蒙特卡洛方法 (MC) 方法
蒙特卡洛方法 (MC) 方法
MCC 方法蒙特卡罗方法的诞生蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon 投针实验。
法国数学家Buffon 用此实验来估算π值，它的原理是这样子的：在桌面上划一组间距为d 的平行线，然后向桌面上随意抛掷长度为L 的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到π值。
其中 [0,)A d ∈ [0,)x π∈ 由积分性质可得投针置于平行线上的概率为sin 12l d l p dAdx d πθππ==⎰⎰假如在N 次投针实验中，有M 次与平行线相交，则有2l M P d Nπ==图3.2Buffon 的投针实验图3.3 投针位置分析1930年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散，并设计了一个蒙特卡罗机械装置，用于计算核反应堆的临界状态。
冯.诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者,他与Stanislaw Ulam 合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器，从而使得蒙特卡罗方法得以推广，成为科学领域一种常用的模拟方法。
蒙特卡罗方法的基本思想对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立一个概率模型，即确定某个随机事件X ，使得待求问题的解等于随机事件X 出现的概率或随机变量的数学期望值。
然后进行模拟实验，重复多次地模拟随机事件X 。
最后对随机实验结果进行统计平均，求出X 出现的频数作为问题的近似解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
具体来说：假设所要求的量x 是随机变量的数学期望，那么近似确定x 的方法是对进行N次重复抽样，产生相互独立的值的序列、、……、，并计算其算术平均值：11NNnn Nξξ==∑根据大数定理有P (l i m )N N x ξ→∞==因此，当N 充分大时，下式 ()N E x ξξ≈=成立的概率为1,亦即可以用作为所求量x 的估计值。
用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为P 的随机事件A 。
考虑一个随机变量，若在一次试验中事件A 出现，则取值为1；若事件A 不出现，则取值为0。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由来蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。
由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。
第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。
如今MC 方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。
2、蒙特卡洛方法的核心—随机数蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。
因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。
在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。
由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3 ……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。
真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。
真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。
实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。
蒙特卡罗方法(MC)
蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。
它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。
即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。
最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。
随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。
随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。
蒙特卡洛方法
其中Dg s为N区域D N sDiN s的1g体(x积1(i),。x2 (这i), 是,数xs(值i))方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
N
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。
下面给出几个常用的α与的数值：
α 0.5 0.05 0.003
0.674 1.96 3 5
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
• 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
• 其P离2散中，型x…1分，为布x相2，的应直…的接为概抽离率样散，方型根法分据如布前下函述：数直的接跳抽跃样点法，，P有1，
• 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一 个合适的概率模型，依照该模型进行大量 的统计实验，使它的某些统计参量正好是 待求问题的解。
例：布冯(Buffon)投针实验
• 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向 此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
针与线相交概率
lim P
N
NXNE (X)x 2 1
xet2/2dt
x
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
P X N E (X ) N 2 20 e t2/2 d t1
