第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

合集下载

数学(文)二轮复习通用课件:专题五第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题共54页

数学(文)二轮复习通用课件:专题五第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题共54页
就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智,自知者明。胜人者有力,自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
数学(文)二轮复习通用课件:专题 五第四讲大题考法——圆锥曲线中的
定点、定值、存在性问题
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事, 只想现 在的事 。现在 有成就 ,以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人,心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前,莽撞的 人只能 引为烧 身,只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。

圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题

圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题

(2)设 A、B、P 点的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、
P(0,y0).
考 点
显然直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k,
训 练
核 心
则直线 l 的方程是 y=k(x-m).
高 效




菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何


将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并
础 要 点
1.(2013·焦作模拟)椭圆 G:ax22+by22=1(a>b>0)的两
整 合
个焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上的一点,且满
解 题 规 范 流 程
足F→1M·F→2M=0.
(1)求离心率的取值范围;
(2)当离心率 e 取得最小值时,椭圆上的点到焦点的
最近距离为 4( 2-1).
解答题
难度 较难
此类以直线和圆锥曲线为载体,求某些

考查 内容
定值问题,常与一元二次方程、函数、 向量、数列等知识交汇命题,其实质是 考查直线与圆锥曲线的位置关系,该类


问题一般以证明题或探究的形式出现.









菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何
基 础 要
解 题 规

点 核 心
又 k≠0,∴- 294<k<0 或 0<k< 294,
练 高 效
突 破
∴所求的 k 的取值范围是-
294<k<0 或 0<k<
94 2.

高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

10
设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 由x42+y32=1, 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
y=k(x-1) 则 x1+x2=3+8k42k2,x1x2=43k+2-4k122, |AB|= 1+k2·|x1-x2|= 1+k2· (3+8k42k2)2-4×43k+2-4k122=12(3+1+4kk22).
4
直线 MA 的方程为 y+1=xy11++12(x+2),则 P-4,-2(x1y+1+2 1)-1, 即 P-4,-(mmy1+-22)y1. 直线 NA 的方程为 y+1=xy22++12(x+2),则 Q-4,-2(x2y+2+2 1)-1, 即 Q-4,-(mmy2+-22)y2.
5
所以||BPBQ||=(mmy+1-2)2 y1(mmy+2-2)2 y2 =mmyy11yy22- -22yy12=mm8822++mm 44--22yy21 =yy11+ +yy22- -22yy12=1. 综上,||BPBQ||=1.
圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
1
定值问题
(2020·高考北京卷)已知椭圆 C:xa22+by22=1 过点 A(-2,-1),且 a= 2b. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 B(-4,0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N,直线 MA,NA 分别交直线 x=-4 于点 P,Q,求||BPBQ||的值.
17
圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为 坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新

(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新

(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新人教A版的全部内容。

第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a〉b〉0)的上顶点为P,右顶点为Q,直线PQ与圆x2+y2=错误!相切于点M错误!.(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且错误!·错误!=0,求证:直线l 过定点.解:(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率k OM=2,则直线PQ的斜率k PQ=-错误!=-错误!,所以直线PQ的方程为y-错误!=-错误!错误!,即x+2y=2.可求得P(0,1),Q(2,0),故a=2,b=1,故椭圆C的方程为错误!+y2=1.(2)证明:当直线l的斜率不存在时,显然不满足条件.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+n(n≠1),由错误!,消去y整理得(4k2+1)x2+8knx+4(n2-1)=0,Δ=(8kn)2-4×4(4k2+1)(n2-1)=16(4k2+1-n2)〉0,得4k2+1〉n2。

①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=错误!,x1x2=错误!.②由错误!·错误!=0,得(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=0,又y1=kx1+n,y2=kx2+n,所以(k2+1)x1x2+k(n-1)(x1+x2)+(n-1)2=0,③由②③得n=1(舍),或n=-错误!,满足①.此时l的方程为y=kx-错误!,故直线l过定点错误!。

第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

第四讲  大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

ac= 22, [解] 由题意得2ab2= 2,
a2=b2+c2,
a= 2, 解得b=1,
c=1,
∴椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)在直线 x=2 上是否存在点 D,使得△DAB 为正三角形?
若存在,求出 D 点的坐标;若不存在,请说明理由. [解] 存在,理由如下:
ห้องสมุดไป่ตู้
设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的 中点为 M.
y-y1=kx-y412,
联立方程得y-y1=kx-y421, y2=4x
消去 x,整理得
ky2-4y+4y1-ky21=0, ∵M 是切点,∴Δ=16-4k(4y1-ky21)=0, 即 4-4ky1+k2y21=0,解得 k=y21,
∴直线 PM 的方程为 y-y1=y21x-y421,即 y=y21x+y21, 同理得直线 PN 的方程为 y=y22x+y22,
第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与 系数的关系正确写出;
第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中 涉及的位置关系和数量关系;
第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何 问题中.
在求解时,要根据题目特征,恰当的设点、设线,选用恰当 运算方法,合理地简化运算.
[典例] (2018·稽阳联谊学校高三联考) 已知离心率为 23的椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)
kDM=-m, 由于△DAB 为正三角形,则有d= 23|AB|,
即|mm12t++-m21|2t==-23×2m23-23×mmm,22++21,
解得 m=± 22,则 t=±452.
∴存在点 D2,±452满足题意.

圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

解答
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于 点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.
证明
3.已知椭圆
E:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率是
23,点
P1,
23在椭圆
E
上.
(1)求椭圆E的方程;
ac= 23, 解 由题意得a12+43b2=1,
解答
(2)过F(1,0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G,H和M,N,且 E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.
证明
5.已知焦距为 2 2的椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的右顶点为 A,直线 y=43与 椭圆 C 交于 P,Q 两点(P 在 Q 的左边),Q 在 x 轴上的射影为 B,且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆C的方程;
解答
模板答题规范练
模板体验
典例 (12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行 于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点m3 ,m,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平 行四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.
方法技巧 (1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t, 由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0). (2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量 恒成立,令其系数等于零,得出定点.
4.已知两点 A(-
2,0),B(

圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题

圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
圆锥曲线的热点问题——定点、定值、探索性问题
索引
1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思想是明确的, 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等,而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点,就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
索引
思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变 化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与 变量无关.
索引
类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
索引
代入椭圆方程整理得 λ2(x21+3y21)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2. 又∵x21+3y21=3b2,x22+3y22=3b2, x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2=32c2-92c2+3c2=0, ∴λ2+μ2=1,故 λ2+μ2 为定值.
索引
又∵O→N∥a,∴13=ba22,∴a2=3b2, 故椭圆方程为 x2+3y2=3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y=x-c. 联立yx=2+x3-y2c=,3b2, 得 4x2-6cx+3c2-3b2=0. ∴x1+x2=32c,x1x2=3c2-4 3b2=38c2. 设 M(x,y),则由O→M=λO→A+μO→B可得xy==λλyx11++μμyx22,,

2020年高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版)

2020年高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版)

2020年高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量,那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值•解决这类问题的一般思路是:(1) 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等.(2) 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.(3) 求解定点、定值问题,如果事先不知道定点、定值,可以先对参数取特殊值,通过特殊情况求出这个定点、定值,然后再对一般情况进行证明.2 2 —【例1】已知椭圆C: x? +右=l(a>b>0)的离心率为乎,点Q b,-[在椭圆上,0为坐a b 2< b J标原点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知点P, M , N为椭圆C上的三点,若四边形OPMN为平行四边形,证明四边形OPMN的面积S 为定值,并求该定值.题组训练一圆锥曲线中的定点、定值问题2 2已知椭圆C : X2+ y2= 1过A(2,o), B(0,1)两点.a b(1) 求椭圆C的方程及离心率;(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.题型二圆锥曲线中的范围问题题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1.数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解.2.构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解.3.构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.【例2】设圆F i:/+ y2+ 4x= 0的圆心为F i,直线I过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直,且与圆F i相交于两点C、D,过F2作F i C的平行线交直线F i D于点E.(1)证明||EF i|—|EF2||为定值,并写出点的轨迹方程;⑵设点E的轨迹曲线与直线I交于M, N两点,过F2且与垂直的直线与圆F i交于P, Q两点,求△ PQM与厶PQN的面积之和的取值范围.题组训练二圆锥曲线中的范围问题设圆x2+ y2+ 2x—i5 = 0的圆心为A,直线I过点B(i,O)且与x轴不重合,I交圆A于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(i)证明|EA|+ |EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;⑵设点E 的轨迹为曲线 C i ,直线I 交C i 于M , N 两点,过B 且与I 垂直的直线与圆 A交于P , Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.题型三圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在, 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3) 当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.(1)求椭圆C 的方程;⑵设过点A(4,0)的直线I 与椭圆相交于 M , N 两点(点M 在A , N 两点之间),是否存在 直线I 使厶AMF 与厶MFN 的面积相等?若存在,试求直线I 的方程;若不存在,请说明理由. 【例3】已知椭圆2 C : X2 + a 2 i 『3 ] 治=1(a>b>0)的离心率为",且过点P 1,- F 为其右焦点.题组训练三圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C: x2= 2py(p>0)的焦点为F,直线2x—y+ 2= 0交抛物线C于A, B两点,P 是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.⑴D是抛物线C上的动点,点E(—1,3),若直线AB过焦点F ,求|DF|+ |DE |的最小值;(2)是否存在实数p,使|2QA+ QB|=|2QA —QB| ?若存在,求出p的值;若不存在,说明理由.题型四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题,主要有两种方法: 一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解•求最值方法有:(1) 利用基本不等式求最值时要注意一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.(2) 通过代换、拆项、凑项等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.【例4】已知P为圆A: (x+ 1)2+ y2= 12上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T,记点T的轨迹为r(1)求曲线『的方程;⑵设M , N是『上的两个动点,MN的中点H在圆x2+ y2= 1上,求原点到MN距离的最小值.题组训练四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题2 2 . ixOy中,椭圆C: *+器=1(a>b>0)的离心率是今,抛物线E: x2= 2y 的焦点F是C的一个平面直角坐标系顶点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线I与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证:点M在定直线上;51②直线I与y轴交于点6,记厶PFG的面积为S,△ PDM的面积为求三的最大值52及取得最大值时点P的坐标.【专题训练】1已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为¥,它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程;⑵设椭圆的上顶点为A,过点A作椭圆C的两条动弦AB, AC,若直线AB, AC斜率之积为1直线BC是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理4由.2. 已知两点A( —2, 0), B(,2, 0),动点P在y轴上的投影是Q,且2PA PB = |PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程;⑵过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G, H , M , N,且E i, E2分别是GH ,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.2 2 23. 如图,椭圆E:字+存=1(a>b>0),经过点A(0, —1),且离心率为才(1)求椭圆E的方程;⑵经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q(均异于点A),证明: 直线AP与AQ的斜率之和为定值.24. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率为双曲线y2—号=1离心率的一半,直线y = x被椭圆E截得的线段长为一.直线|: y = kx+ m与y轴交于点P,与椭圆E交于A, B两个相异点,且AP =沪B.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在实数m,使OA + ^0B= 40P?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.。

