多项式习题

x 3x 0 x 3 px 3q
3 2
3x 3 0 x 2 px r1 ( x) 2 px 3q 6 px 2 0 x 2 p 2 3x 6 px 2 9qx 9qx 2 p2 18 pqx 4 p 3 9q 18 pqx 27 p 2 r2 ( x) 4 p 3 27 q 2
2x 1
2 x3 4 x 2 2 x
x2 2x 5 x2 2x 1
4x 4
故 2 x3 3x 2 5 (2 x 1)( x 2 2 x 1) (4 x 4), 即商为2 x 1, 余式为4 x 4.
4 2 f x x 2 x 5 , g x x x 2 ，用 g x 除f x ， 例2.设
求商式与余式。 解：
2 4 2 x 2 ax 2 x 3 x ax b. a , b 例3.问 满足什么条件时，
提示：采用竖式除法。 解
x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b x2 2ax (1 4a2 )
x 4 2ax 3 2 x 2
使得 ux f x vxg x f x, g x 。 提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。 解：
பைடு நூலகம்
x 2 3 x 4 x 3 4 x 2 4 x 1 x 2 x 1 x 1 q1 ( x) x 4 x 3 x 2 x 2 2 x q2 ( x ) 3 x 2 4 x 1 x 1 3 x 2 3x 1 x 2 r1 ( x) x 2 r2 ( x) 1
2 12
c4 所以 f ( x) 11 24( x 2) 22( x 2)2 8( x 2)3 ( x 2)4
1 6 22c2 2 1 8c3
例8.
解：
6 5 4 3 2 f x x 4 x 8 x 10 x 8 x 4x 1 例9.分解因式
f ( x) ( x 1)2 ( x4 2x3 3x2 2x 1)
考虑
3 2 g( x) x 2x 3x 2x 1, g ( x) 4x 6x 6x 2 4 3 2
得到-1是一个2重根，所以
用辗转相除法求出
( g ( x), g( x)) x2 x 1
) 2 0 0 4
1 0 0 2 9
故 q( x) x3 2, r( x) 9
例6.
解：采用综合除法，可得
例7.将多项式 和的形式。 解:
f x x 2 x 3 表示成 x 2的方幂之
4 2
-8 -3
17 -11
6 6
-20 12
8 -8
1
1
3 1
4 1 5 1
-3 4
1 5 6 6
-11 1
-10 6 -4 12
6 -10
-4 -4 -8 8
12 -4
8 -8 0
-8 8
0
0
1
1
1
1
1
1
6 1
7
12 7
19
8 19
27
0
1
故1是四重根，同理可知-2是三重根。
（2）证明问题
a)关于多项式的最大公因式与互素的证明
提示：先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。
解: 因为
f ( x)
的有理根只可能为 1 ，所以先用综合除法：
1 1 4 8 10 8 4 1 1 3 5 5 3 1 1 3 5 5 3 1 0 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0
f ( x) x px q
3
有重根当且仅当
( f ( x), f ( x)) 1
，即做
3 2 r ( x ) 4 p 27 q 0。 辗转相除法所得的余式r1 ( x) 2 px 3q 0 或 2
由于 r1 ( x) 0 蕴含r2 ( x) 0 ，因此
n1 f ( x) nx ， nm f ( x) 没用非零根，所以 f ( x) 的非零根的重数 2 m 如果 n m ，则从 f ( x)的因式 nx n m
如果
，那么
。
f 的根都是单根知，
例14.求 f
( x) 中非零的根的重数 2
。
x x7 2x6 6x5 8x4 17x3 6x2 20x 8 的根。
（四）综合举例
(1)计算问题
a)带余除法 3 2 f ( x ) 2 x 3 x 5 r ( x ) g ( x ) f ( x ) 例1.用 除 ,求商式 q( x) 与余式 ，其中
g ( x) x 2 2 x 1.
