离散数学-前束范式
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例如公式 (x)(u)(z)((P(x) P(u)) (P(x) Q(y, z)) (Q(x, y) P(u)) (Q(x, y) Q(y, z)))
(x)(z)(y){[P (x a) (z b)][Q(y) (a b)]}
是前束合取范式
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式。
离散数学
Discrete Mathematics
第5讲 §2—6 前束范式
要求：理解前束范式、前束合取范式和前束 析取范式的定义，会将一个谓词公式wffA化 为前束范式、前束合取范式和前束析取范式。 学习本节的目的是掌握谓词公式的标准化形 式。 重点：化谓词公式为前束范式。
复习：
（1）量词与联结词¬之间的关系
斯柯林范式
前束范式的优点是全部量词集中在公式前面，其缺点是各量词 的排列无一定规则，这样当把一个公式化归为前束范式时， 其表达形式会显现多种情形，不便应用。1920年斯柯林 (Skolem)提出对前束范式首标中量词出现的次序给出规定： 每个存在量词均在全称量词之前。按此规定得到的范式形式， 称为斯柯林范式。显然，任一公式均可化为斯柯林范式。它 的优点是：全公式按顺序可分为三部分，公式的所有存在量 词、所有全称量词和辖域。这给Lp的研究提供了一定的方 便。
（3）量词与命题联结词之间的一些等价式 量词分配律
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
（4）指导变元、作用域、约束变元、自由变元
自
举例 73页 例题1，例题2，例题3
例题2 化公式 (x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))(u)Q(x,y,u))为前束范式
解 原公式 (x)(y)(┐(z)(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))
(x)(y)((z)(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨(u)Q(x,y,u)) (x)(y)(z)(u)(┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u))
第二步改名，以便把量词提到前面。
(x){(y)A(x, y) (u)(v)[B(u,v) (z)(A(z,u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A(x, y) [B(u,v) (A(z,u) B(u, z))]}
将约束变元x改名为u， 将约束变元y改名为z，
练习 75页（1）题
自由变元代入 对某自由出现的个体变元可用个体常元或用
与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代 入，且处处代入。
一、前束范式 定义2-6.1 一个合式公式称为前束范式，如果它有如下形式：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)A 其中Qi(1≤i≤k)为或，A为不含有量词的谓词公式。称
Q1x1Q2x2…Qkxk为公式的首标。 特别地，若Ａ中无量词，则Ａ也看作是前束范式。
三、前束析取范式
定义2-6.3 一个wffA称为前束析取范式，如果它有如下形
式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变 元，Aij是原子公式或其否定。
例题3 把公式
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A( y, x) B(x, y))]}
化为前束范式 解 第一步否定深入
原式 (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A( y, x) B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A(y, x) B(x, y))]}
例题4 将wffD：(x)[(y)P(x) (z)Q(z, y) (y)R(x, y)]
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[P(x) (z)Q(z, y) (y)R(x, y)]
第二步换名
D (x)[P(x) (z)Q(z, y) (w)R(x, w)]
第三步消去条件联结词
可见，前束范式的特点是，所有量词均非否定地出现在 公式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。 例如，(x)(y)(z)(P(x,y)Q(y,z))，R(x,y)等 都是前束范式，而(x)P(x)(y)Q(y)， (x)(P(x)(y)Q(x,y))不是前束范式。
定理2.6.1 (前束范式存在定理) Lp中任意公式A都有与之等价 的前束范式。
由
约 束
变 元Baidu Nhomakorabea
量 词
变 元
(x)P(x, y)
指
辖
导
域
变
元
（5）约束变元换名和自由变元代入 在一公式中，有的个体变元既是约束出现，
又是自由出现，这就容易产生混淆。为了避免混 淆，可对约束变元换名或自由变元代入。
约束变元换名 将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相
应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体变 元，其余不变。
(x)P(x) (x)P(x) (x)P(x) (x)P(x)
（2）量词扩张/收缩律
(x)A(x) B (x)(A(x) B) (x)A(x) B (x)(A(x) B) B (x)A(x) (x)(B A(x)) B (x)A(x) (x)(B A(x))
这里A(x)是任意包括个体变元x的谓词公式，B 是不包括个体变元x的任意谓词公式。
二、前束合取范式
定义2-6.2 一个wffA称为前束合取范式，如果它有如下形式：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∨A12∨…∨A1l1)∧(A21∨A22∨…∨A2l2) ∧ …∧(Am1∨Am2∨…∨Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变元， Aij是原子公式或其否定。
D (x)[(P(x) (z)Q(z, y)) (w)R(x, w)]
第四步将否定深入
D (x)[P(x) (z)Q(z, y)) (w)R(x, w)]
第五步将量词推到左边
D (x)(z)(w)[(P(x) Q(z, y)) R(x, w)]
