根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂
练习
1）整数指数幂是如何定义的？有何规定？ a n = a×a×a× ……×a n 个a a0=1
1 a
n
( n ∈ N *)
(a≠0)
a
n
(a 0, n N
3
(2)
3
( m n)
2
3
2
(a b) 4
(3)
( m n) ( m n)
4
( m n) 3
(4)
p q ( p 0)
6 5
5
( m n)
2
p q2
3
学生板演
3、求下列各式的值： （1） （3） (
2
27 3
25 4
3 2
（2）
4
2
81
93
)
（4） 2 3 3 1.5 6 12
a b
n n
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根；
如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根；
如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
根指数
n
Байду номын сангаас
a
根式
被开方数
a＞0
4） n a n 的运算结果如何？
当 n 为奇数时，n a n = a ；
*
)
2）整数指数幂有那些运算性质？
（1）a m ×a n = a m + n （2）( a m ) n = a m × n
指数与指数幂的运算
34）=（
2
）-3
=
27
81
3
38
例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
（1）a2 a （2）a3 3 a2 （3） a a
解（ : 1）a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2
（2）a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
（3）a a
1
aa2
（a112）12
a
3 4
例题讲解
一、根式与分数指数幂的互化
成立的x的范围.
解: (x 2)(x2 4) ( x 2)2 x 2
x 2 x 2.
x 2 x 2 ( x 2) x 2.
则有
x
2
0,
或
x 2 0, | x 2 | x
2.
x
2, 或
x x
2, 2≥
即
0.
x
2,
或x
≥
2.
所以x的取值范围是
x 2, 或x ≥ 2.
回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2)3=-8
2叫8的立方根. -2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
指数运算知识解读-高一数学(人教A版2019必修一)
专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题4：幂与指数常考题专练(解析版)
【期末宝典】专题4：幂与指数常考题专练（解析版）一、单选题1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y =+ D =【标准答案】D 【思路点拨】利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【精准解析】对于A 选项，()7177n n m n m m --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 1431233===≠B 选项错误；对于C 选项，()34x y =+≠C 选项错误；对于D 12123333⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项正确. 故选：D.2．141681-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．23【标准答案】C 【思路点拨】试卷第2页，共18页根据指数幂的运算性质可解得结果. 【精准解析】1141441622381332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.30)x >的结果是（ ）A ．xB ．2xC ．1 D【标准答案】A 【思路点拨】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【精准解析】2112132123616x x x x x x +-⋅====， 故选：A4．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【标准答案】D 【思路点拨】利用指数运算化简求得表达式的值. 【精准解析】 原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦.故选：D5．在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【标准答案】B 【思路点拨】由21(4)n +-<0知②无意义；当a <0时，a 5<0，②无意义，即可得出选项. 【精准解析】由2(4)n ->0知②有意义；由21(4)n +-<0知②无意义；②中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时②无意义. 故选:B .63,x=则x =（ ）A ．279 B ．273C ．239D ．233【标准答案】A 【思路点拨】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【精准解析】3x ，得343x x =，即743x =，所以427739x ==.故选：A7⋅=（ ）AB ．5C ．D ．25【标准答案】C【思路点拨】利用指数幂的运算性质求解即可【精准解析】⋅2⎡⎢⎥⎣⎦==故选：C8．将85-化成分数指数幂为（）A．415x B．415x-C．13x-D．25x 【标准答案】A【思路点拨】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.【精准解析】8818()551425315x x--⨯--⎛⎫=⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，故选：A.9．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25 730C．1573012⎛⎫⎪⎝⎭D．1573014【标准答案】C【思路点拨】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则 5 73012m=，解方程即可得答案.试卷第4页，共18页【精准解析】设碳14的年衰变率为m ，原有量为1，则 5 73012m=，解得1573012m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.10．若14a <）A B C ．D ．【标准答案】B 【思路点拨】由题知410a -<,进而根据指数幂化简即可. 【精准解析】因为14a <，所以410a -<= 故选:B.二、填空题11．（2021·上海·高一期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【标准答案】78a 【思路点拨】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【精准解析】71118222[()]a a a a=⋅⋅=.故答案为：78a12．（2021·()0pa a=>，则p=___________.【标准答案】524【思路点拨】利用根式与指数幂的运算可求得p的值.【精准解析】a >，则111542324pa a a+⎛⎫==⎪⎝⎭，因此，524p=.故答案为：524.13．（2021·上海宝山·高一期末）代数式x⎛⎪⎪⎝⎭x＞0）可化简为________．【标准答案】x【思路点拨】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【精准解析】解：因为0x>，所以35352222x x x x x--+⎛⋅==⎪⎪⎝⎭，故答案为：x试卷第6页，共18页14．（2021·上海金山·高一期末）已知0x >，化简(3x ________.【标准答案】7x 【思路点拨】由幂的运算法则即可求解. 【精准解析】 解：因为0x >，所以由幂的运算法则得((33927=x xx x -==，故答案为：7x .15=a 的取值范围为________.【标准答案】12a ≤【思路点拨】根据根式的性质进行化简，判断即可． 【精准解析】2112a a =-=-，因为2112a a -=-，故210a -≤，所以12a ≤． 故答案为：12a ≤． 16．下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①()()120;x x =->()130;y y =<试卷第8页，共18页①)340;x x ->①)13=0.x x -> 【标准答案】② 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化即可求解. 【精准解析】对于②，()120x x ->，故②错误； 对于②，当y <0130,0y <，故②错误；对于②，)340x x -=>，故②正确；对于②，13x -，故②错误. 故答案为：②.17．化简：2132111136251528x y x y x y --=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【标准答案】2316x 【思路点拨】按照指数的运算性质计算即可. 【精准解析】原式2121111133322668525x y -+-+--+=⨯⨯02316x y =2316x =. 故答案为：2316x .180=，则()2019yx =__________.【标准答案】-1 【思路点拨】根据题目条件推出1x =-，3y =-，再计算()2019yx 的值.【精准解析】0，130x y +++=，因为10x +≥，30+≥y ，所以由130x y +++=，得10x +=，30y +=， 解得1x =-，3y =-. 所以()2019201911x =-=-，()()3201911yx -=-=-.故答案为：1-.19．