多项式习题
多项式的运算练习题
多项式的运算练习题一、单项式与单项式的运算1. 计算下列各式的结果：(1) 3x 2x(2) 5a^2b 3a^2b(3) 4xy + 7xy(4) 2mn 5mn2. 简化下列各式：(1) 4x^3 + 2x^3 3x^3(2) 5ab^2 3ab^2 + 2ab^2(3) 8xyz + 6xyz 4xyz(4) 10m^2n^2 7m^2n^2 + 5m^2n^2二、多项式与多项式的运算1. 计算下列各式的结果：(1) (2x + 3y) (x y)(2) (4a^2 5b^2) + (3a^2 + 2b^2)(3) (7m + 2n) (4m 3n)(4) (6p^2 5q^2) + (3p^2 + 4q^2)2. 简化下列各式：(1) (x^2 + 2x 3) + (2x^2 4x + 5)(2) (3y^2 4y + 1) (2y^2 + 3y 2)(3) (4a^3 5a^2 + 2a) (3a^3 + 2a^2 a)(4) (7b^3 + 6b^2 9b) + (5b^3 4b^2 + 8b)三、多项式的乘法运算1. 计算下列各式的结果：(1) (x + 2)(x 3)(2) (a 4)(a + 5)(3) (3m + n)(2m n)(4) (4p 3q)(p + 2q)2. 计算下列各式的结果：(1) (x^2 + 3x + 2)(x 1)(2) (a^2 4a + 4)(a + 2)(3) (2m^2 5m + 3)(m 2)(4) (3p^2 4p + 1)(p + 3)四、多项式的除法运算1. 计算下列各式的结果：(1) (x^2 5x + 6) ÷ (x 3)(2) (a^2 + 5a + 6) ÷ (a + 2)(3) (2m^2 5m 3) ÷ (m 2)(4) (3p^2 + 7p + 2) ÷ (p + 3) 2. 计算下列各式的结果：(1) (x^3 2x^2 + x) ÷ (x 1)(2) (a^3 + 3a^2 4a) ÷ (a + 4)(3) (2m^3 5m^2 + 3m) ÷ (m 2)(4) (3p^3 + 7p^2 2p) ÷ (p + 3)五、多项式的综合运算1. 计算下列各式的结果：(1) (2x^2 3x + 1) + (x^2 4) (3x 2)(2) (4a^3 2a^2 + 3a) (a^3 + a^2) + (2a^2 3)(3) (5m^2 7m + 2) + (3m^2 5) (2m^2 + 4m 1)(4) (6p^4 4p^3 + 2p^2) (p^4 + 3p^3 p^2) + (p^32p^2 + p)2. 简化下列各式：(1) (x^4 2x^3 + 3x^2) (x^4 + x^3 x^2) + (2x^3 4x^2 + x)(2) (3a^5 4a^4 + 2a^3) + (a^5 2a^4 + 3a^3) (2a^5 +a^4 a^3)(3) (2m^6 5m^5 + 3m^4) (m^6 3m^5 + 2m^4) + (3m^54m^4 + m^3)(4) (4p^7 6p^6 + 5p^5) + (p^7 4p^6 + 2p^5) (3p^7 +2p^6 p^5)六、多项式的应用题1. 已知多项式 A(x) = 2x^2 3x + 1，多项式 B(x) = x^2 4x + 3，计算 A(x) + B(x) 的结果。
多项式练习题带答案
多项式练习题带答案一、选择题1. 下列哪个表达式不是多项式？A. \( x^2 + 3x + 2 \)B. \( 5x - 3 \)C. \( \frac{x}{2} \)D. \( 2x^3 - 4x^2 + 7 \)答案：C2. 多项式 \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 中，如果 \( a = 1 \)，\( b = -1 \)，\( c = 0 \)，\( d = 2 \)，则 \( P(x) \) 可以表示为：A. \( x^3 - x^2 + 2 \)B. \( x^3 - x^2 - 2 \)C. \( x^3 + x^2 + 2 \)D. \( x^3 - x^2 + 2x \)答案：A3. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，那么 \( f(1) \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题1. 多项式 \( 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4 \) 的次数是 ______ 。
答案：32. 如果 \( g(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \)，那么 \( g(0) \) 的值是 ______ 。
答案：13. 多项式 \( h(x) = 4x^2 - 7x + 2 \) 与 \( x - 3 \) 的乘积是\( 4x^3 - \) ______ 。
答案：7x^2 + 10x - 6三、解答题1. 给定多项式 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \)，求 \( f(-1) \) 的值。
解：将 \( x = -1 \) 代入 \( f(x) \) 中，得到\( f(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -3 - 2 - 5 - 1 = -11 \)。
2. 已知 \( p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( p(1) = 5 \)，\( p(-1) = -1 \)，求 \( a \)，\( b \)，\( c \) 的值。
高等代数多项式课外习题
.1 .-1 .±2 .0
6、设 是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。
.1 .0 .-1 .3或-5
7、设 是 的一个因式，则 （ ）。
．1 ．2 ．3 ．4
8、令有理数域上的多项式 ,下面只有哪个数可能是它设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是.
10、已知 为 的一个根，那么 的其余根是．
11、设 是两个不相等的常数，则多项式 除以 所得的余式为____
12、设 。 ，若 ，则 ， 。
13、求方程 的所有有理根.
14、求多项式 的最大公因式 .
15、设f(x)=3x5-12x3-104x2-587x-13，求f(5)和f(-5).
16、求g(x)用去除所得的商q(x)及余式r(x)：f(x)=3x5+10x4-15x3-9x2-8x-7，g(x)=x+1/3.
19、设f1(x)=af(x)+bg(x),g1(x)=cf(x)+dg(x),且ad-bc≠0，证明：(f(x),g(x))=(f1(x),g1(x)).
