由函数g (x )的图象关于原点对称，可得g (0)＝cos2φ＝0，所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.8．(2022·济南模拟)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则为了得到曲线C 1，首先要把C 2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度．(本题所填数字要求为正数) 答案 2π6解析 ∵曲线C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3－π6，∴先将曲线C 2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3向右至少平移π6个单位长度．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2. (1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6.列表如下，2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21描点、连线得图象．(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－12，n ＝(3cos x ，cos2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值及最小正周期； (2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解 (1) f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以函数的最大值为1，最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＋f (2021)＋f (2022)＋f (2023)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2023B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝202312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝202412D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2024答案 D解析由图象知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，又T ＝4，∴ω＝π2，b ＝1，A ＝12，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32得12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝32， ∴cos φ＝1.∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0. ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin0＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinπ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin3π2＋1＝4. 又2024＝4×506， ∴S ＝4×506＝2024.12．(多选)关于函数f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1的描述正确的是( )A ．其图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．f (x )在[0，π]上有3个零点D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－ 2 答案 AD解析 f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，对于A ，由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2上单调递减，故选项B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[]0，π，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以f (x )∈[]－2，1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．13．(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin ωx cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________．答案 12解析 f (x )＝3cos ωx －sin ωx＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，图象向左平移2π3个单位长度得，g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3－π3， g (x )为奇函数，则2πω3－π3＝k π，k ∈Z ，解得ω＝12＋32k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为12.14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9000元，9月份价格最低，为5000元，则7月份的出厂价格为________元．答案 6000解析作出函数简图如图．三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12×(9000－5000)＝2000，B ＝12×(9000＋5000)＝7000， T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2000sinπ6x ＋7000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2000×sin7π6＋7000＝6000(元)．故7月份的出厂价格为6000元．15．(多选)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．g (x )为奇函数B ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0C ．当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有4个极值点D ．若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则ω的最大值为5答案 BCD解析由题意得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2.因为g (0)＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－ωπ2＝－1，所以ωπ2＝2k π＋π2，ω＝4k ＋1，k ∈N ，从而g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2k π－π2＝－cos ωx ，显然为偶函数，故A 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－cos4k ＋1π2＝0，故B 正确；当ω＝5时，g (x )＝－cos5x ，令g (x )＝－cos5x ＝±1得 5x ＝k π，x ＝k π5，k ∈Z .因为0<x <π，所以x 的值为π5，2π5，3π5，4π5，即函数g (x )在(0，π)上有4个极值点，故C 正确；若函数g (x )＝－cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则πω5≤π，即0<ω≤5，故D 正确．16．(2022·深圳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，函数f (x )图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x ＝π3处取到最小值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间；(3)若关于x 的方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f (x )的最小正周期为π2＝2πω，解得ω＝4，又函数f (x )在x ＝π3处取到最小值－2，则A ＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2，即4π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，令k ＝0可得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向左平移π6个单位长度可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos 2x ，令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，解得－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )． (3)∵方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，作出函数g (x )＝2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8的图象，由图可知－2<m＋2≤2或m＋2＝2，解得－4<m≤2－2或m＝0.∴m的取值范围为－4<m≤2－2或m＝0.31。

第一章三角函数测试题 (含详细答案)

