蒙特卡洛方法ppt
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第六讲 蒙特卡洛方法ppt课件
蒙特卡罗方法的特点
优点 能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中， 计算结果与系统大小 有关。
2 2 t / 2 P X E ( X ) e dt 1 N 0 N 2
f(X)是X的分布密度函数。则
0 ( x E ( X )) f ( x ) dx
2 2
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
X N
MC方法随机理论的基础
MC方法的随机理论基础
g(u)均匀分布
N 1 x 2 t/ 2 P X E ( X ) x e dt N lim x N 2
MC方法随机理论的基础
• 大数法则
MC方法随机理论的基础
中心极限定理
该定理指出，如果随机变量序列 X1 ，X2，…， XN独立 同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即
MC方法概述
• 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试 验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方 法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使 用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试 验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成， 使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的 科学技术中发挥应有的作用。
• 目前，已经广泛的应用于社会科学，材料， 物理，系统工程，科学管理，生物遗传等 领域。可以说，有随机工程事件的领域， 就可以应用Monte Carlo模拟。
蒙特卡洛方法第四讲ppt课件
27
3>. xM功能，表示数值等于它前面数据的x 倍。 例如：5 4M => 4 20 4>. nJ功能，表示从它所在位置跳过n项不 指定的数据而使用缺省值。 • 这四项输入简写功能可以综合运用。
28
b) 列输入格式 列输入只能用于数据块中，对栅元参数和源 的描述比较有用。按行输入的栅元重要性、 体积、权窗等数据项可读性较差，而且增加 或删除栅元时要在行输入卡上仔细寻找相应 项。列输入的可读性有很大提高，删除或增 加与某一栅元相对应的数据项时也比较方便。
37
• 任何曲面都把空间分成两部分，一部分相对于该 曲面具有正坐向，另一部分具有负坐向。填写栅 元卡时，在曲面号之前用正负号表示栅元中的点 相对于该曲面的坐向，正号可省略。 对于一个封闭的曲面，例如球面，坐向(sense)就 变成： 内部=负值 Negative 外部=正值 Positive
38
39
• 再举一个例子：有一个大球面S1，它的里 面有一个小球面S2。在小球面S2外且在大 球面S1里的部分，是这样定义的：-1 +2
• 在小球面S2里的部分，是这样定义的：-2
40
41
(2) 交集和并集(intersection & union) 交集是两个集合的公共部分，如图所示。
42
• 并集是两个集合的合集:
29
• 列输入格式的第一行以#开始，#可以放在 1∼5列的任意位置，卡片助记名逐个放在该 行6列以后，在这些助记名之下按列给出数 据项。同一个列输入格式块中的卡片必须是 同一类卡片，比如都是栅元参数卡、都是曲 面参数卡或都是源参数卡等，在#号下面的 1∼5列放置栅元号、曲面号或源分布号。
30
c) 缺省值 MCNP许多输入卡的参数项有缺省值，用 户不必每次都给出这些参数，如果卡片输 入项有固定顺序，可以使用nJ功能跳过n个 输入项。如果卡片上所有数据项都想缺省， 只给出卡片助记名即可。有些卡片不给出 也有缺省值，如MODE N卡就可以省略。
3>. xM功能，表示数值等于它前面数据的x 倍。 例如：5 4M => 4 20 4>. nJ功能，表示从它所在位置跳过n项不 指定的数据而使用缺省值。 • 这四项输入简写功能可以综合运用。
28
b) 列输入格式 列输入只能用于数据块中，对栅元参数和源 的描述比较有用。按行输入的栅元重要性、 体积、权窗等数据项可读性较差，而且增加 或删除栅元时要在行输入卡上仔细寻找相应 项。列输入的可读性有很大提高，删除或增 加与某一栅元相对应的数据项时也比较方便。
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• 任何曲面都把空间分成两部分，一部分相对于该 曲面具有正坐向，另一部分具有负坐向。填写栅 元卡时，在曲面号之前用正负号表示栅元中的点 相对于该曲面的坐向，正号可省略。 对于一个封闭的曲面，例如球面，坐向(sense)就 变成： 内部=负值 Negative 外部=正值 Positive
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39
• 再举一个例子：有一个大球面S1，它的里 面有一个小球面S2。在小球面S2外且在大 球面S1里的部分，是这样定义的：-1 +2
• 在小球面S2里的部分，是这样定义的：-2
40
41
(2) 交集和并集(intersection & union) 交集是两个集合的公共部分，如图所示。
42
• 并集是两个集合的合集:
29
• 列输入格式的第一行以#开始，#可以放在 1∼5列的任意位置，卡片助记名逐个放在该 行6列以后，在这些助记名之下按列给出数 据项。同一个列输入格式块中的卡片必须是 同一类卡片，比如都是栅元参数卡、都是曲 面参数卡或都是源参数卡等，在#号下面的 1∼5列放置栅元号、曲面号或源分布号。