20、证明 是两个不相等的常数，则多项式 除以 所得的余式为
4、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）
.若p(x)是f’(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式
.若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，f’(x)的公因式
.若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式
.若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是 的单因式
1、在 里能整除任意多项式的多项式是（）。
．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式
多项式的练习题
多项式的练习题一、选择题1. 下列哪个表达式是一个多项式？A. 3x + 4B. 1/x + 5C. √x + 2D. log(x) + 32. 多项式3x^2 2x + 1的次数是？A. 1B. 2C. 3D. 4A. 3x^3B. 4x^2C. 2xD. 5二、填空题1. 多项式4x^4 7x^2 + 9的______次项系数是7。
2. 已知多项式f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1，则f(1) = ______。
3. 若多项式g(x) = 5x^4 3x^3 + 2x^2 x + 6，则g(1) =______。
三、计算题1. 计算：(2x^3 4x^2 + 3) (x^3 2x^2 + 5)。
2. 计算：(3x^2 2x + 1) × (4x^2 + 5x 6)。
3. 计算：(5x^4 3x^3 + 2) ÷ (x^2 x)。
四、应用题1. 某多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，已知P(1) = 5，P(1) = 3，P(2) = 10，P(0) = 2，求a、b、c、d的值。
2. 设多项式Q(x) = 2x^3 3x^2 + 4x 5，求Q(x)在x = 1处的导数。
3. 已知多项式R(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求R(x)的零点。
五、简答题1. 解释什么是多项式的首项、末项和常数项。
2. 如何判断两个多项式是否相等？3. 简述多项式的次数对多项式性质的影响。
六、作图题1. 作出多项式f(x) = x^3 3x^2 + 2x的图像，并标出其根（零点）。
2. 在同一坐标系中画出多项式g(x) = 2x^2 4x + 3和h(x) = x^2 + 2x 1的图像，并指出它们的交点。
七、证明题1. 证明：对于任意多项式P(x) = a_nx^n + a_{n1}x^{n1} + + a_1x + a_0，其中a_n ≠ 0，P(x)的图像在x轴上方（或下方）时，多项式的次数必为偶数（或奇数）。
多项式练习题
多项式练习题一、选择题：1. 多项式3x^2-5x+2可以分解为：A. (3x-2)(x-1)B. (3x+2)(x-1)C. (x-2)(3x-1)D. (3x+1)(x-2)2. 多项式f(x)=x^3-3x^2+4x-12的根中，实根的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 多项式x^3-6x^2+11x-6的因式分解为：A. (x-1)(x-3)(x-2)B. (x-1)(x-2)(x-3)C. (x-2)(x-3)(x-1)D. (x-6)(x^2+1)二、填空题：1. 如果多项式f(x)=x^3+ax^2+bx+c可以被x-1整除，则a+b+c=______。
2. 多项式2x^3-5x^2+3x-1的首项系数是______，次数是______。
3. 已知多项式P(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，求P(2)的值是______。
三、解答题：1. 试证明多项式x^4-3x^3+3x^2-x+1可以分解为(x-1)^4。
2. 已知多项式Q(x)=x^5-5x^4+5x^3+5x^2-5x+1，求证Q(x)可以表示为(Q(x+1)-1)。
3. 给定多项式R(x)=x^3-9x，求证R(x)可以分解为(x-3)(x^2+3x+3)。
四、计算题：1. 计算多项式P(x)=x^4-2x^3+x^2+2x-3在x=-1处的值。
2. 计算多项式Q(x)=3x^3-2x^2-5x+4在x=2处的值。
3. 计算多项式S(x)=2x^3+3x^2-4x+1在x=-2处的值。
五、证明题：1. 证明多项式x^4+x^3+x^2+x+1不能分解为实系数的多项式。
2. 证明如果一个多项式f(x)的系数都是实数，并且f(x)=0有复数根，则这些复数根必定成共轭对出现。
六、综合题：1. 已知多项式f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，求f(1), f(2), f(-1)的值。
2. 已知多项式g(x)=x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x-4，求g(1), g(2), g(-1)的值。
多项式练习题参考答案.doc
多项式练习题参考答案一、填空题1.f(x) = X4 -4x3 -l,g(x) = x2 -3x-l.则y(x)被g(x)除所得的商式为亍—X —2 ,余式为-7x - 3 .2 • f(x),g(x),u(x),v(x)e P[x],若“(x)f (x) + v(x)g(x) = 2,则(f(x),g(x))= _L(w(x),v(x))=—・L 13. f (x) = a n x n+■■■ + a l x + a0 e P[x]且*0,/(x) I g(x), (/(x),g(x)) = —/(x).a n4.尸+2,(x —1)(X +3),0,2X +4,X3 —1 中是本原多项式的为尸+2,(x —l)(x +3), .r3 -1.5.多项式/(x) = [4(5x-4)2000X2-2X-1]2°01(8 X3-11X2 + 2) 2002的所有系数之和= 1_ (取X = 1得到)，常数项=-22。
2 (取》=0得到).6.能被任一多项式整除的式项式是零多项式；能整除任意多项式的多项式一定是零次多项式.7.多项式f⑴除以ax-b(a^O)的余式为/(-).a8.设2%3— %2 + 3x — 5 =。
(尤一2)3 + Z?(x — 2)2 + c(x — 2) + 6?，则ci,b,c,d的值为2, 9, 23,13 .9.f⑴=营+ 4x4 +X3-10X2-4X +8在有理数上的标准分解式是(x-l)2(x + 2)3.10.x2 +3x + 2|x4 +mx2- px+ 2 ,贝ll m = -6 , p = 3二、判断说明题(先判断正确与错误，再简述理由)1.若心)f(x) + v(x)g(x)=』3),则必为/(X)与g(x)的最大公因式.错.如/(x) = x-l,g(x) = x + l,w(x) = x + l,v(x) = -x ,贝!J d(x) = -x-l,但/(x)与g(x)互素.2.若p(x) I /(x)g(x),p(x)在P 上不可约,且p(x) I [/(x) + g(x)],则p(x) I /(x)且p(x) I g(x).对.由p(x)I /(x)g(x),p(x)在P 上不可约可得p(x)I /(x)或p(x)I g(x).若p(x) I /(x),又p(x) I [/(x) + g(x)],因此p(x)l[/(x) + g(x)]-/(x)，即p(x)lg(x).3.设p(x),f(x)为P上的多项式，且p(x)不可约.若p(x)为f'(x)的*重因式, 则p(x)必为/(X)的)+ 1重因式.错.如/(x) = (x2+2)5+5, x2 +2是广⑴在Q上的4重因式，但尸+2不是了(x)的因式.4.有理系数多项式/(%)在Q上可约，则f(x)有有理根.错.如f(x)=x4-4 = (x2+2)(x2-2)在Q上可约，但f(x)没有有理根.5.若"是整系数多项式f(x)的根，p，q为互素的整数，则⑴.P对.由里是整系数多项式f(x)的根可得px-q为f(x)的因式，艮口Pf (%) = (px-q)g(x),且g(x)是整系数的，取x = l可得(p-q)|f ⑴.6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约. 