2.2.1线性回归方程PPT优秀课件
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《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
回归线方程ppt课件
果关系。
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
线性回归直线方程-PPT课件
零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80
加工时间y (分钟)
62 68 75 81 89 95 102 108
(1)画出散点图；
(2)根据系数公式求线性回归直线方程；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，
你能得出什么结论？
120 100
80 60 40 20
0 0
图表标题
20
40
• 当各点总体上很接近回归直线时，两变量的相关关系 较强，反之相关关系就较弱。
• 当线性关系很弱时，即使可求出线性回归直线方程， 但由于各点总体上离此直线较远，用它作估值时偏差 较大，也就没有实际意义了。这时也可以说线性回归 方程没有意义，两变量不具有线性相关关系。
Байду номын сангаас 问：如何判断两个变量相关关系的强弱？
(2)估计工龄为20年的职工工资是多少？ （先不用计算器计算后，再用计算器验算）
工资y千元
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
工龄
总结
• 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归 分析。
• 运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤是： • ①收集数据，并制成表格； • ②画出数据的散点图； • ③利用散点图直观认识变量间的相关关系；可通过计算相
60
80 100
项目 类型
零件数x 加工时间y
x2
A
10
62
100
B
20
68
400
C
30
75
900
D
40
《线性回归》PPT课件_OK
6
7
8
读取数据
• 在R环境下将数据读入系统并显示，使用如下语句：
9
数据的概括性度量
• R语句：
10
变量间相关性分析
• R语句：
11
• R语句： plot(a1$ROEt,a1$ROE)
12
模型的建立
模型、假设和参数估计
13
模型形式及假设
• 线性回归模型
y • i模 型假0 设 1 x i1 2 x i2 p x i pi
异方差性、非正态性、异常值
24
同方差性检验
25
同方差性检验
26
同方差性检验
27
同方差性检验
28
正态性检验
• 若t ~N(,2), 并且
• 则有 Pt q
Ptq
29
正态性检验
• 进一步可以得到
• 以及
q
z,
q z. • 所以在正态性假设下，残差 与 应该成线性关系。
t z
30
正态性检验
Ttnp1,1/2
21
22
显著性检验的结论
• 从F检验的结果看，模型的线性关系是显著的。 • 从T检验的结果看，ROEt和LEV两个变量通过了检验，GROWTH变量在
显著性水平降至0.1时也可以通过检验，因此这三个变量与因变量的线性 关系较为显著。
• 注意，这不说明应该删除其它变量！
23
模型的诊断
反映公司利润状况
• GROWTH: 主营业务增长率（sales growth rate）
反映公司已实现的当年增长率
• INV: 存货/资产总计（inventory to asset ratio）
反映公司的存货状况
7
8
读取数据
• 在R环境下将数据读入系统并显示，使用如下语句：
9
数据的概括性度量
• R语句：
10
变量间相关性分析
• R语句：
11
• R语句： plot(a1$ROEt,a1$ROE)
12
模型的建立
模型、假设和参数估计
13
模型形式及假设
• 线性回归模型
y • i模 型假0 设 1 x i1 2 x i2 p x i pi
异方差性、非正态性、异常值
24
同方差性检验
25
同方差性检验
26
同方差性检验
27
同方差性检验
28
正态性检验
• 若t ~N(,2), 并且
• 则有 Pt q
Ptq
29
正态性检验
• 进一步可以得到
• 以及
q
z,
q z. • 所以在正态性假设下，残差 与 应该成线性关系。
t z
30
正态性检验
Ttnp1,1/2
21
22
显著性检验的结论
• 从F检验的结果看，模型的线性关系是显著的。 • 从T检验的结果看，ROEt和LEV两个变量通过了检验，GROWTH变量在
显著性水平降至0.1时也可以通过检验，因此这三个变量与因变量的线性 关系较为显著。
• 注意，这不说明应该删除其它变量！
23
模型的诊断
反映公司利润状况
• GROWTH: 主营业务增长率（sales growth rate）
反映公司已实现的当年增长率
• INV: 存货/资产总计（inventory to asset ratio）
反映公司的存货状况
线性回归PPT优秀课件
1．正方形面积S与边长x之间的关系： 确定关系 正方形边长x 面积S x 2 2．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系： 气候情况 施肥量 不确定关系 水稻产量
浇水
除虫
与函数关系不同，相关关系是一种非确定
性关系．对具有相关关系的两个变量进行统
计分析的方法叫做回归分析． 在现实生活中存在着大量的相关关系．人 的身高与年龄、产品的成本与生产数量、商品
的销售额与广告费、家庭的支出与收入等都是
相关关系．
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是 否有一个确定性的关系？ (不确定关系) 例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行 施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一 组数据：
为了书写方便，我们先引进一个符号 “ ”．这个符号表示若干个数相加.
n
例如，可将x1+x2+……+xn记作 x i
i1
，即
表示从x1加到xn的和．这样，n个数的平均
1 n 数的公式可以写作 x x i .上面的③ n i 1 n 2 式可以写作Q= ( yi bxi a) .
