4.2平行四边形的判定2

平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质判定方式平行四边形的判定可以根据其定义和性质进行确认。

下面是一些常用的判定方式：1.对边平行判定：若一个四边形的对边两两平行，则该四边形为平行四边形。

1.对边平行判定：若一个四边形的对边两两平行，则该四边形为平行四边形。

2.同位角相等判定：若一个四边形的对边平行，并且同位角相等，则该四边形为平行四边形。

3.对角线平分判定：若一个四边形的对角线相互平分，并且对角线所在的两个三角形全等，则该四边形为平行四边形。

性质平行四边形具有以下性质：1.对边相等性质：平行四边形的对边长度相等。

1.对边相等性质：平行四边形的对边长度相等。

2.同位角相等性质：平行四边形的同位角相等。

3.内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

4.对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且互相垂直。

示例以下是一个平行四边形的示例图：A ----------- BD ----------- C在这个示例中，ABCD是一个平行四边形，因为AB和CD平行，AD和BC平行，并且同位角A和C相等，B和D相等。

平行四边形的判定(2)教案

平行四边形的判定（二）一、教学目标1、知识与技能目标（1）、掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形。

（2）、通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。

2、过程与方法目标通过平行四边形判定条件的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性学生的实践能力及创新意识。

3、情感态度与价值观目标培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。

三、教学难点几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。

四、教学过程（一）复习、引入1、什么叫平行四边形？2、平行四边形有什么性质？3、学了哪些平行四边形的判定？教师提问，学生口答，之后出示表1，让学生进一步理清所学平行四边形的判定。

（二）问题牵引，导入新知【探究一】取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？先有学生猜想，然后经过推理论证得出四边形ABCD 是平行四边形。

教师引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维。

并让学生上讲台演示，得出本节的知识点。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．问题平行四边形的判定方法共有几种？教师引导学生从边、角、对角线三个方面去总结，便于学生记忆这些判定定理。

出示例题已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。

证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC∴ DE=BF∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） ∴ BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。

平行四边形判定方法

平行四边形判定方法
平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形，本文将介绍几种判定平行四边形的方法。

首先，我们可以通过四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。

这是平行四边形的最基本的判定方法，也是最直观的方法之一。

其次，我们可以通过四边形的对角线是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形和正方形的判定，因为菱形和正方形都是特殊的平行四边形。

另外，我们还可以通过四边形的内角是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的内角相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于矩形和正方形的判定，因为矩形和正方形都是特殊的平行四边形。

最后，我们可以通过四边形的对边是否相等和对角线是否平分对角来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边相等且对角线平分对角，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形的判定，因为菱形具有这样的特点。

在实际问题中，我们可以根据需要选择合适的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。

有时候，我们需要结合多种方法来进行判定，以确保结果的准确性。

总之，判定一个四边形是否为平行四边形，需要我们熟练掌握几种方法，并在实际问题中灵活运用。

希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。

平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④

平行四边形的判定(2)

一、学习目标1、理解并掌握平行四边形的判别方法。

2、理解并会运用平行四边形判别方法及几何符号语言，解决相关问题。

3、通过练习和讨论，进一步发展观察、比较、分析解决问题的能力。

4、凝聚小组智慧，展现小组风采，实现小组共同达标。

二、学习过程第一步：创景引入：老师提问：1、平行四边形定义是什么？如何表示？2、平行四边形性质是什么？如何概括？3、上节课学的平行四边形判定方法有哪些？演示图片：选择各种四边形图片展示。

提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？第二步：应用举例：例1（教材P105例3）已知：如图ABCD 的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC 上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．如果学生仍不能够理解，教师可示范定理1，学生探讨定理2。

合作探究小组展示，展示的是思路和方法。

其它小组补充质疑、评价。

（三）巩固练习：先自主完成，再小组交流。

梳理小组问题，准备展示。

小组提出疑惑，其他小组帮助解决。

（四）总结梳理目的是让学生对照目标落实自己的学习情况，以便查漏补缺。

4.2.2平行四边形的判定(二)