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
物理问题的计算机模拟方法(2)—蒙特卡罗方法
第三章 随机性模拟方法—蒙特卡罗方法（MC ）§ 3.1 预备知识例：一个粒子在一个二维正方格点上跳跃运动随机行走：每一时间步上，粒子可选择跳到四个最近邻格点上的任何一个，而记不得自己来自何方；自回避行走：粒子记得自己来自什么地方，而回避同它自己的路径交叉。
随机行走的每一步的结果就是系统的一个状态，从一个状态到另一个状态的跃迁只依赖于出发的状态，这些状态形成一个序列，这就是一个马尔可夫链。
状态序列：x 0, x 1, …, x n , …已给出状态x 0, x 1, …, x n+1 的确定值，x n 出现的概率叫做条件概率 ()01,x x x -n n P 马尔可夫链的定义：如果序列x 0, x 1, …, x n , …对任何n 都有 ()()101,--=n n n n P P x x x x x 则此序列为一个马尔可夫链（或过程）。
§ 3.2 布朗动力学（BD ） 1．郎之万方程 v t R dtdvmβ-=)( 方程右边第一项为随机力，对粒子起加热作用；第二项为摩擦力，避免粒子过热。
将方程变形为：dt mvt R dt m v dv )(+-=β 于是，解可写为：])0()(11[)0( )0()(0)()(10⎰+≈⎰=---tt mt md v R m tm d ev R m ev eev t v tττββτττβ⎰+≈---t m t t md Re m ev 0)()(1)0( ττβτβ当随机力R(t)服从高斯分布时，上述方程的解描述的即为布朗运动，于是，布朗运动问题就化为在一些补充条件下求解郎之万方程，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=>=<>=<=+><--)( 2)()(2)0()(,0)()(222/2/12高斯分布R R B e R R P t T k R t R t R m t R m v dt dv πδββ 注：)()()(t t q t R t R '->='<δ 表示随机力R 在t 和t ’时刻没有关联, q 为噪声强度。
Monte Carlo 方法资料
Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo 方法的基本思想是: 为了求解某个问题 ， 建立一个恰 当的概率模型或随机过程 ， 使得其参量（如事件的概率、随机变 量的数学期望等）等于所求问题的解 ， 然后对模型或过程进行反 复多次的随机抽样试验 ， 并对结果进行统计分析 ， 最后计算所求 参量 ， 得到问题的近似解。
③ 收敛速度与问题的维数无关 ， 因此 ， 较适用于求解多维问题。
④ 问题的求解过程取决于所构造的概率模型 ， 而受问题条件限制的 影响较小 ， 因此 ， 对各种问题的适应性很强。
随机数的产生
1 随机数与伪随机数
Monte Carlo 方法的核心是随机抽样。 在该过程中往往需要各种各样分 布的随机变量其中最简单、最基本的是在［０ ，１］区间上均匀分布的 随机变量。 在该随机变量总体中抽取的子样 ξ １ ，ξ ２ ， … ，ξN 称为随 机数序列 ， 其中每个个体称为随机数。 用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法。 该方法的基本思想 是利用一种递推公式 ：
"quantum" Monte Carlo: random walks are used to compute quantum-mechanical energies and wavefunctions, often to solve electronic structure problems, using Schrödinger’s equation as a formal starting point;
即当 N 充分大时 ， 有 成立的概率等于１ ， 亦即可以用 ξN 作为所求量 x 的估计值。
根据中心极限定理 ， 如果随机变量 ξ的标准差 σ 不为零 ， 那么 Monte Carlo 方法的误差ε为
蒙特卡罗方法
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蒙特卡罗方法的基础知识
1. 连续型分布 2. 离散型分布 3. 概率密度分布
a) 均匀密度分布函数 b) 正态分布 c) 指数分布
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
随机数和随机
02
抽样
随机数和随机抽样
用蒙特卡罗方法在计算机上模拟一个随机过程，就是要产 生满足这个随机过程概率分布的随机变量。最简单和最基础的 随机变量就是[0,1]区间上均匀分布的随机变量，这些随机变 量的抽样值成为随机数。所以以后谈到随机数，如果不加特别 说明，就是指[0,1]区间上均匀分布的随机数。其他分布的随 机变量的抽样值可借助均匀分布的随机数得到。
蒙特卡罗方法的计算过程就是用统计方法模拟实际的物理过程，它主 要是在计算机上产生已知分布的随机变量样本，以代替昂贵的甚至难以实 现的实验。蒙特卡罗方法又被看作是用计算机来完成物理实验的一种方法。
随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法可以求解的另一类问题就是确定性问题。在 求解确定性问题时，首先要建立一个有关这个确定性问题的概 率统计模型，是所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望； 然后对这个模型做随机抽样；最后用其算数平均值作为求解的 近似值。
因此，用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后 要构造一系列的随机变量用以摸你这个的基础知识
随机变量及其分布函数 在一定条件下发生的事件分为必然事件（必然发生）、不可能事件
（恒不发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）。事件发生的可能性 大小用概率p表示。必然事件发生的概率为1，不可能事件的概率为0；随机 事件发生的概率为0≤p≤1.由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性， 一次测量得到的某个值是随机的。因此，实验观测的物理量实随机变量， 被研究的物理问题是一个随机事件。通常，描写随机事件A发生的概率用 p(A)表示，显然，0≤ p(A) ≤ 1。经常碰到的随机变量有两类：一类是离散型 随机变量，这种随机变量只能取有限个数值，能够一一列举出来：另一类 是连续型随机变量，这种随机变量的可能值是连续的分布在某个区间。
第七章 蒙特卡罗方法.