（2021·上海闵行·高一期末）已知0a >，0b >，化简：22315166242()()3a b a b a b =-________ 【标准答案】166b - 【思路点拨】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【精准解析】0a >，0b >，则22115112321036266615166243466223a b a b a b b a b a b ----⎛⎫=⨯-⋅⋅=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.试卷第10页，共18页故答案为：166b -.20．（2020·上海南汇中学高一期末）已知函数()2x g x =，若0a >，0b >，且()()2g a g b =，则ab 的取值范围是________． 【标准答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【思路点拨】根据()()2g a g b =可得1a b +=，再将ab 化为关于a 的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【精准解析】依题意可得222a b ⋅=，即22a b +=，所以1a b +=， 所以10b a =->，所以01a <<，所以2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+1(0,]4∈.故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 21．化简下列各式： （15；（26；（3【标准答案】（1）-4；（2）4；（3）当x ≥-2时，原式=x +2，当x <-2时，原式=-x -2. 【思路点拨】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【精准解析】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4.（3）原式=|x +2|=2,2,2, 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩22．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a >0，b >0）.（1）a（2（3）2（42；（5；（6【标准答案】（1）52a ；（2）136a ；（3）7362a b ；（4）76a ；（5）23a -；（6）11463a b -. 【思路点拨】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【精准解析】（1）原式=11522222a a a a +⋅==. （2）原式=22313333262a a a a +⋅==.试卷第12页，共18页（3）原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. （4）原式=557-2-2666a a a a ⋅==. （5）原式=23a -.（6）原式11463a b -.23．（2020·上海市洋泾中学高一期中）已知实数x 满足210x mx -+=，求： （1）22x x -+（用m 表示）； （2）1x x --（用m 表示）.【标准答案】（1）22m-；（2）【思路点拨】（1）由210x mx -+=得211x m x x x+==+，再两边平方可得结果；（2）根据1x x--=.【精准解析】（1）由210x mx -+=知0x ≠，所以211x m x x x +==+，所以221m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212x x =++，所以2222x x m -+=-.（2）由（1）2222x x m -+=-， 所以1x x--===【名师指导】关键点点睛：第（2）问根据1xx --=.24．（2020·上海·高一单元测试）(1)计算：013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；(2)已知13x x -+=，求44x x --的值. 【标准答案】(1)10；(2) ± 【思路点拨】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）由13x x -+=平方得227x x -+=，进而得4447x x -=+，再利用()22244245xx x x ---=-+=即可得出．【精准解析】 (1)原式511181022==-++= (2)由13x x -+= 得227x x -+= ②4447x x -=+②()22244245x x x x ---=-+=即22x x --=±【名师指导】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2020·上海·高一单元测试）（①）计算：()162164200849-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭（①111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫⎪⎝⎭试卷第14页，共18页【标准答案】（②）100；（②）ab【思路点拨】（I ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【精准解析】（②）原式1222372341427711004⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （②）原式11123223323111111212633311233a b a b a a b ab b ab a b +-++----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====. 【名师指导】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 26．化简下列各式（1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【标准答案】（1）98；（2）ab.【思路点拨】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【精准解析】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281 =⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a ba b aba b ab ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【名师指导】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.27(3a=-成立的实数a的取值范围.【标准答案】[-3，3]【思路点拨】a==-成立，即可得出3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得即可．【精准解析】a==-要使(3a a--成立，需3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得a②[-3，3]．【名师指导】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．计算下列各式：试卷第16页，共18页（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【标准答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【精准解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=.(4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.29．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2（x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【标准答案】（1）34a ；（2）35x -；（3）19b . 【思路点拨】（1）原式=1322a ⎛⎫⎪⎝⎭=34a .（2）原式19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=19b . 【精准解析】（1）原式1322a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=34a . （2）原式=19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=351x =35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b . 30．已知x+x -1=4，其中0<x <1，求221x x --的值. 【标准答案】-试卷第18页，共18页【思路点拨】由题求出x -x -1=-12x +12x -. 【精准解析】因为x+x -1=4，所以12()x x -+=x 2+x -2+2=16，即x 2+x -2=14，则12()x x --=x 2+x -2-2=12.因为0<x <1，所以x<x -1，所以x -x -1=-21122x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭x+x -1+2=6， 故12x +12x -，所以()()112211224=1x x x xx x x x ----⨯-+--==-+。
高中数学人教A版必修1《指数与指数幂的运算——根式与分数指数幂的互化》PPT
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
中职数学第一册第4单指数、对数函数教案
二、合作讨论，构建新知
（一）、探究：
已知x n=a,填写下表并回答问题：
a 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、合作讨论，构建新知
1、如果某种生物分裂次数为
分裂次数
细胞个数
二、合作讨论，构建新知
1、探究：
某种细胞在分裂过程中，分裂次数与分裂后得到的细胞个数之间的函数关系式为y＝2x，那么该细胞在经过多少次分裂后得到的细胞
()0,+∞.
