算法的收敛性和收敛速度的定义式
7.2 迭代法及其收敛性
k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
迭代下降算法概述-最优化方法
四.算法的收敛性
收敛性：下降迭代算法的收敛性，是指某种
迭代程序产生的迭代序列 Xk k 0,1, 2,…
收敛于 lim X k X k1
收敛速度：
(1)线性收敛速度（ =1）
(2)超线性收敛速度（1< < 2）
(3)二阶收敛速度( =2)
四.算法的收敛性
初始点X1
新的点X2
1.目标函数值：f（X1）> f（X2） > f（X3） > f （X4）…
2.f:算法规则
初始点X2
3.点列：{Xi}，i=1,2…n
新的点X3
4.Xn趋于极小点或期望的其他点（平稳点或K-T点）
初始点X3
新的点X4
一.算法的基本格式
2.基本格式：
X k 1 X k k Pk
(1)线性收敛速度
一阶收敛不一定是线性收敛
四.算法的收敛性
（2） 阶收敛速度
设某算法产生的点列 Xk收敛于X，若存
在正数 k0 ，有以及与k无关的 >0, >1,使
得当k> k0 时，恒有
Xk1 Xk Xk X 称此算法具有 阶收敛速度。
二次函数时，都能在有限步内达到极小点，则称此 算法具有收敛性。
有限收敛性（二次收敛性）指一个算法用于具有正 定矩阵的二次函数 f (X ) 1 X T AX bT X C 在有限步可
2
以达到它的极小值，具有线性以上的收敛，收敛速 度较快。
f (Xk P)PT 0 XK1 Xk P
二.最优步长的性质
由于 k 是最优步长，故 是 X k1 f ( X )在过点 X k1
计算科学中的迭代和收敛性分析
计算科学中的迭代和收敛性分析在计算科学中，迭代和收敛性分析是两个常见的概念。
迭代是指通过重复执行一定的计算过程来逐步逼近所要求解的问题的方法。
而收敛性则是评估所得解与真实解之间的误差以及迭代过程中的精度变化。
迭代方法在计算科学中的应用非常广泛。
例如，在求解非线性方程和求解常微分方程等问题中，常用的方法都是迭代法。
迭代法的基本思想是从初始条件开始，逐步逼近所要求解的问题。
具体操作时，首先需要选定一个初始值，然后通过一定的迭代公式进行计算，得到一个新的值，并将其作为下一次迭代时的初始值。
如此重复执行，直到所求解的问题达到所期望的精度要求为止。
然而，迭代方法并不总是能够收敛到所要求的真实解。
这就引出了收敛性分析的问题。
收敛性指的是迭代方法是否在无限迭代的情况下，能够收敛到真实解。
如果能够收敛，那么我们还需要考虑的是其收敛速度，即迭代过程中精度变化的规律。
在实际应用中，迭代法的收敛性和收敛速度是非常重要的问题，因为它们直接影响到所得结果的可靠性和计算效率。
因此，在迭代法的设计和评估中，收敛性分析是一个非常重要的环节。
收敛性分析的方法很多。
其中，最常用的方法是通过构造数值序列来评估迭代法的收敛性和收敛速度。
构造数值序列可以通过一系列数学技巧和推导来实现。
对于线性问题，可以通过构造矩阵和向量来实现数值序列的构造。
而对于非线性问题，一般需要考虑一些特定的方法，如牛顿迭代法、欧拉迭代法等。
除了构造数值序列外，在收敛性分析中还有一些其他的方法。
例如，可以考虑迭代法的局部收敛性和全局收敛性。
局部收敛性是指迭代法在某一点附近是否收敛。
这个问题往往可以通过利用泰勒级数来解决。
而全局收敛性则是指迭代法是否对任意的初始值都能收敛。
这个问题的解决通常需要使用一些特定的技巧和算法，例如逐步缩小逼近区间法。
总之，迭代和收敛性分析是计算科学中常见的概念，对于许多实际问题的求解都有重要的应用价值。
通过对迭代法的设计、评估和分析，我们可以帮助提高计算效率和解决实际问题，为科学研究和工程应用做出贡献。
计算方法实验指导书
第一章 绪论一、主要要求通过实验，认真理解和体会数值计算的稳定性、精确性与步长的关系。
二、主要结果回顾：1、算法：电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算，由这些基本运算及运算顺序规定构成的解题步骤，称为算法．它可以用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述。
用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。
（如c —语言程序，c++语言程序，Matlab 语言程序等）。
2、最有效的算法：应该运算量少，应用范围广，需用存储单元少，逻辑结构简单，便于编写计算机程序，而且计算结果可靠。
3、算法的稳定性：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。
换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。
4、控制误差传播的几个原则： 1）防止相近的两数相减； 2）防止大数吃小数；3）防止接近零的数做除数；4）要控制舍入误差的累积和传播；5）简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累。
三、数值计算实验（以下实验都需利用Matlab 软件来完成） 实验1.1（体会数值计算精度与步长关系的实验）实验目的：数值计算中误差是不可避免的，要求通过本实验初步认识数值分析中两个重要概念：截断误差和舍入误差，并认真体会误差对计算结果的影响。
问题提出：设一元函数f :R →R ，则f 在x 0的导数定义为：hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→实验内容:根据不同的步长可设计两种算法,计算f 在x 0处的导数。
计算一阶导数的算法有两种：hx f h x f x f )()()('000-+≈（1）hh x f h x f x f 2)()()('000--+≈（2）请给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工作： 1、对同样的h ，比较(1)式和(2)式的计算结果；2、针对计算高阶导数的算法，比较h 取不同值时(1)式和(2)式的计算结果。