满足如下关系：
F ( x ) = p(ξ ≤ x ) = ∫
−∞
f ( x )dx
（1）均匀密度分布函数
在区间[a，b] 均匀密度分布定义为
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ x < a, x > b ⎩0
其中重要的特殊情况是 [0，1] 均匀密度分布：
⎧1 f ( x) = ⎨ ⎩0
存在
则函数
f ( x)
描写了
ξ
ξ
取值
x
的概率密度
f ( x )：随机变量
的概率分布密度
-0.6 0.5 f(v) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2 v/vp
2.5
3
3.5
4
概率密度函数的直方图： 处于平衡状态（温度T）N个粒子麦克斯韦速率
¾ 伪随机数（赝随机数）： 是指按照某种算法可以给出的似乎随机地出现的数 具有一定的周期 设其周期为 n，则第 n＋l 个数就等于第一个数，此后均依次重复出现。 当然，如果周期 n 足够大，可使在整个使用过程中不表现出其周期性。 例如：计算机中的伪随机数发出器要求其周期大于计算机的记忆单元数。 具有统计性质是表征随机数品质的另一重要指标。 9 总之，对随机数要求： 随机性+分布均匀
蒙特卡罗方法的基本思想:
A.直接蒙特卡洛模拟方法 • 对求解问题本身就具有随机性（宏观物理规律具有必然性）:
例如： 等离子体放电，中子在介质中的传播，核衰变过程，电子在固体中的散射等 ----按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接抽样试 验，然后计算其统计参数。
直接蒙特卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性 和优越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用 ----“计算机实验”
微观流体力学中的数值模拟技术
微观流体力学中的数值模拟技术微观流体力学是研究微米尺度下流体运动行为的一个分支学科。
在这个领域，微观粒子的运动和作用起着至关重要的作用。
但是，由于经验和理论模型的限制，微观粒子的解析解通常难以获得。
这时，数值模拟技术便成为了一种解决微观流体力学问题的有效手段。
本文将介绍微观流体力学中的数值模拟技术及其应用。
第一部分：微观流体力学中的数值模拟方法微观流体力学中的数值模拟方法通常分为分子动力学和蒙特卡罗方法两类。
下面将逐一介绍。
1.分子动力学方法分子动力学（Molecular Dynamics，MD）方法是将流体视为大量分子集合，并以牛顿运动方程为基础，通过计算每个分子的运动轨迹得出整个流体的运动状态。
常见的MD算法包括Verlet算法、Leapfrog算法、Velocity-Verlet算法等。
分子动力学方法的优点是可以考虑分子间的相互作用，能够获得各个方向的流体速度分布和物理量的统计分布，但是对于大规模系统计算量较大，难以处理相变等多相系统。
2.蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo，MC）方法是基于概率统计原理的一种数值计算方法，可获得宏观物理量的统计分布。
常用的MC算法有Metropolis算法、Kawasaki动力学算法等。
蒙特卡罗方法的优点是能够处理相变和相界面情况，适合处理多相系统，且计算量相对MD方法较小。
但是这种方法难以处理如空气动力学等宏观问题。
第二部分：微观流体力学数值模拟方法的应用微观流体力学数值模拟方法的应用十分广泛，下面将以三个案例进行介绍。
1.纳米流体管道的模拟纳米流体管道在微流控和纳流体力学研究中具有重要意义。
使用分子动力学方法对管道中的交付和转移过程进行探究，对了解纳米流体环境下的分子传输，以及微型流动和传质机理有重要意义。
在这种情况下，分子动力学中的非平衡分子动力学方法得到了广泛应用。
2.多组分流体的模拟在工程实际应用中，多组分流体在润滑油、生物学和食品加工等各领域中都有着广泛的应用。
mc算法原理
mc算法原理
MC算法原理是蒙特卡洛算法的简称。
蒙特卡洛算法是一种基于统计模拟的随机算法，可以用于解决复杂的计算问题。
MC算法原理的基本思想是通过随机取样来近似计算问题的解。
具体而言，MC算法通过生成大量的随机样本来模拟问题的概率分布或者数值分布，然后利用这些样本数据进行统计分析，得出问题的解或者近似解。
MC算法的主要步骤包括样本生成、统计分析和结果输出。
首先，根据问题的特点，设计合适的抽样方法生成具有代表性的随机样本。