必修四第一章三角函数单元测试一、选择题1．设A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限的角}，则A ∩B 等于( )． A ．{锐角}B ．{小于90° 的角}C ．{第一象限的角}D ．{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z ，k ≤0)} 2．终边在直线y ＝－x 上的角的集合是( )． A ．{α｜α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )} B ．{α｜α＝135°＋k ·180°(k ∈Z )} C ．{α｜α＝45°＋k ·360°(k ∈Z )}D ．{α｜α＝－45°＋k ·360°(k ∈Z )}3. 已知sin α＝54，α∈(0，π)，则tan α等于( )． A ．34B ．43 C ．34±D ．43±4．已知角 α 的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )． A ．－53 B ．54 C ．52 D ．－52 5．已知sin α＝－22，2π＜α＜23π，则角 α 等于( )． A ．3πB ．32πC ．34πD ．45π6．已知tan 14°≈41，则tan 7°约等于( )． A ．17＋4B ．17－4C ．17＋2D ．17－27．α是三角形的内角，则函数y ＝cos 2α－3cos α＋6的最值情况是( )． A ．既有最大值，又有最小值 B ．既有最大值10，又有最小值831 C ．只有最大值10 D ．只有最小值831 8．若f (x )sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是( )． A ．sin xB ．cos xC ．sin 2xD ．cos 2x9．设4π＜α＜2π，sin α＝a ，cos α＝b ，tan α＝c 则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a ＜b ＜cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＜a ＜c10．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α＞cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β 二、填空题11．已知扇形的半径是1，周长为π，则扇形的面积是． 12．已知集合A ＝{α｜2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α｜－4≤α≤4}，求A ∩B ＝．13．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角 α 的终边在第象限． 14．已知cos (π＋α)＝－53，sin αcos α＜0，则sin (α－7π)的值为． 15．函数y ＝x sin log 21的定义域是．16．函数y ＝a ＋b sin x 的最大值是23，最小值是－21，则a ＝，b ＝．三、解答题17．设 α 是第二象限的角，sin α＝53，求sin (637π－2α)的值．18．求下列函数的周期： (1)y ＝cos 2(πx ＋2)，x ∈R ； (2)y ＝cos 4x －sin 4x ，x ∈R ； (3)y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －23，x ∈R ．19．已知x ∈[－3π，4π]，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．20．求函数y ＝1tan tan 1tan tan 22+++-x x x x 的值域．第一章三角函数参考答案一、选择题 1．D解析：A 集合中包含小于90°的正角，还有零角和负角，而B 集合表示终边落在第一象限的角．二者的交集不是A ，B ，C 三个选项．2．B解析：先在0°～360°内找终边在直线y ＝－x 上的角分别为135°或315°，所以终边在直线y ＝－x 上的所有角为k ·360°＋135°，或k ·360°+315°，k ∈Z ．k ·360°＋135°＝2k ·180°＋135°，k ·360°＋315°＝(2k ＋1)180°＋135°，由此得答案为B ． 3．C解析：∵sin α＝54，α∈(0，π)，∴cos α＝±53，∴tan α＝±34． 4．D解析：∵r ＝22)3(4-+＝5，∴sin α=ry ＝－53，cos α=r x ＝54．∴2sin α＋cos α＝2×(－53)＋54＝－52． 5．D 解析：∵sin 45π＝sin (π＋4π)＝－sin 4π＝－22，且2π＜45π＜23π，∴α＝45π． 6．B解析：设tan 7°＝x ，则tan 14°＝2－12xx ≈41．解得x ≈－4±17(负值舍去)， ∴x ≈17－4． 7．D解析：∵y ＝cos 2α－3cos α＋6＝2cos 2α－3cos α＋5＝2(cos α－43)2＋831，又 α 是三角形的内角，∴－1＜cos α＜1．当cos α＝43时，y 有最小值831．8．B解析：取f (x )＝cos x ，则f (x )·sin x ＝21sin 2x 为奇函数，且T ＝π. 9．D解析：在单位圆中做出角 α 的正弦线、余弦线、正切线得b ＜a ＜c ． 10．D解析：若α，β是第四象限角，且sin α＞sin β，如图，利用单位圆中的三角函数线确定α，β的终边，故选D ．二、填空题 11．答案：12-π． 12．答案：A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π 或0≤α≤π }．解析：在集合A 中取k ＝…，－1，0，1，…得到无穷个区间…，[－2π，－π]，[0，π]，[2π，3π]，…将这些区间和集合B 所表示的区间在数轴上表示如图：由图可知A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π 或0≤α≤π }． 13．答案：二．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限，因此有⎩⎨⎧ ，tan α＜0⇒α在二、四象限，cos α＜0⇒α在二、三象限(包括x 轴负半轴)，所以 α 为第二象限角．即角 α 的终边在第二象限．14．答案：54．解析：∵cos (π＋α)＝－cos α＝－53，∴cos α＝53．又∵sin αcos α＜0，∴sin α＜0，α为第四象限角，∴sin α＝－54＝－cos 12α－，∴sin (α－7π)＝sin (α＋π－8π)＝sin (π＋α)＝－sin α＝54． 15．答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )．解析：由x sin log 21≥0，得0＜sin x ≤1，∴2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )．tan α＜0cos α＜0(第12题)(第10题`)16．答案：21，±1．解析：当b ＞0时，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧21＝－－23＝＋b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧1＝21＝b a 当b ＜0时，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧21＝－＋23＝－b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧1＝－21＝b a 三、解答题 17．答案：32512＋507．解：∵sin α＝53，α是第二象限角， ∴cos α＝－54，sin 2α＝2sin αcos α＝－2524， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝257，故sin (637π－2α)＝sin (6π－2 α)＝21×257－23(－2524)＝32512507+．18．答案：(1)1；(2)π；(3)π．解：(1)y ＝cos 2(πx ＋2)＝21[1＋cos (2πx ＋4)] ＝21cos (2πx ＋4)＋21． ∴T ＝ππ22＝1． (2)y ＝cos 4x －sin 4x＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x ) ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ． ∴T ＝22π＝π． (3)y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －23 ＝21sin 2x ＋3·22cos ＋1x－23＝21sin 2x ＋23cos 2x＝sin (2x ＋3π)．∴T ＝22π＝π． 19．答案：x ＝－4π时y min ＝1，x ＝4π时y max ＝5．解析：f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1．∵x ∈[－3π，4π]，∴tan x ∈[－3，1]． ∴当tan x ＝－1，即x ＝－4π时，y 有最小值，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝4π时，y 有最大值，y max ＝5．20．答案: [31，3]．解析：将原函数去分母并整理得(y －1)tan 2x ＋(y ＋1)tan x ＋y －1＝0．当y ≠1时，∵tan x ∈R ，∴方程是关于tan x 的一元二次方程，有实根． ∴判别式△＝(y ＋1)2－4(y －1)2≥0，即3y 2－10y ＋3≤0．解之31≤y ≤3．而tan x ＝0时，y ＝1，故函数的值域为[31，3]．。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程．解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值，故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。

2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，，，则 sin B 的值为（）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，，，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由；（3）AQ ＝，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ；（2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15．如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ；（2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标；（2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；（3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1）（2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2）（3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数；（2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值；（3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。

初中三角函数练习试题和答案解析

AB A
C
D
C
E
EH学习指导参考
B
F D
WORD格式整理版
0.7344九年级( 1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD 3m,
标杆与旗杆的水平距离BD 15m，人的眼睛与地面的高度EF 1。6m,人与标杆CD的
水平距离DF 2m，求旗杆AB的高度．
0.7345如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s )？
19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.
如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A
点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ACB 68.
tan 40 ≈ 0.8391，3 ≈ 1。732．
P
北
Q
C
30
B
40
A
18、如图10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时,从地面C处的雷
学习指导参考
B
A
WORD格式整理版
达站测得AC的距离是6km，仰角是43．1s后,火箭到达B点，此时测得BC的距离是
6.13km,仰角为45。54，解答下列问题：
7．已知Rt△ABC中,∠ C=90° ,AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）
2 2 2 3
A．sinB=
3B．cosB=3C．tanB=3D．tanB=2
8．点( -sin60 °，cos60 °）关于y轴对称的点的坐标是(）

三角函数第一轮测试

高考第一轮复习数学单元测试卷三角函数第Ⅰ卷（选择题，共60分）以下公式供做题时参考)]cos()[cos(21sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin 2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ--+-=-++=--+=-++=-+-=--+=+-+=--+=+sis 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、函数)4cos(x y -=π的递增区间是Z k k k D Z k k k C Z k k k B Z k k k A ∈+-∈++∈--∈+-]43242[]45242[]42452[]42432[ππππππππππππππππ，、，、，、，、 2、（理科）x a x a 的上满足，，在若≥<<sin ]20[10π的取值范围是]arcsin 2[arcsin ]arcsin []arcsin [arcsin ]arcsin 0[a a D a C a a B a A +--ππππ，、，、，、，、（文科）函数ctgx tgx y -=的最小正周期是ππππ224、、、、D C B A 3、数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，则θ等于 336πππππππ-++k D k C k B k A 、、、、 4、（理科）若)cos()31arccos(41arcsin βαβα+-==，则，的值为 121522121523121523121522+-----、、、、D C B A （文科）已知απαπαπ2sin )2(31)cos(，则<<=+的值是 9229243221、、、、D C B A 5、函数)32sin()(π-=x x f 的图象向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的21，那么所得图象的函数表达式为 )3sin()34sin()324sin(sin πππ+=+=+==x y D x y C x y B x y A 、、、、6、已知ααπαπααsin cos 2483cos sin -<<=，则，且的值是41412121--、、、、D C B A 7、函数)43(π-=x ctg y 的一个对称中心是)043()06()02()034(，、，、，、，、ππππ-D C B A 8、（理科）若)2()12arcsin(22)(1ππ-+-=-f x x f ，则的值是 2π-、A B 、2π C 、0 D 、-1 （文科）已知)1(sec >=a a θ，且θ的终边在第二或第四象限，则sin θ等于 aa D a a C a a B a a A 11112222------、、、、 9、函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图象的一条对称轴的方程是 2484ππππ-=-===x D x C x B x A 、、、、10、已知奇函数)(x f 在[-1，0]上为单调递减函数，又βα，为锐角三角形两内角，则)(cos )(sin )(cos )(sin )(sin )(sin )(cos )(cos βαβαβαβαf f D f f C f f B f f A <>>>、、、、11、函数1)12(sin )12(cos 22-++-=ππx x y 是 A 、周期是2π的奇函数 B 、周期是π的偶函数C 、周期是π的奇函数D 、周期是2π的偶函数12、若为时，则当时是奇函数，且当)(sin )(0)(2x f R x x x x f x x f ∈+=>x x x D x x x C x x B xx A sin sin sin sin 22-+-+、、、、第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、求值：000069sin ·81cos 2233sin 57sin +-= _______________。