数值分析10迭代法的收敛性分析
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有 效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳 定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中 的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决 实际问题提供更有力的支持。同时，随着数 学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加 深入和完善。
感谢您的观看
THANKS
例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问 题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法 在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢 或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛 的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实 际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代 方法。
06
迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
01
02
03
迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度 的一个直观指标，迭代次 数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重 要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要 方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性 分析在非线性方程求解中也有着重要的作用 。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛 速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和 参数，提高求解效率。
算法的收敛性和收敛速度的定义式
5.2.1 函数的方向导数和梯度
例题2 一般二元二次函数的矩阵式为
1 T f ( X ) X AX + B T X + C 2
西 南 科 技 大 学 网 络 教 育 系 列 课 程
，其中
X x1 x2
a11 a12 A a21 a22
f ( X ( 2 ) ) 0 2 + 2 2 2
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单位梯度的向量为：
S
(1)
f ( X (1) ) 1 (1) f ( X ) 2 2
2 2 / 2 2 2 / 2
S (2)
f ( X ( k ) ) S cos f ( X ( k ) ), S
S cos 2 1 + cos 2 2 + + cos 2 n 1
f ( X
(k )
f ( X ) f ( X ) f ( X ) ) + + + x x x 1 2 n
f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
从图中可以看出： 当方向S与点X( k)的梯度相垂直时，函数在该 点沿S的方向导数等于零，即
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f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
T
S 0
这说明，与梯度成锐角的方向是函数值上升 的方向，而与梯度成钝角的方向则是函数值下降 的方向。
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最优化方法-迭代下降算法概述
四.算法的收敛性
X k1 X k X k X
(1) 1 ，算法具有线性收敛速度
(2) 1 2 ，算法具有超线性收敛速度
(3) 2 ，算法具有二阶收敛速度
四.算法的收敛性
定义 3.16（有限收敛性或二次收敛性）： 若将某种算法应用与任意一个具有正定Hesse矩阵的
二.最优步长的性质
设无约束极小化问题为：min f(X),X E n
二、最优步长的性质
2.几何意义：
f ( X k P)PT 0 X K 1 X k P
二.最优步长的性质
由于 k 是最优步长，故 是 X k1 f ( X )在过点 X k1
而与搜索方向 Pk 平行的直线L上的极小点。因
算法产生的点列通常只是其极限属于某个指定的解 集，须规定一些准则，使得计算经过有限次迭代后 在满足过给的准则的条件下终止。
三.计算过程的终止
终止准则
（1）梯度准则：目标函数在迭代点的梯度的 模达到充分小，即 f (Xk ) （2）点距准则：两个迭代之间的距离充分
小,即
X km X k 2 或比值
迭代下降算法概述
本节主要内容
一.算法的基本格式 二.最优步长的性质 三.计算过程的终止 四.算法的收敛
本章的目的和要求
掌握算法的基本格式 熟悉最优步长的性质 知道计算过程的终止准则 了解算法的收敛性
一.算法的基本格式
定义 1 基本格式 2
一.算法的基本格式
1.定义（下降迭代算法）：从某个初始点出 发，根据一定的算法规则，产生一个是目标 函数值有所下降的新的点；再从这个新的点 出发，重复上述过程，这样可以得到一个点 列，在一定的条件下，这个点列将趋于极小 点或我们所期1)线性收敛速度
2.2 迭代法
x k +1 = 3 x k + 1