错.一次实系数多项式有实根但不可约.7.若f(x)|/z(x)且g(x)|/z(x),则f(x)g(x)|/z(x).错.缺f(x),g(x)互素.8.若g(x) + f(x)则(f(x),g(x)) = l.错.如 %2 -1 / %3 -1,但(x2 - l,x3 -1) = x-19.数域P上的任意一个不可约多项式p(x)在复数域内没有重根.正确.10.多项式f(x)有重根当且仅当f(x)有重因式.与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题1.设f (x) = x4 -x3 -x2 +2x-l,g(x) = X3— 2x + l,求(f (x),g(x))以及w(x),v(x),使w(x)f(x) +v(x)g(x) = (f(x),g(x)).解：利用辗转相除法得/■(x) = g(x)0i (x) + * (x) = g(x)(x T) + -X, g(x) = ^(x)^2(x) + ^(x)= (x2 - x)(x +1) - X +1, r^x) = r2 (x)q3 (x) = (-x + l)(-x).因此(f (x), g ⑴)=x — 1.又r(X)= g(X)- * (x)02 (x) = g (x) - (f (x) - g(X)01 (x))02 (x) =-<112(x)f (x) + (1 + 01 (x)02 (x)) .g (x)) = -r(x) = q, (x)/(x) - (1 + (x)^2 (x))g (x) .2所以i/(x) = q2 (x) = x + l,v(x) = —1 —0(x)02(x)= —l-(x — l)(x + l) = -x2.2./(x) = x5 - x3 + 4x2 - 3x + 2(1)判断f(x)在R上有无重因式?如果有，求出所有的重因式及重数；(2)求f(x)在R上的标准分解式.解：(1) f,(x) = 5x4-3x2+8x-3.运用辗转相除法可得:(f(x),f'(x)) = x2—x + 1.r —x + 1为f (x)在R上二重因式.(2)由⑴可得/Xx)在R上的标准分解式为/(x) = (x2 - x + l)2(x + 2).解法2: f(x)的可能有理根为±1,±2,经检验-2为f(x)的有理根，由综合除法可得-210-14-32-2 4 -6 4 -21-23-210因此有f(x) = (x4- 2W + 3x2 — 2% +1)(》+2)=(若 _ * +1)2 (x + 2).若一》+1 为f(x)在R上二重因式.f(x)在R上的标准分解式为f(x) = (x2-x + l)2(x + 2).3.已知f (x) = x3 +6x2 + 3px + 8 ,试确定p的值，使/'(x)有重根，并求其根.解:若f (x)有重根，则/(x) = (x — a)2(x-幻=x3~(2a + b)x2 +(a2 + 2ab)x-a2b.因此有2Q + b =—6, Q = —2,a2 + 2ab = 3p,解得，b = -2，或＜a2b = -8. p = 4.当p = 4时-2为f (x)的3重根;当p = -5时1为f⑴的2重根,-8为单根.解法2:若f(x)有重根，贝I] (f (%),广⑴)丰1.f\x) = 3x2 +12x + 3p =3(x2 +4i + p).f(X)= ! f '(x)(x + 2) + (2p - 8)x + (8 - 2p)=(x2 + 4x + p)(x + 2) + (2p — 8)(x -1),'(-Y)= (x-l)(x + 5) + (p + 5) •当p = 4 时,f (x) = (x + 2)3, 一2 为f(x)的 3 重根；当p = —5 时，(y(w,广⑴) =x-1,1 为/(x)的2 重根，此时/(x) = (x-l)2(x + 8),-8 为单根.4.已知1 -z•是多项式X4-4X3+5X2-2X-2的一个根，求其所有的根.解:由实系数多项式虚根成对性，1 +，也是¥ —4F +5亍_2》一2的根./(x) = x4 -4x3 +5x2 - 2x-2 = (x2 -2x + 2)(x2 -2x-l).因此f(x)的所有根为l-i,l + z,l + V2,l-V2.5.当a,。
第一章 多项式 练习题
第一章 多项式一．填空题1、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
3、设f(x)=x 3+3x 2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。
4、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
5、如果(x 2-1)2|x 4-3x 3+6x 2+ax+b ，则a= b= 。
6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。
7、如果f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k= 。
8．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 因式9、a 是f(x)的根的充分必要条件是 。
10、以l 为二重根，2，1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
答案1、不可约2、互素3、a=0,b=14、k=35、a=3,b=-76、(f(x),f’(x))=17、k=±28. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x 5-6x 4+15x 3-20x 2+14x-4 11. 充分二．判断并说明理由1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )3. 设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （ ）4、设p(x)是数域p 上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是()f x '的k-1重因式。
（） 5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
6．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
多项式的运算练习题及解析
多项式的运算练习题及解析一、综合练习题1. 计算多项式 P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 在 x = 2 时的值。
解析：将 x = 2 代入多项式 P(x) 中，得到：P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 1= 3(8) - 2(4) + 10 - 1= 24 - 8 + 10 - 1= 25因此，在 x = 2 时，多项式 P(x) 的值为 25。
2. 将多项式 P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6 与多项式 Q(x) = x^3 - 2x + 5 相加，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相加，得到：P(x) + Q(x) = (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6) + (x^3 - 2x + 5)= 2x^4 + 3x^3 + x^3 - 5x^2 - 2x + x + 6 + 5= 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相加后化简后得到 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11。
3. 将多项式 P(x) = 4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3 与多项式 Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 相乘，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相乘，得到：P(x) * Q(x) = (4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3) * (2x^3 - 3x^2 + 5)= 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 2x^5 + 16x^4 - 6x^3 - 3x^5 + 4x^4 -x^3 + 5x^2 + 8x - 3化简后，将同类项合并得：P(x) * Q(x) = 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相乘并化简后得到 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3。