新高考一轮复习特训-三角函数-(含答案)高中数学-高考专区-一轮复习

2025届新高考一轮复习特训三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析：函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。

高三一轮复习三角函数全章练习(7套)+易错题+答案

第五章三角函数第1节任意角、弧度制、任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题:①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.选C.2.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边所在象限是( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由题意知tan α<0,cos α<0,所以α是第二象限角.选B.3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为( C )(A)(B)(C) (D)2解析:设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以α==,选C.4.设集合M={x|x=²180°+45°,k∈Z},N={x|x=²180°+45°,k∈Z},那么( B )(A)M=N (B)M⊆N(C)N⊆M (D)M∩N=∅解析:由于M={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,45°,135°, 225°,…},N={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,0°,45°,90°,135°, 180°,225°,…},显然有M⊆N,故选B.5.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cos θ=-1时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.选A.6.设θ是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是( B )(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,因为|cos |=-cos ,所以cos ≤0,综上知为第二象限角.选B.二、填空题7.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为.解析:设扇形的半径为R,则αR2=2,所以R2=1,所以R=1,所以扇形的周长为2R+α²R=2+4=6.答案:68.若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.解析:由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.答案:,,,9.已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0≤θ≤2π},F={θ|tan θ<sin θ},那么E∩F= .解析:由单位圆的正、余弦线,容易得E={θ|<θ<π},又由F可知θ应在第二、四象限,所以E∩F={θ|<θ<π}.答案:{θ|<θ<π}10.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为.解析:由已知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.答案:-111.满足cos α≤-的角α的集合为.解析:作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}.答案:{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}三、解答题12.已知角α的终边经过点P(-,y),且sin α=y(y≠0),判断角α所在的象限,并求cos α,tan α的值.解:因为r=|OP|==,所以sin α==y.因为y≠0,所以9+3y2=16,解得y=±,所以角α在第二或第三象限.当角α在第二象限时,y=,cos α==-,tan α=-;当角α在第三象限时,y=-,cos α=-,tan α=.13.一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则解得所以圆心角α==2(rad).如图,过O作OH⊥弦AB于H,则∠AOH=1 rad.所以AH=1²sin 1=sin 1(cm),所以AB=2sin 1(cm).所以圆心角的弧度数为2 rad,弦长AB为2sin 1 cm.14.求函数y=lg(2sin x-1)+的定义域.解:要使原函数有意义,必须有即如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z).第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( C )(A){1,-1,2,-2} (B){-1,1}(C){2,-2} (D){1,-1,0,2,-2}解析:当k为偶数时,A=+=2;k为奇数时,A=-=-2.故选C.2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( B )(A)- (B)- (C)(D)解析:sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-.3.等于( A )(A)sin 2-cos 2(B)sin 2+cos 2(C)±(sin 2-cos 2)(D)cos 2-sin 2解析:===|sin 2-cos2|=sin 2-cos 2.4.若函数f(x)=则f(-)的值为( A )(A)(B)- (C)(D)-解析:由已知得f(-)=f(-)+1=f()+2=-cos +2=.5.已知=1,则sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ的值是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)6解析:由已知得=1,即tan θ=1,于是sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ===3.6.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( B )(A)1+ (B)1-(C)1± (D)-1-解析:由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ²cos θ=.又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.二、填空题7.若=2,则sin(θ-5π)sin(-θ)= .解析:由=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ),故sin θcos θ=, 所以sin(θ-5π)sin(-θ)=sin θcos θ=.答案:8.已知cos(-α)=,则sin(α-)= .解析:sin(α-)=-sin[+(-α)]=-cos(-α)=-.答案:-9.已知cos 31°=a,则sin 239°²tan 149°= .解析:sin 239°²tan149°=sin(180°+59°)²tan(180°-31°)=-sin 59°²(-tan 31°)=cos 31°²=sin 31°==.答案:10.若x∈(0,),则2tan x+tan(-x)的最小值为 .解析:因为x∈(0,),所以tan x>0.所以2tan x+tan(-x)=2tan x+≥2,所以2tan x+tan(-x)的最小值为2.答案:211.已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .解析:由题意,得cos(θ+)=,所以tan(θ+)=.所以tan(θ-)=tan(θ+-)=-=-.答案:-12.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则 f (2 017)的值为.解析:因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,所以f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-3.答案:-3三、解答题13.已知sin(3π+θ)=,求+的值.解:因为sin(3π+θ)=-sin θ=,所以sin θ=-.所以原式=+=+=+====18.14.已知0<α<,若cos α-sin α=-,试求的值. 解:因为cos α-sin α=-,所以1-2sin α²cos α=.所以2sin α²cos α=,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=.因为0<α<,所以sin α+cos α=.由cos α-sin α=-,sin α+cos α=得sin α=,cos α=,所以tan α=2,所以==-.15.是否存在α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在α,β使得等式成立,即有由诱导公式可得③2+④2得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=.又因为α∈(-,),所以α=或α=-.将α=代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知符合.将α=-代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知不符合.综上可知,存在α=,β=满足条件.第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.化简的结果是( C )(A)tan (B)tan 2x (C)-tan x (D)解析:原式===-tan x,故选C.2.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( D )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形解析:由条件得2cos Bsin A=sin(A+B),即2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B,得sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.因为角A,B是三角形的内角,所以A-B=0,△ABC是等腰三角形,故选D.3.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( B )(A)[-2,2] (B)[-,](C)[-1,1] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin x-cos(x+)=sin x-(cos xcos -sin xsin)=sin x-cos x=sin(x-),所以值域为[-,],故选B.4.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,若α,β∈(-,),则α+β等于( D )(A) (B)或-(C)-或 (D)-解析:由韦达定理得tan α+tan β=-3<0,tan α²tan β=4>0,故tan α<0,tan β<0,所以α,β∈(-,0),故α+β∈(-π,0).又tan(α+β)==,所以α+β=-.故选D.5.已知sin(α+)+cos α=-,则cos(-α)等于( C )(A)-(B)(C)- (D)解析:由sin(α+)+cos α=-,展开化简可得sin(α+)=-,所以cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=-.6.