计算结果如下: 计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
计算方法
k 0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k 5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32Байду номын сангаас72 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
证: 由于 ϕ ′( x * ) = 0 * ′( x* ) < 1 , 即在 x 邻域 ϕ ϕ ( xk ) 在 x * 处 有局部收敛性, 所以 xk+1 = ϕ( xk ) 有局部收敛性, 将 泰勒展开
计算方法
一、迭代法的基本思想: 迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于 的根， 为求解非线性方程 的根 迭代的等价方程
x = ϕ ( x)
的连续函数。 其中ϕ ( x ) 为x的连续函数。 的连续函数
(2.3)
计算方法
即如果数 α 使 f(x)=0, 则也有 α = ϕ (α ) , 反之, 反之, 若α = ϕ (α ) ,则也有 f (α ) = 0 的右端, 任取一个初值 x ,代入式 x = ϕ ( x ) 的右端, 得到 0
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
Newton法的局部收敛性
另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次 函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由 于函数的单调性, 总会被拉回"局部".
事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形 ...足 见全局收敛性的复杂.
定义6.2
设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于方程x ( x)的根x*， 如果迭代误差ek xk x*当k 时成立下列渐近关系式 ek 1 C (C 0为常数) p ek
具体来说
局部收敛性有如下定理 1.设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续). 2.若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是 二阶的. 3.若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是 一阶的.
则称该迭代过程是p阶收敛的。特别地，p=1时称为线性收敛，p>1时 称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。
定理6.3
对于迭代过程xk 1 ( xk ), 如果 ( p ) ( x) 在所求根x*的邻近连续，并且
' * '' * ( p 1) ( x* ) 0, ( x ) ( x ) ... ( p) * ( x ) 0, 则该迭代过程在点x*邻近是p阶收敛的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的. 说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]a|/|x[n]-a|^r = c 至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而 只是举一些例子. 因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能 使迭代法不收敛了.
网络拓扑结构优化算法收敛速度评估说明
网络拓扑结构优化算法收敛速度评估说明网络拓扑结构优化算法是通过优化网络中的链路连接关系，以提高网络性能和可靠性的方法。
在实际应用中，算法的收敛速度是评估其效果的重要指标之一。
本文将从定义收敛速度、影响收敛速度的因素以及评估收敛速度的方法三个方面进行论述。
首先，什么是收敛速度？收敛速度是指网络拓扑优化算法在迭代过程中逐渐接近最优解所花费的时间。
在拓扑结构优化中，最优解往往是指网络中链路带宽利用率最大化或者时延最小化。
因此，一个快速收敛的算法意味着它能够在尽可能短的时间内达到最佳的拓扑优化状态。
其次，影响收敛速度的因素有很多，其中主要包括以下几个方面：1. 算法本身的特性：不同的算法有不同的收敛速度。
例如，梯度下降算法通常能够较快地收敛，因为它能够有效地利用目标函数的梯度信息。
而遗传算法等启发式算法则往往需要较长的时间来搜索全局最优解。
2. 网络的规模和复杂度：网络的规模越大、结构越复杂，拓扑优化算法往往需要更长的时间才能达到最优解。
这是因为大规模网络中的连接关系更加复杂，优化问题的搜索空间更大。
3. 初始拓扑状态：拓扑优化算法的初始拓扑状态也会对收敛速度产生影响。
如果初始的拓扑已经非常接近最优解，那么算法的收敛速度通常会更快。
最后，评估算法的收敛速度可以采用以下几种方法：1. 迭代次数统计：可以记录算法运行的迭代次数，并根据迭代次数来评估算法的收敛速度。
一般来说，迭代次数越少，收敛速度越快。
2. 收敛过程可视化：可以将算法的迭代过程可视化，通过观察目标函数值或者拓扑结构的变化来评估算法的收敛速度。
如果在前几次迭代中，目标函数值或者拓扑结构的变化比较大，而后续变化较小，那么算法可能已经接近最优解，收敛速度较快。
3. 算法效果评估：可以通过对比不同算法在相同条件下的优化效果来评估其收敛速度。
具体方法包括比较不同算法达到相同优化效果所需要的时间或者迭代次数。
综上所述，网络拓扑结构优化算法的收敛速度是评估其效果的重要指标之一。
基本迭代方法
,
k = 0, 1, . . . ,
,
k = 0, 1, . . . , (3.2)
N
称为 迭代矩阵.