高考数学圆锥曲线定点、定值、存在性问题

高考数学圆锥曲线定点、定值、存在性问题
所以直线MQ的方程为y=m(x+2),必过定点(-2,0).
方法二 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3), 因为点P与点M关于x轴对称,所以y3=-y1, 设直线PQ的方程为x=ty+2, 代入y2=4x得y2-4ty-8=0,所以y1y2=-8, 设直线MQ的方程为x=my+n, 代入y2=4x得y2-4my-4n=0, 所以y2y3=-4n, 因为y3=-y1, 所以y2y3=-y1y2=-4n=8,即n=-2, 所以直线MQ的方程为x=my-2,必过定点(-2,0).
(2)试问直线MQ是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不 是,请说明理由.
解 方法一 因为点P与点M关于x轴对称, 所以设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1), 设直线PQ的方程为y=k(x-2), 代入y2=4x,得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0, 所以x1x2=4, 设直线MQ的方程为y=mx+n, 代入y2=4x,得m2x2+(2mn-4)x+n2=0, 所以 x1x2=mn22=4, 因为x1>0,x2>0, 所以mn =2,即 n=2m,
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.
解 以MN为直径的圆一定过点F,理由如下: 设A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线AB的方程为x=my+1(m∈R),代入抛物线C:y2=4x, 化简整理得y2-4my-4=0, 则yy11+ y2=y2= -44m,, 由(1)知P(4,4), 所以直线 PA 的方程为 y-4=xy11- -44(x-4)=myy1-1-43(x-4), 令 x=-1 得 y=4mm-y15-y31+8,