在三角函数中,如果角α与角β可能相等,我们称这两个角是“亲情角”.已知tan(β-)=2,下列选项中,哪个角α与已知的角β互为亲情角( C )(A)tan α=3 (B)tan α=(C)tan2(α+)=(D)cos α=解析:由条件得=2,解得tan β=-3,由于A,B,D三个选项的tan α≠-3,所以均不符合.对于选项C,由tan2(α+)=()2=,解得tan α=-3或tan α=-,故选C.二、填空题7.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α) = .解析:原式=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos 60°=.答案:8.已知tan(+θ)=3,则sin 2θ-2cos2θ= .解析:由tan(+θ)=3,求得tan θ=,而sin 2θ-2cos2θ===-.答案:-9.已知sin(x+)=,则sin(x-)+sin2(-x)的值是.解析:因为sin(x-)=-sin(x+)=-,sin2(-x)=cos2(+x)=1-sin2(+x)=,所以原式=-+=.答案:10.在△ABC中,若cos A=,sin B=,则cos C= .解析:因为cos A=,则sin A=,且45°<A<60°.又因为sin B=,sin B<,则0°<B<30°或150°<B<180°(舍去),所以cos B=,从而有cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-.答案:-11.已知cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值为.解析:(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=2+2(cos αcos β+sin αsin β)=2+2cos(α-β)=.答案:12.设a,b,∈R,c∈[0,2π),若对任意实数x都有2sin(3x-)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.解析:因为2sin(3x-)=asin(bx+c),所以a=±2,b=±3.当a,b确定时,c唯一.若a=2,b=3,则c=;若a=2,b=-3,则c=;若a=-2,b=-3,则c=;若a=-2,b=3,则c=,故共有四组.答案:4三、解答题13.已知cos(α-β)=-,cos β=,α∈(,π),β∈(0,),求cos(α-2β)的值.解:由条件得α-β∈(0,π),sin(α-β)=,sin β=,所以cos(α-2β)=cos [(α-β)-β]=.14.设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f()=0,(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-)=sin ωxcos -cos ωxsin -cos ωx=sin ωx-cos ωx=sin(ωx-),由题设f()=0,得-=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,考虑到0<ω<3,故有ω=2.(2)由上可知f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).因为x∈[-,],所以x-∈[-,],当x-=-,即x=-时,g(x)取最小值是-.15.已知函数f(x)=2sin(x-).(1)求f(x)的单调区间;(2)设α,β∈[0,],f((3α-)=-,f(3β+π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+6kπ≤x≤+6kπ,k∈Z,即得单调递增区间是[-+6kπ,+6kπ],k∈Z.同理可求单调递减区间是[+6kπ,+6kπ],k∈Z.(2)因为得即因为α,β∈[0,],解得从而有cos(α+β)=-.第4节二倍角公式一、选择题1.化简²的结果为( B )(A)tan α (B)tan 2α(C)1 (D)解析:原式=²==tan 2α,故选B.2.若设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( C )(A)c<b<a (B)a<b<c(C)a<c<b (D)b<c<a解析:经计算得a=sin 24°,b=tan 26°,c=sin 25°,所以a<c<b,故选C.3.已知sin α+cos α=,则sin2(-α)等于( B )(A) (B) (C)(D)解析:由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,解得sin 2α=-,所以sin2(-α)===,故选B.4.函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin x-)2+,当sin x=1时,f(x)取最大值为5,故选B.5.设α为锐角,且cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为α为锐角,且cos(α+)=,得sin(α+)=,所以sin[2(α+)]=,cos[2(α+)]=,从而有sin(2α+)=sin [2(α+)-]=³-³=,故选A.6.已知不等式f(x)=3sin cos +cos2-+m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是( C )(A)[,+∞) (B)(-∞,)(C)(-∞,-] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin +cos +m=(sin +cos )+m=sin(+)+m.因为-≤x≤,则-≤+≤,所以-≤sin(+)≤,即f(x)的最大值是²+m=+m≤0,解得m≤-,故选C.二、填空题7.已知角α终边过点P(3,4),则cos 2α= .解析:因为角α终边过点P(3,4),所以cos α=,sin α=,cos 2α=-.答案:-8.某会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是四个全等的直角三角形与一个小正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.解析:设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则4³(ab)+1=25,得ab=12.又因为a2+b2=25,联立方程组可解得或所以cos θ=,从而有cos 2θ=2cos2θ-1=.答案:9.若=2 018,则+tan 2α= .解析:+tan 2α=+=+====2 018.答案:2 01810.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B) = .解析:由条件得4cos Acos B²4sin Asin B=²,即sin 2Asin 2B=,所以原式=2sin22A²2sin22B=4(sin 2Asin 2B)2=4()2=3.答案:311.设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则cos A+2cos 的最大值是.解析:因为cos A+2cos =cos A+2sin=-2sin2+2sin +1=-2+,所以当sin =,即A=时,cos A+2cos 的最大值是.答案:三、解答题12.已知f(x)=sin x+2sin(+)cos(+).(1)若f(α)=,α∈(-,0),求α的值;(2)若sin =,x0∈(,π),求f(x0)的值.解:(1)由条件可得f(x)=sin x+cos x=sin(x+).因为f(α)=,α∈(-,0),所以sin(α+)=.则α+=,解得α=-.(2)因为sin =,x0∈(,π),得sin x0=,cos x0=-,所以f(x0)=.13.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.(1)求f()的值;(2)若f(x0)=,x0∈[0,],求sin 2x0的值.解:(1)因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),所以f()=2.(2)由上可知,f(x0)=2sin(2x0+)=,所以sin(2x0+)=.由x0∈[0,],得2x0+∈[,].由0<sin(2x0+)=<,知2x0+∈(,π),从而有cos(2x0+)=-, 所以sin 2x0=sin[(2x0+)-]=²-(-)²=.14.已知函数f(x)=sin 2xsin ϕ+cos2xcos ϕ-sin(+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点(,).(1)求ϕ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.解:(1)由条件得f(x)=sin 2xsin ϕ+cos ϕ-cos ϕ=sin 2xsin ϕ+cos 2xcos ϕ=cos(2x-ϕ).又函数图象过点(,),得=cos(2²-ϕ),-ϕ=2kπ,ϕ=-2kπ,k∈Z.又因为0<ϕ<π,解得ϕ=.(2)由上可知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,即g(x)=f(2x)=cos(4x-).因为x∈[0,],所以4x-∈[-,],有cos(4x-)∈[-,1],所以函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值分别为和-.第5节三角函数的化简与求值一、选择题1.计算等于( D )(A)-(B)- (C) (D)解析:原式====,故选D.2.式子tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°的值是( D )(A) (B) (C)0 (D)1解析:因为tan(11°+19°)==,所以tan 11°+tan 19°=(1-tan 11°tan 19°),即tan 11°+tan 19°=1-tan 11°tan 19°,从而有tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°=1,故选D.3.若sin(-α)=,则cos(+2α)等于( A )(A)- (B)- (C)(D)解析:观察发现+2α=2(+α),而(+α)+(-α)=,则有cos(+α)=sin(-α)=,所以cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2³-1=-,故选A.4.设M=sin 100°-cos 100°,N=(cos 46°cos 78°+cos 44°²cos 12°),P=,Q=,则M,N,P,Q的大小关系是( C )(A)M>N>P>Q (B)P>M>N>Q(C)N>M>Q>P (D)Q>P>M>N解析:因为M=sin(100°-45°)=sin 55°,N=(cos 46°sin 12°+sin 46°cos 12°)=sin 58°,P==tan(45°-10°)=tan 35°,Q==tan 45°=1,所以N=sin 58°>sin 55°=M>sin 45°=1=Q.=tan 45°>tan 35°=P,即有N>M>Q>P,故选C.5.设△ABC的三内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B, cos A),若m²n=1+cos(A+B),则角C等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为m²n=1+cos(A+B),所以sin Acos B+cos Asin B=1+cos(A+B),即sin(A+B)=1+cos(A+B).又因为A+B+C=π,得sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,因此有sin C=1-cos C,即sin C+cos C=1,从而有sin(C+)=.