这就是基于矩阵分裂 A = M − N 的迭代方法.
选取不同的 M , 就可以构造出不同的迭代方法.
9/98
1.2
Jacobi 迭代
记 A = D − L − U , 其中 D 为 A 的对角部分, −L 和 −U 为 A 的严 格下三角和严格上三角部分. 取 M = D, N = L + U , 则可得 Jacobi 迭代 方法: x(k+1) = D−1 (L + U )x(k) + D−1 b 对应的迭代矩阵为 GJ = D−1 (L + U )
定常迭代法有时也称为经典迭代法, 基本迭代法 或 不动点迭代法.
3/98
迭代法基本想法
当直接求解 Ax = b 比较困难时, 我们可以求解一个近似等价方程 组 M x = b , 其中 M 是对 A 的某种意义下的近似. 设 M x = b 的解为 x(1) . 则它与原方程的解 x∗ = A−1 b 之间的差满足 ( ) A x∗ − x(1) = b − Ax(1) 如果 x(1) 已经满足精度要求, 则可以停止计算, 否则需要进行修正.
关键技术 矩阵分裂
7/98
1.1
矩阵分裂与定常迭代
定义 1 (矩阵分裂, Matrix Splitting) 设 A ∈ Rn×n 非奇异, 称 A=M −N 为 A 的一个 矩阵分裂 , 其中 M 非奇异. (3.1)
8/98
给定一个矩阵分裂 (3.1), 则原方程组 Ax = b 就等价于 M x = N x + b . 于是我们就可以构造出以下的迭代格式 M x(k+1) = N x(k) + b 或 x(k+1) = M −1 N x(k) + M −1 b ≜ Gx(k) + g 其中 G ≜ M
《数值分析》第六章
有局部收敛性.
证 明 . 由 连 续 函 数 的 性 质 ， 存 在 x* 的 邻 域
Δ : x − x* ≤ δ
，使 ∀x ∈ Δ 成立 ϕ '( x) ≤ L < 1 ，此外，
对于任意 x ∈ Δ ，总有 ϕ ( x) ∈ R ，这是因为
15 16
迭代法不一定收敛. 对同一个问题，不同的迭代法， 可能有的收敛，有的不收敛. 如下例.
Th 1 假定函数 ϕ (x) 满足： 1 对任意 x ∈ [a, b] 有， ϕ ( x) ∈ [a, b] （即，映像入内）
∀x ∈ [a, b] ， ϕ '( x ) ≤ L < 1 2 存在非负数 L < 1 使得， （压 缩映射）
k → ∞ 时成立下列渐近关系式
= xk − x * 当
求根 x * 的邻近连续，并且满足：
ϕ '( x* ) = ϕ ''( x* ) = L = ϕ ( p −1) ( x * ) = 0 ， ϕ ( p ) ( x * ) ≠ 0
ek +1 → C ( C ≠ 0) e kp
则称该迭代过程是 p 阶收敛的. 特别地， p = 1 时称为线性收敛，
*
* *
* * 假设 x , y ∈ [a, b] 是任意的两个根，因为
xk = x * . 故 lim k →∞
x* − y* = ϕ ( x* ) − ϕ ( y* ) = ϕ '(ξ )( x* − y* ) ≤ L x* − y*
* * 故 x = y , 即， x = ϕ ( x ) 在[a,b]上有唯一的根.