提示：采用竖式除法求解。 解
x 2 2 x 1 2 x3 3x 2 5
f x g x , g x f x , g x ＝１ 故 f x g x , f x g x 1
例16.设 f1 x,..., f m x, g1 x,..., gn x 都是多项式，而且
于 是 f x qx x 2 x 2 x 1 x 2 f x , f x
由于f x 与 qx 有完全相同的不可约因式 x 1, x 2 ， 可见f x 有根 1 ,2 。再用综合除法，有
1
1
2 1
-6 3
2ax3 x 2 ax b 2ax3 4a 2 x 2 4ax
(1 4a 2 ) x 2 3ax b (1 4a 2 ) x 2 (2a 8a 3 ) x (2 8a 2 )
(8a3 a) x b 2 8a2
因为x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b故(8a3 a) 0且b 2 8a 2 0 故当a 0, b 2或者a 2 , b 3时, x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b 4
例4.
解：
b)综合除法
例5.设
f x x 2 x 2 x 5, g x x 2
4 3
用g x 除 f
x ，求商q x 与余式 r x 。
提示: 用综合除法做除式为 x 2 的带余除法。 解:
1 2 0 2 5 2
所求的 例11.
u( x) ( x 1), v( x) x3 x2 3x 2
解：
d)用微商判别一个多项式有否重因式、重根
例12.求 x
3
px q 有重根的条件。
提示：应用 f x 有重根当且仅当 f x , f x 1 即可。 解
x 3 0 x 2 px q 3x 2 0 x p
1 0 2 0 3 2 ) 2 4 4 8
提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。
1 2 2 4 11c0 2 8 20 1 4 10 24c1
最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、 难点： 最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。
（三）题型归纳
带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式， （1）计算问题：
用微商判别多项式是否有重因式、重根；
关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性 （2）证明问题： 的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的 证明及其它证明等。
例15.若 f
x , g x 1， 则 f x g x , f x g x 1 。
提示：用最大公因式和互素的定义证明。
证明：由等式 f x g x f x 1 g x
以及 f x g x g x 1 f x 可得 f x g x , f x f x , g x ＝１
f ( x) ( x 2 3) g ( x) ( x 2), g ( x) ( x 1)( x 2) 1 ( f ( x), g ( x)) 1 1 ( x 1)( x 2) g ( x) ( x 1)[ f ( x) ( x 2 3) g ( x)] g ( x) ( x 1) f ( x) [1 ( x 1)( x 2 3)]g ( x) ( x 1) f ( x) ( x 3 x 2 3x 2) g ( x)
第一章 多项式 习题课
（一）知识结构
数域
带余除法 整除 定义、定理 多项式除法 性质 定义、定理 最大公因式 辗转相除法
多项式
一元多项式
互素
因式分解及唯一性定理 重因式、多项式函数 多项式分解
复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式的因式分解
多元多项式、对称多项式
（二）重难点归纳
重点：一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；
3 2 4 p 27 q 0 是
f ( x) x3 px q
有重根的条件
例13.求 f x x
n
xnm b 的非零根的重数。
提示：先求微商，再对 n, m的关系分类讨论。
解：因为
f ( x) nxn1 (n m) x nm1 x nm1 (nxm n m)
所以有理数域上的不可约多项式p( x)
2 2 g ( x ) ( x x 1 ) 因此
x x 1 是 g ( x)
2
的2重因式，
于是 f ( x) ( x 1)
2
( x x 1)
2
2
c)用辗转相除法求最大公因式
例10.设f x x
4
x3 4x2 4x 1 , gx x2 x 1，求 ux , vx
f x 与 f x
提示：先求微商，再用辗转相除法得到 的最大公因式。
解：
f x 7 x6 12x5 30x 4 32x3 51x 2 12x 20
用辗转相除法，得
f x, f x x5 x4 5x3 x2 8x 4
f x , g x 1, i 1,..., m, j 1,..., n