30
c) 缺省值 MCNP许多输入卡的参数项有缺省值，用 户不必每次都给出这些参数，如果卡片输 入项有固定顺序，可以使用nJ功能跳过n个 输入项。如果卡片上所有数据项都想缺省， 只给出卡片助记名即可。有些卡片不给出 也有缺省值，如MODE N卡就可以省略。
计算材料学概述之蒙特卡洛方法详解课件
组合优化方法
针对组合优化问题，通过随机搜索和迭代优 化求解。
分子动力学模拟中的蒙特卡洛方法
01
分子动力学模拟是一种基于物理 模型的模拟方法，通过蒙特卡洛 方法可以模拟分子间的相互作用 和运动轨迹。
02
蒙特卡洛方法在分子动力学模拟 中主要用于求解势能面和分子运 动轨迹，通过随机抽样和迭代优 化实现分子运动状态的模拟。
重要性
随着科技的发展，计算材料学已成为 材料科学研究中不可或缺的工具，有 助于加速新材料的发现和优化现有材 料的性能。
计算材料学的主要研究方法
分子动力学模拟
01
基于原子或分子的动力学行为，模拟材料的微观结构和动态性
质。
蒙特卡洛方法
02
通过随机抽样和概率统计方法研究材料的宏观性质和相变行为
。
密度泛函理论
蒙特卡洛方法可以与分子动力学模拟结合，实现更精确的原子尺 度模拟。
元胞自动机
蒙特卡洛方法可以与元胞自动机结合，模拟复杂系统的演化过程。
有限元分析
蒙特卡洛方法可以与有限元分析结合，实现更高效的数值计算。
蒙特卡洛方法在材料设计中的应用前景
新材料发现
蒙特卡洛方法可用于预测新材料性能，加速新材料发现和开发进 程。
总结词
通过蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，包括界面润湿性、粘附力和传质过程等。
详细描述
利用蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，分析不同组分间的相互作用和界面结构， 预测材料的界面润湿性、粘附力和传质过程等性能，为复合材料的制备和应用提供理论
依据和技术支持。
蒙特卡洛方法的发
05
展趋势与展望
蒙特卡洛方法的未来发展方向
计算统计量
根据模型和抽样结 果，计算所需的统 计量或系统参数。
MonteCarlo蒙特卡洛法简介.ppt
实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后， 按照这个概率分 布抽取随机变量 （或随机向量），这一 般可以直接由软件包调用，或抽取均匀 分布的随机数构造。这样，就成为实现 蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这 也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原 因。
建立各种估计量
一般说来，构造了概率模型并能从中抽 样后，即实现模拟实验后，我们就要确 定一个随机变量，作为所要求的问题的 解，我们称它为无偏估计。建立各种估 计量，相当于对模拟实验的结果进行考 察和登记，从中得到问题的解。
例子
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其 内部的一个形状不规则的“图形”，如 何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法： 向该正方形“随机地”投掷N个点落于 “图形”内，则该“图形”的面积近似 为M/N。
比喻
可用民意测验来作一个不严格的比喻。 民意测验的人不是征询每一个登记选民 的意见，而是通过对选民进行小规模的 抽样调查来确定可能的民意。其基本思 想是一样的。
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现 的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。
原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。
2
2
T
T
Monte Carlo 模拟连续过程的欧式 期权定价-
.-0.4326 0.2877 -1.6656 -1.1465 0.1253 1.1909
精确性
由于Monte Carlo 方法的随机性，精确性 建立在大量的重复模拟上，最后去平均 值。
《蒙特卡罗方法》PPT课件
5
1.引言
Monte Carlo方法简史 简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史
1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
完整版ppt
L
d
p
2L d
6
1.引言
7 完整版ppt
1.引言
8 完整版ppt
1.引言
9 完整版ppt
23 完整版ppt
1.引言
注意以下两点： • Monte Carlo方法与数值解法的不同: ✓ Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
✓数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
• Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:
28 完整版ppt
2.MC基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。
➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
4. 编程进行计算机模拟
5. 获得统计量
j
17 完整版ppt
1.引言
MC的模拟方法－1 确定统计方案
1 确定统计模型 1) 现象 模型
随机现象Y＝Y(Xi)， Xi={X1, X2, X3,…}
2) 确定随机变量Xi的分布特征fi(x) 平均分布，指数分布，正态分布，Γ分布…
2 确定统计量
j
i lnim1nkn1ik(xi,...)