专题五圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

专题五圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) __________________________ 热点分类突破 __________________________-典例研撕 各吓击區-热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1) 分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2) 注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3) “先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明 确的方向.例1已知P (0,2)是椭圆C : a 2+b 2 =l (a >b >0)的一个顶点,C 的离心率e=g.(1)求椭圆的方程;⑵过点P 的两条直线l 1,l 2分别与C 相交于不同于点P 的A , B 两点,若*与12的斜率之和 为一4,则直线AB 是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.厂b = 2 ,解(1)由题意可得c =¥,a 3—2 - b 2 + c 2 ,解得a -眉,b-2 , c -辭,・•・椭圆的方程为手+芍-1. ⑵当直线AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y - kx + t , A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),y-kx + t ,联立,x 2 y 2消去y 并整理, X 2 + y 2 — 1€ 6 4' 可得(3k + 2)x 2 + 6ktx + 3t 2 - 12-0 ,- 36(kt )2 - 4 x (3k 2 + 2)⑶2 - 12)>0 ,即24(6k2-t2+4)>0,则x i+x2_^^^- ,x i x2_3^-121 23k2+2 1 23k2+ 2由l1与l2的斜率之和为-4 , 可得y!-+ y2-_-4,x1 x2又y i = kx1 + t, y2二kx2+1 ,y1- 2 _ y2- 2 _ kx1+1 - 2 _ kx2+1 - 2 . + _ +x1 x2 x1 x2- 6kt(t - 2)・----(t - 2)(x1+ x2) 3k2 + 2_2k+1——忆 _2k+ _- 4 ,3t2 - 12x1x23k2+2化简可得t二-k - 2 ,.*.y _ kx - k - 2 _ k(x - 1) - 2 ,•°•直线AB经过定点(1 , - 2).当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x _ m , A(m , yj , B(m , y2),y i-2,y2-2_y i+y2-4,m m m又点A, B 均在椭圆上,. A , B 关于x 轴对称,. y i+ y2_ 0,. m_ i,故直线AB的方程为x_1 ,也过点(1 ,-2),综上直线AB经过定点,定点为(1 , - 2).跟踪演练1 (2019・攀枝花模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(4,t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值;(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A, B(均与P不重合),直线PA, PB分别交抛物线的准线l于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解 ⑴由抛物线定义可知I PF I 二4 f 2)二5,解得P 二2 ,故抛物线C 的方程为y 2二4x ,将P (4 , t )(t >0)代入抛物线方程解得t 二4.⑵以MN 为直径的圆一定过点F ,理由如下:设 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),设直线AB 的方程为x 二my + l (m 丘R ),代入抛物线C :y 2 = 4x , 化简整理得y 2 - 4my -4 = 0,环2 二-4,由⑴知P (4,4),所以直线PA 的方程为y -4二乩三(x -4)二丄三(x -4), x l - 4 my l - 3令x =-1得y 二的-5)儿+ 8, my l - 3__ - (4m - + 8、即 M - 1 , ------ 丛一,€ m y 1 -3 丿 同理可得j - 1 ,的-5汕+ 8€ m y 2 - 3 丿(4m - 5)y〔 + 8 (4m - 5)y 2 + 8 (2m - D 2y 1y 2 + (8m - 10)(y 1+y 2) + 16m 2y 1y 2- 3m (y 1+ y 2)+ 9-4(2m - |,2 + 4m (8m - 10) + 16-4m 2 - 3m ・4m + 916m 2- 9= 二-1 ,- 16m 2+ 9:.MF 丄NF , 故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF ・NF=0).热点二 定值问题 :'k MF k NF2(my 1 - 3) 2(my 2 - 3)求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.例2已知椭圆C:02+b2=l(a>b>O)经过点(0, V3),离心率为2,左、右焦点分别为厲(一c,0),F2(c,0).(1)求椭圆C的方程;3(2)P, N是C上异于M的两点,若直线PM与直线PN的斜率之积为一4证明:M, N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0,间,所以b =\:3 , 又因为e二2,所以V,2 a 2又C2 = a2~ b2 ,解得a 二 2 , b 二护, 所以椭圆C的方程为》+等二1.⑵证明设P , M , N三点坐标分别为(x p, y p) , (x M, y M) , (x N, y N), 设直线PM , PN斜率分别为k i, k2, 则直线pM方程为y~y p = k1(x - x P),x2+y2 二 1 由方程组,4 3' 消去y,得、y-y P二k1…x - x P(3 + 4k#)x2 - 8k1(k1x p- y p)x + 4k x p - 8k1x p y p+ 4y p - 12 二0 , 由根与系数的关系可得x +x二贴伙1Xp - yp),M p3+ 4k21故x_8k1(k1x p-y p) X_ 4k2x p- 8k”- 3x p,M_ 3 + 4* p_ 3 + 4k2 '从而 X N + X M =0,即 M ,N 两点的横坐标之和为常数 0.跟踪演练2 (2019.四川百校冲刺卷)已知椭圆C : X 2+y 2=l 的左、右焦点分别为F ], F 2,点 P (m , n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l : x =4的距离为d 证明:韵为定值;⑵若0V m V 2, A , B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合),且直线PA , PB 的斜率互为 相反数,求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知,得a 2 = 4 , b 2 = 3 , :.C 2 = a 2 - b 2=1 ,即 F 1(- 1,0), F 2(1,0).(2)解 当0 < m < 2时,则n M 0 ,直线PA , PB 的斜率一定存在.同理可得S + Xp 二 sag 一 y p )3+4k 22.d…l PF 2l 2 为定值.2l m - 4l设 A (X 1, y 1) , B (x 2 , y 2),直线 PA 的斜率为 k ,则直线PA 的方程为y - n 二k (x - m ),即y-kx- km + n ,与椭圆C 的方程3x 2 + 4y 2二12 , 联立组成方程组,消去y ,整理得,(3 + 4k 2)x 2 - 8k (km - n )x + 4(km - n )2 - 12-0.工是4(km - n )2 - 12 于疋 x 二 ',y - kx, - km + n . 1 (3 + 4k 2)m I II 1根据直线PB 的斜率为-k ,将上式中的k 用-k 代替,4( - km - n )2 - 12 4(km + n )2 - 12 得x 二 - 2 [3 + 4( - k )2]m (3 + 4k 2)my 2-- kx 2+ km + n .于是 y 1 - y 2 二(kx 1 - km + n ) - (- kx 2 + km + n )- k (x 1+ x 2)- 2km(3 + 4k 2)m (3 + 4k 2)m 8(k 2m 2 + n 2)- 24 - 2m 2(3 + 4k 2) k •一(3 + 4k 2)m8n 2- 24- 6m 2注意到 3m 2+ 4n 2- 12,得 12- 4n 2- 3m 2,(3 + 4k 2)m k ,4(km - n )2 -12x 1 - x 2 -II 2 (3 + 4k 2)m 由根与系数的关系,得m ・x i4(km - n )2 - 123 + 4k 2 -k 4(km - n )2 - 12 4(km + n )2_ 2km4(km + n )2- 12 (3 + 4k 2)m 4[(km - n )2 - (km + n )2] _ - 16kmn(3 + 4k 2)m(3 + 4k 2)m 因此,直线AB 的斜率为J y^2 x 1 -x 2_ (8n2 - 24 - 6m2)k-16kmn_ 3m2- 4n2+ 12 _ 6m2 _3m_ 寸9- 3m8mn 8mn 4n 2n热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.例3 (2019•乐山、峨眉山联考)已知椭圆G:a2+b2=1(a>b>0)过点人(1,和点B(0,T)・⑴求椭圆G的方程;(2)设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M, N,记线段MN的中点为P,是否存在实数m,使得I BM I = I BN I?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.解(1)椭圆G:a+b2_1(a>b>0)过点A,1,普…和点B(0,-1),:.b_1 ,由丄+ — _ 1,解得。

圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一:直线过定点问题①设直线为m kx y +=,根据题目给出的条件找出m 与k 之间的关系即可②求出两点的坐标(一般含参数),再求出直线的斜率,利用点斜式写出直线的方程,再化为()()n m x k f y +-=的形式,即可求出定点。

