初三数学知识点复习汇总说课讲解
初三数学复习课课件
总结词：掌握代数方程与不等式的解题技巧。
二次根式与一元二次方程
详细描述：通过解决涉及二次根式和一元二次方程的题 目，学生可以更好地理解两者之间的关联，掌握解题方 法，提高解决复杂代数问题的能力。
几何模拟试题
三角形与四边形
详细描述：通过解决三角形与四边形的题目，学生可以 深入理解三角形与四边形的性质和判定条件，掌握解题 方法，提高解决几何问题的能力。 总结词：掌握圆的基本性质及其应用。
几何重点难点
几何变换
掌握平移、旋转和轴对称的变换性质，理解变换在几何问题中的应用。
函数重点难点
一次函数与反比例函数
01
二次函数
03
02
掌握一次函数和反比例函数的图像和性质， 理解函数图像的平移和对称变换。
04
掌握二次函数的图像和性质，理解二次函 数的顶点和对称轴。
函数的应用
05
06
掌握函数在实际问题中的应用，理解函数 的最大值和最小值的求解方法。
03
复习解题方法
代数解题方法
代数方程求解
总结了代数方程的基本 解法，包括移项、合并 同类项、去括号、解方
程等步骤。
不等式求解
介绍了不等式的基本性 质和解题技巧，包括移 项、合并同类项、去分
母等步骤。
因式分解
总结了因式分解的常用 方法和技巧，包括提公
因式法、公式法等。
分式化简
介绍了分式化简的基本 方法和技巧，包括约分 、通分、分子分母同乘
04
复习易错题解析
代数易错题解析
总结词
代数式运算错误
详细描述
学生在进行代数式运算时，常常因为对运算法则理解不透彻或粗心大意导致运算错误，如括号处理不 当、符号混淆等。
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿3
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿3一. 教材分析北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿3，主要是对整个九年级数学知识进行梳理和总结。
本节课的内容包括了一次函数、二次函数、几何图形的性质等知识点。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固数学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数和几何图形的性质等基础知识，对于本节课的内容，他们已经具备了一定的认知基础。
但是，部分学生在解题技巧和逻辑思维方面还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，有针对性地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一次函数、二次函数、几何图形的性质等基本知识，提高学生的解题能力。
2.过程与方法：通过复习，培养学生自主学习、合作探究的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.重点：一次函数、二次函数、几何图形的性质等基本知识的运用。
2.难点：解题技巧的运用，逻辑思维能力的培养。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究，提高学生的思维能力。
2.利用多媒体教学手段，展示几何图形的性质，增强学生的直观感受。
3.采用分组讨论、小组合作的形式，培养学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习导入，使学生回忆起已学的函数和几何图形知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：分别对一次函数、二次函数、几何图形的性质进行讲解，结合例题进行分析，让学生掌握解题方法。
3.练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.讨论：学生进行分组讨论，分享解题心得，提高学生的合作能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的重点知识。
可以采用流程图、列表等形式，展示一次函数、二次函数、几何图形的性质等知识点。
冀教版九年级上册数学《平行线分线段成比例》说课教学复习课件
360º的圆心角所对的弧长就是圆___周__长__C___2_π_R.
B
（1）1º的圆心角所对的弧长 l 是：l 1 2πR= πR
360
180
O
A
（2）nº的圆心角所对的弧长 l 是：l= n 2πR nπR
360
180
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的 圆中， 360º的圆心角所对的扇形的面积就是_圆__面__积___S__π_R_2.
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AB 2，则 AE
DB 3 EC 等于( C )
A. 1 3
C. 2 3
2 B. 5
D. 3 5
2 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例
式中不成立的是( B )
A．OC∶OD＝OA ∶ OB B．OC ∶ OD＝OB ∶ OA C．OC ∶ AC＝OD ∶ DB D．BD ∶ AC＝OD ∶ OC
得解．
∵ AB∥CD∥EF，
∴ BH AH ，AD BC ，AF BE ，故选项A，B， HC HD DF CE DF CE
D正确．
∵CD∥EF，∴
HC HE
＝
HD HF
，
故选项C错误.
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取 信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内 角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．
h
l
O● r
圆锥的形成 顶点
把准备好的圆锥模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展开图．
母线
高
侧面
底面半径
问题1:这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 问题2:这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》圆培优说课教学复习课件
C
A
24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:
点在圆外、点在圆上和点在圆内.