考虑到0<C<π,得C+=,所以C=,故选C.6.若0≤A,B≤,且A+B=,则cos2A+cos2B的最小值和最大值分别为( C )(A), (B),(C), (D),解析:因为A+B=,所以cos2A+cos2B=+=1+(cos 2A+cos 2B)=1+[cos 2A+cos(-2A)]=1+(cos 2A+coscos 2A+sin sin 2A)=1+(cos 2A-sin 2A)=1+cos(2A+).又因为0≤A,B≤,且A+B=,得≤A≤,≤2A+≤,则-1≤cos(2A+)≤-,从而有≤cos2A+cos2B≤,故有最大值为,最小值为,故选C.二、填空题7.定义运算a⊕b=ab2+a2b,则sin 15°⊕cos 15°= .解析:依题意得sin 15°⊕cos 15°=sin15°cos215°+sin215°²cos 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+cos 15°)=sin30°²sin(15°+45°)=.答案:8.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α的值是.解析:由已知<β<α<,可知π<α+β<,0<α-β<.又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,得sin(α-β)=,cos(α+β)=-,所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-³+(-)³=-.答案:-9.已知sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°),则tan x的值是.解析:由条件可化为sin xcos 20°+cos xsin 20°=2cos xcos 10°,两边同除以cos x,得tan x=====.答案:10.已知α=,则+++的值是.解析:法一因为===tan 4α-tan 3α,同理可得=tan 3α-tan 2α,=tan 2α-tan α,所以原式=tan 4α=tan =.法二原式=sin α²+sinα²=+=sin 2α²=sin 2α²=tan 4α=tan =.答案:11.如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),那么θ的取值范围是.解析:原不等式等价于sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ.又因为f(x)=x3+x5是(-∞,+∞)上的增函数,所以sin θ>cos θ.又因为θ∈[0,2π),所以θ的取值范围是(,).答案:(,)12.函数f(x)=4cos2cos(-x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.解析:因为f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x)的零点个数转化为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.由图象可得交点有2个,故f(x)的零点也有2个.答案:2三、解答题13.已知函数f(x)=sin xsin(x+).(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=sin2x+sin xcos x=²+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以最小正周期为T=π.(2)由0≤x≤,得-≤sin(2x-)≤1,所以f(x)的取值范围是[0,].14.已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值;(2)求tan β的值.解:(1)因为tan(π+α)=-,所以tan α=-,从而有tan(α+β)====.(2)tan β=tan [(α+β)-α]===.15.如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan =;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan的值.(1)证明:tan ===.(2)解:由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan +tan +tan +tan=+++=+.连接BD(图略),在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB²ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC²CDcos C,所以AB2+AD2-2AB²ADcos A=BC2+CD2+2BC²CDcos A. 则cos A===.于是sin A===.连接AC,同理可得cos B===,于是sin B===.所以tan +tan +tan +tan=+=+=.第6节三角函数的图象与性质一、选择题1.函数y=tan(-x)的定义域为( A )(A){x|x≠kπ-,k∈Z} (B){x|x≠2kπ-,k∈Z}(C){x|x≠kπ+,k∈Z} (D){x|x≠2kπ+,k∈Z}解析:令-x≠kπ+,k∈Z,所以x≠--kπ,即x≠kπ-,k∈Z.2.(2016²山东卷)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( B )(A)(B)π (C) (D)2π解析:f(x)=3sin xcos x-sin2x+cos2x-sin xcos x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).最小正周期T==π,故选B.3.(2017²全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( D )(A)f(x)的一个周期为-2π(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)f(x+π)的一个零点为x=(D)f(x)在(,π)单调递减解析:f(x)=cos(x+)中,x∈(,π),x+∈(,),则f(x)=cos(x+)不是单调函数.故选D.4.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)对称,那么|ϕ|的最小值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得3cos(2³+ϕ)=3cos(+ϕ+2π)=3cos(+ϕ)=0,所以+ϕ=kπ+,k∈Z,所以ϕ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|ϕ|的最小值为.5.(2016²浙江卷)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( B )(A)与b有关,且与c有关(B)与b有关,但与c无关(C)与b无关,且与c无关(D)与b无关,但与c有关解析:f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期是π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.故选B.6.(2016²全国Ⅰ卷)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )(A)[-1,1] (B)[-1,](C)[-,] (D)[-1,-]解析:f′(x)=1-cos 2x+acos x=1-²(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x+,f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立.令cos x=t,t∈[-1,1],则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则解得-≤a≤,故选C.二、填空题7.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1,则常数a= ;设g(x)=f(x+),则g(x)的单调增区间为 .解析:因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以sin(2x+)∈[-,1],所以-2asin(2x+)∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b].又因为—5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,解得a=2,b=-5.所以f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,当-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z时,g(x)单调递增,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以g(x)的单调增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.答案:2 [-+kπ,+kπ](k∈Z)8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω²ω+=2kπ+,k ∈Z,所以ω2=2kπ+,k∈Z.又2[ω-(-ω)]≤,即ω2≤,所以ω2=,所以ω=.答案:9.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是. 解析:因为f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同,所以f(x)与g(x)的最小正周期相等,因为ω>0,所以ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin(2x-)≤1,所以-≤3sin(2x-)≤3,即f(x)的取值范围是[-,3].答案:[-,3]10.(2017²嘉兴模拟)已知函数f(x)=3sin(3x+ϕ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有个.解析:令f(x)=3sin(3x+ϕ)=2,得sin(3x+ϕ)=∈[-1,1],又x∈[0,π],所以3x+ϕ∈[ϕ,3π+ϕ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.答案:411.下列四个函数:①y=sin |x|,②y=cos |x|,③y=|tan x|,④y=-ln|sin x|,以π为周期,在(0,)上单调递减且为偶函数的是___ .(只填序号)解析:①y=sin |x|在(0,)上单调递增,故①错误;②y=cos |x|=cos x 周期为T=2π,故②错误;③y=|tan x|在(0,)上单调递增,故③错误;④ln|sin(x+π)|=ln|sin x|,周期为π,当x∈(0,)时,y=-ln|sin x|=-ln(sin x)在(0,)上单调递减,y=-ln|sin x|为偶函数,故④正确.答案:④12.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是.解析:T=≥2(π-)=π,所以0<ω≤2,由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题意知(ω+,πω+)⊆[+2kπ,+2kπ],k∈Z,所以即所以≤ω≤.答案:[,]三、解答题13.(2017²北京卷)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[-,]时,f(x)≥-.(1)解:f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin(2x+)≥sin(-)=-,所以当x∈[-,]时,f(x)≥-.14.求函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值与最小值.