因此所求的回归直线方程是 yˆ =4.75x＋257. 根据这个回归直线方程，可以求出相应于x 的估计值．例如当x=28（kg）时，y的估计
值是
yˆ
= 4.75×28＋257=390（kg）．
例1．一个工厂在某年里每月产品的总成本y
（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组
数据：
（l）画出散点图； （2）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方
i 1
这个式子展开后，是一个关于a，b的二 次多项式．利用配方法，可以导出使Q取得 最小值的a，b的求值公式（详细推导过程 请见本小节后的阅读材料．P43页）.
线性回归计算方法及公式PPT课件
公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
线性回归计算方法及公式 ppt课件
ppt课件
26
logistic回归模型参数的意义
优势比（odds ratio, OR)：暴露人群发病优势与非暴露 人群发病优势之比。
P(1) / [1-p(1)] OR= ——————— P(0) / [1-p(0)]
Ln(oR)=logit[p(1)]-logit[p(0)]=(B0+B×1) －(B0+B×0)=B 可见 B 是暴露剂量增加一个单位所引起的对数优势的增 量，或单位暴露剂量与零剂量死亡优势比的对数。eB就 是两剂量死亡优势比。常数项B0是所有变量 X等于零时 事件发生优势的对数。
30
回归模型中自变量的筛选
和多元线性回归分析一样，在Logistic回 归分析中也须对自变量进行筛选。方法 和多元线性回归中采用的方法一样，有 向后剔除法、向前引入法及逐步筛选法 三种。筛选自变量的方法有wald检验、 Score test、likelihood ratio test(wald chisquare test)三种。
ppt课件
1
多元线性回归
• 多元线性回归是简单线性回归的直接推广，其包含一 个因变量和二个或二个以上的自变量。
• 简单线性回归是研究一个因变量（Y）和一个自变量 （X）之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量（Y）和多个自变量（Xi）之间数 量上相互依存的线性关系。 • 简单线性回归的大部分内容可用于多元回归，因其基 本概念是一样的。
H0：K个自变 量为好 H1：K＋1个自变量为好
ppt课件 15
• 向前引入法（forward selection) 自变量由少到多一个一个引入回归方程。 将 corr(y , xj)最大而又能拒绝H0者，最 先引入方程，余此类推。至不能再拒绝 H0为止。
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线性回归方程(1)
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
问题：举一两个现实生活中的问题，问题所涉及的
变量之间存在一定的相关关系。
例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系
（2）粮食产量与施肥量之间的关系 （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系
相关关系与函数关系的异同点：
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29．6 30．2 31．4 30．8 33．5 35．2 34．6
根据上述数据，人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关 系？
通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系 有一个直观上的印象和判断。
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
-5
5
10 15高， 卖出去的热饮杯数越少。
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
我们再观察刚才两个散点图还有什么特征:
这些点大致分布在一条直线附近, 像这样如果散点图中的点分布从整体上看大致在 一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性 相关关系,这条直线叫做回归直线, 这条直线的方程叫做回归方程
.
方案2、在图中选两点作直线，使直
线两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量
40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再 求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直 线的斜率和截距。而得回归方程。 如图:
下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立 直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。
如图：
脂肪含量 40
35
30
25
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
5个学生的数学和物理成绩如下表：
i1 i1 i1
3.代入公式求a,b 4.列出直线方程
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
课后作业：
课本 P76 习题2.4 No.1、2.
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
摄氏温度 26 18 13 10 4 -1 热饮杯数 20 24 34 38 50 64
为了了解热饮销量与气温的大致关系，我们以气温为横轴，热饮销量为纵轴，建立 直角坐标系，
21.05.2019
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散点图
y
60
50
40
30
20 10
O
. 方案1、先画出一条直线，测量出各点与它
的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最 小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。
脂肪含量
如
图
40
35
30
25
20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你 的物理学习就不会有什么大问题”按照这种说法， 似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某 种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
这两个变量之间的有不确定的关
数学成绩
系
学习兴趣
学习时间
其他因素
结论：变量之间除了函数关系外，还有。
21.05.2019
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们 经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程 的斜率与截距的一般公式:
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
2
nx
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它
我们还可以找到
更多的方法，但 40 脂肪含量 这些方法都可行 35
吗?科学吗？
30
25
准确吗？怎样的 20
方法是最好的？ 15 10
5
我们把由一个变量的变化
年龄
去推测另一个变量的方法 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 称为回归方法。
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平
方和最小，这一方法叫最小二乘法。
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
求解线性回归问题的步骤:
1.列表( xi,yi,xi yi )，画散点图.
n
n
n
2.计算: x,y, xi2, yi2, xiyi
相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系；
相关关系是一种非确定关系.
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
探究一
在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的？
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
那么，我们该怎样来求出这个回归方
程？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的 方案？
脂肪含量
40
35
30
25
20
15
10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
ABCDE 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，
解： 80
物理成绩
75
70
65
60
55
50
数学成绩
40
50
60
70
80
90
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：