尺规作图数学史

初中尺规作图数学史

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1

r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.

还有另外两个著名问题：

⑴ 正多边形作法

·只使用直尺和圆规，作正五边形.

·只使用直尺和圆规，作正六边形.

·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名

数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不

足以把一个角分成三等份的.

·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负

整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.

⑵ 四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.

尺规作图的相关延伸：

用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

1.只用直尺及生锈圆规作正五边形

2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA

==.

3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.

4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.

五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为：

1.做一线段等于已知线段

2.做一角等于已知角

3.做一角的角平分线

4.过一点做一已知线段的垂线

5.做一线段的中垂线

下面介绍几种常见的尺规作图方法：

⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两

个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置

就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹

上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称

为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、

B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，

一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；

⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的

位置.

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代

数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.

用这种方法作图称为代数作图法.

【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的