八下浙教版4.4平行四边形的判定(2)
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A D O C
B
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是 平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
从对角线看:
例1、已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF A D 求证：四边形AECF是平行四边形。 O F E
两组对角分别相等 两组对角线互相平分
从对角线看:
C
变1:已知：如图，在
四边
ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线Ｂ
Ｄ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行
A
D
B
E
O
F C
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？ 大概的步骤是怎样的？
变2:已知：如图,在
ABCD中，∠BAD和∠BCD
的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。 求证：四边形AECF是平行四边形。 A D F C
证明: 连结AC,交BD于点O
B 在 ABCD中，BO=DO， AO=CO （平行四边形的对角线互相平分）
∵AB∥CD （平行四边形的定义） ∴∠ABE=∠CDF 又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD ∴△ABE≌△CDF ∴BE=DF ∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO ∴四边形AECF是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）
互相平分的四边形是平行四边形）。 ∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。 ∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即2AD<AB+AC.
本节课你学到什么？
谈谈这节课的体会
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等
的四边形是 平行四边形
一组对边平行且相等 从角看:
α
例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点
的坐标分别为：
A( 3 , 2 ), B( 1, 1), C( 3 , 2 ), D(1, 1)
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明. 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： y
A(
3 , 2 ) 与 C( 3 , 2 )关于原点O对称
A
D
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 的四边形是平行 四边形
从角看:
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
定理3：
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， D C 且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ, 求证：四边形ABCD是平行四边形
E
B
变3:已知：如图,在
ABCD中，E,F是对角线BD
上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点. 求证：四边形ENFM是平行四边形。 A E B N M F C D
练一练
1.如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两
个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知
AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.
中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什
发现：三角形一条边上的中线的 2倍小于另两条边的和。
么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗? A 试证明你的发现。 已知：如图，AD是⊿ABC的中线， 求证：2AD<AB+AC C B D 证明： 如图，延长AD至E,使ED=AD. 连结BE,EC.∵BD=CD, E ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线
证明：在△AOD与△COB中
∵ AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△COB ∴ AD=CB 同理：AB=CD O
A
B
∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： 如图∵OA=OC，OB=OD
求证：四边形EBFD是平行四边形
F D A E C B
2、已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交 于点O，直线EF，GH过点O，分别交AD，BC，AB，CD于 E，F，G，H；求证：四边形GFHE是平行四边形 E O F C H
A
G B
D
探究活动
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条
证明： 在平行四边形ＡＢＣＤ中，
D G E
O
C F H B
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ A
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
练一练
2、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规 作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于
线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α
a b
D
B( 1, 1) 与 D(1, 1) 关于原点O 对称
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
2 1
-1 o 1
B
C
3 3
x
A
-1 2
做一做
1、已知：如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角
线，延长AC至F，反向延长AC至E，使AE=AF，
B
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
的四边形是 平行四边形
从角看:
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
从对角线看:
例1、已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF A D 求证：四边形AECF是平行四边形。 O F E
两组对角分别相等 两组对角线互相平分
从对角线看:
C
变1:已知：如图，在
四边
ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线Ｂ
Ｄ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行
A
D
B
E
O
F C
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？ 大概的步骤是怎样的？
变2:已知：如图,在
ABCD中，∠BAD和∠BCD
的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。 求证：四边形AECF是平行四边形。 A D F C
证明: 连结AC,交BD于点O
B 在 ABCD中，BO=DO， AO=CO （平行四边形的对角线互相平分）
∵AB∥CD （平行四边形的定义） ∴∠ABE=∠CDF 又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD ∴△ABE≌△CDF ∴BE=DF ∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO ∴四边形AECF是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）
互相平分的四边形是平行四边形）。 ∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。 ∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即2AD<AB+AC.
本节课你学到什么？
谈谈这节课的体会
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等
的四边形是 平行四边形
一组对边平行且相等 从角看:
α
例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点
的坐标分别为：
A( 3 , 2 ), B( 1, 1), C( 3 , 2 ), D(1, 1)
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明. 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： y
A(
3 , 2 ) 与 C( 3 , 2 )关于原点O对称
A
D
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
两组对边分别平行 从边看: 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 的四边形是平行 四边形
从角看:
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
定理3：
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， D C 且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ, 求证：四边形ABCD是平行四边形
E
B
变3:已知：如图,在
ABCD中，E,F是对角线BD
上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点. 求证：四边形ENFM是平行四边形。 A E B N M F C D
练一练
1.如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两
个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知
AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.
中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什
发现：三角形一条边上的中线的 2倍小于另两条边的和。
么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗? A 试证明你的发现。 已知：如图，AD是⊿ABC的中线， 求证：2AD<AB+AC C B D 证明： 如图，延长AD至E,使ED=AD. 连结BE,EC.∵BD=CD, E ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线
证明：在△AOD与△COB中
∵ AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△COB ∴ AD=CB 同理：AB=CD O
A
B
∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
平行四边形判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： 如图∵OA=OC，OB=OD
求证：四边形EBFD是平行四边形
F D A E C B
2、已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交 于点O，直线EF，GH过点O，分别交AD，BC，AB，CD于 E，F，G，H；求证：四边形GFHE是平行四边形 E O F C H
A
G B
D
探究活动
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条
证明： 在平行四边形ＡＢＣＤ中，
D G E
O
C F H B
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ A
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
练一练
2、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规 作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于
线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α
a b
D
B( 1, 1) 与 D(1, 1) 关于原点O 对称
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
2 1
-1 o 1
B
C
3 3
x
A
-1 2
做一做
1、已知：如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角
线，延长AC至F，反向延长AC至E，使AE=AF，