解:令t=sin x,因为|x|≤,所以t∈[-,].所以y=-t2+t+1=-(t-)2+,所以当t=时,y max=,当t=-时,y min=.所以函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值为,最小值为. 15.(2017²浙江协作体)已知0≤ϕ<π,函数f(x)=cos(2x+ϕ)+sin2x.(1)若ϕ=,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是,求ϕ的值.解:(1)由题意f(x)=cos 2x-sin 2x+=cos(2x+)+,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ-.所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-],k∈Z.(2)由题意f(x)=(cos ϕ-)cos 2x-sin ϕsin 2x+,由于函数f(x)的最大值为,即+=1,从而cos ϕ=0,又0≤ϕ<π,故ϕ=.第7节函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )(A)向左平行移动1个单位长度(B)向右平行移动1个单位长度(C)向左平行移动π个单位长度(D)向右平行移动π个单位长度2.(2016²全国Ⅰ卷)将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(2x-) (D)y=2sin(2x-)解析:因为T==π,=,所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],所以y=2sin(2x-).故选D.3.函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值为( A )(A)π(B)π(C)π(D)以上都不对解析:y=sin 2x的图象向右平移φ个单位得到y=sin 2(x-φ)的图象,又关于x=对称,则2(-φ)=kπ+(k∈Z),2φ=-kπ-(k∈Z),即φ=--,取k=-1,得φ=π.4.设a∈R,b∈[0,2π],若对任意实数x都有sin(3x-)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由已知,3x-=ax+b+2kπ或3x-+ax+b=π+2kπ,k∈Z,所以或k∈Z,所以或满足条件的有序实数对(a,b)的对数为2.5.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有=.则φ等于( D )(A) (B)(C)(D)解析:由已知得g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此时|x1-x2|=-φ=,又0<φ<,故φ=.故选D.6.已知函数f(x)=Asin(x-),g(x)=k(x-3).已知当A=1时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为9.则当A=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为( A )(A)15 (B)12(C)9 (D)与k的取值有关解析:如图,函数y=f(x)与y=g(x)图象均过的点(3,0),且均关于点(3,0)对称.所以h(x)零点关于x=3“对称”,因为当A=1时,h(x)所有零点和为9,所以此时,函数y=f(x)与y=g(x)图象有三个公共点,此时,f(6)<g(6),得k>.当A=2时,f(6)>g(6)且g(9)=6k>2=f max(x),所以h(x)有5个零点x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=x2+x4=6,x3=3.所以x1+x2+x3+x4+x5=15.故选A.7.(2016²全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( B )(A)11 (B)9 (C)7 (D)5解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴,所以²k=(k为奇数).又T=,所以ω=k(k为奇数).又函数f(x)在(,)上单调,所以≤³,即ω≤12.若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,此时,f(x)=sin(11-x-),f(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,不满足条件.若ω=9,又|φ|≤,则φ=,此时f(x)=sin(9x+),满足f(x)在(,)上单调的条件.故选B.二、填空题8.(2017²温州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 .解析:由题意得=-=,所以T=π,所以ω=2,又因为2³+φ=π,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).因为g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到,所以g(x)=sin [2(x+)+]=sin(2x+).答案:g(x)=sin(2x+)9.(2016²全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-)=2sin(x-)的图象.答案:10.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin [2(x+)]=2sin(2x+)的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).答案:x=+(k∈Z)11.(2016²浙江卷)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .解析:2cos2x+sin 2x=sin(2x+)+1,所以A=,b=1.答案: 112.(2016²江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.解析:联立两曲线方程,得两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin 2x=cos x解的个数.方程可化为2sin xcos x=cos x,即cos x(2sin x-1)=0,所以cos x=0或sin x=.①当cos x=0时,x=kπ+,k∈Z,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,共3个;②当sin x=时,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,π,共4个.综上,方程组在[0,3π]上有7个解,故两曲线在[0,3π]上有7个交点.答案:7三、解答题13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(α-)=,求cos 2α的值.解:(1)因为S△MBC=³2³BC=BC=π,所以周期T=2π=,ω=1,由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin(x+).(2)由f(α-)=2sin α=,得sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=.14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且x=为f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π, 所以T==π,ω=2,又x=为f(x)图象的一条对称轴,所以2³+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=.(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+),所以g(x)=f(x)+f(x-)=sin(2x+)+sin 2x=sin 2x+cos 2x+sin 2x =sin(2x+),令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以g(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.15.函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f(x+),求函数g(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.解:(1)由题图得f(0)=,所以cos φ=,因为0<φ<,故φ=.法一由于f(x)的最小正周期T==2,由题图可知1<x0<2,故<πx0+<,由f(x0)=得cos(πx0+)=,所以πx0+=,x0=.法二求离原点最近的正的最小值点,令πx+=π+2kπ,得x=+2k,k∈Z,令k=0得x=,所以=,x0=.(2)因为f(x+)=cos [π(x+)+]=cos(πx+)=-sin πx,所以g(x)=f(x)+f(x+)=cos(πx+)-sin πx=cos πxcos -sin πxsin -sin πx=cos πx-sin πx=sin(-πx)=-sin(πx-).当x∈[-,]时,πx∈[-,],(πx-)∈[-,], 所以sin(πx-)∈[-1,],-sin (πx-)∈[-,],当πx-=-,即x=-时,g(x)取得最大值;当πx-=,即x=时,g(x)取得最小值-.易错点训练:忽视函数值造成范围扩大一、选择题1.的值是( A )(A)sin 40° (B)cos 40° (C)cos 130°(D)±cos 50°解析:因为==-cos 130°=sin 40°,故选A.2.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α的值是( D )(A) (B)-(C)± (D)±或±1解析:由条件tan α=3tan β,得=.又因为sin α=2sin β,所以=.当sin β=0时,sin α=0,显然成立,故有cos α=±1;当sin β≠0时,3cos α=2cos β,从而有(sin α)2+(3cos α)2=4,解得cos2α=,所以cos α=±,故选D.3.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C的值是( B )(A) (B)(C)或 (D)以上都不对解析:因为cos B=,所以sin B=.又因为sin A=<=sin B,若A 为钝角,则sin(π-A)<sin B,得π-A<B,π<A+B矛盾.因此A肯定是锐角,所以cos A=,从而有cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=,故选B.4.已知3sin2x+2sin2y=2sin x,则sin2x+sin2y的最值情况是( D )(A)最大值为,最小值为-(B)最大值为,最小值为0(C)最大值为,最小值为-(D)最大值为,最小值为0解析:由0≤sin2y=(2sin x-3sin2x)≤1,可解得0≤sin x≤,则sin2x+sin2y=sin2x+(2sin x-3sin2x)=-sin2x+sin x=-(sin x-1)2+,所以sin2x+sin2y的最大值为,最小值为0.5.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为tan α,tan β,且α,β∈（-,）,则tan 的值是( A )(A)-2 (B)(C)-2或(D)2或-解析:由韦达定理可知tan α,tan β同为负值,可得α,β∈(-,0),所以∈(-,0).又因为所以tan(α+β)===.又因为tan(α+β)==,解得tan =-2或,取tan =-2.二、填空题6.已知sin θ+cos θ=,其中θ∈(0,π),则tan θ的值是.。