牛顿法求零点的方法
牛顿法求零点的方法牛顿法，也被称为牛顿-拉弗逊方法，是一种用于求解方程零点或找到函数极值的迭代方法。
下面将展开详细描述50条关于牛顿法求零点的方法：1. 函数定义：牛顿法需要求解的函数f(x)在某一区间内具有连续的一阶和二阶导数。
2. 选择初始值：从初始值x₀开始迭代求解，初始值的选取对收敛速度有重要影响。
3. 迭代公式：根据牛顿法的迭代公式xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)进行迭代计算，直至满足精度要求。
4. 收敛性分析：对于给定初始值，需要分析函数性质，判断牛顿法求解是否会收敛到目标零点。
5. 判断收敛：通过设定迭代次数限制或者迭代精度要求来判断牛顿法的求解是否已经收敛。
6. 求解零点：当收敛判据满足后，将得到一个近似的函数零点作为结果输出。
7. 牛顿法的收敛速度：根据函数的性质和初始值的选择来分析牛顿法的收敛速度，可以采取一些加速收敛的方法来提高求解效率。
8. 收敛域的设定：针对特定的函数，可以设定合适的收敛域，加快算法的收敛速度。
9. 牛顿法的误差分析：对于连续函数，可分析牛顿法的误差收敛性，了解迭代逼近零点的精确度。
10. 稳定性分析：牛顿法的稳定性受初始值和函数性质的影响，需要进行稳定性分析，确保算法的可靠性。
11. 牛顿法的优化：可以对牛顿法进行改进，减小迭代次数或增加收敛速度，提高算法的效率。
12. 牛顿法与其他方法的比较：分析牛顿法与二分法、割线法等其他求根方法的优劣，选择合适的方法来求解。
13. 牛顿法的推广：对于多元函数或非线性方程组，可以推广牛顿法来求解多元函数的零点。
14. 牛顿法的受限条件：在实际应用中，需要考虑函数的定义域和受限条件，对牛顿法进行适当的调整。
15. 牛顿法的数值稳定性：需要考虑数值计算过程中的舍入误差和数值不稳定性，保证计算结果的准确性。
16. 牛顿法的局部收敛性：牛顿法的局部收敛性可能受到函数的振荡和奇点等因素的影响，需要加以分析和处理。
牛顿法及其收敛性课件
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
2k
（4.6）
记
q x0 x0 C , C
整理（4.6）式，得
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
x 3 x 1 0.
（4.8）
在 x 1.5 附近的一个根 x *. 设取迭代初值 x0 1.5，用牛顿法公式
xk 1
3 xk xk 1 xk 2 3 xk 1
（4.9）
x3 1.32472.
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
迭代3次得到的结果 x3 有6位有效数字.
( x)
( x x*) g ( x) , mg ( x) ( x x*) g ( x)
故 x *是 ( x) 0 的单根.
对它用牛顿法，其迭代函数为
17
( x) x
( x) f ( x) f ( x) x . 2 ( x) [ f ( x)] f ( x) f ( x)
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
牛顿迭代法收敛定理
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式 )()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
迭代法收敛速度的比较
"(
x)
=
f
( [
x ) f "( x ) f ′( x ) ] 2
。
由于 f ( x * ) = 0, 所以当 f ′( x * ) ≠ 0 时, Á ′( x * ) = 0, 牛
顿法至少是二阶收敛的, 即牛顿法在 单根附近至少是二阶
收敛的, 在重根附近是线性收敛的。
由于 x ex - 1 = 0 为例 1 的等价形式, 与例 1 比较, 同一例题, 用一般迭代法 要迭代 10 次才能得到满足精度 E= 10- 3 的结果, 而这里仅 迭代 3 次便可达到 E= 10- 4 的高 精度结果, 可见牛顿迭代 法的收敛速度还是比较快的。
lim
n→∞
ûEn+ 1û ûEnûp
=
C,
则称序列{ x n} p 阶收敛, 如果序列{ x n } 是由 x n+ 1 = Á ( x n)
产生的, 且 p 阶收敛, 则称这种迭代过程是 p 阶收敛的。
当 p = 1, 且 C < 1 时, 称为线性收敛;
当 p = 2, 称为平方收敛( 或二次 收敛) ;
5
0. 571 17
0. 011 10
6
0. 564 86
- 0. 06003 58
8
0. 566 41
- 0. 002 03
9
0. 567 56
0. 001 15
10
0. 566 91
- 0. 000 65
由表 1 可知, x * ≈ x 10 为方程
x = e- x
第 2 期 张 菁, 张丽梅: 迭代法收敛速度的比较
165
3 弦截法的收敛速度
6.3迭代法的收敛定理
i 1 n
所以矩阵（D-L）为可逆下三角矩阵，其逆也是下三角矩阵， G-S迭代法的迭代矩阵是 BG =(D - L)-1U。
考虑BG的特征值λ ，其特征方程为
det(I-BG) = det(I-(D-L)-1U) = det(D-L)-1det((D-L)-U)=０
易求
BJ
max
1i n
1 j n , j i
aij aii