考点二:定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.③求斜率,面积等定值问题,把斜率之和,之积,面积化为坐标之间的关系,再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三:定直线问题①一般设出点的坐标,写出两条直线的方程,两直线的交点及两个直线中的y x ,相同,然后再用韦达定理带入化简即可得y x ,的关系即为定直线【题型目录】题型一:直线圆过定点问题题型二:斜率面积等定值问题题型三:定直线问题【典型例题】题型一:直线过定点问题【例1】已知点()1,1P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上,椭圆C 的左右焦点分别为1F ,2F ,12PF F △的面(1)求椭圆C 的方程;(2)设点A ,B 在椭圆C 上,直线PA ,PB 均与圆()222:01O x y r r +=<<相切,记直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k .(i )证明:121k k =;(ii )证明:直线AB 过定点.,即可求椭圆若10m k +-=,则直线():111AB y kx k k x =+-=-+,此时AB 过点P ,舍去.若330m k ++=,则直线():3333AB ykx k k x =--=--,此时AB 恒过点()3,3-,所以直线AB 过定点()3,3-.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点,直线1F A 与1F B 关于x 轴对称,证明:直线l 恒过一定点.【例3】已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的上顶点为P ,右顶点为Q ,其中POQ △的面积为1(O 为原点),椭圆C(1)求椭圆C 的方程;(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且0PA PB ⋅=,求证:直线l 过定点.【例4】已知椭圆C :221(0)x y a b a b+=>>过点()2,0A -.右焦点为F ,纵坐标为2的点M 在C 上,且AF ⊥MF .(1)求C 的方程;(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ,纵坐标不为0的点P 为C 上一动点,过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ,证明:直线PQ 过定点.的坐标代入椭圆【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.【例5】已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为2,其左、右焦点分别为1F ,2F ,T 为椭圆C 上任意一点,12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知()0,1A ,过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,直线AM ,AN 与x 轴的交点分别为P ,Q ,证明:以PQ 为直径的圆过定点.【题型专练】1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为A 到右焦点F 的距离为3.(1)求椭圆C 的方程(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ,N (不同于A ),且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求证:l 经过定点.2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3,且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程;(2)点M ,N 在椭圆C 上,且AM AN ⊥.证明:直线MN 过定点,并求出该定点坐标.的方程3.已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,且1F ,2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点,点2P ⎛ ⎝⎭在E 上.(1)求E 的方程;(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ,B 和C ,D ,若M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点,证明:直线MN 过定点.4.焦距为2c 的椭圆2222:1x y a bΓ+=(a >b >0),如果满足“2b =a +c ”,则称此椭圆为“等差椭圆”.(1)如果椭圆2222:1x y a b Γ+=(a >b >0)是“等差椭圆”,求b a的值;(2)对于焦距为12的“等差椭圆”,点A 为椭圆短轴的上顶点,P 为椭圆上异于A 点的任一点,Q 为P 关于原点O 的对称点(Q 也异于A ),直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、N 两点,判断以线段MN 为直径的圆是否过定点?说明理由.题型二:斜率面积等定值问题【例1】动点M 与定点(1,0)A 的距离和M 到定直线4x =的距离之比是常数12.(1)求动点M 的轨迹G 的方程;(2)经过定点(2,1)M -的直线l 交曲线G 于A ,B 两点,设(2,0)P ,直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k +恒为定值.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点()0,1Q x 在椭圆上且位于第一象限,12QF F 121QFQF ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若M ,N 是椭圆C 上异于点Q 的两动点,记QM ,QN 的倾斜角分别为α,β,当αβπ+=时,试问直线MN 的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【例3】已知点()2,1P -在椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>上,C 的长轴长为2:l y kx m =+与C 交于,A B 两点,直线,PA PB 的斜率之积为14.(1)求证:k 为定值;(2)若直线l 与x 轴交于点Q ,求22||QA QB +的值.【例4】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的离心率23e =,且椭圆C 的右顶点与抛物线212y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程.(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ,直线():1l y k x =-与椭圆C 交于E ,D 两点,且点E 的纵坐标大于0,直线12,A E A D 与y 轴分别交于()()0,,0,P Q P y Q y 两点,问:P Qy y 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【例5】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,且AB 4=,离心率为12,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点,直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明:以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值,并求出这个定值.【例6】已知P 为圆22:4M x y +=上一动点,过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足,若点Q 满足DQ =.(1)求点Q 的轨迹方程;(2)设点Q 的轨迹为曲线C ,过点()1,0N -作曲线C 的两条互相垂直的弦,两条弦的中点分别为E F 、,过点N 作直线EF 的垂线,垂足为点H ,是否存在定点G ,使得GH 为定值?若存在,求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.-.【点睛】方法点睛:直线与圆锥曲线位置关系的题目,往往需要联立两者方程,利用韦达定理解决相应关系,其中的计算量往往较大,需要反复练习,做到胸有成竹.【例7】已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上,PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ,过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D (异于点A )两点,直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点,试问MFN ∠是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【题型专练】1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,点(1,0)F 为椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且在x 轴上方,PF x ⊥轴,斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点,(1)若直线l 过点F ,求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ,当直线l 平行移动时,12k k +是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由.【点睛】方法点睛:探究性问题求解的思路及策略:(1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.(2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.2.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点()2,1D ,且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点D 关于原点对称的点为A ,过点()4,0B -且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点M ,N ,直线MA ,NA 分别交直线4x =-于点P ,Q ,求证PBBQ为定值.3.如下图,过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >,作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y .(1)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12+y y y 的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.由抛物线定义可知抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离,即可求出结果4.如图,椭圆214x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,点()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点,经过三点P ,1F ,2F 的圆与y 轴正半轴交于点()10,A y ,经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q .(1)求证:011(2)试问:x轴上是否存在不同于点B的定点M,满足当直线MP,MQ的斜率存在时,两斜率之积为定值?若存在定点M,求出点M的坐标及该定值;若不存在,请说明理由.Q5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,点(1,0)F 为椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且在x 轴上方,PF x ⊥轴,斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点,(1)若直线l 过点F ,求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ,当直线l 平行移动时,12k k +是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由.6.已知椭圆22Γ:1a b+=()0a b >>的左焦点为()1,0F -,左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ,且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程;(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点,若直线PA 、QA 与直线l :40x +=分别交于M 、N 两点,l 与x 轴的交点为K ,则MK KN ⋅是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.7.已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x =的距离之比为3.(1)求动点P 的轨迹方程C ;(2)曲线C 上的两点()11,A x y ,()22,B x y ,平面上点()2,0E -,连结PE ,PF 并延长,分别交曲线C 于点A ,B ,若1PE EA λ= ,2PF FB λ=,问,12λλ+是否为定值,若是,请求出该定值,若不是,请说明理由.8.已知椭圆2:14x C y +=,过点0,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ,2l 的斜率为1k ,2k ,1l 与椭圆交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,2l 与椭圆交于()33,C x y ,()44,D x y 两点,且A ,B ,C ,D 任意两点的连线都不与坐标轴平行,直线12y =-交直线AC ,BD 于P ,Q .(1)求证:1122341234k x x k x x x x x x =++;(2)PM QM的值是否是定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)证明见解析k9.已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且离心率为12,椭圆C 的长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设,A B 分别为椭圆的左、右顶点,过点B 作x 轴的垂线1l ,D 为1l 上异于点B 的一点,以线段BD 为直径作圆E ,若过点2F 的直线2l (异于x 轴)与圆E 相切于点H ,且2l 与直线AD 相交于点,P 试判断1PF PH +是否为定值,并说明理由.))可知()()()222,0,2,0,1,0A B F F H -=,112212PF PH PF PF F H PF PF +=+-=+()()2,0,E m m ≠则()2,2,D m 圆E 的半径为则直线AD 直线方程为(2)2my x =+,的方程为1,x ty =+10.已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ,直线AB 与圆22:3O x y +=相切,切点为M ,且2AM MB =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线,交椭圆C 于E 、F 两点,试判断:PE PF ⋅是否为定值?若是,求出该值,并证明;若不是,请说明理由.11.已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>,左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,左、右顶点分别为,A B ,若T 为椭圆上一点,12FTF ∠的最大值为π3,点P 在直线4x =上,直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ,直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ,其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)从点A 向直线MN 作垂线,垂足为Q ,证明:存在点D ,使得DQ 为定值.题型三:定直线问题【例1】已知如图,长为宽为12的矩形ABCD,以为,A B焦点的椭圆2222:1x yMa b+=恰好过,C D两点,(1)求椭圆M的标准方程;(2)根据(1)所得椭圆M的标准方程,若AB是椭圆M的左右顶点,过点(1,0)的动直线l交椭圆M与CD两点,试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上,若在,请求出该直线方程,若不在,请说明理由.【例2】已知椭圆:C22221x ya b+=(0a b>>)的离心率为23,且⎭为C上一点.(1)求C的标准方程;(2)点A,B分别为C的左、右顶点,M,N为C上异于A,B的两点,直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O,点M关于原点O的对称点为M',若直线AM'与直线BN相交于点P,直线OP与直线MN相交于点Q,证明:点Q位于定直线上.【例3】已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点,直线y =与C 交于A ,B 两点,且1ABF 的周长为4+ 2.(1)求C 的标准方程;(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ,不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ,E ,直线PD 与QE 交于点M ,证明:点M 在定直线上.【题型专练】1.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点,过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ,l 与C 交于P ,Q 两点,直线AP 与直线BQ 交于点M ,记AP 的斜率为1k ,BQ 的斜率为2k .证明:①1k k 为定值;②点M 在定直线上.C2.已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点,P 为ABC 的重心,边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --,直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ,直线EP 与FQ 交于点M ,试问:当点P 变化时,点M 是否恒在一条定直线上?若是,请证明;若不是,请说明理由.3.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率为2,左顶点为1A ,左焦点为1F ,上顶点为1B ,下顶点为2B ,M 为C 上一动点,11M AF △1.(1)求椭圆C 的方程;(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ,E 两点(异于点1B ,2B ),直线1B E ,2B D 相交于点Q ,证明:点Q 在一条平行于x 轴的直线上.。