因为24x ->.
一、常用对数Nlg及自然对数Nln 例：求下列各对数值（精确到0.0001）（1）4.1lg （2）5
2
lg （3）7.0ln （4ln 二、一般底的对数Nalog
例：求下列各对数值（精确到0.0001）
（1）8.5log115 （2）7log2
（3）699log（4）3.10log9
4
三、问题解决
在解决实际问题中，有时用到式子）为正整数，，，1(acbacabx，那么如何求未知
数x呢？
例：已知83.0)501(400x，求x（精确到0.01）。
27
.25
.0lg)483.0lg()483.0lg(5.0lg,
483.05.083
.0)501(400
xxxxx用计算器求得：两边取对数，解：
四、课堂小结
谈谈你在本节课的收获
y x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数。
（1）该种候鸟的耗氧量是。
n次方根与分数指数幂
4．1 指 数4．1.1 n 次方根与分数指数幂学习目标 1.理解n 次方根、n 次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化．知识点一 n 次方根、n 次根式 1．a 的n 次方根的定义一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈R n 为偶数±na[0，＋∞)3.根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 知识点二 根式的性质 1.n0＝0(n ∈N *，且n >1)．2．(n a )n ＝a (a ≥0，n ∈N *，且n >1)． 3.na n ＝a (n 为大于1的奇数)．4.na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．知识点三 分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 负分数指数幂 规定：1m nm naa-=＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四 有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．1．当n ∈N *时，(n－3)n 都有意义．( × )2．()()634222.-=-( × )3．a 2·12a ＝a .( × ) 4．分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( × )一、n 次方根的概念例1 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 答案 7或－11解析 81的平方根为－9或9， 即a ＝－9或9，－8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a ＋b ＝－11或7.(2)若4x －2有意义，求实数x 的取值范围．解 ∵4x －2有意义，∴x －2≥0， ∴x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)．反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)符号：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定．①当n 为偶数，且a ≥0时，na 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 跟踪训练1 (1)已知x 7＝8，则x 等于( ) A ．2 2 B.78 C ．－78 D ．±78 答案 B解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个78.(2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________；若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ R 二、利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3. 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.(2)∵a >b ，∴(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1.反思感悟 (1)n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝na n＝a ，a 为任意实数．(2)n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫na n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫na n ＝a ；而a 为任意实数时n a n均有意义，且na n ＝|a |.跟踪训练2 化简： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4.考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)7(－2)7＝－2.(2)∵a ≤1，∴4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.三、根式与分数指数幂的互化例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝()12x -(x >0) B.6y 2＝13y (y <0)C ．34x-＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0) D ．13x-＝－3x (x ≠0)答案 C解析 －x ＝12x -(x >0)；6y 2＝126(||)y ＝13y -(y <0)；31344()xx --=＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)； 11331xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝31x(x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a >0，b >0)． ①3a ·4a ； ②a a a ；③(3a )2·ab 3.解 ①3a ·4a ＝1173412;a a a ⋅= ②原式＝17118824;a a a a ⋅⋅=③原式＝21713336222.a a b a b ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭反思感悟 根式与分数指数幂的互化(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)34()a b --(a >b )； (2)3(x －1)5；(3)13a 2； (4)37().a b -解 (1)34()a b --＝14(a －b )3；(2)3(x －1)5＝53(1);x - (3)13a 2＝23;a -(4)37()a b -＝7(a －b )3.1．已知(a －b )2＝a －b ，则( ) A ．a >b B ．a ≥b C ．a <b D ．a ≤b答案 B 解析(a －b )2＝|a －b |＝a －b ，所以a －b ≥0，所以a ≥b ，故选B.2．在①4(－4)2n ；②4(－4)2n ＋1，③5a 4，④4a 5中，n ∈N *，a ∈R 时各式子有意义的是( )A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①②④答案 B3．化简3－a ·6a 的结果为( ) A ．－a B ．－－a C.－a D.a 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 A 解析 显然a ≥0.∴3－a ·6a ＝1111136362a a aa +-⋅=-=-＝－a .4.⎝⎛⎭⎫12－1－4·(－2)－3＋⎝⎛⎭⎫140－129-＝________.答案196解析 原式＝2－4×⎝⎛⎭⎫－18＋1－13 ＝2＋12＋1－13＝196.5．化简(1－a )2·41(a －1)3＝________. 答案 4a －1解析 要使原式有意义，则a －1>0.(1－a )2·4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －13＝|1－a |·34(1)a -- ＝(a －1)·34(1)a --＝14(1)a -＝4a －1.1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质．(3)根式与分数指数幂的互化． 2．常见误区：(1)根式中根指数要求n >1且n ∈N *.(2)对于na ，当n 为偶数时，a ≥0.1．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102考点 n 次方根及根式概念 题点 n 次方根及根式概念 答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.故选D. 2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简答案 C解析 ∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0， ∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1.3．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．()131-和()261- B ．0－2和120 C ．122和144 D ．