北师大版必修4高中数学第二章 向量应用举例教案

向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h - a , −→−CH = h - b , −→−BC = b - a ∵−→−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→−AB ∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h∴−→−AH ⊥−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比， 有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=22．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)ABCDEFHP 1 P 1P 1P 2P 2P 2PP POP 1PP 2∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例2.已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --①的值及的比分求点x P P P 121λ−→− ②求点的值。

的比分221λ−→−P P P 解：①由2145111111211=++-=++=λλλλλ解得得y y y 111211=++=∴λλx x x②由2312112222221-=++=-++=λλλλλ解得得x x y例3.CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆ 上的一点，且2=GDCG求点G 的坐标。

解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为GD CG y y x x 2),2,2(2121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯+=∴32122321213y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3,3(321321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式例4.过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点P ，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标 解：当P 内分−→−21P P 时 3=λ当P 外分−→−21P P 时3-=λ当3=λ得P(5,0) 当3-=λ得P(8,-3)例5.如图，在平面内任取一点O ，设OP 1P P 2 •••• P’PP 2→−→−→−→−==b OP a OP 21,，−→−−→−−→−→−→−→−→−−→−=-=-=2121,,PP P P OP b PP a OP P P λ→→−→−−→−→→−→−+++=∴-=-∴b a OP OP b a OP λλλλ111),()(这就是线段的定比分点向量公式。

特别当，当P 为线段P 1P 2的中点时，有)(21→→−→−+=b a OP例6.教材P 100例2. 例7.教材P 101例3.例8.某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ， 那么此时人感到的风速为v - a ， 设−→−OA = -a ，−→−OB = -2a∵−→−PO +−→−OA =−→−PA ∴−→−PA = v - a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵−→−PO +−→−OB =−→−PB ∴−→−PB = v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是−→−PB ，由题意：∠PBO = 45︒, PA ⊥BO , BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风 【巩固深化，发展思维】 1.教材P 102练习1、2、3题.2.已知平行四边形ABCD 的两个顶点为对角线的交),6,2(),7,29(B A --点为），，（233M 则另外两个顶点的坐标为 . （），），（，3410221- 3.△ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D, 求D 点坐标 . (1,541) PBAOvv -2a[学习小结]：略 五、评价设计1．作业：习题2-7 A 组第1、2、3题．2．（备选题）：①若直线02:=++y mx l 与线段AB 有交点，其中A （-2，3），B(3,2),求m 的取值范围.解：设l 交有向线段AB 于点P （x,y ）且点）时直线过，当A PBAP00(=≥=λλλ 则可得3425,0435*******-<≥≥+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=m m m m l P y x 或得上，故可得点在因λλλλλ 由于设λ时，无形中排除了P,B 重合的情形，要将B 点坐标代入直线方程得3425,34-≤≥-=m m m 或故②已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|−→−OA |2+ |−→−BC |2= |−→−OB |2+ |−→−CA |2= |−→−OC |2+ |−→−AB |2，求证：−→−AB ⊥−→−OC ．证：设−→−OA = a , −→−OB = b , −→−OC = c ,则−→−BC = c - b , −→−CA = a - c , −→−AB = b - a 由题设：−→−OA 2+−→−BC 2=−→−OB 2+−→−CA 2=−→−OC 2+−→−AB 2，化简：a 2 + (c - b )2 = b 2 + (a - c )2 = c 2 + (b - a )2得： c •b = a •c = b •a从而−→−AB •−→−OC = (b - a )•c = b •c - a •c = 0 ∴−→−AB ⊥−→−OC 同理：−→−BC ⊥−→−OA , −→−CA ⊥−→−OB六、课后反思：A BCO。