多项式运算练习题
多项式运算练习题1. 计算以下多项式的和。
(3x^3 + 2x^2 - x + 5) + (2x^2 - 3x + 1)解析：将两个多项式的对应项相加，得到结果。
(3x^3 + 2x^2 - x + 5) + (2x^2 - 3x + 1)= 3x^3 + (2x^2 + 2x^2) + (-x - 3x) + (5 + 1)= 3x^3 + 4x^2 - 4x + 62. 计算以下多项式的差。
(5x^4 + 3x^2 - 2x + 7) - (2x^3 - x^2 + 4x - 3)解析：将第一个多项式减去第二个多项式的对应项，得到结果。
(5x^4 + 3x^2 - 2x + 7) - (2x^3 - x^2 + 4x - 3)= 5x^4 + 3x^2 - 2x + 7 - 2x^3 + x^2 - 4x + 3= 5x^4 + (3x^2 - x^2) + (-2x - 4x) + (-2 + 3 + 7)= 5x^4 + 2x^2 - 6x + 83. 计算以下多项式的积。
(2x^2 + 4x + 1) * (3x^3 - 2x^2 + x + 5)解析：使用分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式进行乘法运算，然后将所有结果相加。
(2x^2 + 4x + 1) * (3x^3 - 2x^2 + x + 5)= 2x^2 * (3x^3 - 2x^2 + x + 5) + 4x * (3x^3 - 2x^2 + x + 5) + 1 * (3x^3 - 2x^2 + x + 5)= 6x^5 - 4x^4 + 2x^3 + 10x^2 + 12x^4 - 8x^3 + 4x^2 + 20x + 3x^3 -2x^2 + x + 5= 6x^5 + (12x^4 - 4x^4) + (2x^3 - 8x^3 + 3x^3) + (10x^2 + 4x^2 - 2x^2) + (20x + x + 5)= 6x^5 + 8x^4 - 3x^3 + 12x^2 + 21x + 54. 计算以下多项式的商和余数。
第一章习题(基本题)
第一章 多项式习题基本题一、填空题1.用2()2g x x x =-+除4()25f x x x =++，商式为 ；余式为 。
2.当,,m p q 满足关系 时，241|x mx x px q ++++.3.4322()(441,1)d x x x x x x x =--++-+= ；存在()u x 注＝ ，()v x ＝ ，使得()()()()()d x f x u x g x v x =+.4.设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x d -+-=-+-+-+，则,,,a b c d 的值为 。
5.当t 满足 时，32()31f x x x tx =-+-有重根。
6.3()f x x px q =++有重根的条件是 。
7.42()4751f x x x x =---的有理根集合为 。
8. 当f (x )与g (x ) 时，由f (x )|g (x )h (x )可推出f (x )|h (x ).9. 数域P 的非零不可约多项式f (x )的因子为 与 。
10. 若2x -是多项式f (x )的3重因式,则2x -是''()f x 的 重因式。
二． 判断题1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数关于数的四则运算是数域。
( )2．数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数关于数的四则运算是数域。
（） 3. 若f (x )|g (x )+h (x ),f (x )|g (x ),则f (x )|h (x ). （） 4. 如果f (x )在有理数域上是可约的，则f (x )必有有理根。
（） 5. 若p (x )是'()f x 的k 重因式，则p (x )是f (x )的k +1重因式。
（） 6. 若f (x )|g (x )h (x ),且f (x )|g (x ),则(f (x ),h (x ))=1. ( )7. 奇次数的实系数多项式必有实根。
多项式的运算习题集
多项式的运算习题集(一)填空1．a8=(-a5)______．2．a15=()5．3．3m2·2m3=______．4．(x+a)(x+a)=______．5．a3·(-a)5·(-3a)2·(-7ab3)=______．6．(-a2b)3·(-ab2)=______．7．(2x)2·x4=()2．8．24a2b3=6a2·______．9．[(a m)n]p=______．10．(-mn)2(-m2n)3=______．11．多项式的积(3x4-2x3+x2-8x+7)(2x3+5x2+6x-3)中x3项的系数是______．12．m是x的六次多项式，n是x的四次多项式，则2m-n是x的______次多项式．14．(3x2)3-7x3[x3-x(4x2+1)]=______．15．｛[(-1)4]m}n=______．16．-｛-[-(-a2)3]4}2=______．17．一长方体的高是(a+2)厘米，底面积是(a2+a-6)厘米2，则它的体积是______．18．若10m=a，10n=b，那么10m+n=______．19．3(a-b)2[9(a-b)n+2](b-a)5=______(a-b)n+9．20．已知3x·(x n+5)=3x n+1-8，那么x=______．21．若a2n-1·a2n+1=a12，则n=______．22．(8a3)m÷[(4a2)n·2a]=______．23．若a＜0，n为奇数，则(a n)5______0．24．(x-x2-1)(x2-x+1)n(x-x2-1)2n=______．25．(4+2x-3y2)·(5x+y2-4xy)·(xy-3x2+2y4)的最高次项是______．26．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，则x3n+1y3n+1z4n-1的值(n为自然数)等于______．(二)选择27．下列计算最后一步的依据是[]5a2x4·(-4a3x)=[5×(-4)]·a2·a3·x4·x(乘法交换律)=-20(a2a3)·(x4x)(乘法结合律)=-20a5x5．()A．乘法意义；B．乘方定义；C．同底数幂相乘法则；D．幂的乘方法则．28．下列计算正确的是[]A．9a3·2a2=18a5；B．2x5·3x4=5x9；C．3x3·4x3=12x3；D．3y3·5y3=15y9．29．(y m)3·y n的运算结果是[]B．y3m+n；C．y3(m+n)；D．y3mn．30．下列计算错误的是[]A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4；B．(m-2)(m+3)=m2+m-6；C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20；D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18．31．计算-a2b2·(-ab3)2所得的结果是[]A．a4b8；B．-a4b8；C．a4b7；D．-a3b8．32．下列计算中错误的是[]A．[(a+b)2]3=(a+b)6；B．[(x+y)2n]5=(x+y)2n+5；C．[(x+y)m]n=(x+y)mn；D．[(x+y)m+1]n=(x+y)mn+n．33．(-2x3y4)3的值是[]A．-6x6y7；B．-8x27y64；C．-8x9y12；D．-6xy10．34．下列计算正确的是[]A．(a3)n+1=a3n+1；B．(-a2)3a6=a12；C．a8m·a8m=2a16m；D．(-m)(-m)4=-m5．35．(a-b)2n·(b-a)·(a-b)m-1的结果是[]A．(a-b)2n+m；B．-(a-b)2n+m；C．(b-a)2n+m；D．以上都不对．36．若0＜y＜1，那么代数式y(1-y)(1+y)的值一定是[]A．正的；B．