图的概念及应用

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v2
v3 v8
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v5 v9
v6
v7
v1 v2 v4 v5
v3
v8
v6 v9
v7
深度优先搜索过程
深度优先搜索得到的DFS序列为： v1 v2 v4 v7 v5 v6 v3 v8 v9
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
深度优先序列为：v0,v1,v2,v5,v4,v6,v3,v7
1
2
3
4
5
6
深度优先序列为：v1,v2,v5,v6,v3,v4
城市之间的通信线路网，其中顶点表示城市，边表示两 个城市之间的通信线路，边上的权值表示线路的造价。 求通信线路总造价最小的最佳方案？
2
1 3
4
基本术语
1、如果图中每条边都是有方向的，则图称 为有向图，反之称为无向图。
2、有向边称为弧，有向边的起始点称为弧尾， 终点称为弧头，弧用尖括号表示<V1,V2> ;无向 边称为边，用圆括号表示(V1,V2) 。
V（G）={ V1，V2，V3 } E（G）={ <V1，V2>，<V2，V1>, <V3，V2>， <V3，V1> }
图的邻接链表
在邻接表结构中，为图中的每个顶点v建立一个链 表，即邻接矩阵中的每一行对应于一个线性链接表， 链接表的表头对应于邻接矩阵该行的顶点，链接表 中的每个结点则对应于该行的一个非零元素。
1
2
3
4
0 v1
1
1 v2
0
2^
2
3^
2 v3
0
1
3^
3 v4
1
2^
图的邻接表
1
2
01
12
3
4
23
34
10、简单路径：如果一条路径上所有顶点除了起
始顶点和终端顶点外，其它顶点都是不同的，则
称该路径为简单路径。
1
11、回路：在一条路径中，
2
7
如果起始点和终点是同一个
顶点，则称这条路径为回路
56
（简单回路）。
3
6
4
5
12、连通图：在无向图中，若从顶点Vi到顶点Vj有路径， 则称Vi和Vj是连通的。若无向图中任意两顶点都是连通 的，则称无向图是连通图。
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
7、子图指设G=（V，E）是一个图，若V’ 是V的子集，E’是E的子集，则图G’= （V’，E’）称为图G的子图。
1
2
3
4
1 2
2
1
2 3
4
1 3
4
8、带权图：如果图中每条边都有与之相关的数值，
图称为带权图。
9、路径（长度、带权图路径的长度）：在图中， 从顶点Vi沿着一系列的边到达顶点Vj所经过的顶 点序列称为两个顶点间的路径。
广度优先搜索G8得到的BFS序列为： v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
广度优先序列为：v0,v1,v3,v4,v2,v6,v5,v7
1
2
3
4
5
6
广度优先序列为：v1,v2,v3,v4,v5,v6
A城
50
170 B城
40
150
C城
80
最短路径
D城 100 E城
顶点的度？ 边的数目？ 顶点的数目？
001010 100100 000100 000000 000101 000000
顶点的度？ 边的数目？
顶点的数目？
1 3
5
2 4
6
带权图的邻接矩阵
若G是带权图，边(Vi,Vj)或<Vi,Vj>的权为wij，则：
wij ，若（Vi，Vj）或<Vi，Vj>∈E（G） aij= ∞，反之
1
3
2
3、完全图：任意两个顶点都有边。
A
B
C
A
B
C
DE
4、有向完全图具有n(n-1)条边，无向 完全图具有(n(n-1))/2条边。
5、对于无向图，顶点的度表示与顶点相关 连的边的数目。
6、对于有向图，顶点的度表示为出度与入 度之和。出度指以顶点为弧尾的弧的数目。 入度指以顶点为弧头的弧的数目。
1
30
35
25 2
3
30
12
4
∞ 30 35 ∞ ∞ ∞ 25 ∞ ∞∞∞ ∞ ∞ 30 12 ∞
图的邻接矩阵的定义 typedef struct graph { int vertex[vertexnum];
int adjmatrix [vertexnum][vertexnum]; }Graph;
1
2
6
1
2
6
3
5
4
3
5
4
图的存储结构
一、邻接矩阵 二、邻接链表（逆邻接表）
邻接矩阵
图的邻接矩阵表示法是用一个矩阵来表示图中顶点 的邻接关系。具有n个顶点的图的邻接矩阵是按如下 方法定义的n阶方阵：
1，若（Vi，Vj）或<Vi，Vj>∈E（G） aij= 0，反之
1
2
3
4
5
01100 10110 11011 01101 00110
A
B
C
D
E
F
G
H
树形结构示意图
1
2
6
3
5
4
数据元素之间的关系是任意的
图的定义
图由两个集合构成： 1.顶点的有穷非空集V(G)； 2.边的有穷集E(G)；一般记作G=（V，E）。
V（G）={ V1，V2，V3，V4 }
E（G）={（V1，V2），
（V1，V3），（V2，V3），
（V2，V4），（V3，V4）}
广度优先搜索
1、首先访问指定的顶点V1； 2、然后依次访问V1相邻的未被访问过的顶
点W1，W2，……WT ； 3、最后依次从W1，W2，……WT出发，
重复上述访问过程。 4、直到所有顶点都被访问过为止。
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v3 v8
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v5 v9
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v1 v2 v4 v5
v3
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v6 v9
v7
广度优先搜索过程
13、连通分量：非连通图的每一个连通的部分称为连通 分量。
A C E
F H
I
BA D
G H
JI 无向图及其连通分量
BC E
F D
JG
14、强连通图：对于有向图，若其中每一对不同顶点Vi和 Vj之间都有Vi到Vj和Vj到Vi的路径，则称Vi和Vj是强连通 的。若有向图中任何一对顶点都是强连通的，则称有向图 为强连通图。非强连通图的每一个强连通部分称为强连通 分量。
图的遍历通常有深度优先搜索和广度优先搜索两 种方式。
深度优先搜索
（1）指定图的某个尚未被访问的顶点v作为起始点。
（2）访问顶点v。
（3）以顶点v的所有未被访问过的邻接点作为搜索 起点，进行深度优先搜索。
（4）如果图中仍有未被访问过的顶点，则转至 （1）；否则，搜索结束。
对图进行深度优先搜索时，按被访问的顶点的 先后顺序所得到的顶点序列，称为该图的深度优先 搜索序列，简称DFS序列。
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顶点的度？ 边3^
0
1
3
4^
1
2
4^
2
3^
1 3
2 4
5
6
01
2
4^ 0 1
1^
12
0
3^ 1 2 ^
23
3^
23
0^
34 ^
34
1
2
4^
45
3
5^ 4 5
0^
56 ^
56
4^
邻接表
逆邻接表
图的遍历
从图中某一顶点出发，按照某种方式沿着图中的 边访问图中所有顶点，使每个顶点仅被访问一次。 这个过程叫做图的遍历。