数学实验课件--线性与非线性规划

• “optimal experience” 32,400,000 最优经历
• “optimal investment” 8,320,000 优化投资 8,250,000
• “optimal system”
84,200,000 优化系统 13,800,000
• “optimal decision”
28,800,000 最优决策 2,890,000
• John Von Neumann
George B. Dantzig
• George B. Dantzig(19142019),美国人,线性规划单 纯形法的创始人,被誉为” 线性规划之父”.美国科学 院三院院士,美国军方数学 顾问,教授.并以其名字设立 Dantzig奖.数学规划的三大 创始人之一.
请同学翻译上面的句子，你喜欢那一句？你有什么好的 表述？
引例1,动物饲料配置问题
美国一家公司以专门饲养并出售一种实验用的 动物而闻名。这种动物的生长对饲料中的三种营养 成分特别敏感，即蛋白质、矿物质和维生素。
需 要
蛋白质：70克
的
营
矿物质：3克
养
量
维生素：9.1毫克
现有五种饲料，公司希望找出满足动物营养 需要使成本达到最低的混合饲料配置。
的。
一,优化问题的普遍性以及引例
2,一些成功的优化例子：
• “最优人员安排”为美国航空每年节约两千万美元. • “改进的出货流程”每年为Yellow Freight 公司节约一千七
百多万美元. • “改进的卡车分派”为 Reynolds 公司每年节约七百万美
元. • 最优全局供应链为数字设备行业节约超过三亿美元. • 重建的 North America Operations, Proctor and Gamble
三,优化问题的分类
优化问题的分类可以从几个方面进行: 1,从变量取值的连续和离散可以分成:连续优
化,离散优化和混合优化 2,从问题的线性非线性可以分为:线性规划和
非线性规划 3,从变量是确定性和随机性可以分为:随机规
划和确定性问题.
以下的三个人物和线性规划的出现有重要的关系.
• 约翰·冯·诺依曼(1903－1957), 美藉匈牙利人.20世纪最杰出 的数学家之一,被誉为”计算 机之父”,”博弈论之父”.被认 为是数学规划的三大创始人之 一.
• [x,fval,exitflag,output] = linprog(...)
• [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)
• Obviously, the highest type of efficiency is that which can utilize existing material to the best advantage. -Jawaharlal Nehru
• It is more probable that the average man could, with no injury to his health, increase his efficiency fifty percent.-Walter Scott
饲料 1(x1) 2(x2) 3(x3) 4(x4) 5(x5) 需要量
饲料
成本(美元)
蛋白质(克)
矿物质(克)
0.30
0.10
2.00
0.05
1.00
0.02
0.60
0.20
1.80
0.05
70
3
每种饲料每磅的成本
1
2
3
0.02
0.07
0.04
维生素(毫克)
0.05 0.10 0.02 0.20 0.08 9.1
还有如:优化产业结构 2,830,000
优化人员结构 3,110,000
同学们有没有发现,英文和中文短语间有很大的不同,原因可能是什么?
一,优化问题的普遍性以及引例
3,相关的几句格言：
• Waste neither time nor money, but make the best use of both. -- Benjamin Franklin
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
• [x,fval] = linprog(...)
• [x,fval,exitflag] = linprog(...)
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5
6.5 7.75
d
3
5
4
7
6
11
二,优化问题建模的基本步骤介绍
在我们的生活中,始终有这样的问题:为 了一定的目的做一些事情,我们可能要考虑 有哪些重要的因素,这些因素和要完成的目 标之间有什么样的关系.也就是说,我们在做 一个决定时,会注意下面的三个要点:
• “optimize your PC”
3,300,000 优化你的PC
• “optimal choice”
25,800,000 最优选择10,900,000
• “optimal design”
77,300,000 优化设计 1,270,000
• “optimal health”
31,900,000 优化健康
一,优化问题的普遍性以及引例
看看下面的例子分别属于哪一类？ a)证券的投资组合；b)国家经济发展战略； c)产品规格、性能设计；d)球形的水滴； e)狼群的集体捕食；f)好的购物方案； g)物质分子结构； h)生物的身体构造； i)乘务组排班表; j)光传播路径:直线,反射,折射 课堂作业：和你的同桌讨论还有什么方面需要优化
• 目的是什么? • 有哪些重要的因素? • 这些因素和你的目标之间有什么样的关系?
二，优化问题的表述
• 目标函数 对应决策者而言,对其有利的程度必须定量的测度, 在
商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本, 但对于 政府，更经常的使用投入产出率来测度.
表示有效性测度的经常称为目标函数.目标函数要表出 测度的有效性, 必须说明测度和导致测度改变的变量之间 的关系. 系统变量分为决策变量和参数.决策变量是指能由 决策者直接控制的变量. 而参数是指不能由决策者决定的 量.实际上，数学模型很少有能表达变量和有效性测度之 间的精确关系的. 实际上，运筹学分析者的任务就是找出 对测度有最重要影响的变量 然后找出这些变量和测度之间 的数学关系.这个数学关系也就是目标函数.