非负；C．负的；D．正、负不能唯一确定．37．(-2.5m3)2·(-4m)3的计算结果是[]A．40m9；B．-40m9；C．400m9；D．-400m9．38．如果b2m＜b m(m为自然数)，那么b的值是[]A．b＞0；B．b＜0；C．0＜b＜1；D．b≠1．39．下列计算中正确的是[]A．a m+1·a2=a m+2；D．[-(-a)2]2=-a4．40．下列运算中错误的是[]A．-(-3a n b)4=-81a4n b4；B．(a n+1b n)4=a4n+4b4n；C．(-2a n)2·(3a2)3=-54a2n+6；D．(3x n+1-2x n)·5x=15x n+2-10x n+1.41．下列计算中，[](1)b(x-y)=bx-by，(2)b(xy)=bxby，(3)b x-y=b x-b y，(4)2164=(64)3，(5)x2n-1y2n-1=xy2n-2．A．只有(1)与(2)正确；B．只有(1)与(3)正确；C．只有(1)与(4)正确；D．只有(2)与(3)正确．42．(-6x n y)2·3x n-1y的计算结果是[]A．18x3n-1y2；B．-36x2n-1y3；C．-108x3n-1y；D．108x3n-1y3．[]44．下列计算正确的是[]A．(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y；B．(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1；C．(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y；45．下列计算正确的是[]A．(a+b)2=a2+b2；B．a m·a n=a mn；C．(-a2)3=(-a3)2；D．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5．[]47．把下列各题的计算结果写成10的幂的形式，正确的是[]A．100×103=106；B．1000×10100=103000；C．1002n×1000=104n+3；D．1005×10=10005=1015．48．t2-(t+1)(t-5)的计算结果正确的是[]A．-4t-5；B．4t+5；C．t2-4t+5；D．t2+4t-5．49．使(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含x2和x3的p，q的值分别是[]A．p=0，q=0；B．p=-3，q=-9；C．p=3，q=1；D．p=-3，q=1．50．设xy＜0，要使x n y m·x n y m＞0，那么[]A．m，n都应是偶数；B．m，n都应是奇数；C．不论m，n为奇数或偶数都可以；D．不论m，n为奇数或偶数都不行．51．若n为正整数，且x2n=7，则(3x3n)2-4(x2)2n的值为[]A．833；B．2891；C．3283；D．1225．(三)计算52．(6×108)(7×109)(4×104)．53．(-5x n+1y)·(-2x)．54．(-3ab)·(-a2c)·6ab2．55．(-4a)·(2a2+3a-1)．58．(3m-n)(m-2n)．59．(x+2y)(5a+3b)．60．(-ab)3·(-a2b)·(-a2b4c)2．61．[(-a)2m]3·a3m+[(-a)5m]2．62．x n+1(x n-x n-1+x)．63．(x+y)(x2-xy+y2)．65．5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)．67．(2x-3)(x+4)．70．(-2a m b n)(-a2b n)(-3ab2)．74．(m-n)(m5+m4n+m3n2+m2n3+mn4+n5)．75．(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)．76．2[(x+2)(x+1)-3]+(x-1)(x-2)-3x(x+3)．77．(0.3a3b4)2·(-0.2a4b3)3．78．(-4xy3)·(-xy)+(-3xy2)2．80．(5a3+2a-a2-3)(2-a+4a2)．81．(3x4-2x2+x-3)(4x3-x2+5)．83．(3a m+2b n+2)(2a m+2a m-2b n-2+3b n)．86．[(-a2b)3]3·(-ab2)．87．(-2ab2)3·(3a2b-2ab-4b2)．91．(-2x m y n)3·(-x2y n)·(-3xy2)2．92．(0.2a-1.5b+1)(0.4a-4b-0.5)．93．-8(a-b)3·3(b-a)．94．(x+3y+4)(2x-y)．96．y[y-3(x-z)]+y[3z-(y-3x)]．97．计算[(-a)2m]3·a3m+[(-a)3m]3(m为自然数)．(四)化简(五)求值104．先化简y n(y n+9y-12)-3(3y n+1-4y n)，再求其值，其中y=-3，n=2．105．先化简(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，再求其值，其中x=106．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒．问地球与太阳的距离约是多少千米？(用科学记数法写出来)107．已知ab2=-6，求-ab(a2b5-ab3-b)的值．108．已知a+b=1，a(a2+2b)+b(-3a+b2)=0.5，求ab的值．110．已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x2-3x)2+a(x2-3x)+b，求a，b的值．111．多项式x4+mx2+3x+4中含有一个因式x2-x+4，试求m的值，并求另一个因式．112．若x3-6x2+11x-6≡(x-1)(x2+mx+n)，求m，n的值．113．已知一个两位数的十位数字比个位数字小1，若把十位数字与个位数字互换，所得的新两位数与原数的乘积比原数的平方多405，求原数．114．试求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字．115．比较2100与375的大小．116．解方程3x(x+2)+(x+1)(x-1)=4(x2+8)．118．求不等式(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3)的正整数解．119．已知2a=3b=6c(a，b，c均为自然数)，求证：ab-cb=ac．120．求证：对于任意自然数n，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．121．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，求证：x3n y3n-1z3n+1-x=0．122．已知x=b+c，y=c+a，z=a+b，求证：(x-y)(y-z)(z-x)+(a-b)(b-c)(c-a)=0．123．证明(a-1)(a2-3)+a2(a+1)-2(a3-2a-4)-a的值与a无关．124．试证代数式(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值与x的值无关．125．求证：(m+1)(m-1)(m-2)(m-4)=(m 2-3m)2-2(m 2-3m)-8．1、2、若2x + 5y －3 = 0 则=3、已知a = 355 ,b = 444 ,c = 533则有( )A ．a < b < cB ．c < b < aC ．a < c < bD ．c < a < b 4、已知,则x =5、21990×31991的个位数字是多少6、计算下列各题 (1) (2)(3)(4)7、计算(－2x －5)(2x －5) 8、计算9、计算,当a 6= 64时, 该式的值。
多项式练习题及答案
多项式练习题及答案1. 求解多项式的和与差(1) 已知多项式f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的和与差。
解答：f(x)与g(x)的和可以表示为：(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相加得到： (4x^3 - 2x^2 +5x + 2)f(x)与g(x)的差可以表示为：(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (x^3 - 5x + 9)按照相同项合并的原则，将同次幂的项相减得到：(2x^3 - 2x^2 + 10x - 16)所以，f(x)与g(x)的和为：4x^3 - 2x^2 + 5x + 2，f(x)与g(x)的差为：2x^3 - 2x^2 + 10x - 16。