考点41 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题问题典型高考数学试题解读与变式(解析版)

考点41 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题问题典型高考数学试题解读与变式(解析版)

+
y1 y2
=
(1 +
k 2 )x1x2
+
km( x1
+
x2 ) +
m2
=
(1 +
k 2 )(2m2 1+ 2k 2
− 6)
− 4k 2m2 1+ 2k2
+
m2
3m2 6k 2 6 1 2k 2
0
OA ⊥ OB , 所以 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O .
【数学思想】
①数形结合思想.
②分类讨论思想.
于点 M , N .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
x2 y2
【解析】(1)
设椭圆 C 的方程为 a2
+ b2
=1
(a b 0)

因为椭圆的左焦点为 F1 ( − 2,0) ,所以 a2 − b2 = 4 .
( ) 42
2k + 2k
2

同理可得点
N
0,
1

2
1
2k + 2k
2

( ) MN =
2 2k − 2 2k
2 2 1+ 2k 2 =
所以
1+ 1+ 2k2 1− 1+ 2k2
k

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P 0, −
2 k .
则以
MN
为直径的圆的方程为
x2
+
y
+
2 k
2
+

专题七7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件

专题七7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合
适的方法.
关键能力 学案突破
热点一
圆锥曲线中的定点问题
2
【例1】(202X全国Ⅰ,理20)已知A,B分别为椭圆E: 2 +y2=1(a>1)的左、右

顶点,G为E的上顶点, · =8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点
此时直线 MN 过点 P
2 1
,3 3
令 Q 为 AP 的中点,即 Q
.
4 1
,
3 3
.
若 D 与 P 不重合,则由题设知 AP 是
与P
1
2 2
Rt△ADP 的斜边,故|DQ|=2|AP|= 3 .若 D
1
重合,则|DQ|=2|AP|.
综上,存在点 Q
4 1
,
3 3
,使得|DQ|为定值.
解题心得有关存在性问题的求解策略
由方程组
2
4
+ 2 = 1,
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
= + ,
8
4 2 -4
∴x1+x2=-4 2 +1,x1x2=4 2 +1.又由
π
α+β= 2 ,
∴tan α·
tan β=1.设直线 MA,MB 斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=1,

1

bx+ay-ab=0,
2 5
.
5
因为△OAB 的面积为
1
1,所以 ab=1,即
2
2
所以椭圆的标准方程为 +y2=1.