一.正本作业：
1.教材P107 — T1 2.如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF。四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。 A F
二.课余作业：
1.教材P107 — T2、3 3.预习教材P108—111。
B E
D
C
2.《三级训练》P30—31平行四边形的判别。
A O B C D
回顾
思考
2.如图，四边形ABCD中，AB//CD, 平行四边形且AB=CD,则四边形ABCD是_________, 一组对边平行且相等的四边形是平理由是:___________________________ 行四边形。 _______________
A DBBiblioteka C阅读教材第105—106页，并思考下列问题：
议一议
1、一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？
不一定。如等腰梯形。
2、有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？
不一定。如右图
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
北师大版八年级上册
华美实验学校数学备课组
回顾
思考
1.如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 两条对角线互平行四边形是__________,根据是:_____________ 相平分的四边形是平行四边形。 ___________________________
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？

平行四边形的判定

判定
我
应用
出示ppt，书102页例一
教师提问并讨论：还可以用其他方法证明吗？哪种方法更为简捷？
巩固本节所学内容，让学生选择最简捷的证明方法。
回顾
反思
由学生总结平行四边形的判定定理
证明或求解时可将四边形转化为三角形。
培养学生转化的数学思想。
布置
作业
课本第105页练习1、2题
巩固所学知识
课后
反思
提高教学能力
过程与方法
通过观察、欣赏、操作，体会一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
情感态度与价值观
通过探究平行四边形的判定方法，感受数学的严谨性，以及数学结论的确定性
教学重点
平行四边形的判定方法
教学难点
灵活运用平行四边形的判定方法进行证明、计算。
教学环节
教学过程详细内容
设计意图
创设情境
1、在笔记本的格线上画两条相等的线段AB和CD，连接AC和BD，观察四边形ABCD是什么样的四边形？
《平行四边形的判定（2）》教案设计（一）
课题
平行四边形的判定
设计者
张宝兴
单位
农安华家中学
三
维
目
标
知识与技能
理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
过程与方法
通过观察、欣赏、操作，体会一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
情感态度与价值观
通过探究平行四边形的判定方法，感受数学的严谨性，以及数学结论的确定性
激发学习新课的兴趣。
自主
探究
1、通过观察图形，你发现了什么？它是什么图形？
2、你能否用逻辑推理的方法证明这个结论？
3、展示ppt，教科书101页20.1.4，

平行四边形判定的数学公式

平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。

3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。

下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。

二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。

斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。

同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。

如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。

2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。

定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。

对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。

如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。

3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。

先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。

平行四边形的判定2

不一定是D∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形。
阅读思考题
如图，在四边形ABCD中 ⑴若∠A＝100°，∠B＝80°， ∠C＝100°，∠D＝80°，则四边形ABCD是平行四边形吗？ B C
A
D
为什么？
⑵若∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝120°，∠D＝60°，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且AF＝ CE，求证，四边形AECF是平行四边形。
A
F D
B
E
C
⑶若∠A＝χ°,∠B＝y°,∠C=χ°，∠D＝y°，则四边形
ABCD是平行四边形吗？为什么? 综上可知，当∠A与∠C，∠B与∠D分别满足什么关系时，四
边形ABCD是平行四边形？
练
1、补充一个合适的条件使⑴—⑶小题成立：
A O B C
D
如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O ⑴若AB∥CD，＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD； ⑵若AB＝CD，＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD； ⑶若AC＝8，BD＝10，AO＝4，＿＿＿＿＿＿＿，则得 ABCD
A
E O F C
D
B
若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形 BEDF还是平行四边形吗？
已知：平行四边形ABCD，对角线AC、 BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边形
BEDF是平行四边形。
学习小结：
完成下列问题清单：
⑴判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几
种，这些方法是从什么角度考虑的? ⑵平行四边形的判定与性质定理有何联系？ ⑶如何判断一个命题的正确与否？小结
定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