其次，对生成的样本数据进行统计分析，比如计算样本均值、方差等参数，或者通过统计直方图、密度估计等方式得到问题的概率或者数值分布。
最后，根据统计分析的结果，输出问题的解或者近似解。
MC算法在众多领域中得到广泛应用。
在金融学中，可以用MC算法进行期权定价；在物理学中，可以用MC算法模拟粒子运动；在生物学中，可以用MC算法预测蛋白质的结构等等。
总之，MC算法原理是一种基于统计模拟的随机算法，通过生成大量的随机样本进行统计分析来近似计算问题的解。
它在各个领域都发挥着重要的作用，是一种强大而灵活的计算工具。
蒙特卡洛方法
第七章蒙特卡洛方法1蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法(M-C)又称之为随机取样法,统计模拟法,是利用随机数的统计规律来进行计算和模拟的方法.它可用于数值计算,也可用于数值仿真。
例计算园周率。
单位圆的面积是π,它在第一象限的面积为π/4,因此有π=41dx11dx2θ(1−x21−x22)其中θ是单位阶跃函数。
计算时，生成二维的等几率分布的随机数(x,y)，统计所有满足x2+y2<1的点数，计算它们与总点数之比，就是所求。
用M-C计算这个二维积分的指令是p=4/1000000*length(find(sum(rand(2,1000000).^2)<1))这里取N=106。
例氢原子电子云的模拟。
氢原子的基态（n=1,l=0,m=0）的电子分布几率密度函数是D=4r2 a31e−2r/a1,a1=5.29×10−2nm,D的最大值D max=1.1,r0=0.25nm是D的收敛点。
模拟是用点的密度来表示电子的几率分布密度。
模拟时先产生一个随机的电子轨道半径r=r0rand(1),显然有0≤r≤r0,由r计算出D(r)。
再产生一个随机的概率判据D0=D max rand(1),显然有0≤D0≤D max,然后进行判断，如果D(r)<D0,则舍弃它，反之就计算一个随机的角度值，θ=2πrand(1),最后得到的点的坐标是x=r cosθ,y=r sinθ。
在程序中使用矢量化编程以提高计算速度。
clear allN=600000;r0=25;a=0.529;r=r0*rand(1,N);Dr=4/a^3*r.^2.*exp(-2/a*r);D0=1.1*rand(1,N);DD=Dr-D0;r=r(find(DD>0));n=length(r);Q=2*pi*rand(1,n);[X,Y]=pol2cart(Q,r);plot(X,Y,’r.’,’marker’,’.’,’markersize’,1)r=0:0.01:20;Dr=4/a^3*r.^2.*exp(-2/a*r);figureplot(r,Dr)2等几率随机数的生成生成等一维几率随机数的指令是rand,可以用指令hist来检验它所生成的数。
mc法模拟计算x射线质量衰减系数
mc法模拟计算x射线质量衰减系数MC法模拟计算X射线质量衰减系数是一种常用于医学、工业、科研等领域的辐射学计算方法。
本文将详细介绍MC法的原理、应用以及计算步骤，以期为读者提供指导意义。
MC法，即蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation），是一种基于随机数的数值计算方法，模拟粒子的运动轨迹并统计其与介质相互作用的过程。
在X射线质量衰减系数的计算中，MC法可以模拟X 射线与物质相互作用的过程，从而得到X射线在不同介质中的衰减情况。
MC法的应用广泛。
在医学领域，MC法可以用于计算放射治疗过程中X射线的剂量分布，以优化放疗方案并保护患者的安全；在工业领域，MC法可以用于计算射线照射设备的剂量分布，以保证工作人员的安全；在科研领域，MC法可以用于模拟X射线与材料、生物组织等相互作用的过程，研究射线对物质的影响。
下面我们将介绍MC法计算X射线质量衰减系数的具体步骤：1. 确定模型：根据实际需求，确定X射线的能量范围和材料的性质，并建立相应的模型。
2. 生成射线：使用随机数生成器产生大量符合X射线能谱要求的射线。
3. 轨迹模拟：根据射线的起始位置和方向，并结合介质的性质，模拟射线在介质中的运动轨迹。
4. 相互作用模拟：根据不同介质的性质，模拟射线与介质相互作用的过程，如光电效应、康普顿散射等。
5. 计算剂量：根据射线与介质相互作用的结果，统计射线在介质中的剂量分布。
6. 衰减系数计算：根据统计得到的剂量数据，计算出X射线在不同介质中的质量衰减系数。
7. 结果分析：对计算得到的质量衰减系数进行分析，并与实验结果进行对比，评估模拟的准确性和可靠性。