由严格对角占优定义（定义6.1 ），得 BJ ∞<1,所以, Jacobi 迭代法收敛。
下面证明G-S迭代法的收敛性。对于严格对角占优阵A， 其对角元素 aii ≠ 0 ， i=1,2,,n（定义6.1 ），故
定理6.3的证明
证 首先证明Jacobi 迭代的收敛性。由
0 a 21 B J D 1 ( L U ) a 22 a n1 a nn a12 a11 0 a n2 a nn a1n a11 a2n a 22 , 0 b1 a 11 b2 fJ a 22 b n a nn
返回节
二、Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度
引子 对角占优矩阵 实例 相关定理 定理3.3的证明
返回节
引子
虽然利用定理6.1和定理6.2可以判定Jacobi 迭代 法和G-S迭代法的收敛性，但其中只有定理6.2对 Jacobi 迭代法使用比较方便，此外，对于大型方程 组，要求出G-S迭代矩阵BG和ρ(BG)以及Jacobi 迭代 矩阵BJ和ρ(BJ)都不是容易的事。
复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析
复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析复变函数迭代法是数值计算中常用的求解复变函数的数值方法。
在使用复变函数迭代法求解问题时，我们首先将复平面划分为若干个矩形或圆形区域，然后使用迭代公式进行迭代计算，直到达到预定的精度要求或满足一些停止准则为止。
本文将对复变函数迭代法的收敛性和稳定性进行详细的分析。
一、收敛性的分析在复平面上，定义一个函数f(z)，其输入是复数z，输出也是复数。
对于给定的初始值z0，我们通过迭代公式z(n+1)=f(z(n))来进行迭代计算，直到满足一些停止准则为止。
那么我们需要分析迭代过程是否能收敛到问题的解。
下面是收敛性的分析过程。
1.收敛性定理在复平面上，如果函数f(z)是全局收敛的，即对于任意的初始值z0，迭代过程都会收敛到问题的解，那么我们称函数f(z)是全局收敛的。
收敛性定理指出，如果函数f(z)在一些区域R上解析，并且在该区域上的导数，f'(z)，的模不大于1，即，f'(z)，<=1，那么函数f(z)是局部收敛的。
2.收敛半径在复平面上，我们可以通过计算函数f(z)在一些点的导数值，f'(z)，的模来判断收敛性。
当，f'(z)，<1时，该点是函数f(z)的收敛点；当，f'(z)，>1时，该点是函数f(z)的发散点。
收敛半径可以定义为函数f(z)收敛的最大半径，即，z，<R时，函数f(z)是收敛的。
3.收敛域和发散域根据函数f(z)在复平面上的性质，我们可以将复平面分为收敛域和发散域两部分。
收敛域是指函数f(z)在该区域内收敛的点的集合，发散域是指函数f(z)在该区域内发散的点的集合。
二、稳定性的分析稳定性是指在计算过程中的误差是否会扩散和放大。
在复变函数迭代法中，稳定性是一个重要的性质，对于保证计算结果的准确性和可靠性起到关键作用。
下面是稳定性的分析过程。
1.条件数和误差扩散在复变函数迭代法中，函数f(z)的条件数用来衡量函数的敏感性。
似然函数的收敛速度
似然函数的收敛速度似然函数是用来描述某些参数取值下，观测数据出现的可能性大小的函数。
在统计学中，似然函数是很常见而重要的概念。
在估计参数时，我们经常需要最大化似然函数。
当参数的取值接近实际真实值时，似然函数的值就越大，因此我们用最大似然估计法来得到参数的最优取值。
然而，似然函数的收敛速度对于统计学研究者来说是一个很有意义的问题。
首先，我们需要知道收敛速度的定义是什么。
在数学中，一个数列收敛到某个值时，就是该数列的极限逐渐趋近于该值，可以想象成一条线到达另一条线的过程。
而数列的收敛速度，则描述了每一步到达目标的速度或者说距离。
在似然函数中，我们关注的是参数的收敛速度。
参数的收敛速度说明了参数是否趋近于真实值的速度，因此也说明了估计方法的优越性。
接下来我们来探讨似然函数的收敛速度问题。
我们可以通过实际例子来解释这个问题。
假设我们有一个服从正态分布的随机变量 $X$，并且我们的观测数据为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$。
那么，我们可以使用以下公式计算似然函数：$$ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \mu, \sigma^2) $$其中 $f(X_i; \mu, \sigma^2)$ 是正态分布的概率密度函数。
接下来我们假设真实的参数值为 $\mu_0=2$，$\sigma_0^2=1$。
现在我们随机生成一组样本，其中 $\mu=1.5$，$\sigma^2=0.8$，样本数量为 $n=1000$。
我们使用最大似然估计法来估计参数，同时我们记录每次迭代之后的估计结果。
我们发现，当 $n$ 增大到一定程度时，随着迭代次数的增加，估计值会越来越接近真实值。
这就是说似然函数的收敛速度随着样本数量的增加而增加。
当样本数量比较小的时候，收敛速度相对较慢。
而随着样本数量的增加，收敛速度将变得越来越快，直到最终趋于稳定。
此外，收敛速度还受到其他因素的影响，比如说估计方法的优劣、参数初值的选取和优化算法等等。
收敛阶数p的计算公式
收敛阶数p的计算公式
收敛阶数p是用来衡量数值逼近方法收敛速度的指标。
