几何分布的数学期望与方差计算
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
几何分布的期望和标准差的详细证明
几何分布的期望和标准差的详细证明几何分布是一种用于描述独立试验中成功次数的概率分布。
在一个独立试验中，只有两个可能的结果：成功或失败。
几何分布给出了在独立试验中首次获得成功所需要的试验次数的概率分布。
期望的证明设X表示在独立试验中首次获得成功所需要的试验次数。
要计算几何分布的期望，我们需要计算每个可能的取值乘以其对应的概率，并将所有结果相加。
若成功的概率为p，则失败的概率为1-p。
那么首次获得成功的概率为p，获得成功需要的试验次数为1。
因此，我们可以得到：E(X) = 1(获得成功需要的试验次数) * p(获得成功的概率) +2(获得成功需要的试验次数) * (1-p)(首次失败后获得成功的概率) +3 * (1-p)^2 + ...可以看出，每次失败的概率都为(1-p)倍前一次失败的概率。
我们可以将每次失败的概率进行等比数列的形式表示：E(X) = 1 * p + 2 * (1-p) * p + 3 * (1-p)^2 * p + ...接下来，我们将上述式子进行整理得到：E(X) = p + 2p(1-p) + 3p(1-p)^2 + ...将p提取出来，并根据等差数列的求和公式，我们可以得到期望的计算式：E(X) = p + 2p(1-p) + 3p(1-p)^2 + ...= p(1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + ...)= p(1 + 2(1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ...)= p∑[n=1→∞] n(1-p)^(n-1)由于∑[n=1→∞] n(1-p)^(n-1) 是一个已知的等比数列求和公式，我们可以直接代入结果，得到几何分布的期望的计算式：E(X) = p/(1 - (1-p))= p/p= 1/p因此，几何分布的期望为1/p。
标准差的证明要计算几何分布的标准差，我们需要先计算方差，然后再将其开方。
方差的计算公式为 Var(X) = E[(X - E(X))^2]，其中E(X)为期望。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在次成功的概率。
次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。
的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。
~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。
）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
几何分布方差推导
几何分布方差推导
几何分布方差是指一组数据的变异程度，它是用来衡量数据的离散程度的重要
指标。
几何分布方差是一种特殊的分布，它可以用来描述一组数据的变异程度。
几何分布方差可以用来衡量数据的离散程度，它可以用来比较不同组数据的变异程度。
几何分布方差的计算公式为：方差=（X1-X2）^2+（X2-X3）^2+（X3-X4）
^2+…，其中X1、X2、X3、X4等为一组数据中的数据值。
从公式可以看出，几何分布方差是一组数据中每个数据值与其他数据值之间的差值的平方和。
几何分布方差的计算可以帮助我们更好地了解一组数据的变异程度，从而更好
地分析数据。
几何分布方差的计算可以帮助我们更好地分析数据，从而更好地了解数据的变异程度。
几何分布方差的计算可以帮助我们更好地分析数据，从而更好地了解数据的变异程度，从而更好地分析数据的趋势和规律。
几何分布方差的计算可以帮助我们更好地分析数据，从而更好地了解数据的变
异程度，从而更好地分析数据的趋势和规律，从而更好地分析数据的变化趋势，从而更好地预测数据的变化趋势。
总之，几何分布方差是一种重要的指标，它可以用来衡量一组数据的变异程度，从而更好地分析数据的趋势和规律，从而更好地预测数据的变化趋势。
几何分布的方差
几何分布的方差几何分布是随机变量的概率分布，通常用于表示某一特定事件发生的概率，如一次独立试验的成功概率或抛掷一枚硬币正面朝上的概率。
它的概率密度函数为：$$f ( x ) = (1-p)^{x-1}p， x=1,2,3,4,cdots$$ 其中，$$ p in (0,1) $$ 为成功概率。
方差是衡量随机变量变化程度的重要指标，几何分布的方差可以用公式 $$ Var(X)=frac{1-p}{p^2}$$示。
从上式可以看出，当 p小时，几何分布的方差也会随之变大，反之，当 p大时，几何分布的方差越小。
因此，当我们要衡量一个事件发生的概率，也就是 p大小时，我们就可以通过计算几何分布的方差来反映这个事件的发生概率。
比如，在射击比赛中，玩家希望能够尽可能多的击中靶心，即用最短的时间射击击中五个靶心，这样就能够获得比赛的胜利。