点P与☉O的位置关系如图所示.
24.2.1 点和圆的位置关系
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在
点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
根据d与r的数量关系能得到对应的位置关系吗？
24.2.1 点和圆的位置关系
P
d
P d
d
r
r
点P在⊙O内
P
r
d < r
点P在⊙O上
d = r
点P在⊙O外
d > r
数形结合： 位置关系
数量关系
符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右
端也可以推出左端.
24.2.1 点和圆的位置关系
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
o
2.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
(1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4= r，故D点在⊙A上，
A
D
B
C
AB=3< r， 故B点在⊙A内，
AC= 32 + 4²=5> r，故C点在⊙A外.
解得r1＝2 2 ，r2＝－2 2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 2 .
还有其他的思路吗？
24.2.1 点和圆的位置关系
获取新知
知识点三：反证法
数学九年级知识点归纳讲解
数学九年级知识点归纳讲解数学是一门逻辑性很强的学科，也是人们生活中经常会用到的一门学科。
在初中阶段，数学知识的学习变得更加深入和系统化。
本文将对九年级数学的知识点进行归纳讲解，帮助学生更好地掌握这些内容。
一、代数与函数1.方程与不等式在九年级阶段，我们将继续学习一元二次方程、一次不等式等内容。
通过解方程和不等式，我们可以找到未知数的值，进而解决实际问题。
2.直线函数与线性函数直线函数和线性函数是九年级中重要的内容之一。
我们需要学习如何通过给定点和斜率来确定直线的方程，以及如何根据函数图象来确定函数的性质。
3.函数的概念与性质函数是数学中的一个重要概念，也是实际问题建模中经常使用的工具。
我们需要学习函数的定义、定义域、值域、奇偶性等性质，以及如何进行函数的绘制和运算。
二、几何1.图形的性质在几何部分，我们将学习各类图形的基本性质。
比如，正方形的对角线相等、平行线的性质等。
这些性质在解题中经常会被运用到。
2.空间几何图形九年级的几何部分还会引入空间几何图形的概念，例如：平面、立体、平行四边形等。
我们需要学习这些图形的性质和运算方法。
3.相似与全等相似和全等在初中阶段是我们重点学习的内容。
我们需要掌握相似三角形的判定条件和相似比例的计算方法，以及全等三角形的判定方法和性质。
三、数据与统计1.抽样调查与数据的收集学习数据与统计的知识，我们需要了解如何进行抽样调查和数据的收集。
在实际生活中，我们常常需要统计数据来分析问题和做出决策。
2.频数表与频数分布直方图频数表和频数分布直方图是用来展示数据分布情况的重要工具。
学习它们的绘制方法和读取方法，可以帮助我们更好地理解数据。
3.平均数与中位数平均数与中位数是统计学中常用的两个指标。
我们需要学习它们的计算方法，并且了解它们在实际问题中的应用。
通过对九年级数学知识点的归纳讲解，我们可以更好地理解这些内容，并且通过练习和实践来提高自己的数学能力。
数学是一门需要不断练习和思考的学科，希望同学们在学习过程中能够勇于思考和探索，不断提升自己的数学水平。
中考数学复习重点重难点知识点精讲
中考数学复习重点重难点知识点精讲中考数学作为一门综合性学科，涉及面广，知识点繁多。
在备考过程中，掌握数学的重点、难点知识点，是提高成绩的关键。
本文将针对中考数学的复习，对重点、难点知识进行精讲。
一、整数与有理数整数是数学的基础，要求同学们掌握整数的四则运算、绝对值、比较大小等基本性质。
在中考中，整数的四则运算和求绝对值的问题经常出现，需要同学们熟练掌握。
有理数是整数和分数的统称，同时也是中考的重点内容。
在复习中，要注意各种形式的有理数的转化和比较。
同时，还要掌握有理数的四则运算，包括加减乘除。
二、代数式与方程式代数式是由数和字母通过运算符号组成的式子。
在数学中，代数式是解决问题的重要手段。
同学们需要掌握代数式的基本性质、展开和因式分解等操作。
方程式是用等号连接的含有未知数的代数式。
在中考中，方程式是经常出现的题型，要求同学们掌握解方程的方法与步骤。
特别是一元一次方程、一元二次方程的解法，需要熟练掌握。
三、图形与几何几何是数学的一大分支，其重要性不言而喻。
在中考数学中，图形与几何占据了相当大的比重。
同学们需重点掌握图形的基本性质、定理和公式。
例如，长方形、正方形、平行四边形等基本图形的性质，需要同学们熟练掌握。
同时，还要掌握计算图形的周长、面积等相关计算方法。
四、概率与统计概率与统计是数学中的实际应用领域，也是中考数学的一大重点。
同学们需要掌握基本的概率与统计的概念，包括事件、样本空间、随机性等。
同时，在中考中，概率与统计经常与图表相结合出现，需要同学们熟练读取和分析图表中的数据，并作出相应的判断和推理。