2. 求解多项式的乘积(2) 已知多项式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)与g(x) = x^3 - 5x + 9的乘积。
解答：f(x)与g(x)的乘积可以表示为：(f * g)(x) = f(x) * g(x) = (2x^2 - 3x + 1) * (x^3 - 5x + 9)按照多项式乘法分配律展开式，得到：(f * g)(x) = 2x^2 * (x^3 - 5x + 9) - 3x * (x^3 - 5x + 9) + 1 * (x^3 - 5x + 9)化简得：(f * g)(x) = 2x^5 - 10x^3 + 18x^2 - 3x^4 + 15x^2 - 27x + x^3 - 5x + 9合并同类项得：(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 10x^3 + x^3 + 18x^2 + 15x^2 - 27x - 5x + 9(f * g)(x) = 2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9所以，f(x)与g(x)的乘积为2x^5 - 3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 32x + 9。
多项式练习题及答案
单项式乘多项式练习题一．解答题（共18小题）1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2．2．计算：（1）6x2•3xy （2）（4a﹣b2）（﹣2b）3．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy）4．计算：（1）（﹣12a2b2c）•（﹣abc2）2=_________；（2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）=_________．5．计算：﹣6a•（﹣﹣a+2）6．﹣3x•（2x2﹣x+4）7．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2 8．（﹣a2b）（b2﹣a+）9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米．（1）求防洪堤坝的横断面积；（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？10．2ab（5ab+3a2b）11．计算：．12．计算：2x（x2﹣x+3）13．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）=_________．14．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y）15．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）16．计算：（﹣2a2b）3（3b2﹣4a+6）17．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．多项式一、填空题1.计算：_____________)(32=+y x xy x .2.计算：)164(4)164(24242++-++a a a a a =________．3.若3k （2k-5）+2k （1-3k ）=52，则k=____ ___．4.如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式的值是 cm 。
多项式的练习题
多项式的练习题在代数学中，多项式是由各种项的系数和幂次组成的代数表达式。
它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将提供一些关于多项式的练习题，以帮助读者加深对多项式的理解和运用。
练习题1：多项式的展开与合并1. 将下列多项式展开，并合并同类项：a) (3x^2 + 2x - 5) + (4x^2 - 3x + 7)b) (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - 2x + 3)c) (2x + 3)(x - 1)d) (3x^2 - x + 2)(2x + 1)练习题2：多项式的乘法与除法2. 计算下列多项式的乘法与除法：a) (4x^3 - 2x^2 + 3x + 1)(x^2 - 2x + 3)b) (2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1) ÷ (x - 1)c) (3x^3 + 5x^2 + 2x - 1) ÷ (x + 2)d) (x^4 - 4x^2 + 4) ÷ (x^2 - 2x + 1)练习题3：多项式的因式分解3. 将下列多项式完全因式分解：a) x^2 - 9b) x^2 - 5x + 6c) x^3 - 8d) x^4 - 16练习题4：多项式的求值4. 计算下列多项式在给定值处的值：a) 3x^2 - 2x + 1, 当 x = 2b) 2x^3 + 3x^2 - 4, 当 x = -1c) x^4 - x^3 + x^2 - x + 1, 当 x = 0d) 4x^3 - 5x^2 + 2, 当 x = 1练习题5：多项式的特殊性质5. 判断下列多项式是否具有特殊的性质，并给出理由：a) x^4 + 6x^2 + 9b) x^3 - xc) x^5 + x^3 + xd) x^2 - 2x + 1练习题6：多项式方程的解6. 解下列多项式方程：a) x^2 + 4x + 3 = 0b) x^3 - 2x^2 + x = 0c) 2x^4 - 16x^2 + 32 = 0d) x^4 - 10x^2 + 25 = 0练习题7：多项式函数的性质7. 根据给定的多项式函数，回答下列问题：a) 多项式函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 的次数、首项系数和常数项分别是多少？b) 哪些 x 值使得多项式函数 f(x) = 2x^4 - 10x^2 + 5x + 3 的值小于等于零？c) 多项式函数 f(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1) 的图像在 x 轴上有几个零点？d) 多项式函数 f(x) = x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 1 是否为奇函数或偶函数？练习题8：多项式的应用问题8. 解决下列应用问题：a) 一多项式函数 f(x) 的图像交 x 轴于 x = -2、x = 1 和 x = 4 三点，且 f(3) = 5。
多项式练习题
多项式练习题多项式是代数学中的重要概念，广泛应用于各个数学领域。
它是由多个项组成的代数表达式，每个项由系数与指数幂的乘积构成。
多项式在数学建模、方程求解、函数逼近等问题中具有重要的作用。
为了巩固对多项式的理解和运用，下面给出一些多项式练习题，供大家练习和巩固知识。
1. 将以下多项式相加或相减，并化简结果：a) 3x^2 + 4x - 2 + ( -5x^2 + 3x + 6 )b) ( 2x^3 - 5x + 1 ) - ( 3x^3 + 2x^2 - 7 )2. 将以下两个多项式相乘，并化简结果：a) (2x^2 + 3x - 1) * (3x - 2)b) (x^3 - 2x^2 + x - 1) * (x^2 + 2x - 1)3. 求以下多项式的导数：a) f(x) = 4x^3 + 7x^2 - 3x + 2b) g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 2x + 14. 给定多项式 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2 ，求 f(x) 在 x = 1 处的值。
5. 给定多项式 f(x) = x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 4x + 3 ，求 f(x) 的次数和首项系数。
6. 给定多项式 f(x) = 3x^2 - 7x + 5 ，求 f(x) 的根及其重数。
7. 判断以下两个多项式是否相等：a) h(x) = 2x^2 + 3x - 1b) g(x) = 2x^2 + 6x - 18. 给定多项式 f(x) = x^3 - 4x^2 + x - 5 ，求 f(x) 的因式分解式。
