初中八年级上册数学《探索勾股定理
探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
初中八年级上册数学《探索勾股定理》
3、从图1一l、1一2、1一3中你发现了什么？
4、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
小结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议，归纳定理
5、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
注意引导学生发现数字间的倍数关系
引导学生进一步发现勾股定理还可以用来解决其他图形的问题
以问题串的形式引导学生总结本节课的学习内容
检测与反馈
激发学生的探索欲望和学习热情
阅读，小组合作，获取有用信息，归纳
动手操作，数方格，并小组合作
引导学生从中发现不同的解题方法
计算并说明依据
观察前三组数据，小组合作发现规律
小组交流，解决问题
根据提供问题总结
独立完成
课题
1.1探索勾股定理
课型
新授
教学目标
知识目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
能力目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力
（2）查阅与勾股定理与关的资料，了解勾股定理的其他证明方法。
出示投影，创设问题的情境，揭示课题。
引导学生了解勾股定理的内容和相关背景，
引导学生数格子，并交流不同的的解题方法
引导学生发现A + B＝C
引导学生归纳勾股定理
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件
c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学上册《探索勾股定理》教案、教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示勾股定理的历史背景，如古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，以及我国古代对勾股定理的研究成果，引发学生对勾股定理的好奇心。
2.提问学生：“同学们，你们知道直角三角形有什么特征吗？”让学生回忆直角三角形的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
3.教师提出问题：“在直角三角形中，斜边与直角边之间是否存在某种特殊的数量关系？今天我们就一起来探讨这个问题。”
（二）讲授新知
1.教师通过动画演示，引导学生观察直角三角形中斜边与直角边的关系，并提出勾股定理的猜想。
2.教师逐步引导学生，利用数学归纳法证明勾股定理，强调数学逻辑性和严谨性。
-首先，验证直角边长度为1的直角三角形，斜边长度是否满足勾股定理；
4.多元评价：采用口头提问、课堂练习、课后作业等多种形式，全面评价学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学知识的热情；
2.培养学生严谨、细心的学习态度，提高他们的数学素养；
3.培养学生的团队协作意识，让他们在合作探究中学会倾听、交流、分享；
4.使学生认识到勾股定理在数学发展中的重要地位，以及数学在人类文明进步中的价值。
此外，学生在解决问题的过程中，可能存在以下问题：对勾股定理的理解不够深入，难以灵活运用；在解决实际问题时，容易忽略细节，导致计算错误。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些薄弱环节，有针对性地进行教学设计和指导。
在此基础上，教师要关注学生的兴趣和动机，通过生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到勾股定理的探究过程中。同时，注重培养学生的团队合作精神，让他们在互动交流中共同提高，为学生的全面发展奠定基础。
2.7 探索勾股定理八年级上册数学浙教版
2.7 探索勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理，了解勾股定理的证明过程.
2.会用勾股定理解决简单的几何问题和实际问题.
3.掌握勾股定理的逆定理.
4.会应用勾股定理的逆定理来判定直角三角形.
知识点1 勾股定理 重点
勾股定理
几何语言
变式
应用Βιβλιοθήκη 图示直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
考点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
典例5 （2021·玉林中考）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿____________方向航行.
典例1 在 中, ， ， 的对边长分别为 ， ， .
（1） 若 ， , ，求 ；
解：（1） ， , ，由勾股定理，得 . ， .
， , .由勾股定理，得 ,解得 （ 舍去）. .
（2） 若 ， , ,求 ；
（3） 若 ， ，求 .
（3）当 是斜边长时，由勾股定理，得 . ， .当 是直角边长时，由勾股定理，得 . ， .综上, 或 .
由图（1）得大正方形的面积 ,由图（2）得大正方形的面积 ,联立两式易得 .
续表
古印度的“无字证明”，单靠移动几个图形就直观地验证了勾股定理
典例2 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图所示，火柴盒倒下后，它的一个侧面 到了四边形 的位置，连结 ， ， ，设 ， ， .请利用四边形 的面积验证勾股定理： .
北偏东
解析：由题意可知, 海里， 海里， 海里. ， 是直角三角形，且 .由题意知 ， ，即乙船沿北偏东 方向航行.