我们知道有五次机会击中靶心，这五次机会击中靶心的概率，即 p，就可以通过计算几何分布的方差来计算。
如果我们假设 p=0.7，那么几何分布的方差就可以表示为 $$Var(X) = frac{1-0.7}{0.7^2}=frac{0.3}{0.49}= 0.61$$从上面可以看出，当比赛参赛者有五次机会击中靶心，每次击中的概率为0.7时，几何分布的方差为0.61，这表明这个比赛参赛者每次击中靶心的期望次数要比平均次数多出0.61次。
同样，我们也可以把这个概念扩展到其他一些概率计算领域，比如投资，保险，心理学等等，只要我们知道某一个情况发生的概率 p，就可以计算出几何分布的方差，从而更好地衡量这一情况的发生概率。
总之，几何分布的方差是衡量随机变量变化程度的重要指标，它可以用来衡量一定事件发生的概率，这样，我们就可以在准确地确定这个事件的发生概率，从而对某些事件做出更好的决策。
超几何分布方差
超几何分布方差
超几何分布的期望和方差公式：E(X)=(n*M)/N[其中x是样本数，n为样本容量，M为样本总数，N为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值。
方差公式是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2[这里设a为期望值]。
超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布的特点
超几何分布的特点是：超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是M，N，n，记作X~H(N，n，M)。
超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数(不归还)。
在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则
P(X=k)=C(M，k)·C(N-M,n-k)/C(N,n)，C(a b)为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布。
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。
记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
超几何分布期望推导过程
超几何分布期望推导过程
1、超几何分布的期望和方差公式推导。
2、二项分布和超几何分布的期望和方差公式。
3、超几何分布的期望和方差公式高中。
4、超几何分布的期望和方差公式可以直接用吗。
1.超几何分布的期望和方差公式：E(X)=(n*M)/N[其中x是样本数，n为样本容量，M为样本总数，N为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值。
2.方差公式是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2[这里设a为期望值]。
3.超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
4.它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
5.称为超几何分布，是因为其形式和“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布的期望和方差 (1)
n 超几何分布列的数学期望和方差（030012 太原五中王志军）一、准备知识:1.组合数性质：(1)C m =C n−m；(2)C m +C m+1 =C m+1 ；(3)C k−1=kC k（即k C k =nC k−1 ）；n n n n n+1 n−1 n n n n−12.二项式定理和二项式系数的性质：(1) (C0 )2 + (C1)2 + (C2 )2 +…+(C n)2 =C nn n n n 2n证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)n(1 +x)n=(1 +x)2n中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.(2) C0 C n+ C1 C n−1 + C2 C n−2 +…+C m C n−m = C nM N−M M N−M M N−M M N−M N证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)M(1 +x)N−M=(1 +x)N中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.3.方差的性质（1）D(aX +b) =a2D X ；（2）D X =E X2−(E X)2；4.二项分布及其数学期望和方差（1）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P(X=k)=C k p k q n−k ，（其中n nk＝0,1,2,…，n，q =1 −p）．