324-和⎝⎛⎭⎫12－3答案 C解析 选项A 中，()131-和()261-均符合分数指数幂的定义，但()131-＝3－1＝－1，()261-＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B 不满足题意； 选项D 中，324-和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，122＝2，144＝422＝122＝2，满足题意． 故选C.4.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷23278⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73答案 D解析 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 5．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 答案 C解析a 2a ·3a 2＝22＝25132a a⨯＝a 2·56a-＝526a-＝76a .6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 答案 1解析 ∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝________. 答案 －1 解析 因为x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1.8.614－3338＋30.125的值为________． 答案 32解析 原式＝⎝⎛⎭⎫522－3⎝⎛⎭⎫323＋3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. 9．计算下列各式的值． (1)12121；(2)126449-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)3410000-；(4)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭.解 (1)11 (2)78 (3)11 000 (4)92510．计算：(1)481×923；(2)23×33×63； (3)549－321027＋30.125－1； (4)3(－8)3＋4(3－2)4－3(2－3)3. 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)原式＝434×321232⨯⨯＝43243+＝43143＝763.(2)原式＝2×123×133×163＝2×1112363++＝6.(3)原式＝499－36427＋3⎝⎛⎭⎫18－1 ＝73－43＋2＝3. (4)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋ 3 ＝－8.11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4(a －b )4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a答案 D解析 由题图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0， ∴a －b <0.∴4(a －b )4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .12．若代数式2x －1＋2－x 有意义，则4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝________.答案 3 解析 ∵2x －1＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤2，∴12≤x ≤2.∴4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4 ＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3.13．计算：3⎝⎛⎭⎫19－293·(32＋3)＋(3)4－(2)4(3－2)0＝________. 答案 4 解析 原式＝1－23·(32＋3)＋9－41＝(1－2)(1＋2)＋5＝4.14．若x －1＋4x ＋y ＝0，则x ＝________，x 2 019＋y 2 020＝________. 答案 1 2解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＝0，得x ＝1，y ＝－1， ∴x 2 019＋y 2 020＝2.15．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝________. 考点 根式的化简题点 条件根式的化简答案 1a－a 解析 f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2 ＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪a －1a ， 因为0<a ≤1，所以a ≤1a， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝1a－a . 16．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －b a ＋b的值． 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6，ab ＝4， 因为a >b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －b a ＋b ＝15＝55.。
211第1课时根式与分数指数幂的互化
2.1.1 第1课时 根式与分数指数幂的互化一、学习目标1．知识与技能：理解n 次方根概念及n 次方根性质；理解有理数指数幂含义。
2．过程与方法：会求或化简根指数为正整数时的根式；根式与分数指数幂的转换。
3．情感、态度与价值观：通过具体的情景，学会科学思考问题，感受探究未知世界的乐趣，从而培养我们对数学的情感。
二、预习导学：请同学们阅读P 48-51内容，完成下列问题。
1．问题2中生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=573021t）（是怎样得出的？ 2．整数指数幂：a ·a ·a …a= （*∈N n ）；a 0=1（a ≠0）；a -n= （a ≠0，*∈N n ）整数指数幂的运算性质： （1）a m·a n= (Z ,∈n m )（2）（a m）n= (Z ,∈n m )（3）n maa = （Z ,∈n m ，a ≠0）（4）（ab ）m= （Z ∈m ） 3．根式⑴n 次方根：一般地，如果 （其中1n >，且n N +∈），则x 叫做a 的n 次方根。
当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，用符号 表示，负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0，记作 ；⑵根式的性质：①当n 为任意正整数时，n n a )(= （其中1n >，且n N +∈）。
②当n 为奇数时，nna = ；当n 为偶数时，nna = ；【练习】当a ＞0时，①510a= ；②32a = ；③a = 。
4．正整数的正分数指数幂的意义是：nma = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。
5．正数的负分数指数幂的意义是：nm a -= = （其中a ＞0，*N ,∈n m ,且n ＞1）。
【练习】（1）44100= （2）551.0）（-=（3）66）（y x -= （4）318=（5）3127-= （6）433=三、典例剖析例1 已知x x 21122-=-）（，求实数x 的取值范围。
4.1.1n次方根与分数指数幂-新人教版高中数学优秀教案
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n 次方根与分数指数幂学习要求1.理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2.能利用根式的性质对根式进行运算．3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．教学重难点重点：根式概念的理解；分数指数幂的理解；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学过程一、创设情境良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现，这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑，考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数.指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.追问：初中我们学习指数的有关运算：n m n m a a a +=.；n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(；m m b a m b a =⋅)(其中N n m R b a ∈∈,,,二、复习巩固，引入新课1.n 次方根的概念问题2：初中我们学过平方根、立方根的概念,你能回顾出这些概念吗?请举例说明。
若,2a x =则x 叫做a 的平方根,记作:a ±，例如，±2就是4的平方根若,3a x =则x 叫做a 的立方根,记作:3a ，例如，±2就是8的立方根追问：类比平方根、立方根,你能给出4次方根、5次方根,，n 次方根的定义吗?师生活动 学生独立完成,然后进行全班交流，教师进行点评的基础上,给出完整的定义.教师要注意学生在写a 的4次方根时可能出现的错误。
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根. 其中1>n ，且*N n ∈.2. n 次方根的性质（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。
有理数指数幂--参考教案
这时， 的 次方根用符号 表示.