一般来说，对于数值逼近方法，收敛阶数p是通过观察数值解随着步长（h）的减小而逼近真实解的速度来确定的。
通常情况下，我们可以使用
以下公式来计算收敛阶数p：
p = log((f(x) f(x+h)) / (f(x+h) f(x+2h))) / log(2)。
其中，f(x)代表真实解，f(x+h)代表以步长h计算得到的近似解。
这个公式是基于数值逼近方法的误差项的定义推导而来的。
通
过计算不同步长下的近似解，并代入上述公式，我们可以得到数值
逼近方法的收敛阶数p。
另外，对于某些特定的数值逼近方法（比如数值积分方法、微
分方程数值解法等），也有针对性的收敛阶数公式。
例如，对于复
化梯形公式的数值积分方法，其收敛阶数p可以通过以下公式计算： p = log((I(h) I(h/2)) / (I(h/2) I(h/4))) / log(2)。
其中，I(h)代表以步长h计算得到的积分近似值。
这个公式是
针对复化梯形公式的特定性质推导而来的。
综上所述，收敛阶数p的计算公式可以根据具体的数值逼近方法和问题来确定，但一般都是基于观察数值解随着步长的减小而逼近真实解的速度来推导得到的。
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gradf( x1 , x2 )
P
f ( x, y) c1
x1
梯度为等高线上的法向量
f ( x1 , x2 ) c
等高线
o
3、方向导数和梯度的关系 根据矢量代数的概念，方向导数的表达式可写 成：
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f ( X ( k ) ) (k ) T f ( X ) S S
2 2 | PP | (Dx ) + (Dy ) ,
且 Dz f ( x + Dx, y + Dy ) f ( x, y ) 考虑
Dzபைடு நூலகம்
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
lim
0
f ( x + Dx, y + Dy ) f ( x, y )
是否存在？
定义 函数的增量 f ( x + Dx, y + Dy ) f ( x, y )与 PP/ 两点间的距离 ( Dx )2 + ( Dy )2 之比值，
f ( X ( 2 ) ) 0 2 + 2 2 2
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单位梯度的向量为：
S
(1)
f ( X (1) ) 1 (1) f ( X ) 2 2
2 2 / 2 2 2 / 2
S (2)
沿着x 轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
2）方向导数的计算 定理 如果函数z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 是可微分 的，那么函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在，且有
其中 j 为 x 轴到方向 L 的转角。 证明
f f f ， cos j + sin j l x y
其中 a12 a21 ，于是梯度为
f ( X ) x a x + a x + b a a x b 1 f ( X ) 11 1 12 2 1 11 12 1 + 1 f ( X ) a 21 x1 + a 22 x2 + b2 x2 b2 a 21 a 22 x 2
这说明，与梯度成锐角的方向是函数值上升 的方向，而与梯度成钝角的方向则是函数值下降 的方向。
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综上所述，函数的梯度具有以下性质 (1)函数在一点的梯度是一个向量。梯度的方向 是该点函数值上升得最快的方向，梯度的大小就是 它的模长。 (2) 一点的梯度方向为过该点的等值线或等值 面的切线或切平面相垂直的方向，或者说是该点等 值线或等值面的法线方向。 (3) 梯度是函数在一点邻域内局部性态的描述。 在一点上升得快的方向，离开该领域后就不一定上 升得快，甚至可能下降。
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5. 优 化 设 计
5.2 优化方法的数学基础
5.2.1函数的方向导数和梯度
1、函数的方向导数
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)。在坐标原点处有 一个火焰，它使金属板受热。假定板上任意一点 处的温度与该点到原点的距离成反比。在(3,2)处 有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方 向（即梯度方向）爬行．
当方向S与梯度方向的夹角为锐角时有：
f ( X ( k ) ) (k ) T f ( X ) S 0 S
当方向S与梯度方向的夹角为钝角时有：
T f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S 0 S
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2、 梯度 1）梯度的定义 函数在点X( k)的梯度是由函数在该点的各个 一阶偏导数组成的向量。 2）梯度的表达式
f ( X
(k )
f ( X ) f ( X ) f ( X ) ) , , , x x x 1 2 n