于是得到随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 …k …nP C0 p0q nn C1 p1q n−1n…C k p k q n−kn…C n p n q0n并记b(k;n, p) = C k p k q n−k ．（2）若X ～Β(n，p)，则E X=np（3）若X ～Β(n，p)，则D X=np(1—p)二、超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为C n Cn C C C mk C C C C k C n −k ∗P (X = k ) = M N −M,k = 0,1, 2,⋯,m ,其中m = min{M ,n } ，且n ≤ N , M ≤ N ,n , M , N ∈ N ．N为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 （ hypergeometriC distribution )，记 X ～ H (n ;M , N ) .C k C n −k可知其满足随机变量的分布列性质：（1）非负性P (X = k ) =M N −MN≥ 0,k = 0,1,2,⋯,mC 0 C nC 1 C n −1 C m C n −m （2）可 加 性 M N −M + M N −M +…+ M N −M =1 n n nN N NmkC kCn −k （3）X 的数学期望EX = ∑M N −M= 1（ 0 ⋅C 0Cnk =0+1⋅C 1Cn −1n N+ 2 ⋅C 2Cn −2+…+ k ⋅C k C n −k+…+ m ⋅C m Cn −m）n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −M= 1（ M ⋅CCn −1 + M ⋅C 1Cn −2+…+ M ⋅C k −1 C n −k+…+ M ⋅Cm −1C n −m ）n M −1NN −MM −1N −MM −1N −MM −1N −M=M（ C 0C n −1+ C 1C n −2 +…+C k −1 C n −k +…+ C m −1C n −m ） nM −1 NN −MM −1N −M M −1 N −M M −1 N −M=MC n −1 nN −1NnM =，因此， NEX =nMN（4） X 的方差D X = E X 2− (E X )22 kn −k＝ ∑ M N −M － (nM )2 k =0 NN=1（ 02 ⋅C 0Cn+12⋅C 1 Cn −1 + 22⋅C 2 Cn −2+…+ k 2 ⋅C k C n −k+…+ m 2 ⋅C m Cn −m）－ (nM)2n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −MN＝ 1（1⋅ MCCn −1 + 2 ⋅M C 1Cn −2+…+ k ⋅ MC k −1 Cn −k+…+ m ⋅M C m −1Cn −m）－ (nM)2n M −1NN −MM −1N −MM −1 N −MM −1 N −MNn C C CC CCCM ＝［ （ C 0C n −1 + C 1 C n −2 + … + C k −1 C n −k + … + C m −1C n −m ） ＋ （ nM −1 NN −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M 0 ⋅C 0 C n −1 +1⋅C 1 C n −2 +…+ (k − 1) ⋅C k −1 C n −k +…+(m − 1) ⋅C m −1C n −m ）］－ (nM)2 M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −MN＝ M ［ C n −1 ＋（ M − 1)C n −2 ］－ (nM )2nN −1 NnM n (n − 1)M (M − 1)=N +N (N − 1) N −2 NnM － ( )2 N= nM － (nM )2 N N n (n − 1)M (M − 1) +N (N − 1) ，因此， X 的方差DX = nM N － (nM )2 Nn (n − 1)M (M − 1) + N (N − 1)三、超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的 关系根据极限知识，很容易得到：1. 在超几何分布中，当N → +∞ 时， M→ p （二项分布中的 p ）N2. 当N → +∞ 时，超几何分布的数学期望EX = nM→ np = E X （二项分布的数学期望）N3. 当 N → +∞时 ， 超 几 何 分 布 的 方 差 DX = nM－ N(nM )2 + n (n − 1)M (M − 1) → np − (np )2 + n (n − 1) p 2 = np (1 − p ) = D X （二项分布的方差） N N (N − 1)4. 当N → +∞ 时，超几何分布可近似为二项分布.C C。