例如，
当 是偶数时，正数 的 次方根有两个，
两数互为相反数.
这时，正数 的正的 次方根用符号 表示，
负的 次方根用符号- 表示.
正的 次方根与负的 次方根可以合并写成 .例如，
负数没有偶次方根.
的任何次方根都是 ，记为 .
形如 的式子叫作根式，
（4） ；（5）81的4次方根.
解（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5）因为 ，所以81的4次方根是 ，即
例2化简（1） ；（2） .
解（1） ；
（2） .
例3将下列根式用分数指数幂表示（式中字母均为正实数）.（1） ；（2） ；（3） .
解（1） ；
（2） ；
（3） .
例4化简
（1） ；（2） ；
第七单元4.1《实数指数幂》教案
授课题目
有理数指数幂
授课课时
1
课型
讲授
教学
目标
知识与技能：
⑴ 复习整数指数幂的知识；
⑵ 了解n次根式的概念；
⑶ 理解分数指数幂的定义.
过程与方法：
通过指数范围的扩大，使学生能理解指数运算的本质，认识到知识之间的联系和转化.
情感态度与价值观：
通过对根式与分数指数幂的转化关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
解（1） ；
（2） .
四、课堂练习
1 填空题
（1）16的4次方根为；
（2） ;
（3）-13的5次方根表示为.
2计算
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） .
3用分数指数幂表示下列根式.
数学-n次方根与分数指数幂
n次方根与分数指数幂数学分数指数 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，2也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．一、n次方根问题1 如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？提示 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．问题2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示 比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．知识梳理1．n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈R a>0a＝0a<0x＝n a x＝±n a x＝0不存在3.根式n a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．n0(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.n a(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．n an(4)＝|a|＝Error!(n为大于1的偶数)．注意点：n a n a n an(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0；(2)()n与意义不同，3(－3)34(－3)44－3n a n an比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠；n a n an n a n an(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对n an于要注意运算次序．例1 (1)化简下列各式：5(－2)55－2①＋()5；6(－2)662②＋()6；4(x＋2)4③.解 ①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.③原式＝|x＋2|＝Error!x2－2x＋1x2＋6x＋9(2)已知－3<x<3，求－的值．(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝Error!延伸探究 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.n an n a反思感悟 正确区分与()nn an n an(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．n a n a(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．跟踪训练1 化简下列各式：7(－2)7(1)；(2)＋；(π－4)23(π－4)3(3)(a ≤1)；4(3a －3)4(4)＋；3a 34(1－a )4解 (1)＝－2.7(－2)7(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(π－4)23(π－4)3(3)∵a ≤1，∴＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .4(3a －3)4(4)＋＝a ＋|1－a |＝Error!3a 34(1－a )4二、分数指数幂问题3 那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a >0，是3a 24a 23a 59a 3否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示 ＝，＝＝，＝，＝＝.3a 223a 4a 224a 12a 3a 553a 9a 339a 13a 知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na nam (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；1m nm naa-=1nam (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数m na mn 指数幂总表示正数，而不是负数．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．拓展：①＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )．②r ＝(a >0，r ，s ∈Q )aras (a b )arbr 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．例2 (1)化简的结果是( )1312527-⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C ．3 D ．53553(2)(a >0)的分数指数幂表示为( )3a ·a A ． B ． C ． D ．都不对12a 32a 34a (3)化简·(a >0)的结果是( )a 3a 2A. B. C. D.3a 6a 71a 6a 6a答案 (1)A (2)A (3)B解析 (1)原式＝＝－1＝.13353⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭(53)35(2)＝＝.3123a ⨯12a (3)原式＝·＝＝.12a 23a 76a 6a 7反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练2 (1)求值：＝________.3－827(2)用分数指数幂表示a ·(a >0)＝________.51a 3答案 (1)－ (2)2325a 解析 (1)原式＝＝＝－.13827⎛⎫- ⎪⎝⎭13323⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭23(2)原式＝a ·＝.35a-25a 三、有理数指数幂的运算性质例3 ＝________.(式中的字母均是正数)121121332a b a b ---⎛⎫答案 1a解析 原式＝21111323221566ab aba b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅111155513223666615156666aba b aa ba b--+---⋅⋅===⋅⋅＝a －1＝.1a (2)计算：－－(π－3)0＋.25913827⎛⎫ ⎪⎝⎭1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 原式＝－－1＋2＝2.5323反思感悟 关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．跟踪训练3 (1)－(－2)0－＋－2；12124⎛⎫ ⎪⎝⎭23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭(32)(2)(x ，y >0)．