9. 给定多项式 f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 ，求 f(x) 的二次型因式。
假设 f(x) 不可约。
10. 给定多项式 f(x) = x^4 + 7x^3 + 9x^2 + 15x + 5 ，求 f(-1) 的值。
这些练习题涵盖了多项式的加法、减法、乘法、导数、求值、次数、根、因式分解等基本概念和运算。
多项式练习题及答案
单项式乘多项式练习题一•解答题(共18小题)2 2 2 21. 先化简，再求值：2 (a b+ab ) - 2 (a b- 1) - ab - 2,其中a= - 2, b=2 .2. 计算:2 (1) 6x ?3xy2 (2)( 4a- b )(- 2b)23.( 3x y- 2x+1 )(- 2xy)4. 计算：Z X Z 2 2 1 2 2(1)(- 12a b c) ? ( —-abc ) = ____________42 2 2(2)( 3a b-4ab - 5ab - 1) ? (- 2ab )12 15. 计算：-6a? (- --- a+2)2 X 6 . - 3x? (2x - x+4)2 27.先化简，再求值3a (2a - 4a+3)- 2a ( 3a+4),其中a= - 28.(-'.a2b) C 'b2 -”)9.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽( a+2b)米，坝高米.21 / 12(1)求防洪堤坝的横断面积;(2)如果防洪堤坝长 100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米?23 2 3 3 212 •计算：2x (X - x+3)13 •(- 4a +12a b - 7a b )( - 4a ) = ___________________2 2 2 2 214 •计算：Xy ( 3x y - Xy +y )15.(- 2ab )( 3a - 2ab - 4b )23 216 •计算：(-2a b )( 3b - 4a+6)2 217.某同学在计算一个多项式乘以-3x 时，因抄错运算符号， 算成了加上-3x ,得到的结果是χ2- 4x+1 ,那么正确的计算结果是多少？18．对任意有理数 x 、y 定义运算如下： x △y=ax+by+cxy ，这里 a 、b 、c 是给定的数，等式右边是 通常数的加法及乘法运算，如当a=1, b=2 , c=3时，丨△= ×+2 X3+3 ×1×3=16 ,现已知所定义的新运算满足条件，1&=3，2^3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数 X ^=X ，求a 、b 、c 、d 的值．210. 2ab (5ab+3a b )11 •计算:2(SIy- tay 2+l)、填空题1. ________________________________________ 计算：3x(xy + χ2y) =2. 计算：a 2(a 4 +4a 2 十16) —4(a 4 +4a 2 十16) = ________ .3. 若 3k (2k-5) +2k (1-3k ) =52,则 k= __________ .4. 如果x+y=-4 , x-y=8 ,那么代数式^' 的值是 ____________ Cm 。
单项式多项式练习题
单项式多项式练习题一、选择题1. 下列哪个是单项式？A. 3x^2yB. 5x + 2yC. 7x - 3y + 1D. 2x^3 + 42. 多项式3x^2 - 5x + 7的项数是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 多项式2x^3 + 4x^2 - 6x + 8的首项系数是多少？A. 2B. 4C. 6D. 84. 以下哪个表达式不是多项式的和？A. 2x^2 + 3xB. 5x - 3C. x^2 - 2x + 1D. 7x^35. 多项式4x^3 - 2x^2 + 5x - 3的常数项是多少？A. -2B. 5C. -3D. 4二、填空题6. 单项式-7a^3b的系数是______。
7. 多项式ax^2 + bx + c的首项是______。
8. 多项式3x^2 - 4x + 5的项数是______。
9. 如果多项式f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 1，那么f(x)的常数项是______。
10. 多项式5x^3 + 2x^2 - 7x + 4的系数之和是______。
三、计算题11. 计算单项式3x^2y与-4xy的乘积。
12. 将多项式2x^3 - 5x^2 + 4x - 3与3x^2 + 2x - 1相加。
13. 将多项式4x^2 - 3x + 2与-2x^2 + 5x - 7相减。
14. 计算多项式3x^3 + 2x^2 - 5x + 7与x的乘积。
15. 将多项式5x^3 - 4x^2 + 3x - 2除以x - 1。
四、解答题16. 给定单项式5a^2b^3，求其系数和次数。
17. 给定多项式P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x + 5，找出P(x)的首项、末项和次数。
18. 解释什么是同类项，并给出一个多项式中包含同类项的例子。
19. 给定多项式Q(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5，求Q(1)的值。
20. 证明多项式f(x) = ax^2 + bx + c能够表示所有二次函数，其中a、b、c是常数。
多项式 练习题
多项式一．选择题（共5小题）1．下列说法正确的是（）A．单项式﹣am的系数是﹣aB．单项式﹣32a3b的次数是6C．不是整式D．﹣a2b2+3ab2﹣5是四次三项式2．下列说法中，不正确的是（）A．是多项式B．6x2﹣3x+1的项是6x2，﹣3x，1C．多项式4a3﹣3a4b+2的次数是4D．x2﹣4x+1的一次项系数是﹣43．在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（）A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣b D．4a2﹣3b+2 4．多项式2a2+3ab3﹣2b3﹣1的次数是（）A．2B．3C．4D．55．下列说法中正确的是（）A．a是单项式B．2πr2的系数是2C．﹣abc的次数是1D．多项式9m2﹣5mn﹣17的次数是4二．填空题（共3小题）6．多项式﹣2x3y2﹣3x2y3+xy2﹣1的次数是，常数项是．7．当k＝时，代数式x2﹣8+xy﹣3y2+2kxy中不含xy项．8．将多项式1﹣3xy+x2y2﹣y3按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为．三．解答题（共3小题）9．已知关于x，y的代数式（a﹣3）x2y|a|+（b+2）为五次单项式，求a2﹣ab+b2的值．10．有一列式子：7x5，3xy+6，﹣2x2y3，，8，s＝ab．其中是单项式的有；是多项式的有．11．给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）有序实数对（2，1，1）的特征多项式与有序实数对（a，﹣2，4）的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值．。
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例4.
解：
b)综合除法
例5.设
f x x 2 x 2 x 5, g x x 2
4 3
用g x 除 f
x ，求商q x 与余式 r x 。
提示: 用综合除法做除式为 x 2 的带余除法。 解:
1 2 0 2 5 2
1 0 2 0 3 2 ) 2 4 4 8
提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。
1 2 2 4 11c0 2 8 20 1 4 10 24c1
于 是 f x qx x 2 x 2 x 1 x 2 f x , f x
由于f x 与 qx 有完全相同的不可约因式 x 1, x 2 ， 可见f x 有根 1 ,2 。再用综合除法，有
1
1
2 1
-6 3
2 12
c4 所以 f ( x) 11 24( x 2) 22( x 2)2 8( x 2)3 ( x 2)4
1 6 22c2 2 1 8c3
例8.