此外，还需要熟练掌握概率的计算方法，包括概率的加法原理和乘法原理等。
结语：以上便是中考数学复习的重点、难点知识点的精讲。
同学们在备考中，应根据自己的实际情况，有针对性地进行复习，加强对难点知识的理解和掌握。
同时，多做题、多思考，提高解题能力和应用能力。
相信只要同学们认真复习，就一定能够在中考中取得优异的成绩。
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿一. 教材分析北京版数学九年级下册《总结与复习》这一章节，主要是对整个九年级数学知识进行总结和复习。
在本章节中，学生将回顾和巩固之前学过的知识点，包括代数、几何、概率统计等。
教材通过一系列的练习题和案例分析，帮助学生巩固基础知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析在九年级的学生中，他们的数学基础和学习能力各不相同。
有的学生对基础知识掌握得比较扎实，但在解题技巧和思维能力方面有待提高；有的学生则在学习过程中遇到了一些困难，对于一些概念和公式理解不透彻。
因此，在教学过程中，需要根据学生的实际情况进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过总结与复习，使学生掌握九年级数学的基础知识，提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生归纳总结、思考问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：巩固和掌握九年级数学的基础知识。
2.教学难点：如何引导学生自主总结和归纳，提高解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论法、案例分析法等，引导学生主动参与学习，培养他们的独立思考能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合学习平台、网络资源等现代教育技术手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.自主学习：让学生通过阅读教材，回顾和总结之前学过的知识点，找出自己不理解的问题。
2.合作交流：学生分组讨论，共同解决问题，分享学习心得。
3.案例分析：教师选取具有代表性的案例，引导学生分析、解答，巩固知识点。
4.课堂练习：布置针对性的练习题，让学生在课堂上完成，检验学习效果。
5.总结提升：教师引导学生对所学知识进行总结，提高学生的归纳总结能力。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以采用思维导图、流程图等形式，将所学知识点进行归纳和整理。
冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》教学说课复习课件
知1－练
1 如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA =OB， CA=CB. 直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说 明理由.
解：AB与⊙O相切，理由如下： 连接OC，因为OA＝OB， CA＝CB，所以△AOB是等 腰三角形，且OC是△AOB 底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB经过半 径OC的外端，所以AB与⊙O相切．
知1－练
4 如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C， 点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的 度数为( C ) A．26° B．64° C．32° D．90°
知1－练
5 如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相 切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知 PC＝PD＝BC.下列结论： ①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形； ③PO＝AB；④∠PDB＝120°. 其中，正确的有( A ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知1－练
解: 连接OB，则OB＝OD， 因为AE与⊙O相切于点B， 所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°， 又因为∠A＝28°， 所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°. 所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°. 所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.