(k ) (k ) (k )
T
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的 方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为 方向导数的最大值。梯度的模为 gradf
f f gradf ( x1 , x2 ) x + x 1 2
2 2
f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
从图中可以看出： 当方向S与点X( k)的梯度相垂直时，函数在该 点沿S的方向导数等于零，即
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f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) S
T
S 0
P
f x 轴到梯度的转角的正切为 tan x2 f x1
f 不为零时， 当 x
gradf
在几何上 z f ( x1 , x2 ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x1 , x2 ) 所截得 , z c
所得曲线在xoy面上投影如图
x2
f ( x1 , x2 ) c2
f f ( x + Dx, y + Dy, z + Dz ) f ( x, y, z ) lim , 0 l
2 2 2 ( D x ) + ( D y ) + ( D z ) 其中
设方向 L 的方向角为 , ,
Dx cos , Dy cos , Dz cos ,
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1）方向导数的定义 讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P沿某一方向 的变化率问题．
设函数z f ( x , y )在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义，自点 P 引射线 l。 设 x 轴正向到射线 l 的转角 / j , P 为 并设 ( x + Dx , y + Dy ) 为 l 上的另一点且 P/ U ( p/). （如图）
cosj
sin j
f f ( x + Dx, y + Dy ) f ( x, y ) lim l 0 f f cos j + sin j . x y
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为
B b1 b2
C为常数，求梯度 f ( X ) 。
5.2.1 函数的方向导数和梯度
解：将二元二次函数的矩阵式展开
1 2 f ( X ) ( a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a 22 x2 ) + b1 x1 + b2 x2 + C 2
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(k ) (k ) (k )
2
2
2
f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) cos f ( X ( k ) ), S S 由上式表明：函数在某点沿方向S的方向导数 等于该点的梯度在方向身上的投影。见下图。
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当方向S与梯度的 夹角为零时，方向 导数达到最大值， 即
f ( X ( k ) ) S cos f ( X ( k ) ), S
S cos 2 1 + cos 2 2 + + cos 2 n 1
f ( X
(k )
f ( X ) f ( X ) f ( X ) ) + + + x x x 1 2 n
图5.11 例1的梯度
5.2.1 函数的方向导数和梯度
例题2 一般二元二次函数的矩阵式为
1 T f ( X ) X AX + B T X + C 2
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，其中
X x1 x2
a11 a12 A a21 a22
cos1 cos (k ) (k ) (k ) f ( X ) f ( X ) f ( X ) 2 (k ) T , , , [ f ( X )] S x 2 x n : x1 cos n
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同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos + cos + cos . l x y z
推导出n元函数f(x)在点X( k)处沿任意给定方 向S的方向导数 表达式为：
f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) ) cos1 + cos 2 + + cosn S x1 x 2 x n
f f f ( x + Dx, y + Dy ) f ( x, y ) Dx + Dy + o( ) x y
两边同除以 , 得到
由于函数可微，则增量可表示为
f ( x + Dx , y + Dy ) f ( x , y )