1.引言
蒙特卡罗方法PPT课件
第1页/共83页
蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
第2页/共83页
5.1 基本思想和一般过程
• Buffon投针实验
• 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计 值
L
d
p 2L
d
第3页/共83页
• 长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
分布的随机数的抽样，进行大量的计算随机模拟实验，从中获得随机变量 的大量试验值。各种概率模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分 布的随机变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基本、 最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩形分布)。随机数就 是具有这种均匀分布的随机变量。对于其他复杂概率模型的概率分布可以 用数学方法在此基础上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工 具。
方法就叫做简单抽样法或非权重随机抽样法。
• 随机抽样法的真正优势表现在对较高维积分的近似求解，诸如在多体动力
学和统计力学中所遇到的问题。蒙待卡罗方法对较高维体系的积分误差仍
是
，而这时梯形定则给出的误差变为1/m2/D，这里D为维数。
1m
第21页/共83页
5.3.1 简单抽样 • 将其推广到多维的情况
模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积 分、解线性方程组及偏微分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就 必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的问题的 解。
第10页/共83页
5.1 基本思想和一般过程 • (2) 实现从已知概率分布的抽样 • 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须实现从已知概率
蒙特卡洛方法的应用课件
化结构的设计参数。
材料属性模拟
蒙特卡洛方法可以模拟材料的物理和化学属性，如热导率、电 导率、扩散系数等，为材料的选择和应用提供依据。
结构可靠性分析
蒙特卡洛方法可以用于结构可靠性分析，通过模拟结构在 不同工况下的失效概率，评估结构的可靠性和安全性。
系统可靠性分析
系统可靠性评估
蒙特卡洛方法可以用于评估系统 的可靠性，通过模拟系统在不同 条件下的运行状态，评估系统的 可靠性和故障概率。
控制系统优化
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的优化，通过模拟控制系 统的不同参数和控制策略，优化控制系统的性能和稳定性 。
控制系统故障诊断
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的故障诊断，通过模拟控 制系统的运行状态和故障模式，诊断控制系统的故障和问 题。
05
蒙特卡洛方法在社会科学领 域的应用
人口统计学模拟
总结词
要点一
金融风险管理
蒙特卡洛方法可以用于评估金融衍生品的风险，通过模拟 标的资产价格的波动，计算出衍生品的价值及其波动性。
要点二
物理模拟
蒙特卡洛方法可以用于模拟物理现象，如粒子运动、气体 扩散等，通过大量模拟实验得出物理量的统计结果。
感谢您的观看
THANKS
它通过构造一个概率模型或随机过程 ，将需要求解的问题转化为一个概率 问题，然后通过大量的随机抽样来近 似求解该概率问题。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和中心极限定理，通过大量的随机抽样来逼近真实概率分布的特征 值或概率质量函数。
在每个抽样点上，根据问题的具体条件和约束，进行相应的计算和判断，最终得到问题的近似解。
化学反应模拟
总结词
蒙特卡洛方法在化学领域常用于模拟化 学反应的过程和机理。
材料属性模拟
蒙特卡洛方法可以模拟材料的物理和化学属性，如热导率、电 导率、扩散系数等，为材料的选择和应用提供依据。
结构可靠性分析
蒙特卡洛方法可以用于结构可靠性分析，通过模拟结构在 不同工况下的失效概率，评估结构的可靠性和安全性。
系统可靠性分析
系统可靠性评估
蒙特卡洛方法可以用于评估系统 的可靠性，通过模拟系统在不同 条件下的运行状态，评估系统的 可靠性和故障概率。
控制系统优化
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的优化，通过模拟控制系 统的不同参数和控制策略，优化控制系统的性能和稳定性 。
控制系统故障诊断
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的故障诊断，通过模拟控 制系统的运行状态和故障模式，诊断控制系统的故障和问 题。
05
蒙特卡洛方法在社会科学领 域的应用
人口统计学模拟
总结词
要点一
金融风险管理
蒙特卡洛方法可以用于评估金融衍生品的风险，通过模拟 标的资产价格的波动，计算出衍生品的价值及其波动性。
要点二
物理模拟
蒙特卡洛方法可以用于模拟物理现象，如粒子运动、气体 扩散等，通过大量模拟实验得出物理量的统计结果。
感谢您的观看
THANKS
它通过构造一个概率模型或随机过程 ，将需要求解的问题转化为一个概率 问题，然后通过大量的随机抽样来近 似求解该概率问题。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和中心极限定理，通过大量的随机抽样来逼近真实概率分布的特征 值或概率质量函数。
在每个抽样点上，根据问题的具体条件和约束，进行相应的计算和判断，最终得到问题的近似解。
化学反应模拟
总结词
蒙特卡洛方法在化学领域常用于模拟化 学反应的过程和机理。
《蒙特卡罗方法》课件
蒙特卡罗方法的优缺点