知1－练
3 下列说法正确的是( C ) A．圆的切线垂直于半径 B．垂直于切线的直线经过圆心 C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 D．经过切点的直线经过圆心
知1－练
2 下列四个命题： ①与圆有公共点的直线是圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线． 其中是真命题的是( C ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④
九年级数学重点知识点讲解
九年级数学重点知识点讲解数学是一门抽象而又具体的学科，它贯穿于我们生活的各个方面。
九年级是数学学科发展的重要阶段，学生要掌握更加复杂和深入的数学知识。
本文将以九年级数学的重点知识点为主题，为大家进行讲解。
一、代数与方程式代数与方程式是九年级数学的重要内容，它是数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。
九年级的代数与方程式主要包括以下几个方面的内容：1. 一元一次方程式：一元一次方程式是九年级代数的基础，它是由一个未知数和常数组成的方程，如3x + 2 = 8。
解一元一次方程式的关键是通过逆运算求解未知数的值。
2. 一元二次方程式：一元二次方程式是九年级代数的核心内容，它是由一个未知数的二次幂、一次幂和常数组成的方程，如x^2 +2x - 3 = 0。
解一元二次方程式的方法主要有配方法、因式分解法和求根公式。
3. 线性方程组：线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是一元一次方程式。
解线性方程组的方法主要有代入法、消元法和矩阵法。
二、几何与三角学几何与三角学是九年级数学中的另一个重要内容，它研究平面和空间中的图形、形状和关系。
九年级几何与三角学主要包括以下几个方面的内容：1. 基本几何概念：九年级几何学的基本概念包括点、线、面、平行线、垂直线、角、三角形等。
要掌握这些基本概念的定义和性质，能够用几何知识解决实际问题。
2. 同样图形的认识和判断：同样图形是具有相同形状但可能不同大小的图形，九年级学生需要通过比较边长、角度等特征来判断两个图形是否相似。
3. 三角形的性质和应用：三角形是几何学的一个基本图形，九年级数学学生需要熟悉和掌握三角形的各种性质和定理，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
三、概率与统计概率与统计是九年级数学中的另一大重点内容，它研究随机事件的发生规律和样本数据的统计规律。
九年级概率与统计主要包括以下几个方面的内容：1. 随机事件与概率：随机事件是指每次试验结果不能预测的事件，概率是评价随机事件发生可能性的数值指标。
《初三数学总复习三角形(二)》说课稿
《初三数学总复习三角形(二)》说课稿work Information Technology Company.2020YEAR《初三数学总复习三角形（二）》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用：《总复习三角形（二）》是初中数学的重要内容，也是近年中考的热点。
等腰三角形和直角三角形是最常见的图形，由于它们具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。
等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，还有“三线合一”定理及轴对称图形等性质；直角三角形的性质，两锐角互余、Rt△斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等。
通过加强学生对知识点的归纳、转化等数学思想、例题（习题）方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神。
2、教材重组：《数学新课程标准》要求教师要创造性地使用教材，积极开发，利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，所以我根据三角形（等腰三角形、直角三角形）的知识点精选例题（习题），让学生自主探索、合作交流，观察寻找出解题方法，然后动手书写解题过程。
如此把教材内容还原成生动活泼的思维创造活动，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
3、学习目标：根据《数学新课程标准》对学生在知识与技能、数学思考以及情感与态度等方面的要求，我把本节课的学习目标确定为：知识目标：了解等腰三角形（等边三角形）及直角三角形有关知识点，探索并掌握等腰三角形（等边三角形）及直角三角形性质，能应用性质进行计算和证明有关问题。
能力目标：能结合具体情境发现并提出问题，逐步培养观察、猜想、推理、归纳和合作学习能力。
情感目标：通过创设问题情境，激发学生自主探求的热情和积极参与的意识；通过合作交流，培养学生团结协作、乐于助人的品质。
4、教学重、难点：重点：掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的特性及应用。
难点：掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的应用。
九年级数学专题讲座
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式（公式，公式为常数，公式）。
当公式时，函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线，公式决定直线的倾斜程度（公式，直线从左到右上升；公式，直线从左到右下降），公式决定直线与公式轴的交点（公式）。
题目解析例：已知一次函数公式，求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解：当公式时，公式，解得公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时，公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式（公式，公式，公式为常数，公式）。
顶点式为公式（公式为顶点坐标）。
二次函数图象是抛物线，公式决定抛物线的开口方向（公式开口向上；公式开口向下），对称轴为公式（一般式）或公式（顶点式）。
题目解析例：求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解：对于二次函数公式，其中公式，公式，公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式（公式为常数，公式）。
图象是双曲线。
当公式时，双曲线在一、三象限；当公式时，双曲线在二、四象限。
题目解析例：已知反比例函数公式，求当公式时公式的值，以及当公式时公式的值。
解：当公式时，公式。
当公式时，公式，解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例：在公式中，公式，公式，求公式的度数。
解：因为三角形内角和为公式，所以公式。
例：已知公式和公式，公式，公式，判断这两个三角形是否相似。
解：因为在公式和公式中，公式，公式，两角分别相等，所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
初三数学总复习辅导讲座
例2 已知一次函数 y = kx－3, 请你补充一个条件:_________, 使y随x的增大而减小.