《平行四边形的判定(2)》评课稿

《平行四边形的判定（2）》评课稿
授课人
评课人
《平行四边形的判定（2）》评课稿
聆听了周老师的课。

下面就周老师执教的《平行四边形的判定（2）》这一课谈谈自己的看法。

周老师这堂课紧凑有序，首先创设以被誉为我国新四大发明之一的高铁的情景，引发学生思考工人如何确保两条铁轨是平行的。

周教师与学生合作探究一组对边如何特殊才能确保四边形是平行四边形，之后再用证明的方法验证猜想的正确性。

至此，平行四边形的几个判定已经讲完，学生对一个定义和四个判定的掌握还不是那么牢固，之后必须经过复习巩固才能保证做题顺畅。

在巩固练习环节，一道以梯形为问题背景的动点问题将平心四边形的判定推向升华，充分提升了学生综合分析问题的能力。

当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：在遇到图形稍微复杂一些的题目时，学生就显得无从下手。

平行四边形的判定2

中能判定一个四边形是平行四边形的条件是（D ） • ①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线平分这组对角。 • A、①和② B、②和③ • C、②和④ D、只有④ D A
让我们一起来总结
你知道哪些判定平行四边形的方法？
让我们一起来总结
●两组对边分别平行性质平行四边形判定 ●两组对边分别相等 ●一组对边平行且相等 ●两组对角分别相等 ●对角线互相平分角对角线边
例2 比较线路长短
如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF， BC=DA，BC∥DF，FD=BC．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B---D--A---E，路线2是B---C---F---E，请比较两条路线路程的长短，并说明理由．
B
C
判定方法（4）
一组对边平行且相等（记作：“ = ”）
∥
的四边形是平行四边形
例1、已知：如图，平行四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CB．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=BF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ∴ BE=DF．
解：两条线路相等。
理由：因为 DE 垂直平分 AF ，所以 DF=DA，FE=AE，
又 BC∥DF ， FD=BC ，所以四边形 FDBC是平行四边形，所以BD=CF， CB=DF=DA ，所以BD+DA+AE=CF+BC+FE，所以线路1与线路2的路程相等。

《平行四边形的判定》PPT教学课件2人教版

小结:尝试用多种方法证明.
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数学
变式练习 8.如图,将两块相同的三角尺ABC和A'B'C'如图放置,使两条直角边BC与B'C'重合在一起,这样拼成的四边形ACA'B是平行四边形吗?试用两种不同的方法说明理由.
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数学
解:四边形ACA'B是平行四边形. 理由1:∵△ABC≌△A'B'C',∴AB=A'B',AC=A'C', ∴四边形ACA'B是平行四边形. 理由2:∵△ABC≌△A'B'C', ∴∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B', ∴∠ACA'=∠A'BA, ∴四边形ACA'B是平行四边形.
△AOD≌△COB(
),
知识点一:定义法判定平行四边形
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D.
证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC, 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.
∴AB∥
,AD∥
.
∴∠1+∠CDB=∠2+∠ABD,即∠ABC=∠CDA,
2
2
同理:B'O=D'O,∴四边形 A'B'C'D'是平行四边形.
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数学
9.如图,AD是△ABC的中线,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,
EC.求证:四边形ABEC是平行四边形. 求证:四边形AFBE是平行四边形.
求证:四边形ABCD为平行四边形.

平行四边形的判定(2)

A D
B
C
• 下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ D ） • ①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线平分这组对角。 • A、①和② B、②和③ • C、②和④ D、只有④ D A
Q N
C
• 1、你到今天为止共学到了几种判定平行四边形的方法？ • 2、你能够灵活运用吗？
两组对边分别平行两组对边分别相等四边形对角线互相平分两组对角分别相等平行四边形
小结：
一组对边平行且相等
活动执行 /
zks137uip
将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC 之间的位置关系、数量关系？四边形ABCD是什么样的图形？
A
B
D
C
猜测：一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知：AB∥CD， AB＝CD 求证：四边形ABCD是平行 A
B
四边形证明：连接BD D ∵ AB∥CD ∴∠ABD ＝ ∠CDB 又AB ＝CD ，BD ＝ DB ∴△ABD ≌△CDB ∴AD ＝ CB ∴四边形ABCD是平行四边形
判文字语言定定两组对边分别平行的义四边形是平行四边形
图形语言符号语言ＤＣ ∵AB∥CD,AD∥
BC ＡＢ ∴…是平行四边形Ｃ ∵AB=CD,AD= 定两组对边分别相等的Ｄ BC ∴…是平行理四边形是平等四边形１ＡＢ四边形Ｃ ∵OA=OC,OB= 定对角线互相平分的四Ｄ O 理边形是平行四边形 OD ∴…是平行Ａ２Ｂ四边形Ｃ ∵∠A=∠C,∠B= 推两组对角分别相等的Ｄ论四边形是平行四边形 ∠D ＡＢ ∴…是平已知E、F是 BC的中点，求证：BE=DF。