2019高考数学二轮复习专题五解析几何第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课件理

2019高考数学二轮复习专题五解析几何第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课件理
第四讲
大题考法
—— 圆 锥 曲 线 中 的 定点、定值、存 在性问题
题型(一)
线上.
定点问题
主要考查直线、 曲线过定点或两条直线的交点在定曲
[ 典例感悟]
[典例] 点 x2 y2 (2017· 全国卷Ⅰ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),四 a b
3 3 , P 1 , 4 中恰有三点在椭圆 2 2
[解]
(1)由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,
故由题设知椭圆 C 经过 P3,P4 两点. 1 1 1 3 又由 2+ 2> 2+ 2知,椭圆 C 不经过点 P1, a b a 4b 所以点 P2 在椭圆 C 上. 1 b2=1, 因此 3 1 =1, 2+ 4b2 a
2 a =4, 解得 2 b =1.
[ 对点训练]
x2 (2017· 全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2= 2 ―→ 1 上, 过 M 作 x 轴的垂线, 垂足为 N, 点 P 满足 NP = 2 (1)求点 P 的轨迹方程; ―→ ―→ (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 OP · PQ =1.证明:过点 P 且 垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. ―→ NM .
[类题通法]
动线过定点问题的 2 大类型及解法
类型
解法 设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示 为t=mk+n,得y-n=k(x+m),故动直线过定点(-m,n) 引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立, 令其系数等于零,得出定点
动直线l过定点问题
动曲线C过定点问题
4-t2-2 4-t2+2 则由 k1+k2= - =-1,得 t=2,不符 2t 2t 合题设. 从而可设 l:y=kx+m(m≠1). x2 将 y=kx+m 代入 +y2=1 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 4 由题设可知 Δ=16(4k2-m2+1)>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

题型(二) 定 值 问 题
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景, 考查转化与 化归思想和对定值问题的处理能力,常涉及式子、面积的 定值问题.
[典例感悟] [典例 2] 已知抛物线 C:y2=2px(p>1)上的点 A 到其焦点的
3 5 2 距离为 ,且点 A 在曲线 x+y - =0 上. 2 2 (1)求抛物线 C 的方程;
x2 y2 代入 + =1,消去 x,并整理得 25y2+20my+8(m2-25)=0. 25 16 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8m2-25 4 则 y1+y2=- m,y1y2= , 5 25 又易得|PA| =(x1-m)
2 2 2 2
41 2 41 2 2 2 +y1= y1,同理可得|PB| = y2. 16 16