八年级数学探索勾股定理
100%
解决物理问题
勾股定理在解决物理问题中也有 着广泛的应用，如求物体的速度 、加速度等。
80%
建立物理模型
勾股定理可以用来建立物理模型 ，如建立质点运动模型、弹性碰 撞模型等。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，勾股定理可以 用来确定建筑物的角度和长度 ，以确保建筑物的稳定性和安 全性。
航海定位
八年级数学探索勾股定理
目
CONTENCT
录
• 引言 • 勾股定理的证明 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的扩展 • 勾股定理的探索与发现
01
引言
勾股定理的背景
勾股定理是数学中一个基本而重要的定理，它揭示 了直角三角形三边之间的数量关系。这个定理在古 代文明中就已经被发现和应用，如古希腊、古中国 和古巴比伦等。
勾股定理的推广在几何学中有着广泛的应用，它可以用来判 断一个三角形是否为直角三角形，也可以用来证明一些与三 角形相关的定理和性质。
勾股定理在复数域中的应用
勾股定理在复数域中的应用是指将勾股定理应用到复数领域 中。在复数域中，勾股定理仍然成立，即对于任意两个复数a 和b，有a^2 + b^2 = c^2，其中c是a和b的模长。
在西方，勾股定理最早可以追溯到公元前6世纪，古 希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了直角三角形三边 之间的数量关系，并给出了证明。
在中国，勾股定理也被称为商高定理，最早的记载 可以追溯到周朝时期的《周髀算经》。
勾股定理的重要性
勾股定理是几何学中的基石之 一，它不仅在数学领域有着广 泛的应用，而且在物理学、工 程学、天文学等领域也有着重 要的应用。
勾股定理在三角函数、解析几 何、微积分等数学分支中也有 着广泛的应用，是数学学习中 不可或缺的一部分。
北师大版数学 八年级上册 探索勾股定理(第1课时)
导入新知
同学们，在我们美丽的 地球王国上，原始森林，参 天古树带给我们神秘的遐想； 绿树成荫，微风习习，给我 们以美的享受.你知道吗？ 在古老的数学王国，有一种 树木它很奇妙，生长速度大 的惊人，它是什么呢？下面 让我们带着这个疑问一同到 数学王国去欣赏吧！
勾股树
探究新知
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“割”
分割为四个直角 三角形和一个小 正方形
“补”
“拼”
将几个小块拼成一个正 方形，如图中两块红色 （或绿色）可拼成一个 小正方形
探究新知 （4）分析填表数据
A的面积
图3
4
图4
16
C A
B
图3
B的面积 9 9
C A
B
图4
C的面积 13 25
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1 （图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积? 数格子
C A
B
图1
正方形A中含有 9 个小方格,即 A的面积是 9 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 9 个单 位面积.
探究新知
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面
积． 解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5， 所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12
所以S△ABC=12 BC•AD= 12×10×12=60．
2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第一章勾股定理1.1探索勾股定理(第2课时)
第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标教学反思1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案(a +b )2和2ab +c 2. 问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2= c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2 2如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习证明：∵ S 梯形ABCD = S △ABE +S △BCE +S △EDA ，教学反思又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2，∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2，∴ a 2+b 2= c 2，即勾股定理得证． 典型例题 【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．222.a +b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a +b ， ∴ 它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a 2+b 2+12ab ×4， 右边大正方形面积可表示为c 2+12ab ×4. ∵ a 2+b 2+12ab ×4 = c 2+12ab ×4，∴ a 2+b 2 = c 2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km ，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt △OMN 中，根据勾股定理得 MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理O Q = 130 km ，∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．教学反思课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理教学反思第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。
探索勾股定理---同步课件浙教版数学八年级上册
(2)若a=15,c=17,求b;
解 (1)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又∵∠C＝90°，c＝5，
b
c
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 5.
C
a
B
例2 如图是长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm), 求两孔中心A，B之间的距离.
解 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，
a b-a
证明
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示
的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
3.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。已知这三 个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与蓝色部分的面积 相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
C
A
B
2.5
6
6.5 6.25，36，42.25 6.25+36=42.25
a
b
c a2, b2, c2来自a2 b2 c25.猜想： 如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形 .
Rt
获取新知
如果三角形中 较有短两两边边的的平平方方和和 等于第最三长边边的的平平方方， 那么这个三角形是直角三角形. 最长边所对的角是直角
大正方形的面积可以表示为(a+b)2 ; 也可以表示为c2 +4•ab/.2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
1.1探索勾股定理课件北师大版初中数学八年级上册
为“驴桥定理”，
埃及称它为“埃及三角形”等。 但他们发现的时间都比我国要
迟得多。
美国总統的证明 伽菲尔德
1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明， 证法称为“总统”证法
二、新课讲授
1、自主探究 （1）视察图1-1
正方形A中含有 9 个
B
C
三角形三边长度之 间存在什么关系吗？ 与同伴进行交流。
图1-3
A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一
个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
的规律对这个三角形仍然成立吗？
归纳结论
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
B
a2 b2 c2
a
C
c
A
b
即:直角三角形两直角边的 勾 弦 平方和等于斜边的平方。
5、练一练
1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则 c= _1_0__ 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则 a= __5__ 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
三、小结
1、你这节课的主要收获是什么？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
2、做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
（1）视察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用预学新版北师大版
长分别是 a ， b ， c ，将它们拼成如图②的大正方形.