归纳：
min cTx s.t. Ax≥b
x≥0
cT [0.02, 0.07, 0.04, 0.03, 0.05]
0.3 2 1 0.6 1.8 70 A0.1 0.05 0.02 0.2 0.05,b3
0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 10
返回
• linprog
• min cTx
• s.t. Ax≤b
0.02x1+0.07x2+0.04x3+0.03x4+0.05x5→min
完整的线性规划模型：
min 0.02x1+0.07x2+0.04x3+0.03x4+0.05x5 s.t. 0.30x1+2x2+x3+0.6x4+1.8x5≥70
0.10x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5≥3 0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5≥10 xj≥0 j = 1,2,3,4,5;
线性规划和非线性规划
பைடு நூலகம் 实验目的
• 1) 了解最优化问题的基本结构和基本建模 方法;
• 2) 线性规划的求解方法; • 3） 非线性规划的求解方法.
一,优化问题的普遍性以及引例
1，无处不在的优化 • 每一个人，高致总统首相，总裁经理，平
民百姓，无不在做决策：该做什么，该怎 么做，才能有最好的效果? • 甚至自然中的动植物，也时刻面临这样的 问题. • 类似的问题，还广泛的存在于无机世界中.
减少 20%的工厂, 每年节约两亿美元. • 大阪的Hanshin高速的最优安排每年节约一千七百万人小
时.
为说明最优化 的价值,建立了专 门的网站,列举了 哪些公司的什么问 题,运用最优化方 法节约和增加了多 少金额.
有可选的行业, 考察的方面,受益 的方式,希望同学 们各选择其中的一 个,提一份报告,以 说明最优化的价值.
二，优化问题的表述
• 决策变量和参数 我们称对应决策者可控的量称为决策变
量,决策变量的取值确定了系统的最终性能, 也是决策者采用决策的依据.在系统中还有 一些量,它不能由决策者所控制,而是由系统 所处的环境所决定,我们称之为参数.
二，优化问题的表述
• 约束条件 约束条件就是决策变量和参数之间
的关系. 约束集界定决策变量可以取某些 值而不能取其他的值.比如对应生产问题, 任何活动中,时间和物品不能为负数.当然, 也有一些优化问题不带约束条件,我们称 之为无约束优化问题.而在实际问题中,决 策变量带有约束是普遍的.
• 发现算法时非常年轻,以至 到日本时,人们以为”线性 规划之父”是个老人,而对 他无人问津.
Leonid Vitalyevich Kantorovich
• Kantorovich(1912-1986)苏 联人,著名数学家和经济学 家,教授,年仅18岁获博士 学位.因在经济学上提出稀 缺资源的最优配置获诺贝 尔奖.线性规划对偶理论的 提出者,数学规划的三大创 始人之一.
4
5
0.03 0.05
建立数学模型
① 决策变量：在混合饲料中，每天所需第j种饲料的 磅数xj，j = 1，2，3，4，5；
② 约束条件： 蛋白质：0.30x1+2x2+x3+0.6x4+1.8x5≥70 矿物质：0.10x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5≥3 维生素：0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5≥10 自然约束条件：xi≥0 ③ 确定目标：混合饲料的成本最低
•
Aeqx =beq
•
lb ≤ x ≤ub
• Solve a linear programming problem
• where c, x, b, beq, lb, and ub are vectors and A and Aeq are matrices.
• 调用格式:x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
四,线形规划问题的解法及举例
美国一家公司以专门饲养并出售一种实验用的 动物而闻名。这种动物的生长对饲料中的三种营养 成分特别敏感，即蛋白质、矿物质和维生素。
需 要
蛋白质：70克
的
营
矿物质：3克
养
量
维生素：9.1毫克
现有五种饲料，公司希望找出满足动物营养 需要使成本达到最低的混合饲料配置。
每一种饲料每磅所含的营养成分
一,优化问题的普遍性以及引例
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短语
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• “optimize the supply chain”1,160,000 优化供应链414,000
• “optimize (the) return” 2,490,000 优化回报 453,000
每一种饲料每磅所含的营养成分
饲料 1(x1) 2(x2) 3(x3) 4(x4) 5(x5) 需要量
饲料
成本(美元)
蛋白质(克)
矿物质(克)
0.30
0.10
2.00
0.05
1.00
0.02
0.60
0.20
1.80
0.05
70
3
每种饲料每磅的成本
1
2
3
0.02
0.07
0.04
维生素(毫克)
0.05 0.10 0.02 0.20 0.08 9.1
4
5
0.03 0.05
引例2:供应与选址
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位 置（用平面坐标a，b表示，距离单位：千米）及 水泥日用量d 吨由下表给出。目前有两个临时料场 位于A(5,1), B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场 到工地均有直线道路相连，（1）试制定每天的供 应计划，即从A、B 两料场分别向各工地运送多少 吨水泥，使总的吨千米数最小。
• 非线性规划问题在实践中也是及其常见的. 标志着这一学科的产生的奠基性工作由美 国的数学家Tucker和Kuhn在1952年的一篇 文章.该文章给出了非线性规划问题的必要 条件和充分条件,后来成为Kuhn-Tucker条 件.这为非线性规划问题的求解算法的提出 提供了理论基础和算法的基本思路.
• 相关的规划问题,比如多目标规划,决策论等 等.