大题考法——
圆锥曲线中的定点、 定值、存在性问题
题型(一) 定点问题
主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定 曲线上.
[典例感悟] [典例 1] (2018· 宁波“十校”高三 5 月联考) x2 y2 3 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2 2 且点 P 2, 为椭圆 E 上一点. 点 A,B 为椭 2 圆 E 的上下顶点,动点 M 在第一象限内且坐标为(m,2),过 M 作 直线 MA,MB 分别交椭圆 E 于 C,D 两点. (1)求椭圆 E 的标准方程; c 3 [解] 由 e=a= ,a2=b2+c2,得 a=2b. ① 2 1 2 2 2 把 2, 代入椭圆方程,得 2+ 2=1. ② a b 2 联立①②,解得 a=2,b=1, x2 2 ∴椭圆 E 的标准方程为 +y =1. 4
y2 1 y-y1=kx- , 4 联立方程得 消去 x,整理得 2 y =4x
ky2-4y+4y1-ky2 1=0, ∵M 是切点,∴Δ=16-4k(4y1-ky2 1)=0, 2 2 2 即 4-4ky1+k y1=0,解得 k= , y1
y2 2 2 y1 1 ∴直线 PM 的方程为 y-y1= x- 4 ,即 y= x+ , y1 y1 2 2 y2 同理得直线 PN 的方程为 y= x+ , y2 2 y1 y2 2 y1 x= 4 , y=y1x+ 2 , y y 1 2 y1 + y2 联立方程得 解得 ∴P , , 4 2 y + y y= 2 x+y2, y= 1 2, 2 y2 2 y1 + y2 ∵Q 是线段 MN 的中点,∴y0= , 2 2 x1+x2 y2 1 + y2 ∴PQ ∥x 轴,且 x0= = , 2 8 1 1y1y2 ∴△PMN 的面积 S= |PQ |· |y1-y2|= 4 -x0· |y1-y2|= 2 2 2 2 y + y 1 1 y y 1 2 1 2 3 · | y - y | = | y - y | - 2 1 2 =32,即△PMN 的面积为定值. 1 2 16 4 8
c 3 e=a=5, 2 解:由2b 32 a =5, 2 2 2 a = b + c , a=5, 可得b=4, c=3,
x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 25 16
4 (2)点 P(m,0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点, 过点 P 且斜率为 的 5 直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,证明:|PA|2+|PB|2 为定值. 5 解:证明:设直线 l 的方程为 x= y+m, 4
解:不存在满足条件的直线,证明如下: 设直线的方程为 y=2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2), P
[解 ] 存在,理由如下:
设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的 中点为 M.
x=my+1, 联立 2 2 x +2y =2
消去 x,整理,得(m2+2)y2+2my-1=0,
-2m -1 4 则 y1+y2= 2 ,y y = ,x1+x2= 2 , m + 2 1 2 m 2+ 2 m +2 故
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景, 考查学生分 析问题和解决问题的能力.
[典例 3]
[典例感悟] (2019 届高三· 浙江七校联考)已知中心在原点,焦
2 点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,直线 l 过椭圆右焦点 F,且交 2 π 椭圆于 A,B 两点,当直线 l 的倾斜角为 时,|AB|= 2. 2 (1)求椭圆的标准方程;
2
∴抛物线 C 的方程为 y2=4x.
(2)M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线 C 上异于原点的两点,Q (x0, y0)是线段 MN 的中点,点 P 是抛物线 C 在点 M,N 处切线的交 点,若|y1-y2|=4p,证明△PMN 的面积为定值. 2 y2 y 1 2 [解] 证明:由(1)知 M 4 ,y1,N 4 ,y2,|y1-y2|=8,设 抛物线 C 在点 M 处的切线的斜率为 k(k≠0),则该切线的方程为 2 y1 y-y1=kx- 4 ,
[方法技巧]
求解定值问题的两大途径 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明 定值:即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关. (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其 满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母 约分得定值.
[演练冲关]
x2 y2 2. (2019 届高三· 湖南五市十校联考)已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0) a b 3 32 的离心率为 ,过左焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 . 5 5 (1)求椭圆 C 的标准方程;
[演练冲关]
1.如图,过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的点 A(2,1)作斜率分别为 k1,k2 的直线,分别 交抛物线 E 于 B,C 两点. (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程;
解:设抛物线 E 的标准方程为 x2=ay,a>0, 将 A(2,1)代入得,a=4. 所以抛物线 E 的标准方程为 x2=4y,准线方程为 y=-1.
A 1,
2 在椭圆 C 上, 2
所以 2a=|AF1|+|AF2|=2 2, 因此 a= 2,b2=a2-c2=1, x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 2
(2)是否存在斜率为 2 的直线,使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 5 M,N 时,能在直线 y= 上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q ,满 3 ―→ ―→ 足 PM = NQ ?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
[方法技巧]
动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为 y =kx+t,由题设条件将 t 用 k 表示为 t=mk,得 y=k(x+m),故 动直线过定点(-m,0). (2)动曲线 C 过定点问题, 解法: 引入参变量建立曲线 C 的方 程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.
2 -m , 2 M 2 ,|AB|= m + 2 m + 2
2 2 2 m +1 2 1+m · |y1-y2|= . m2+ 2
假设存在点 D(2,t)使得△DAB 为正三角形, |mt-1| 则 D 到直线 AB 的距离 d= 2, 1+m kDM=-m, 由于△DAB 为正三角形,则有 3 d= |AB|, 2 m2+2t=-2m3-3m, m2+ 1 3 即 |mt-1| 1+m2= 2 ×2 2×m2+2, ∴存在点
(2)若 k1+k2=k1k2,证明:直线 BC 恒过定点.
解:证明:由题意得,直线 AB 的方程为 y=k1x+1-2k1,直 线 AC 的方程为
2 x =4y, y=k2x+1-2k2,联立 y=k1x+1-2k1,
消去 y 得 x2-4k1x-4(1-2k1)=0,解得 x=2 或 x=4k1-2, 因此点 B(4k1-2,(2k1-1)2),同理可得 C(4k2-2,(2k2-1)2). 2k1-12-2k2-12 于是直线 BC 的斜率 k= 4k1-2-4k2-2 4k1-k2k1+k2-1 = =k1+k2-1,又 k1+k2=k1k2, 4k1-k2 所以直线 BC 的方程为 y-(2k2-1)2=(k1k2-1)· [x-(4k2-2)], 即 y=(k1k2-1)x-2k1k2-1=(k1k2-1)(x-2)-3. 故直线 BC 恒过定点(2,-3). Nhomakorabea[解 ]
设点 A(xA,yA),
3 ∵点 A 到抛物线焦点的距离为 , 2
3 p 3 p 2 ∴xA= - ,yA=2pxA=2p2-2, 2 2 3 p 5 5 3 p 又点 A 在曲线 x+y - =0 上,∴ - +2p2-2- =0, 2 2 2 2
2
5 1 即 p - p+1=0,解得 p=2 或 p= (舍去), 2 2
(2)问直线 CD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定 点,请说明理由. x [解] 由题意知,A(0,1),B(0,-1),则直线 MA 的方程为 y=m+ 3x 1,直线 MB 的方程为 y= m -1, y= x +1, y=3x-1, m m - 8m 24m 2 联立 2 得 xC= 2 ,xD= 2 , m + 4 m + 36 x +y2=1, x +y2=1, 4 4 2 -8m m2-4 24m - m +36 , 2 , ∴C 2 , D 2 2 m +36 , m + 4 m + 4 m + 36 yD-yC m2-12 m2-4 12-m2 ∴kCD= = , 则直线 CD 的方程为 y- 2 = 16m xD-xC -16m m +4 - 8m x - 2 , m + 4 12-m2 1 1 即 y= x+ ,∴直线 CD 过定点0,2. 16m 2
相关文档
最新文档