1411333442236x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 (1)原式＝－1－＋2＝－1－＋＝.12232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦23332-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(23)32494912(2)原式＝.()()14113233442236xyxy -+++⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)分数指数幂的运算性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：(1)对于，当n 为偶数时，a ≥0.na(2)混淆()n 和.na nan1．()4运算的结果是( )42A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定答案 A 解析 ()4＝2.422．若a <，则化简的结果是( )14(4a －1)2A ．4a －1 B ．1－4a C ．－ D ．－4a －11－4a答案 B解析 ∵a <，14∴4a －1<0，∴＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .(4a －1)23．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(－1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6a 答案 A解析 A 项，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项正确；B 项，(－a 2)3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 项错误；C 项，当a ＝1时无意义，故C 项错误；D 项，(－a 2)3＝－a 6，故D 项错误．4．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.(－12)12116-⎛⎫⎪⎝⎭答案 －4解析 原式＝×16－4÷1－－114(14)＝4－4－4＝－4.课时对点练1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A. B. C. D.4a 25a 5－a 4a答案 D解析 当a <0时，a 的偶次方根无意义．2．若＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )a －2A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析 由题意可知Error!∴a ≥2且a ≠4.3．化简(其中a >0，b >0)的结果是( )3(8a －327b 3)4A. B ．－ C. D ．－2a 3b 2a 3b 1681a 4b 4181a 4b 4答案 C解析 ＝＝4＝.3(8a －327b 3)44333323a b -3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2a －13b)1681a 4b 44．下列等式一定成立的是( )A ．＝a B ．＝03132a a ⋅1122a a ⋅C ．(a 3)2＝a 9 D ．113126a a a÷=答案 D解析 同底数幂相乘，指数相加，故A ，B 错误；因为(a m )n ＝a mn,3×2＝6，故C 错误；同底数幂相除，指数相减，故D 正确．5．若a >0，将表示成分数指数幂，其结果是( )a 2a ·3a 2A ． B ． C ． D ．12a 56a 76a 32a 答案 C解析 由题意得＝＝.a 2a ·3a 211223a--76a 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－＝x 12()x -B.＝(y >0)6y 213yC ．＝(x >0)34x-4(1x )3D ．＝(x >0)3412x 答案 BCD解析 A 项错误，－＝(x ≥0)，而＝(x ≤0)；x 12x -12()x -－x B 项正确，＝(y >0)；6y 213y C 项正确，＝(x >0)；33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭4(1x )3D 项正确，(x >0)．313124342x x ⨯⨯==7．当x <0时，x ＋＋＝________.4x 43x 3x 答案 1解析 原式＝x ＋|x |＋＝x －x ＋1＝1.xx 8．方程3x －1＝的解是________．19答案 x ＝－1解析 3x －1＝＝3－2⇒x －1＝－2⇒x ＝－1.199．化简下列各式：(1)＋；(5－3)2(5－2)2(2)＋(x ≥1)．(1－x )2(3－x )2解 (1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.(5－3)2(5－2)25555(2)当1≤x <3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋3－x ＝2；(1－x )2(3－x )2当x ≥3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋x －3＝2x －4.(1－x )2(3－x )2所以原式＝Error!10．(1)化简：(a >0，b >0)；211511336622263a b a b a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求值：0＋2－2×－0.010.5.(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 (1)211511336622263a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2×(－6)×211115326236(3)ab+-+-.5336ab =(2)0＋2－2×－0.010.5(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋×141122419100⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋×－1423110＝1＋－＝.16110161511．若有意义，则x 的取值范围是( )()3412x --A ．R B.∪(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(12，＋∞)(－∞，12)答案 D 解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <.1212．已知m 10＝2，则m 等于( )A. B ．－ C. D ．±102102210102答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±.10213．化简·的结果为( )－a 3a A ． B ． C ． D ．25a -()56a --()56a -56a -答案 B解析 原式＝.()()()115236a a a --⋅-=--14．如果45x ＝3,45y ＝5，那么2x ＋y ＝________.答案 1解析 由45x ＝3，得(45x )2＝9.又45y ＝5，则452x ×45y ＝9×5＝45＝451，即452x ＋y ＝451，∴2x ＋y ＝1.15．化简：(＋)2 021·(－)2 021＝________.3232答案 1解析 原式＝[(＋)·(－)]2 021＝12 021＝1.323216．若a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，＋＋＝0，求abc .1x 1y 1z 解 设a x ＝b y ＝c z ＝k ，则k >0，a ＝，b ＝，c ＝，1xk 1yk 1zk 因此abc ＝＝k 0＝1.111111yx y zxzk k k k++=。
第四章 指数函数与对数函数【压轴题专项训练】(解析版)
