图的概念及应用

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1 3
4
基本术语
1、如果图中每条边都是有方向的，则图称 为有向图，反之称为无向图。
2、有向边称为弧，有向边的起始点称为弧尾， 终点称为弧头，弧用尖括号表示<V1,V2> ;无向 边称为边，用圆括号表示(V1,V2) 。
V（G）={ V1，V2，V3 } E（G）={ <V1，V2>，<V2，V1>, <V3，V2>， <V3，V1> }
广度优先搜索G8得到的BFS序列为： v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
广度优先序列为：v0,v1,v3,v4,v2,v6,v5,v7
1
2
3
4
5
6
广度优先序列为：v1,v2,v3,v4,v5,v6
A城
50
170 B城
40
150
C城
80
最短路径
D城 100 E城
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
7、子图指设G=（V，E）是一个图，若V’ 是V的子集，E’是E的子集，则图G’= （V’，E’）称为图G的子图。
1
2
3
4
1 2
2
1
2 3
4
1 3
4
8、带权图：如果图中每条边都有与之相关的数值，
图称为带权图。
9、路径（长度、带权图路径的长度）：在图中， 从顶点Vi沿着一系列的边到达顶点Vj所经过的顶 点序列称为两个顶点间的路径。
图的邻接链表
在邻接表结构中，为图中的每个顶点v建立一个链 表，即邻接矩阵中的每一行对应于一个线性链接表， 链接表的表头对应于邻接矩阵该行的顶点，链接表 中的每个结点则对应于该行的一个非零元素。
1
2
3
4
0 v1
1
1 v2
0
2^
2
3^
2 v3
0
1
3^
3 v4
1
2^
图的邻接表
1
2
01
12
3
4
23
34
A
B
C
D
E
F
G
H
树形结构示意图
1
2
6
3
5
4
数据元素之间的关系是任意的
图的定义
图由两个集合构成： 1.顶点的有穷非空集V(G)； 2.边的有穷集E(G)；一般记作G=（V，E）。
V（G）={ V1，V2，V3，V4 }
E（G）={（V1，V2），
（V1，V3），（V2，V3），
（V2，V4），（V3，V4）}
1
2
6
1
2
6
3
5
4
3
5
4
图的存储结构
一、邻接矩阵 二、邻接链表（逆邻接表）
邻接矩阵
图的邻接矩阵表示法是用一个矩阵来表示图中顶点 的邻接关系。具有n个顶点的图的邻接矩阵是按如下 方法定义的n阶方阵：
1，若（Vi，Vj）或<Vi，Vj>∈E（G） aij= 0，反之
1
2
3
4
5
01100 10110 11011 01101 00110
13、连通分量：非连通图的每一个连通的部分称为连通 分量。
A C E
F H
I
BA D
G H
JI 无向图及其连通分量
BC E
F D
JG
14、强连通图：对于有向图，若其中每一对不同顶点Vi和 Vj之间都有Vi到Vj和Vj到Vi的路径，则称Vi和Vj是强连通 的。若有向图中任何一对顶点都是强连通的，则称有向图 为强连通图。非强连通图的每一个强连通部分称为强连通 分量。
图的遍历通常有深度优先搜索和广度优先搜索两 种方Baidu Nhomakorabea。
深度优先搜索
（1）指定图的某个尚未被访问的顶点v作为起始点。
（2）访问顶点v。
（3）以顶点v的所有未被访问过的邻接点作为搜索 起点，进行深度优先搜索。
（4）如果图中仍有未被访问过的顶点，则转至 （1）；否则，搜索结束。
对图进行深度优先搜索时，按被访问的顶点的 先后顺序所得到的顶点序列，称为该图的深度优先 搜索序列，简称DFS序列。
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45
顶点的度？ 边的数目？
1
2^
0
2
3^
0
1
3
4^
1
2
4^
2
3^
1 3
2 4
5
6
01
2
4^ 0 1
1^
12
0
3^ 1 2 ^
23
3^
23
0^
34 ^
34
1
2
4^
45
3
5^ 4 5
0^
56 ^
56
4^
邻接表
逆邻接表
图的遍历
从图中某一顶点出发，按照某种方式沿着图中的 边访问图中所有顶点，使每个顶点仅被访问一次。 这个过程叫做图的遍历。
广度优先搜索
1、首先访问指定的顶点V1； 2、然后依次访问V1相邻的未被访问过的顶
点W1，W2，……WT ； 3、最后依次从W1，W2，……WT出发，
重复上述访问过程。 4、直到所有顶点都被访问过为止。
v1
v2
v3 v8
v4
v5 v9
v6
v7
v1 v2 v4 v5
v3
v8
v6 v9
v7
广度优先搜索过程
1
30
35
25 2
3
30
12
4
∞ 30 35 ∞ ∞ ∞ 25 ∞ ∞∞∞ ∞ ∞ 30 12 ∞
图的邻接矩阵的定义 typedef struct graph { int vertex[vertexnum];
int adjmatrix [vertexnum][vertexnum]; }Graph;
城市之间的通信线路网，其中顶点表示城市，边表示两 个城市之间的通信线路，边上的权值表示线路的造价。 求通信线路总造价最小的最佳方案？
1
3
2
3、完全图：任意两个顶点都有边。
A
B
C
A
B
C
DE
4、有向完全图具有n(n-1)条边，无向 完全图具有(n(n-1))/2条边。
5、对于无向图，顶点的度表示与顶点相关 连的边的数目。
6、对于有向图，顶点的度表示为出度与入 度之和。出度指以顶点为弧尾的弧的数目。 入度指以顶点为弧头的弧的数目。
10、简单路径：如果一条路径上所有顶点除了起
始顶点和终端顶点外，其它顶点都是不同的，则
称该路径为简单路径。
1
11、回路：在一条路径中，
2
7
如果起始点和终点是同一个
顶点，则称这条路径为回路
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（简单回路）。
3
6
4
5
12、连通图：在无向图中，若从顶点Vi到顶点Vj有路径， 则称Vi和Vj是连通的。若无向图中任意两顶点都是连通 的，则称无向图是连通图。
v1
v2
v3 v8
v4
v5 v9
v6
v7
v1 v2 v4 v5
v3
v8
v6 v9
v7
深度优先搜索过程
深度优先搜索得到的DFS序列为： v1 v2 v4 v7 v5 v6 v3 v8 v9
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
深度优先序列为：v0,v1,v2,v5,v4,v6,v3,v7
1
2
3
4
5
6
深度优先序列为：v1,v2,v5,v6,v3,v4
顶点的度？ 边的数目？ 顶点的数目？
001010 100100 000100 000000 000101 000000
顶点的度？ 边的数目？
顶点的数目？
1 3
5
2 4
6
带权图的邻接矩阵
若G是带权图，边(Vi,Vj)或<Vi,Vj>的权为wij，则：
wij ，若（Vi，Vj）或<Vi，Vj>∈E（G） aij= ∞，反之