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。
蒙特卡罗模拟方法ppt课件
2，不可避免的出现重复问题 所以成为伪随机数
问题的解决：1.选取好的递推公式 2.不是本质问题
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
产生伪随机数的乘同余方法
▪ 乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的，它的一般形式是：对于
N
1
AaPbL2cQ2d
根据历史数据，预测未来。
1
AaPbL2cQ2d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f(P),f(L),f(Q)
模拟次数N；根据分
N
布函数，产生随机数
产生 N 个 A值
N
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
统计分析，估计 均值，标准差
X
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
1,0 x 1 f (x) 0,其他
分布函数为：
0, x 0
F
(x)
x,0
x
1
特征：独立性、均匀性 1, x 1
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
随机数的产生方法
▪ 随机数表 ▪ 物理方法 ▪ 计算机方法
概rg2(，r率2通)…，语过，…言某，r来N种，g说试(r）N，验)，的从，算将分得术相布到平应密Ｎ均的度个值Ｎ函观个数察随值f(r)机r中1，变抽r2量取，的Ｎ…值，个gr子N(r（样1)用，r1，
1 N
gN N i1 g(ri )
问题的解决：1.选取好的递推公式 2.不是本质问题
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
产生伪随机数的乘同余方法
▪ 乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的，它的一般形式是：对于
N
1
AaPbL2cQ2d
根据历史数据，预测未来。
1
AaPbL2cQ2d
收集P,L,Q数据，确定分布函 数 f(P),f(L),f(Q)
模拟次数N；根据分
N
布函数，产生随机数
产生 N 个 A值
N
抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型
统计分析，估计 均值，标准差
X
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
1,0 x 1 f (x) 0,其他
分布函数为：
0, x 0
F
(x)
x,0
x
1
特征：独立性、均匀性 1, x 1
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
随机数的产生方法
▪ 随机数表 ▪ 物理方法 ▪ 计算机方法
概rg2(，r率2通)…，语过，…言某，r来N种，g说试(r）N，验)，的从，算将分得术相布到平应密Ｎ均的度个值Ｎ函观个数察随值f(r)机r中1，变抽r2量取，的Ｎ…值，个gr子N(r（样1)用，r1，
1 N
gN N i1 g(ri )
蒙特卡洛方法ppt课件
8
Monte Carlo方法的发展历史
• 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可
以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问 题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大 战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问 题，美国数学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由 于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗， 即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称 ，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们 的普遍接受。
11
Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N 根据随机数在各风
险变量的概率分布
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
N个样本值
统计分析，估计均
值，标准差
x 1 sin
2
0 x a ，0
• 其中：
2 ，x
• 建立直角坐标系
，上述条件在坐标系下将
是曲线所P围 成Gg的的的面面曲积积 边 12梯0 a形sin区d域 。a2l 由几何概率知：
2
7
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2
Monte Carlo方法的发展历史
Monte Carlo方法的发展历史
• 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可
以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问 题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大 战期间，为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问 题，美国数学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由 于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗， 即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称 ，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们 的普遍接受。