第四章指数函数与对数函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（）A ＝（－x ）12（x ＞0）B ＝y 13（y ＜0）C ．x12－y 23（x ＞0，y ＞0）D ．x 13－ （x ≠0）【答案】C 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项.【详解】对于A x 12，故A 错误；对于B ，当y ＜00，y 13＜0，故B 错误；对于C ，x12－y 23（x ＞0，y ＞0），故C 正确；对于D ，x 13－ （x ≠0），故D 错误.故选：C2．已知433a =，234b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a b c<<【答案】C 【分析】将式子转化为以13为指数的幂的形式，再根据幂函数的性质判断可得；【详解】解：()41143333381a ===，()21123334416b ===，1325c =，又因为幂函数13y x =在()0,x ∈+∞为单调增函数，所以a c b >>.故选：C 【点睛】本题幂函数的性质及指数幂的运算，属于中档题.3．下列各函数中，是指数函数的是（）A ．(3)xy =-B ．3xy =-C ．13x y -=D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数函数的定义，形如：()0,1xy a a a =>≠即可求解.【详解】解：根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，A 选项底数错误，B 选项系数错误，C 选项指数错误；D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.4．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性”同增异减”计算可得；【详解】解：令21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，且函数21t x =-在(],0-∞上递减，所以函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(],0-∞.故选：A 【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，属于基础题.5．若2log a b c =则（）A ．2b a c =B ．2c a b =C ．2c b a =D ．2a c b=【答案】B 【分析】利用对数式化指数式的方法求解即可.【详解】根据对数的定义，()22log ca b c a b =⇔=，即2c a b =故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关指数式与对数式的互化问题，正确解题的关键是指对式的互化公式.6．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为（）A ．160B ．60C ．2003D ．320【答案】B 【分析】根据换底公式将log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，化为1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.【详解】解：因为log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，所以1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，即1log log log 12m m m x y z ++=，∴11111log log log 1212244060m m m x y z =--=--=，∴log 60z m =．故选：B ．7．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，以及偶次根式下被开方数大于等于零，即可列出不等式组解出．【详解】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及对数函数的性质应用，属于容易题．8．已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D 【分析】方法一：首先设235log log log 1x y z k ===>，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x-=，133ky -=，155k z -=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.9．下面对函数121()log ,()2xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与()12h x x -=在区间()0,∞+上的衰减情况说法正确的是()A ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越慢B ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越快C ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越慢D ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越快【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中画出它们的图象后可得正确的选项.【详解】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数．故选：C.【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数．当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的．当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的．10．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C 【分析】函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数m 的取值范围．【详解】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．二、多选题11．已知函数(),()22x x x xf xg x ππππ---+==，则(),()f x g x 满足A ．()()()()f x g x g x f x -+-=-B ．()()x f x g x π--=C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【答案】AC 【分析】把函数式直接代入检验．【详解】A 正确，()()2x x f x f x ππ---==-，()()2x xg x g x ππ-+-==，所以()()()()f x g x g x f x -+-=-；B 不正确，()()2222x x x x xx f x g x ππππππ-----+--=-==-；C 正确，()()()22222222x x x x x xf x f xg x ππππππ-----+==⋅⋅=；D 不正确，()()22222222x x x x x x x x f x g x ππππππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎤⎣⎦⎝⎝⎡⎭⎭2212222x x x x x xππππππ---⎛⎫-+--=⋅=- ⎪⎝⎭．故选AC ．【点睛】本题考查指数函数的概念，考查幂的运算．属于基础题型．12．已知{}2,0,1,2,3a ∈-，则函数()()22e xf x a b =-+为减函数的实数a 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB由题意可得220a -<，结合已知条件即可求解.【详解】由函数()()22e xf x a b =-+为减函数，得220a -<，即a <<又{}2,0,1,2,3a ∈-，所以只有0a =，1a =满足题意.故选：AB.13．（多选）已知23a=，3log 2b =，则（）A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b -+=D ．()911log 122a b a++=【答案】ABD 【分析】先求出2log 3a =，即可求出ab =1，再基本不等式判断A ，D 项先将原式化简即可；直接计算可判断C ．【详解】由23a=，得2log 3a =．23log og 31l 2ab =⨯=，故B 正确；由a ，0b >，且a b ¹得2a b +>，故A 正确；33331log log 2log 2log 2215333333222b b --+=+=+=+=，故C 错误；()3339111211log 2log log log 122222a b ab a a a a a a +++++===+=+，故D 正确．