平行四边形的所有判定

平行四边形的所有判定
平行四边形是一种特殊的四边形，它有着许多独特的性质和判定。

在本文中，我们将探讨平行四边形的所有判定。

1. 对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线相交，那么它们将会互相平分。

这个性质可以用来证明平行四边形的对角线相等。

2. 对边平行
平行四边形的对边互相平行。

这意味着，如果我们连接平行四边形的相邻顶点，那么我们将得到两条平行线段。

这个性质可以用来证明平行四边形的对边相等。

3. 对边相等
平行四边形的对边相等。

这意味着，如果我们连接平行四边形的相邻顶点，那么我们将得到两条相等的线段。

这个性质可以用来证明平行四边形的对边平行。

4. 对角线互相垂直
平行四边形的对角线互相垂直。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线相交，那么它们将会互相垂直。

这个性质可以用来证
明平行四边形是矩形。

5. 对角线平方和等于四边形的两条对边平方和的和
平行四边形的对角线平方和等于四边形的两条对边平方和的和。

这意味着，如果我们知道平行四边形的两条对边的长度，那么我们可以通过求出对角线的平方和来计算出平行四边形的面积。

6. 对角线中点连线平行于底边
平行四边形的对角线中点连线平行于底边。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线的中点相连，那么这条线段将会平行于底边。

这个性质可以用来证明平行四边形是菱形。

平行四边形有着许多独特的性质和判定，这些性质和判定可以帮助我们更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

平行四边形性质及判定

解：
∵四边形ABCD是平行四边形
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
∴△ABC是直角三角形 2 2 2 2 ∴ AC AB BC 10 8 6 1 又∵OA=OC ∴ OA 2 AC 3 ∴S ABCD = BC×AC=8×6=48
说一说,练一练
如图，在
A D O B
ABCD中，
BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm,
（1）△ AOD的周长是多少？为什么？（2）△ ABC与△ DBC的周长哪个长？长多少？
探究
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F,试探究 OE与OF的大小关系？并说明理由。 A E
读作：平行四边形ABCD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD
∵
AB∥CD
AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
A
D
B
C
如图
① ②
AB
AD
CD BC
ABCD AB AD
ABCD CD BC
练习一
如图是某区部分街道示意图，其中BC∥AD∥EG， AB//FH∥DC．图中的平行四边形共有_9__个.
又OB=OD，所以四边形BFDE是平行四边形。
你还有其他的证明方法吗？
解：图中互相平行的线段有： AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF B 理由如下：
AB=DC AD=BC
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？ D A
E F
C

平行四边形的判定

平行四边形的判定
平行四边形的判定主要从定义入手：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

但是如果将平行四边形的角、对角线、边中的三要素中任选两者进行组合，则会呈现很多不同的命题，那么这些命题是否能判定一个平行四边形是平行四边形呢？对于真命题，我们需要证明，对于假命题，只需要举一个反例即可。

角、边、对角线之间的条件组合
命题1:一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题2:一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.（真命题）
命题3:一组对边平行且一组对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
命题4:一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题5:一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（假命题）
命题6:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.（假命题）
命题7:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
从以上的探究中我们可以发现，平行四边形的判定有以下3个方向:(1)从定义出发，定义可以作图形的判定；(2)从性质定理的逆命题出发，寻找判定定理；(3)从边、角和对角线中任意选取2个条件，构造命题，判断命题真假进而得到判定。

在面对具体问题时，通过画图和
证明(举反例)两者相结合的方式去判断。

总结：第5、6题利用了角平分线的性质定理进行辅助线的添加。

分别是往角两边做垂线以及利用三线合一定理补齐成一个等腰三角形。

总结：分类讨论，合理设元，依据勾股定理求解对角线长度。