11
Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N 根据随机数在各风
险变量的概率分布
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
N个样本值
统计分析，估计均
值，标准差
x 1 sin
2
0 x a ，0
• 其中：
2 ，x
• 建立直角坐标系
，上述条件在坐标系下将
是曲线所P围 成Gg的的的面面曲积积 边 12梯0 a形sin区d域 。a2l 由几何概率知：
2
7
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2
Monte Carlo方法的发展历史
《蒙特卡罗模拟》课件
蒙特卡罗模拟的基本原理
重复实验：多次重复抽样实 验，得到大量样本
统计分析：对样本进行统计 分析，得到估计值
随机抽样：从概率分布中随 机抽取样本
误差估计：计算估计值的误 差，评估模拟结果的准确性
蒙特卡罗模拟的应用领域
金融领域：风 险评估、投资 决策、期权定
价等
工程领域：可 靠性分析、优 化设计、系统
建立模型：根据问 题建立数学模型
设定参数：设定模 型中的参数
模拟实验：进行模 拟实验，验证模型 的准确性
实现随机抽样
确定抽样范围：确定需要抽样的总体范围
生成随机数：使用随机数生成器生成随机数
确定抽样方法：选择合适的抽样方法，如简单随机抽样、 分层抽样等
实施抽样：根据抽样方法，从总体中抽取样本
Part Four
蒙特卡罗模拟的案 例分析
金融衍生品定价
蒙特卡罗模拟在金融 衍生品定价中的应用
案例分析：期权定价 模型
蒙特卡罗模拟在期权 定价中的应用
案例分析：利率衍生 品定价模型
蒙特卡罗模拟在利率 衍生品定价中的应用
风险评估
蒙特卡罗模拟是一种风险评估方法，通过模拟随机事件来预测可能的结果 案例分析可以帮助我们更好地理解蒙特卡罗模拟的应用场景和效果 风险评估可以帮助我们更好地理解风险，并采取相应的措施来降低风险 蒙特卡罗模拟在金融、工程、医学等领域都有广泛的应用
统计分析：对计算得到的统计量进行统计分析，得出结论
分析和解读结果
蒙特卡罗模拟是一种随机模拟方法，通过模拟随机事件来估计概率分布
实现步骤包括：设定随机变量、设定随机数生成器、设定模拟次数、模拟随机事件、计算结 果
结果分析：通过模拟结果可以估计出概率分布，从而进行决策
蒙特卡洛方法第一讲PPT课件
扩散理论(diffusion theory)：根据在均匀介 质中中子流密度与中子通量密度的负梯度成正 比的假定描述中子扩散过程的近似理论。
扩散理论关注的重点在于通过扩散方程解决中 子通量密度与空间位置的关系。
2021/3/12
12
扩散方程可以通过对输运方程中泄漏项 的角分布函数进行1阶PN近似得到，也可以 通过类比分子扩散运动，利用斐克定律 (Fick’s Law)得到，不过要假定以下前提：
2021/3/12
28
1.5.1 与能量相关的稳态中子扩散方程
稳态单能中子扩散方程：
S ( r ) D 2 ( r ) a ( r ) 0
其中：
• 产生率： S ( r )
• 泄漏率： D2(r)
• 移出率（损失率）： a(r)
2021/3/12
29
在考虑能量变量后： • 产生率：
移出率（损失率）：
R = ( Σ a ( r , E ) + Σ s ( r , E ) ) φ ( r , E ) = Σ t ( r , E ) φ ( r , E )
2021/3/12
31
与能量相关的中子扩散方程
1∂φ(r,E,t) v ∂t
=∇•D∇φ(r,E,t)-Σt(r,E)φ(r,E,t)+
2021/3/12
16
常用边界条件
• i. 在扩散方程适用范围内，中子通量密度 的数值必须为正的有限实数：
0
2021/3/12
17
常用边界条件
• ii. 在两种不同扩散性质的介质交界面上， 垂直于分界面的中子流密度相等，中子通 量密度相等：
A
2021/3/12
B
x
18
扩散理论关注的重点在于通过扩散方程解决中 子通量密度与空间位置的关系。
2021/3/12
12
扩散方程可以通过对输运方程中泄漏项 的角分布函数进行1阶PN近似得到，也可以 通过类比分子扩散运动，利用斐克定律 (Fick’s Law)得到，不过要假定以下前提：
2021/3/12
28
1.5.1 与能量相关的稳态中子扩散方程
稳态单能中子扩散方程：
S ( r ) D 2 ( r ) a ( r ) 0
其中：
• 产生率： S ( r )
• 泄漏率： D2(r)
• 移出率（损失率）： a(r)
2021/3/12
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在考虑能量变量后： • 产生率：
移出率（损失率）：
R = ( Σ a ( r , E ) + Σ s ( r , E ) ) φ ( r , E ) = Σ t ( r , E ) φ ( r , E )
2021/3/12
31
与能量相关的中子扩散方程
1∂φ(r,E,t) v ∂t
=∇•D∇φ(r,E,t)-Σt(r,E)φ(r,E,t)+
2021/3/12
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常用边界条件
• i. 在扩散方程适用范围内，中子通量密度 的数值必须为正的有限实数：
0
2021/3/12
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常用边界条件
• ii. 在两种不同扩散性质的介质交界面上， 垂直于分界面的中子流密度相等，中子通 量密度相等：
A
2021/3/12
B
x