1
2
3
4
(1)观察：图②中，大正方形的面积可以用( a ＋ b )2表示，也
可以用含 a ， b ， c 的代数式表示为 2 ab ＋ c2 ，那么可
以得到等式： ( a ＋ b )2＝2 ab ＋ c2 .整理后，得到 a ，
解： (2)如图.(答案不唯一)
1
2
3
4
知识点1
验证勾股定理
如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与
验证过程，请补充完整：
因为 S1＝
4
＝
S3.
)2＋(
BC
所以 S1＋ S2
即(
笔记：
AC
， S2＝
9
， S3＝ 13
)2＝(
AB
)2.
，
变式1【教材P7读一读变式】意大利著名画家达·芬奇用如图
的面积.
解： 根据勾股定理得，斜边长为10 cm，
所以圆的半径为5 cm.所以 S圆＝π×52＝25π(cm2).
1
2
1. 勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法
面积
(拼图法)、面积法(通过
的不同表示方法得到验
证，也叫等面积法或等积法)等.
1
2
3
4
直角
2. 勾股定理的适用范围仅限于
所示的方法证明了勾股定理.图①中的空白部分是由两个正
方形和两个全等的直角三角形组成的.若设图①中空白部分
的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2，则下列表示 S1，
S2的等式成立的是( B )
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
1探索勾股定理-初中八年级上册数学(教案)(北师大版)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
其次，在教学难点和重点的讲解上，我采用了逐步推导和举例的方法，但仍有部分学生在理解上存在困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，尽量用更简单易懂的方式讲解，多给予他们鼓励和支持，帮助他们克服学习难点。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得积极主动，课堂氛围良好。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高。为了提高学生的参与度，我计划在下次课堂上增加一些互动性更强的小组活动，鼓励每个学生都积极参与其中，共同探讨问题。
4.通过实际操作和探究活动，加深对勾股定理的理解，提高解决问题的能力。
本节课将围绕以上内容展开教学，结合学生的认知水平和实际需求，设计丰富多样的教学活动，以帮助学生更好地掌握勾股定理。
二、核心素养目标
本节课程的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理的证明过程，让学生体验由特殊到一般的推理方法，提高他们的逻辑思维水平。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的概念和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，演示勾股定理的基本原理。
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？
1
a bc
b a
c
c
c
a
a
b c b bc
b
a
a
c
a
c
b
三国时期数学家赵爽在
《周髀b算经》a作注时给出。2002年北京
世界数学家大会会标，既标志着中国古
代的数学成就，又像一只转动风车，欢
迎来自世界的数学家们。
2
a bc
b ca
ac b
cb a
c
a
a
b
c
b bb
c
a
a
c
大正方形面积(a+b)2 大正方形面积 c2
6千米/时 小明
因此 x2 = 122 + 52 = 169
x = 13
答：两队相距13千米。
7
飞机在空中水平飞
行，某一时刻刚好
飞到一个男孩头顶 正上方15千米处， 过了40秒，飞机距 离这个男孩头顶17 千米.飞机每时飞行 多少千米？
？
C
B
15
千 米
17千米
A
8
解：如所画示意图。 BC2=AB2 一AC2
商高就提出了“勾三、股四、弦五
a2 = c2_ b2 b2 = c2_ a2
” 的说法。 两千年前，希腊的毕达 c2 = a2+b2
哥拉斯学派证明了勾股定理，此定
理被世界上称为毕达哥拉斯定理。
4
( 口答)：求出图中的x和S值
6x 8
解：X2=62+82=100 x=10
5 6
13 12 面积 S =15
BC2=172—152 =64 BC =8(千米) v=8÷40×3600 =720千米 /时 答：飞机每小时飞行 720千米。
？
C
B
15
千 米
17千米
A
9
与直角三角形有关的：
1、勾股定理：a2+b2=c2
2、角：直角三角形两锐角互余；
3、全等：HL B
a
c
C bA
10
11
12
个人观点供参考，欢迎讨论！
小正方形面积 c2 小正方形面积(b-a)2
4个三角形面积
4个三角形面积
½ ab×4
½ ab×4
这三者有什么关系？这三者有什么关系？ 3
勾股定理
a2 + b2 = c2
B
直角三角形两直角边的 a
c
平方和等于斜边的平方 C b A
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。早在三千多年前，周朝数学家
5
北 东
放假了，小明团队、小 小强 强团队相约去内蒙古草
？
原。某日早晨7时小明团
队先出发，6千米/时的速 度向东行走；1小时后小
6千米/时 小明
强团队出发，以5千米/时
的速度向北行进。上午9
时他们两队相距多远？
6
北 东
解：设两队相距x米。 小强
小明路程:
？
6 x 2 = 12千米
小强路程: 5 x 1 = 5千米