(x)(z)(w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y)∨┐R(x,w))]
(x)(z)(y){[P (x a) (z b)][Q(y) (a b)]}
是前束合取范式
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式。
离散数学
Discrete Mathematics
第5讲 §2—6 前束范式
要求：理解前束范式、前束合取范式和前束 析取范式的定义，会将一个谓词公式wffA化 为前束范式、前束合取范式和前束析取范式。 学习本节的目的是掌握谓词公式的标准化形 式。 重点：化谓词公式为前束范式。
复习：
（1）量词与联结词¬之间的关系
斯柯林范式
前束范式的优点是全部量词集中在公式前面，其缺点是各量词 的排列无一定规则，这样当把一个公式化归为前束范式时， 其表达形式会显现多种情形，不便应用。1920年斯柯林 (Skolem)提出对前束范式首标中量词出现的次序给出规定： 每个存在量词均在全称量词之前。按此规定得到的范式形式， 称为斯柯林范式。显然，任一公式均可化为斯柯林范式。它 的优点是：全公式按顺序可分为三部分，公式的所有存在量 词、所有全称量词和辖域。这给Lp的研究提供了一定的方 便。
（3）量词与命题联结词之间的一些等价式 量词分配律
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
（4）指导变元、作用域、约束变元、自由变元
自
举例 73页 例题1，例题2，例题3
例题2 化公式 (x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))(u)Q(x,y,u))为前束范式
解 原公式 (x)(y)(┐(z)(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))
(x)(y)((z)(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨(u)Q(x,y,u)) (x)(y)(z)(u)(┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u))
第二步改名，以便把量词提到前面。
(x){(y)A(x, y) (u)(v)[B(u,v) (z)(A(z,u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A(x, y) [B(u,v) (A(z,u) B(u, z))]}
将约束变元x改名为u， 将约束变元y改名为z，
练习 75页（1）题
自由变元代入 对某自由出现的个体变元可用个体常元或用
与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代 入，且处处代入。
一、前束范式 定义2-6.1 一个合式公式称为前束范式，如果它有如下形式：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)A 其中Qi(1≤i≤k)为或，A为不含有量词的谓词公式。称
Q1x1Q2x2…Qkxk为公式的首标。 特别地，若Ａ中无量词，则Ａ也看作是前束范式。
三、前束析取范式
定义2-6.3 一个wffA称为前束析取范式，如果它有如下形
式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变 元，Aij是原子公式或其否定。
例题3 把公式
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A( y, x) B(x, y))]}
化为前束范式 解 第一步否定深入
原式 (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A( y, x) B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y) (y)(A(y, x) B(x, y))]}
例题4 将wffD：(x)[(y)P(x) (z)Q(z, y) (y)R(x, y)]
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[P(x) (z)Q(z, y) (y)R(x, y)]
第二步换名
D (x)[P(x) (z)Q(z, y) (w)R(x, w)]
第三步消去条件联结词
可见，前束范式的特点是，所有量词均非否定地出现在 公式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。 例如，(x)(y)(z)(P(x,y)Q(y,z))，R(x,y)等 都是前束范式，而(x)P(x)(y)Q(y)， (x)(P(x)(y)Q(x,y))不是前束范式。
定理2.6.1 (前束范式存在定理) Lp中任意公式A都有与之等价 的前束范式。
由
约 束
变 元Baidu Nhomakorabea
量 词
变 元
(x)P(x, y)
指
辖
导
域
变
元
（5）约束变元换名和自由变元代入 在一公式中，有的个体变元既是约束出现，
又是自由出现，这就容易产生混淆。为了避免混 淆，可对约束变元换名或自由变元代入。
约束变元换名 将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相
应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体变 元，其余不变。
(x)P(x) (x)P(x) (x)P(x) (x)P(x)
（2）量词扩张/收缩律
(x)A(x) B (x)(A(x) B) (x)A(x) B (x)(A(x) B) B (x)A(x) (x)(B A(x)) B (x)A(x) (x)(B A(x))
这里A(x)是任意包括个体变元x的谓词公式，B 是不包括个体变元x的任意谓词公式。
二、前束合取范式
定义2-6.2 一个wffA称为前束合取范式，如果它有如下形式：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∨A12∨…∨A1l1)∧(A21∨A22∨…∨A2l2) ∧ …∧(Am1∨Am2∨…∨Amlm)] 其中Qi(1≤i≤k)为量词或，xi(i=1,2, …,n)是客体变元， Aij是原子公式或其否定。
D (x)[(P(x) (z)Q(z, y)) (w)R(x, w)]
第四步将否定深入
D (x)[P(x) (z)Q(z, y)) (w)R(x, w)]
第五步将量词推到左边
D (x)(z)(w)[(P(x) Q(z, y)) R(x, w)]
(x)(z)(w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y)∨┐R(x,w))]