例3 若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个相等的实数根，则 符合条件的一组m、n的实数值可以是 m＝____,n=____.
2.发现规律猜想型问题
例4 观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1，
则k、b应满足的条件是( B ).
(A)k>0且b>0
(B)k<0且b>0
(C)k>0且b<0
(D)k<0且b<0
取m=2,则一次函数的图象经过点P(2,1),Q(-1,2), 作图可知,一次函数的图象经过第一、二、四象限，
所以k<0,b>0，应选(B).
例9 对于任意实数m，关于x的方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0
12
3
4
∠1与∠2，∠1与∠3， ∠2与∠4，∠3与∠4
例3 如图,PA与⊙O切于点A, PBC是⊙O的割线,
如果 PB = BC = 2,那么PA的长为( B ).
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)8
根据切割线定理，得 PA2＝PB•PC ＝ PB（PB＋BC）＝8 PA=2 2
2.间接法 由于单项选择题的被选答案 “只有一个是正确的”所
中学教学中常见的数学思想有：（1）分类讨论思想（2）方 程思想（3）转化思想（4）函数思想（5）数形结合思想
难易分布： 较易试题 约 60 分
中等试题 约 35 分 较难试题 约 25 分 题型分布：选择题11个 约 44 分 填空题 5个 约 20 分 解答题 9个 约 56 分 由此看出与2004年的不同只是去掉一个选择题，增加一 个填空题
人教版九年级数学知识点精讲
人教版九年级数学知识点精讲九年级数学是学生中学阶段最后一年的数学学科，是对学生小学和初中数学知识的总结和扩展。
本文将重点讲解人教版九年级数学的一些重要知识点，以帮助学生更好地掌握和应用数学知识。
一、代数方程1. 一元二次方程一元二次方程是九年级数学中较为重要的内容之一。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
学生需要学会利用配方法、公式法等解一元二次方程的方法，并能灵活运用于实际问题求解。
2. 二元一次方程组二元一次方程组是由两个含有两个变量的一次方程组成。
解二元一次方程组的常用方法有代入法、消元法和使用矩阵的方法。
学生需要掌握这些方法，并在解题过程中培养逻辑思维和推理能力。
二、几何图形1. 三角形的性质三角形是九年级数学中的基本图形之一。
学生需要掌握三角形的定义、分类和性质。
例如，三角形内角和为180度，等腰三角形的两底角相等等。
学生还需要学会应用三角形的性质解决实际问题。
2. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
学生需要学会判断两个三角形是否相似，并能够利用相似三角形的性质解决相关问题。
例如，利用相似三角形的比例关系解决高度测量问题等。
三、函数与图像1. 函数的概念函数是九年级数学中的重要内容之一。
学生需要了解函数的定义及其符号表示，掌握函数的自变量、因变量和函数值的概念。
学生还要能够判断一个关系是否是函数，并能灵活运用函数的概念解决问题。
2. 直线函数与一次函数直线函数是数学中最简单的一种函数形式。
学生需要学会通过给定直线上两点的坐标求解直线的方程，并能够利用直线函数解决实际问题。
此外，学生还需要了解一次函数的特点，并能够进行函数图像的作图与分析。
四、统计与概率1. 统计图表的读取和制作在九年级数学中，学生需要学会读取和制作各种统计图表，如条形图、折线图、饼图等。
学生还需要掌握统计图表中的常见概念和用法，如频数、频率、众数、中位数等。
2. 概率的概念与计算概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
人教版九年级上册数学《圆周角》圆教学说课复习课件
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想.
推进新课
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.圆心角的定义?
C
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ O
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫圆周角．
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，
∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=
1 2
∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点 ，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
A
B
图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样
的关系？
C
先猜一猜，再用 量角器量一量.
O
ACB 12AOB
A
B
（1）在圆上任取B⌒C，画出圆心角∠BOC 和圆 周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
O
O
B
B
C
B
C
C
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半？
周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.
