[医学]第十二章 线性回归分析ppt

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目前，“回归”已成为表示变量之 间某种数量依存关系的统计学术语， 并且衍生出“回归方程”“回归系数”等 统计学概念。如研究糖尿病人血糖与 其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄 与体重的关系等。
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第一节 两相关变量的散点图
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一、直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依
存关系。
特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，
2957.9 (ΣX)
体重增加量(g) Y (3)
23.6 14.7 19.2 27.7 18.9 16.1 17.2 12.9 18.3 17.7 13.7 15.6
215.6 (ΣY)
X2
(4)
93452.49 35569.96 76839.84 133079.04 81396.09 59878.09 65484.81 22440.04 72307.21 61305.76 28493.44 40240.36 770487.13
于截距 。如a果散点图没有从坐标系原点开
始，可在自变量实测范围内远端取易于读
数的 值代入X回归方程得到一个点的坐标，
连接此点与点( , )也可绘出回Y 归直线。
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第三节 回归系数的假设检验
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建立样本直线回归方程，只是完成 了统计分析中两变量关系的统计描述， 研究者还须回答它所来自的总体的直线 回归关系是否确实存在，即是否对总体 有 0？
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可保 证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小
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blXY lXX
(XX)(YY) (XX)2
aYbX
(12-2)
（12-3）
式 中 lX Y 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lX Y (X X ) ( Y Y ) X Y ( X n ) ( Y )( 1 2 6 )
10
30
25
体重增加量（g)，Y
20
15
10
5
130
180
230
280
330
380
进食量（g），X
图 12-1 12只大白鼠进h 食量与体重增重量散点图
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在定量描述大白鼠进食量与体重增 加量数量上的依存关系时，习惯上将进 食量作为自变量（independent variable）， 用X表示；体重增加量作为应变量 （dependent variable），用Y表示。
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由图12-1可见，体重增加量有随进食 量增加而增大的趋势，且散点呈直线趋势， 但并非12个点都在直线上 ，此与两变量间 严格的直线函数关系不同，称为直线回归
（linear regression）,其方程叫直线回归方程，以 区别严格意义的直线方程。
回归是回归分析中最基本、最简单的一种， 故又称简单回归。
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例12-2 （续例12-1） 根据表121数据，对大白鼠的体重增加量进行 回归分析。
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解题步骤
1．由原始数据及散点图（图 12-1）
的观察，两变量间呈直线趋势，故作下
列计算。
2．计算 X 、Y 的均数 X 、Y 。
3．计算离均差平方和 lXX 、lYY 与离
均差积和 lXY 。
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4．求回归系数 b和截距 a。
( X 2 )
Y2
(5)
556.96 216.09 368.64 767.29 357.21 259.21 295.84 166.41 334.89 313.29 187.69 243.36 4066.9
(Y 2 )
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XY (6)
7214.52 2772.42 5322.24 10104.96 5392.17 3939.67 4401.48 1932.42 4920.87 4382.52 2312.56 3129.36 55825.2 (ΣXY)
b lXY 2681.6 0.0648 lXX 41389.4
a Y bX 17.97 (0.0648)(246.49) 2.00
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 12-
YˆY ˆ2 .002 .00 .00 64 8X0.0648X
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X X
此直线必然通过点( , )且Y 与纵坐标轴相交
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表12-1 12只大白鼠的进食量（g）与体重增加量(g)测量结果
序号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
合计
进食量(g)X (2)
305.7 188.6 277.2 364.8 285.3 244.7 255.9 149.8 268.9 247.6 168.8 200.6
不同于一般数学上的X 和Y的函数
关系。
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为了直观地说明两相关变量的线性 依存关系，用表12-1第（2）、（3） 列中大白鼠的进食量和体重增加量 的数据在坐标纸上描点，得图12-1所 示的散点图（scatter plot）。
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例12-1 用某饲料喂养12只大白鼠， 得出大白鼠的进食量与体重增加量 如表12-1，试绘制其散点图。
第十二章 线性回归分析
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双变Βιβλιοθήκη Baidu计量资料：每个个体有两个变量值
总体：无限或有限对变量值
样本：从总体随机抽取的n对变量值
（X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系
方法：回归与相关
简单、基本——直线回归、直线相关
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历史背景：
英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》 一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数” 两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和 英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身 高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最
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第二节
回归方程
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一、直线回归方程的一般表达式为
Y ˆabX (121)
Y ˆ 为各X处Y的总体均数的估计。
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二、直线回归方程的求法
➢残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定 回归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ 。
➢求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能 最好地代表数据点分布趋势的直线。
大长度）做了测量，发现：
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儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，
英寸）存在线性关系：
。
Y ˆ也即33 高.73 个 子0.父51 代6X 的子代在成年之后的身
高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水
平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更
矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种
趋向于种族稳定的现象称之“回归”。