理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
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习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动,其运动方程为:t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a x
v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯=
)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯=
)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=
t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ,用长为2 l 的杆连接,并将其中点固定在轴AB 上,杆CD 与轴AB 的交角为θ,如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动,试求下列两种情况下,系统对AB 轴的动量矩。(1)杆重忽略不计;(2)杆为均质杆,质量为2m 。
图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z =
(2)
θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l
z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。
图11-26
(a)
ω231ml L O = (b)
22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -= (c)
2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯= ω2245ml L O = (d)
2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =
11-4 如图11-27所示,均质三角形薄板的质量为m ,高为h ,试求对底边的转动惯量J x 。
图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ 在y 处 b h
y b y = y y h m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=⨯⨯=⨯⨯==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h m m y h J z d )(2d )(d 22
2-=
-= ⎰⎰+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)4
13221(2d )2(2d )(2
26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆,用光滑铰链联接,如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
图11-28
3)31(12122⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121m l m l l m m l J z =⨯+=⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+=
11-6 如图11-29所示,物体以角速度w 绕O 轴转动,试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半径为R ,质量为m 的均质圆盘,在中央挖去一边长为R 的正方形,如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ,质量为m 的正方形钢板,在中央挖去一半径为a 的圆,如图11-32b 所示。
图11-29 (1)
2126121R m mR J C -= π
π221m m R R m == 222π
61π3π6121mR R m mR J C -=⨯-= π
)1(ππm m m m -=-=' 2222π
67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π
6π97mR J L O O -=-= (2)
21221)4(61a m a m J C -= m m a a m 16
π16π221== 22296
π325616π2138ma ma ma J C -=⨯-= m m m m 16
π1616π-=-='
222296
π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -⨯+-=⨯-+-=⨯'+= 296
π511024mR -= ωω296
1024π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示,质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为C ,AC =e ;轮子半径为R ,对轴心A 的转动惯量为J A ;C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩:(1)当轮子只滚不滑时,已知v A ;(2)当轮子又滚又滑时,已知v A 、w 。
图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-= (1)
R v A
=ω ω)(e R v C +=
R v e R m me J R v me J R v e R m L A
A A A A
B ])([)()(2222++--=--+-=
(2)
ωe v v A C +=
ωωC A B J e R e v m L -++-=))((
ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=
])()([ωmeR J v e R m A A +++-=
11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动,通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动,如图11-31所示。已知OC =AC =BC =l ,曲柄质量为m ,连杆质量为2m ,试求系统在图示位置