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2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些 客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事 先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然 不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他 们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人 们惊喜不已。
随机数的定义及其性质
▪ 随机数的定义
▪ 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随 机变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀 分布的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中 每一个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽 样问题。随机数是随机抽样的基本工具。
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
根据随机数在各风 险变量的概率分布 中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
蒲丰氏问题数学基础
▪ 上述问题简图室
蒲丰氏问题数学基础
▪ 分析知针与平行线相交的充要条件是：
x 1 sin
2
▪ ▪
其建中立：直0角坐x 标 a2系，0，x
，上述条件在坐标系下将是
曲线所围成的曲边梯形区域。由几何概率知：
P
g的面积 G的面积
1 2
sind
0
a
2l
a
2
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
1850
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596
1855
1894
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
▪
［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为：
1,0 x 1 f (x) 0,其他
▪
分布函数为： F ( x)
0, x x,0
0 x
1
1, x 1
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
随机数的定义及其性质
▪ 由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置， 我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知，
1
A aP bL2 cQ 2 d
N
收集P,L,Q数据，确定分布函数 f(P),f(L),f(Q)
抽取P,L,Q一组 随机数，代入
模型
N
模拟次数N；根据分布函数，
N
产生随机数
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
产生N个A值
2013年9月2日
统计分析，估计均 值，标准差
大连大学数学建模工作室
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
2013年9月2日
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实 现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有 了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间， 为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数 学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由于当时工作是 保密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个 赌城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法 的部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。
N个样本值
2013年9月2日
统计分析，估计均 值，标准差
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的框图实例
▪ 某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、劳 动生产率L、和原料及能源价格Q三个因素。
1
A aP bL2 cQ 2 d
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的思想框图实例
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
蒙特卡洛模拟方法
主讲人：李彬 大连大学数学建模工作室
2013年9月2日
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频 率”来决定事件的“概率”。从方法特征的 角度来说可以一直追溯到18世纪后半叶的蒲 丰（Buffon）随机投针试验，即著名的蒲丰 问题。
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
例.蒲丰氏问题
▪ 设针投到地面上的位置可以用一组参数 （x,θ）来描述,x为针中心的坐标,θ为 针与平行线的夹角,如图所示。
▪ 任意投针，就是意味着x与θ都是任意 取的，x的范围限于［0，a/2］，夹角θ 的范围限于［0，π］。
2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随 机数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的