高考理科数学第一轮专题三角函数的综合问题测试题参考答案

高考理科数学第一轮专题《三角函数的综合问题》测试题&参考答案测试时间：120分钟满分：150分1．[2016·吉林三调](本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求∠A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状．解 (1)在△ABC 中，根据余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，而A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(4分)(2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2，所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，(7分)则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32. 因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时， f (B )取最大值，(10分)此时易知△ABC 是直角三角形．(12分)2．[2017·山西四校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝p sin2x －q cos2x (其中p ，q 是实数)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式及其最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移m (0<m <π)个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，已知点P (0,5)，若函数y ＝g (x )的图象上存在点Q ，使得|PQ |＝3，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3内的单调递增区间和最值．解 (1)因为f (x )＝p sin2x －q cos2x ，则由图象得⎩⎪⎨⎪⎧p sin π6－q cos π6＝3，p sin 4π3－q cos 4π3＝－2，解得p ＝3，q ＝－1，故f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)最小正周期T ＝π.(5分)(2)由(1)可知g (x )＝f (x ＋m )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π6.(7分)于是当且仅当Q (0,2)在y ＝g (x )的图象上时满足条件． ∴g (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋π6＝2.由0<m <π，得m ＝π6.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，(10分)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，即－π3≤2x ≤4π3时，函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3，最大值是2，最小值是－2.(12分)3．[2016·北京高考](本小题满分12分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由余弦定理及题设，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.(2分) 又0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(4分) (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4.(9分)因为0<∠A <3π4，(10分)所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.(12分)4．[2016·邯郸七调](本小题满分12分)已知m ＝(cos x ＋3sin x ，1)，n ＝(2cos x ，－y )，满足m ·n ＝0.(1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；(2)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)因为m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝3sin2x ＋cos2x ＋1－y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1－y ＝0，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，(3分)令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(6分)(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，又A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.(8分)在△ABC 中，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，可知bc ≤4(当且仅当b ＝c 时取等号)，(10分)∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，即△ABC 面积的最大值为 3.(12分) 5．[2016·龙岩质检](本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，点P ，Q 分别为函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ |＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A π＝34.求角C 的大小．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，∴－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x ∈R 都成立，且ω>0， ∴cos φ＝0，又0<φ<π，∴φ＝π2.(3分) 又|PQ |＝2，最高点P 的纵坐标为12，由勾股定理可知T2＝1，T ＝2，ω＝π，(4分) ∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝12cosπx .(5分) (2)由(1)可知f (x )＝12cosπx ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A π＝12cos A ＝34，cos A ＝32，又A ∈(0，π)，∴A ＝π6.(8分) ∵a ＝1，b ＝2，由正弦定理可知，1sin π6＝2sin B ， ∴sin B ＝22，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π4或B ＝3π4，(11分)当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12， ∴角C 的大小为π12或7π12.(12分)6．[2016·石家庄质检](本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos C ＋c ＝2a .(1)求∠B 的大小；(2)若BD 为AC 边上的中线，cos A ＝17，BD ＝1292，求△ABC 的面积．解 (1)2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理，得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ，(2分) ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )， sin C ＝2cos B sin C .(4分) 因为0<C <π，所以sin C ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(6分)(2)解法一：在△ABD 中，由余弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12922＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b 2cos A ，所以1294＝c 2＋b 24－17bc .①(8分)在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝bsin B ，由已知得sin A ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314，所以c ＝57b .②(10分) 由①，②解得⎩⎨⎧b ＝7，c ＝5.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.(12分)解法二：延长BD 到E ，DE ＝BD ，连接AE ， △ABE 中，∠BAE ＝2π3，BE 2＝AB 2＋AE 2－2·AB ·AE ·cos ∠BAE . 因为AE ＝BC ，所以129＝c 2＋a 2＋a ·c ，①(8分) 由已知得，sin A ＝437，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝5314， c a ＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝58，②(10分) 由①，②解得c ＝5，a ＝8.S △ABC ＝12c ·a ·sin ∠ABC ＝10 3.(12分)7．[2016·陕西一模](本小题满分13分)已知m ＝(1，cos x )，n ＝(t ，3sin x －cos x )，函数f (x )＝m ·n (t ∈R )的图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.(1)求t 的值以及函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝c cos B ＋b cos C2cos B，求f (A )的取值范围．解 (1)由题意得f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋t ＝32sin2x －12(cos2x ＋1)＋t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＋t ，(2分) 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6－12＋t ＝0.解得t ＝12，(4分) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(7分)(2)∵c cos B ＋b cos C ＝2a cos B ， ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，即sin A ＝2sin A cos B . 又∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12.(10分) ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3，A ＋C ＝23π. ∴0<A <2π3，－π6<2A －π6<7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，∴f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.