MC法模拟计算X射线质量衰减系数具有一定的优势，如可以考虑到X射线与介质之间的相互作用的随机性，能够更真实地模拟实际情况。
但也存在一些挑战，如计算时间较长、计算结果受到随机数生成器的影响等。
总之，MC法模拟计算X射线质量衰减系数是一种有效的方法，可广泛应用于医学、工业、科研等领域。
蒙特卡洛介绍
蒙特卡洛方法解∏
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
用蒙特卡洛法在Excel 上对大学食堂的窗口服务状 态和排队等待问题进行模拟， 分别模拟了食堂在开设一个 窗口和两个窗口的情况下学 生的排队问题，通过500次 模拟的统计分析得出，该方 法具有简便、易行、实用性 强的特点，为决策者提供了 参考依据。
我要 吃饭
蒙特卡洛的基本思想及产生
假设所要求的x是随机变量 的数学期望 ， 那么近似确定x的方法是对 进行N次重复抽样，产生 相互独立的 值的序列 ，并计算其算术 平均值：
根据克尔莫格罗夫加强大数定理有：
因此，当N充分大时， 成立的概率为1，亦即可以用 值。
作为所求量x的估计
蒙特卡洛的基本思想及产生
MC理论依据: 均匀分布的算术平均收敛于真值 (大数法则) 置信水平下的统计误差 (中心极限) MC方法可以解决的问题： 确定性的数学问题，如计算多重积分，求逆矩， 解线性方程组等。 随机性问题，如中子在介质中的扩散等。
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
学生到达时间间 完成时间 总逗留时间
交通运输工程montecarlo蒙特卡洛的基本思想及产生蒙特卡洛的方法基础用蒙特卡洛方法解用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题目录蒙特卡洛方法的优缺点及发展蒙特卡洛的基本思想及产生mc蒙特卡洛的基本思想及产生假设所要求的x是随机变量的数学期望那么近似确定x的方法是对进行n次重复抽样产生相互独立的值的序列并计算其算术平均值
[x] 表示不超过x的最大整数
X=a (mod M) 表示x等于a被M除的余数
蒙特卡洛的方法基础
伪随机数的产生
例：十进制2s=4,并取
则 =6406，
=6406，
=41036836，
而
蒙特卡洛方法
2. 生日问题
在座 60 人，生日在同一天的概率是多少？ （1）理论计算 （2）实验模拟
3. 定积分的计算
（1）计算
1 x2 e 0
dx
1 1 0 x2
（2）通过计算4
dx来求 π。
4. 超市收款问题
超市有两个出口的收款台， 两项服务： 收款、 装袋。 两名职工在出口处工作。 有两种安排方案：开一个出口，一人收款，一人装袋，或者开两个出口，每个人 既收款又装袋。问商店经理应选择哪一种收款台的服务方案。 选择服务方案的标准： 1、顾客平均等待时间最短 2、每分钟服务的顾客数量最多 3、服务的工作效率最高 （除去空闲时间， 每位职工每分钟实际服务顾客数最多） 目标： （1）编写两种情况下的仿真程序，根据两个模拟结果评价两个方案，确定 出口处收款台安排方案。 （2） 对两种服务方案分别模拟 30 分钟内收款台的排队情况，通过比较确定首选 方案。 假设： （1）顾客到达收款台是随机的，服从规律： 40%的时间没有人来，30%的时间 有一个人来，30%的时间有 2 个人来。 （2）收款装袋的时间是相同的
（3）在第一种方案中，收款与装袋同时进行 或假设： （1）顾客到达收款台是随机的，平均时间间隔为 2 分钟，即间隔时间服从均值 为 2 的指数分布。 （2）顾客购买的货物量不同，因此服务时间的长短随机。两位工作人员分别收 款装袋，对顾客服务时间服从正态分布 N（1，1/3）, 一位工作人员既收款又装 袋，对顾客服务时间服从正态分布 N（1，2/3） 。 第一类假设的思路：顾客到达收款台的规律是：40%的时间没有人来，30%的时 间有 1 个人来， 30%的时间有 2 个人来。 首先模拟十分钟内顾客到达收款台情况。 每分钟到达收款台的人数是随机变量 n：{0,1,2}, 具有分布列 n 0 1 2 p 0.4 0.3 0.3 模拟方法： 取（0，1）区间内均匀分布随机数 y=rand， 记 n 为新到的顾客数，L 是队列长，Tao 是服务时间，T1 是总和排队时间，T2shi 总和服务时间，则 当 0<y<0.4 时，令 n=0 当 0.4<y<0.7 时，令 n=1 当 0.7<y<1 时，令 n=2. 每分钟记录一次系统状态， 模拟 10 分钟， 得到 n 的值， 寻找几个量之间的关系。 想想这样做的道理是什么？ 把整个仿真过程分成许多相等的时间间隔 每个间隔为一个时间单位-时间步长 在每个时间步长内模拟系统的动态 仿真时钟：用以控制时间步进的过程，每一次步进一个步长。 注意：每重复一次模拟所得到的结果都不一样，需要经过多次模拟，求得统计意 义上的顾客平均等待时间，以及平均每分钟服务的顾客人数。