1 2
α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
M
又∠C＝β＝ 12∠AOB,
C
∴β＝
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿1
北京版数学九年级下册《总结与复习》说课稿1一. 教材分析北京版数学九年级下册《总结与复习》是一章总结性的章节，主要是对整个九年级数学知识进行梳理和复习。
本章内容包括实数、代数、几何、统计与概率等方面的知识。
教材通过典型例题和练习题，帮助学生巩固和提高数学知识，为中考做好充分准备。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了大部分的数学知识，对于实数、代数、几何、统计与概率等方面有一定的了解和掌握。
但是，部分学生在解决综合问题时，仍然存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过对本章的学习，使学生对实数、代数、几何、统计与概率等方面的知识进行梳理和复习，提高学生的数学综合素质。
2.过程与方法：通过典型例题的讲解和练习，培养学生解决数学问题的能力和思维方法。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数、代数、几何、统计与概率等方面的知识。
2.教学难点：解决综合数学问题，灵活运用所学知识。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解、示范、练习、讨论等方式进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对数学知识的思考，激发学生的学习兴趣。
2.知识梳理：教师引导学生对实数、代数、几何、统计与概率等方面的知识进行梳理，形成知识体系。
3.典型例题讲解：教师讲解典型例题，分析解题思路和方法，引导学生掌握解题技巧。
4.练习与讨论：学生进行练习，教师巡回指导，学生进行讨论，共同解决问题。
5.总结与提高：教师引导学生对所学知识进行总结，提高学生的数学综合素质。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出重点。
可以采用思维导图、流程图等形式，展示实数、代数、几何、统计与概率等方面的知识体系。
八. 说教学评价教学评价主要包括过程性评价和终结性评价。
人教版九年级数学下册：全册中考知识点梳理(共27讲)-原创
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值y=k2x+b y=k1x+b（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.3.系数a、a决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示 如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形十五、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例 线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b+=85.3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFEDC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；。
北京版数学九年级上册《总结与复习》说课稿4
北京版数学九年级上册《总结与复习》说课稿4一. 教材分析北京版数学九年级上册《总结与复习》说课稿4，主要涵盖了本册书的重难点知识，旨在帮助学生巩固和提高数学素养。
本节课的内容包括：数的开方与平方根、实数与数的开方、分式与分式的基本性质、分式的运算、二次根式的性质与运算、实数与数的开方、二次函数的性质、概率初步等。
这些内容是九年级数学学习的重要部分，对于学生掌握数学知识体系具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数的开方与平方根、实数与数的开方、分式与分式的基本性质、分式的运算、二次根式的性质与运算、实数与数的开方、二次函数的性质、概率初步等知识有一定的了解。
但学生在实际应用中，仍存在一定的困难，如对概念的理解不深刻，运算能力不够强，对数学问题的解决方法不够灵活等。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生熟练掌握数的开方与平方根、实数与数的开方、分式与分式的基本性质、分式的运算、二次根式的性质与运算、实数与数的开方、二次函数的性质、概率初步等知识，提高学生的数学素养。
2.过程与方法目标：通过本节课的学习，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：数的开方与平方根、实数与数的开方、分式与分式的基本性质、分式的运算、二次根式的性质与运算、实数与数的开方、二次函数的性质、概率初步等知识的运用。
2.教学难点：对概念的理解，运算能力的提高，对数学问题的解决方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论法、案例教学法等，充分调动学生的主观能动性，提高学生的学习兴趣。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，直观地展示教学内容，帮助学生更好地理解和掌握知识。
九年级数学知识点归纳讲解
九年级数学知识点归纳讲解在九年级的数学学习中，我们接触到了许多重要的数学知识点，这些知识点对于我们后续的学习和生活中的应用都具有重要的作用。
本文将对九年级数学的主要知识点进行归纳讲解，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
一、代数与方程代数与方程作为九年级数学的核心内容之一，我们首先需要理解代数表达式的含义以及运算法则。
代数表达式能够帮助我们建立数学模型，解决实际生活中的问题。
其次，我们需要学习解一元一次方程和一元一次不等式。
这些方程和不等式的解集是使其等式或不等式成立的数的集合。
在解题过程中，可以通过移项、合并同类项等运算来寻找方程或不等式的解。
接下来是二次根式与二次方程的学习。
我们需要掌握二次根式的化简方法，并能够解一元二次方程，找到其根的值。
此外，可以通过配方法或因式分解等技巧来求解二次方程的解。
二、几何与三角在几何与三角的学习中，我们首先需要掌握基础的几何图形的性质，例如直线、线段、角度等。
通过学习这些性质，我们能够更好地理解和解决相关问题。
其次，我们要学习平面图形的性质和计算方法，如梯形、正方形、长方形等。
我们需要掌握它们的周长、面积等计算公式，并能够运用它们解决实际问题。
此外，三角形也是几何学中非常重要的一部分。
我们需要学习三角形的性质和计算方法，例如三角形的周长、面积计算以及三角函数的定义和运用等。
三、统计与概率九年级的数学学习中，统计与概率也是一个重要的知识点。
我们需要学习如何收集和整理数据，计算数据的中心趋势和离散程度，并且能够分析数据的意义。
同时，我们还需要掌握概率的基本概念和计算方法。
概率是研究事件发生的可能性的数学方法。