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
ｃ：ｃ ＋ｃ，ｏｃ，ｏ一 ＋ｃ ｃ 一 ＋·－·＋ｃｋ ｃＯ ：Ｃ：＋ （ｎ，ｍ，ｋ∈
Ｎ ，ｋ≤ｎ，ｋ≤ ｍ），利 用 恒 等 式 （１＋ ）… ＝（１＋ ） （１＋ ） 的二 项 展 开 式 中 的 系数 相 等 可 证 ． 一 、 二 项 分 布 在 独立 重 复 实 验 中 ，某 结 果 发 生 的 概 率 均 为 Ｐ（不 发 生
～ Ｍ
一
Ｍ
一 Ｍ
Ｃ
Ｃ
ｃ
Ｚ— ｌ
ｆ
ｃ ｃⅣ ｎ＋ｌ＾ｆ－ ｃ ｃ 二 一
ｃ
ｃ
）：圭
篆主ｉｃ ｎ－ｉ ＝ １
＝ 毒ｃ ： （利用预备公式３可得）
ｎＭ
—
Байду номын сангаасＮ ’
圭 ＝ ｉ＝ ０
一 （ ）
Ｍ 窆 （ ） ＝ ｃ
ｉ－
ｎ－ｉ
一
…
ｉ＝ １
＝
（ ）ｃ ：： ＋
Ｐ ｎ（ｎ一１ ＋ｎｐ—ｎ２ｐ ＝ ｎｐ —ｐ２ｎ
＝ｎｐ（１一Ｐ）． 二 、超 几何 分布 一 批 产 品共 Ⅳ件 ，其 中 有 Ｍ 件 不 合 格 品 ，随 机 取 出的 ｎ 件 产 品 中 ，不合 格数 的概 率 分 布 为
Ｏ
１
２
３
ｃ ｃ
一
Ｐ
ｃ
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超几何分布的期望和方差
超几何分布的期望和方差在概率论与数理统计的世界里，超几何分布是一个重要的概念。
今天，咱们就来好好聊聊超几何分布的期望和方差。
首先，咱们得弄清楚啥是超几何分布。
想象一下，有一批总数为 N 的产品，其中有 M 件是次品。
现在咱们随机抽取 n 件产品，那么抽到的次品数 X 就服从超几何分布。
那超几何分布的期望是咋算的呢？期望其实就是平均值，也就是咱们通常说的“期望值”。
对于超几何分布来说，它的期望可以用一个公式来表示：E(X) ＝ n×M/N 。
咱们来解释解释这个公式哈。
n 呢，是咱们抽取的产品数量；M 是次品的总数；N 是产品的总数。
这个公式其实很好理解，比如说，产品总数是 100 个，其中有 20 个次品，咱们抽10 个，那期望抽到的次品数就是 10×20/100 ＝ 2 个。
接下来再说说超几何分布的方差。
方差反映的是随机变量取值的分散程度。
超几何分布的方差公式是：Var(X) ＝ n×M/N ×（1 M/N) ×（N n)／（N 1) 。
这个公式看起来有点复杂，别着急，咱们一点点来。
先看 n×M/N 这部分，这其实和期望的式子有点像。
后面的（1M/N) 可以理解为抽到正品的概率。
再后面的（N n)／（N 1) 呢，它主要是用来调整因为抽样是不放回的导致的差异。
为了让大家更清楚地理解，咱们来举个例子。
假设一批产品有 50 个，其中 15 个是次品，咱们抽取 8 个。
先算期望，E(X) ＝ 8×15/50 ＝ 24 ，也就是说平均抽到 24 个次品。
再算方差，Var(X) ＝ 8×15/50 ×（1 15/50) ×（50 8)／（50 1) ，经过一番计算，就能得到方差的值。
那知道超几何分布的期望和方差有啥用呢？用处可大啦！比如说在质量检测中，如果知道了产品的超几何分布的期望和方差，就能判断抽样结果是不是合理，是不是存在异常情况。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
精心整理几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记两式相减，得k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p pξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
1，2，3因此k ＝10ξ用倍差法，可求得所以E p pp p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。
超几何分布的期望和方差公式
超几何分布的期望和方差公式
超几何分布（hypergeometric distribution）是概率论中介乎于几何分布
和泊松分布之间的一种分布，它反映了从包含有限数量元素中抽取样
本的可能性。
1. 超几何分布的期望：
超几何分布的期望可以表示为：E（X）=n・M/N。
其中，n表示抽样
数量，M表示可能出现的正事件的数量，N表示样本总数。
2. 超几何分布的方差：
超几何分布的方差公式为：VAR（X）=n・M・（N-M）/N・（N-1）。
超几何分布的参数和期望相同，n表示抽样数量，M表示可能出现的正事件的数量，N表示样本总数。
3. 超几何分布的性质：
（1）超几何分布分析属于抽样没有放回的情况，即被抽取的样本总数
有限；
（2）超几何分布可以帮助我们了解在大量的总体中抽取的正样本样本
的实际数量。
（3）超几何分布的唯一参数M表示可能出现的正样本样本的数量，因此可以拟合属于抽样没有放回的情况；
（4）超几何分布可以用来计算在抽样没有放回的情况下，选出的抽样样本中正样品出现次数的期望和方差；
（5）超几何分布可以用于以不完全精确和有限余量采样。