解：
6 5 4 3 2 f x x 4 x 8 x 10 x 8 x 4x 1 例9.分解因式
f x , g x 1, i 1,..., m, j 1,..., n
所以有理数域上的不可约多项式p( x)
2 2 g ( x ) ( x x 1 ) 因此
x x 1 是 g ( x)
2
的2重因式，
于是 f ( x) ( x 1)
2
( x x 1)
2
2
c)用辗转相除法求最大公因式
例10.设f x x
4
x3 4x2 4x 1 , gx x2 x 1，求 ux , vx
2x 1
2 x3 4 x 2 2 x
x2 2x 5 x2 2x 1
4x 4
故 2 x3 3x 2 5 (2 x 1)( x 2 2 x 1) (4 x 4), 即商为2 x 1, 余式为4 x 4.
4 2 f x x 2 x 5 , g x x x 2 ，用 g x 除f x ， 例2.设
2ax3 x 2 ax b 2ax3 4a 2 x 2 4ax
(1 4a 2 ) x 2 3ax b (1 4a 2 ) x 2 (2a 8a 3 ) x (2 8a 2 )
(8a3 a) x b 2 8a2
因为x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b故(8a3 a) 0且b 2 8a 2 0 故当a 0, b 2或者a 2 , b 3时, x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b 4
n1 f ( x) nx ， nm f ( x) 没用非零根，所以 f ( x) 的非零根的重数 2 m 如果 n m ，则从 f ( x)的因式 nx n m
如果
，那么
。
f 的根都是单根知，
例14.求 f
( x) 中非零的根的重数 2
。
x x7 2x6 6x5 8x4 17x3 6x2 20x 8 的根。
求商式与余式。 解：
2 4 2 x 2 ax 2 x 3 x ax b. a , b 例3.问 满足什么条件时，
提示：采用竖式除法。 解
x 2 2ax 2 x 4 3x 2 ax b x2 2ax (1 4a2 )
x 4 2ax 3 2 x 2
第一章 多项式 习题课
（一）知识结构
数域
带余除法 整除 定义、定理 多项式除法 性质 定义、定理 最大公因式 辗转相除法
多项式
一元多项式
互素
因式分解及唯一性定理 重因式、多项式函数 多项式分解
复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式的因式分解
多元多项式、对称多项式
（二）重难点归纳
重点：一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；
f x g x , g x f x , g x ＝１ 故 f x g x , f x g x 1
例16.设 f1 x,..., f m x, g1 x,..., gn x 都是多项式，而且
例15.若 f
x , g x 1， 则 f x g x , f x g x 1 。
提示：用最大公因式和互素的定义证明。
证明：由等式 f x g x f x 1 g x
以及 f x g x g x 1 f x 可得 f x g x , f x f x , g x ＝１
3 2 4 p 27 q 0 是
f ( x) x3 px q
有重根的条件
例13.求 f x x
n
xnm b 的非零根的重数。
提示：先求微商，再对 n, m的关系分类讨论。
解：因为
f ( x) nxn1 (n m) x nm1 x nm1 (nxm n m)
提示：先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。
解: 因为
f ( x)
的有理根只可能为 1 ，所以先用综合除法：
1 1 4 8 10 8 4 1 1 3 5 5 3 1 1 3 5 5 3 1 0 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0
（四）综合举例
(1)计算问题
a)带余除法 3 2 f ( x ) 2 x 3 x 5 r ( x ) g ( x ) f ( x ) 例1.用 除 ,求商式 q( x) 与余式 ，其中
g ( x) x 2 2 x 1.
提示：采用竖式除法求解。 解
x 2 2 x 1 2 x3 3x 2 5
) 2 0 0 4
1 0 0 2 9
故 q( x) x3 2, r( x) 9
例6.
解：采用综合除法，可得
例7.将多项式 和的形式。 解:
f x x 2 x 3 表示成 x 2的方幂之
4 2
f ( x) ( x 1)2 ( x4 2x3 3x2 2x 1)
考虑
3 2 g( x) x 2x 3x 2x 1, g ( x) 4x 6x 6x 2 4 3 2
得到-1是一个2重根，所以
用辗转相除法求出
( g ( x), g( x)) x2 x 1
使得 ux f x vxg x f x, g x 。 提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。 解：
x 2 3 x 4 x 3 4 x 2 4 x 1 x 2 x 1 x 1 q1 ( x) x 4 x 3 x 2 x 2 2 x q2 ( x ) 3 x 2 4 x 1 x 1 3 x 2 3x 1 x 2 r1 ( x) x 2 r2 ( x) 1
f ( x) x px q
3
有重根当且仅当
( f ( x), f ( x)) 1
，即做
3 2 r ( x ) 4 p 27 q 0。 辗转相除法所得的余式r1 ( x) 2 px 3q 0 或 2
由于 r1 ( x) 0 蕴含r2 ( x) 0 ，因此
所求的 例11.
u( x) ( x 1), v( x) x3 x2 3x 2
解：
d)用微商判别一个多项式有否重因式、重根
例12.求 x
3
px q 有重根的条件。
提示：应用 f x 有重根当且仅当 f x , f x 1 即可。 解
x 3 0 x 2 px q 3x 2 0 x p
-8 -3
17 -11
6 6
-20 12
8 -8
1
1
3 1
4 1 5 1
-3 4
1 5 6 6
-11 1
-10 6 -4 12
6 -10
-4 -4 -8 8
12 -4
8 -8 0
-8 8
0
0
1
1
1
1
1
1
6 1
7
12 7
19
8 19
27
0
1
故1是四重根，同理可知-2是三重根。
（2）证明问题
a)关于多项式的最大公因式与互素的证明
x 3x 0 x 3 px 3q
3 2
3x 3 0 x 2 px r1 ( x) 2 px 3q 6 px 2 0 x 2 p 2 3x 6 px 2 9qx 9qx 2 p2 18 pqx 4 p 3 9q 18 pqx 27 p 2 r2 ( x) 4 p 3 27 q 2
最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、 难点： 最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。
（三）题型归纳
带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式， （1）计算问题：
用微商判别多项式是否有重因式、重根；
关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性 （2）证明问题： 的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的 证明及其它证明等。
f ( x) ( x 2 3) g ( x) ( x 2), g ( x) ( x 1)( x 2) 1 ( f ( x), g ( x)) 1 1 ( x 1)( x 2) g ( x) ( x 1)[ f ( x) ( x 2 3) g ( x)] g ( x) ( x 1) f ( x) [1 ( x 1)( x 2 3)]g ( x) ( x 1) f ( x) ( x 3 x 2 3x 2) g ( x)