通过学习概率，我们可以判断事件发生的可能性大小，并应用于实际生活中的抽样调查、赌博等问题中。
四、函数函数是数学中一个非常基础的概念，也是九年级数学中的重要内容。
我们需要学习函数的定义、图象和性质，能够根据函数的定义确定它的自变量和因变量之间的关系。
在函数的学习中，我们还需要学习函数的运算和函数关系的表示，如复合函数、反函数等。
数学九年级知识点归纳讲解
数学九年级知识点归纳讲解数学作为一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和解决问题的关键能力的重要途径之一。
在九年级数学学习中，有许多重要的知识点需要我们掌握。
为了帮助同学们更好地理解和学习这些知识，本文将对数学九年级的知识要点进行归纳和讲解。
1. 整式与分式整式是指只有加、减、乘、乘方（整数次幂）运算的式子，其中包括多项式和整数。
分式是指有分数运算的式子，其中包括有理数、代数式的分式和分式方程。
2. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，每个线性方程包含相同的变量。
解线性方程组即求出使得所有方程都成立的变量值。
3. 图形的相似性如果两个图形形状相似，那么它们的对应边的长度之比相等，对应角的度数相等。
4. 几何体的表面积和体积几何体的表面积是指该几何体的所有面的总面积，体积是指该几何体所包含的空间。
5. 函数与方程函数是自变量和因变量之间的一种对应关系，通常用f(x)表示。
方程是含有一个或多个未知数的等式。
6. 平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
平面向量可通过平移、平行四边形法则和数量积等运算进行操作。
7. 平面和空间几何的证明平面和空间几何证明是通过逻辑推理和几何属性的判断来证明几何问题的过程。
8. 统计与概率统计是收集、整理、分析和解释数据的过程，而概率是描述随机事件发生可能性的数值。
9. 三角函数三角函数包括正弦、余弦、正切等，是用于描述角度和边长之间关系的函数。
10. 解析几何解析几何是将几何问题转化为代数问题来解决的一种方法，利用代数方程和坐标系统来研究图形的性质。
通过对以上九年级数学知识点的归纳和讲解，相信同学们对这些知识点有了更清晰的理解和掌握。
在日常学习中，需要注意多做习题、及时解决疑惑，并且灵活运用所学知识解决实际问题。
只有不断地练习和巩固，才能真正掌握这些数学知识，并在进一步的学习中取得良好的成绩。
总结起来，数学九年级的知识点包括整式与分式、线性方程组、图形的相似性、几何体的表面积和体积、函数与方程、平面向量、平面和空间几何的证明、统计与概率、三角函数和解析几何。
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初三数学各章节重要知识点概要相似三角形1.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且2.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点.3、黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.4、相似三角形判定①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质：（1） 旋转前后的两个图形是全等形； （2） 两个对应点到旋转中心的距离相等（3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称圆1、（要求深刻理解、熟练运用）1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD （3）……………A B CDE O平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD==AE=BE AB C DEFO 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点P ′（-x ，-y ）．4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ ……………（2） ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90°（3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角.几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB 9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.（1） （2）几何表达式举例： （1） ∵PA ·PB=PC ·PD∴……… （2） ∵AB 是直径∵PC ⊥AB ∴PC 2=PA ·PB11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1） （2）几何表达式举例： （1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；公式举例：(1) αn =n360︒； ABCOAB O1O2AO1O2αnβnDEOr n nR ABCDPABCPO A BCDEABCOABCDA BCO是半径垂直是切线A BO（2）有关计算在RtΔAOC中进行.(2)n1802n︒=α二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180Rnπ；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=LR21360Rn2=π；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR21=πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线. 三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA= 3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA 14、解直角三角形角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即二次函数1、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2、二次函数的图象与性质a.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()b.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.c.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.d.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).3、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解4、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。