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MCC 方法
蒙特卡罗方法的诞生
蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon 投针实验。
法国数学家Buffon 用此实验来估算π值，它的原理是这样子的：在桌面上划一组间距为d 的平行线，然后向桌面上随意抛掷长度为L 的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到π值。
其中 [0,)A d ∈ [0,)
x π∈ 由积分性质可得投针置于平行线上的概率为sin 1
2l d l p dAdx d π
θ
π
π
==
⎰
⎰
假如在N 次投针实验中，有M 次与平行线相交，则有2l M P d N
π=
=
图3.2
Buffon 的投针实验
图3.3 投针位置分析
1930年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散，并设计了一个蒙特卡罗机械装置，用于计算核反应堆的临界状态。
冯.诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者,他与Stanislaw Ulam 合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器，从而使得蒙特卡罗方法得以推广，成为科学领域一种常用的模拟方法。
蒙特卡罗方法的基本思想
对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立一个概率模型，即确定某个随机事件X ，使得待求问题的解等于随机事件X 出现的概率或随机变量的数学期望值。
然后进行模拟实验，重复多次地模拟随机事件X 。
最后对随机实验结果进行统计平均，求出X 出现的频数作为问题的近似解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
具体来说：
假设所要求的量x 是随机变量的数学期望
，那么近似确定x 的方法是
对进行N
次重复抽样，产生相互独立的值的序列、、……、，并计算其算术平均值：
1
1
N
N
n
n N
ξξ
==∑
根据大数定理有
P (l i m )
N N x ξ→∞
==
因此，当N 充分大时，下式 ()N E x ξξ≈=
成立的概率为1,亦即可以用
作为所求量x 的估计值。
用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为P 的随机事件A 。
考虑一个随机变量，若在一次试验中事件A 出现，则取值为1；若事件A 不出现，
则
取值为0。
令q=1-p ，那么随机变
量
的数学期
望
，此即一次试验中事件Ａ出现的概率。
的方差。
假设在Ｎ次试验中事件Ａ出现v次，那么观察频数v也是一个随机变量，其数学期望，方差。
令，表示观察频率，那么按照
加强大数定理，当Ｎ充分大时，式=p成立的概率等于1。
因此由上述模型得到的频率近似地等于所求量p。
这就说明了频率收敛于概率，而且可以用样本方差
2
(1) ()
1
p p p
N
σ
-=
-
作为理论方差2()p
σ的估计值[13]。
碰撞问题
等离子体中存在大量运动着的电子、离子、中性粒子，它们之间不断发生着各种类型的碰撞。
一般的蒙特卡罗碰撞是采用碰撞时间随机的方法。
而PIC方法中的MCC模型不同于一般的蒙特卡罗碰撞。
在PIC方法中，粒子推进和场推进的时间步长是固定的，采用在一个时间步长内随机决定粒子之间是否发生碰撞来实现蒙特卡罗碰撞[10]。
首先给定初始电磁场和初始粒子，在电场和磁场的作用下按照牛顿力学及洛伦滋方程处理碰撞粒子对的位置和速度，得到一个时间步长后的粒子的新位置和速度。
然后根据粒子运动前后的位置和速度，在空间网格上分配电荷、电流密度，最后利用Maxwell方程组求解新的电场和磁场。
再在新的电场和磁场下更新粒子位置和速度，如此循环下去，模拟出等离子体的动态物理过程。
并采用蒙特卡罗模型得到碰撞后的位置和速度。
图3.4 碰撞截面示意图（摘自[12]）
两粒子发生碰撞的碰撞截面定义如上图所示，可得碰撞截面
2(12)r r σπ=+ 每个时间步长内发生碰撞的概率：
,1exp(())c i j i P n
l σε=--∆
程序结构
图程序流程图。