(13分)8．[2017·安徽联考](本小题满分13分)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC (已知声音的传播速度为340米/秒)．解 (1)设BC ＝x (米)，由条件可知AC ＝x ＋217×340＝(x ＋40)(米)，(2分) 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ，即x 2＝1002＋(40＋x )2－2×100×(40＋x )×12，解得x ＝380.(5分)所以AC ＝380＋40＝420(米)．(6分) 故A ，C 两地的距离为420米．(7分)(2)在△ACH 中，AC ＝420(米)，∠HAC ＝30°，∠AHC ＝90°－30°＝60°，(9分)由正弦定理，可得AC sin ∠AHC ＝HCsin ∠HAC，即420sin60°＝HC sin30°，所以HC ＝420×1232＝1403(米)，(12分)故这种仪器的垂直弹射高度为140 3 米．(13分)9．[2017·河北冀州测试](本小题满分13分)如图，已知平面上直线l 1∥l 2，A ，B 分别是l 1，l 2上的动点，C 是l 1，l 2之间的一定点，C 到l 1的距离CM ＝1，C 到l 2的距离CN ＝3，△ABC 三内角∠A 、∠B 、∠C 所对边分别为a ，b ，c ，a >b ，且b cos B ＝a cos A .(1)判断△ABC 的形状；(2)记∠ACM ＝θ，f (θ)＝1AC ＋1BC ，求f (θ)的最大值．解 (1)由正弦定理，得b sin B ＝asin A ，又b cos B ＝a cos A ，得sin2B ＝sin2A ，(3分) 又a >b ，所以A >B ，且A ，B ∈(0，π)，所以2A ＋2B ＝π，∴C ＝π2，(5分) 所以△ABC 是直角三角形．(6分) (2)∠ACM ＝θ，由(1)得∠BCN ＝π2－θ，则AC ＝1cos θ，BC ＝3sin θ，(9分)f (θ)＝1AC ＋1BC ＝cos θ＋33sin θ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，(11分)所以θ＝π6时，f (θ)的最大值为233.(13分)10．[2017·湖北重点中学联考](本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋m (m ∈R )，将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4内的最大值为 2.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫34B ＝1，且a ＋c ＝2，求△ABC 周长l 的取值范围．解 (1)由题设得f (x )＝sin2x －cos2x －1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1＋m ，(2分) ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4－1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1＋m ，(4分) ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，(5分) ∴由已知得当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，g (x )max ＝2－1＋m ＝2，∴m ＝1.(7分)(2)由已知，得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫34B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝1， ∵在△ABC 中，0<32B <3π2，∴π4<32B ＋π4<7π4，∴32B ＋π4＝3π4，即B ＝π3.(9分)又∵a ＋c ＝2，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3(a ＋c )24＝1，(11分)当且仅当a ＝c ＝1时等号成立．又∵b <a ＋c ＝2，∴1≤b <2，∴△ABC 周长l ＝a ＋b ＋c ∈[3,4)，故△ABC 周长l 的取值范围是[3,4)．(13分)11．[2017·江西临川期末](本小题满分13分)在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，AB 2＋AC 2＋AB ·AC ＝BC 2，且△ABC 的面积为 3.(1)求∠BAC 的大小及AB →·AC →的值；(2)若AB ＝4，求AD 的长．解 (1)在△ABC 中，由AB 2＋AC 2＋AB ·AC ＝BC 2，可得AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－12＝cos ∠BAC ，故∠BAC ＝120°.(3分)因为S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12AB ·AC ·sin120°＝3，所以12AB ·AC ×32＝3，解得AB ·AC ＝4.(5分)所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|×cos120°＝|AB →|·|AC →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.(6分) (2)解法一：由AB ＝4，AB ·AC ＝4，得AC ＝1.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝16＋1－2×4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21，得BC ＝21，(9分)由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝1×3221＝714. ∵0°<∠ABC <60°，故cos ∠ABC ＝32114.(10分)在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝16＋214－2×4×212×32114＝134，得AD ＝132.(13分)解法二：由AB ＝4，AB ·AC ＝4，得AC ＝1.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝16＋1－2×4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21，得BC ＝21，(9分)cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝16＋21－12×4×21＝32114，(10分) 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝16＋214－2×4×212×32114＝134，得AD ＝132.(13分)12．[2017·吉林长春质监](本小题满分13分)已知f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，A 为锐角且f (A )＝32，AB →＋AC →＝3AD →，AB ＝3，AD ＝2，求sin ∠BAD .解 (1)由题可知f (x )＝12sin2x －32(1＋cos2x )＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，(3分) 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(5分) (2)由f (A )＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，解得A ＝π3或A ＝π2(舍)．(7分)又因为AB →＋AC →＝3AD →，则D 为△ABC 的重心，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为AD ＝2，所以AE ＝6，在△ABE 中，AB ＝3，∠ABE ＝120°.(9分) 由正弦定理可得3sin ∠AEB ＝632，解得sin ∠AEB ＝14且cos ∠AEB ＝154.(11分) 因此sin ∠BAD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－∠AEB ＝32×154－12×14＝35－18.(13分)。

第19讲锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练(浙江专用)(含解析)

第19讲锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为()A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ) 2．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m C．(4+3sinα)m D．(4+ 3tanα)m3．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14，则FG的长是（）A．3B．83C．2√153D．524．（2022·瑞安模拟）某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）.若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为α，则渠口宽AD为（）A．（2+3·tanα）m B．（2+6·tanα）mC．（2+3tanα）m D．（2+6tanα）m5．（2022·嵊州模拟）如图，在□ABCD中，E为BC边上的点，满足BE= 5CE，若四边形AEDF为正方形，则tanB的值为（）A．1B．32C．2D．52 6．（2022·鹿城模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示. 若AE=1m，则DF的长为（）A．tanαtanβB．tanβtanαC．sinβsinαD．sinαsinβ7．（2022·洞头模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架.图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB=α，AB=120cm，AD=40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinαB．120+40cosαC．120+40sinαD．120+ 40cosα8．（2022·温州模拟）如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米.已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为α，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（）A．24sinα米B．24cosα米C．24tanα米D．24tanα米9．（2022·鹿城会考）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（）A．acosθ+bsinθB．acosθ+btanθC．acosθ+bsinθD．acosθ+bsinθ10．（2022·宁波模拟）如图1，以Rt△ABC的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形EGHF与GDCH的面积之比是16164，则sin∠ABC 的值是（）A ．817B ．815C ．513D ．35二、填空题11．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M 在旋转中心O 的正下方。

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