故选ABD ．14．下列点中，既在指数函数x y a =图象上，也在对数函数log a y x =的图象上的点可以是（）A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(2,4)D ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若点(1,1)在函数x y a =图象上，解得1a =，此时对数函数log a y x =不成立，不符合题意；对于B 中，若点(2,2)在函数x y a =图象上，解得a =y x =也过点(2,2)，所以符合题意；对于C 中，若点(2,4)在函数x y a =图象上，解得2a =，此时对数函数2log y x =不成立，不符合题意；对于D 中，若点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数x y a =图象上，解得116a =，此时对数函数116log y x=也过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，所以符合题意.故选：BD 三、填空题15．已知对数函数()2(1)()1log ,m f x m m x +=--则(27)f =_______.【答案】3【分析】根据对数函数的定义建立不等式，解之求得对数函数的解析式，再代入计算可得答案.【详解】因为()f x 是对数函数，故2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以()3log f x x =，()327log 273f ==.故答案为：3.16．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x ＜0)；②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)；③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【分析】根据对数函数满足log a y x =，且0a >，1a ≠判定即可【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③17．函数若函数()f x =的定义域是[)1,+∞，则a 的取值范围是________．【答案】()1,+∞【分析】结合指数函数性质可得．【详解】∵0x a a -≥，∴x a a ≥，∴当1a >时，1≥x ．故函数定义域为[)1,+∞时，1a >．故答案为：(1,)+∞．18．若a ＝2，b ＞0，则111211223332212a b a a b a a b b a b---⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【答案】【分析】根据指数的运算公式以及立方差公式化简整理代入数据即可求出结果.【详解】原式331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331122a b a b --=++-322a=3222=⨯=故答案为：四、解答题19．已知11x x --=，其中0x >，求122121x x xx x x x---+-的值．【答案】1【分析】将11x x --=化为21x x =+，利用平方差公式分解因式后，代入21x x =+可得结果.【详解】由11x x --=可知21x x =+，所以1111222221122()()11x xx x x x x xx x x x x x x x --+--=--++--=211x x x x x -=++=1.20．已知a ，b ，c 满足346a b c ==.当a ，b ，c 均为正数，求证：221c a b=+.【答案】证明见解析【分析】设346a b c k ===，转化为对数，再利用换底公式证明.【详解】设346a b c k ===，所以346log ,log ,log a k b k c k ===，其中0k >，所以6222lg 6lg 36log lg lg c k k k ===，3421212lg 3lg 4lg 36log log lg lg lg a b k k k k k+=+=+=，所以221c a b=+.21．求函数22log (321)y x x =--的定义域．【答案】{}|1xx>【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可；【详解】解：由函数22log (321)y x x =--，可知23210210x x x ⎧-->⎨->⎩，解23210x x -->，即()()3110x x +->得1x >或13x <-，解210x ->得12x >；综上可得1x >.所以函数的定义域为：{|1}x x >.22．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km ，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m 范围内)?【答案】至多只要检测7次.【分析】结合二分法即可得到100002n≤100，解不等式即可求出结果.【详解】解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为100002nm，则有100002n≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．。
根与幂的运算规则
根与幂的运算规则一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
2.算术平方根的定义：一个非负实数的算术平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
3.平方根与算术平方根的关系：一个数的算术平方根一定是该数的平方根，但一个数的平方根不一定是该数的算术平方根。
4.立方根的定义：一个数的立方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。
5.立方根的性质：一个数的立方根与该数的性质符号相同。
三、负整数指数幂1.负整数指数幂的定义：一个数的负整数指数幂是指该数的倒数的正整数次幂。
2.负整数指数幂的性质：一个数的负整数指数幂与该数的性质符号相同。
四、正整数指数幂1.正整数指数幂的定义：一个数的正整数指数幂是指该数连乘自身正整数次。
2.正整数指数幂的性质：a)同底数幂的乘法：底数相同，指数相加。
b)同底数幂的除法：底数相同，指数相减。
c)幂的乘方：底数不变，指数相乘。
d)积的乘方：先将每个因数分别乘方，再将所得的幂相乘。
五、零指数幂1.零指数幂的定义：0的正整数指数幂等于0。
2.零指数幂的性质：0的零次幂没有意义。
六、分式指数幂1.分式指数幂的定义：一个数的分式指数幂是指该数的指数为分数的形式。
2.分式指数幂的性质：a)分式指数幂的乘法：底数相同，分子相乘，分母相乘。
b)分式指数幂的除法：底数相同，分子相除，分母相除。
c)分式指数幂的乘方：底数不变，分子相乘，分母相乘。
七、根式与分数指数幂1.根式的定义：一个数的根式是指以该数为底数的分数指数幂。
2.分数指数幂的定义：一个数的分数指数幂是指该数的指数为分数的形式。
3.根式与分数指数幂的关系：根式可以转化为分数指数幂，分数指数幂也可以转化为根式。
八、混合运算1.混合运算的定义：根与幂的运算规则在实际应用中，经常会与其他数学运算（如加、减、乘、除）结合进行。
2.混合运算的注意事项：a)先进行乘方、开方等运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析第四章指数函数与对数函数4.1指数【素养目标】1．弄清（na）n与错误!的区别,掌握n次方根的运算．(数学抽象）2．能够利用a错误!＝错误!进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4。
1.1n次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识知识点1n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为错误!a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±错误!a＜0x不存在思考1：正数a的n次方根一定有两个吗?提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数．知识点2根式(1）定义:式子__错误!__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a 叫做__被开方数__.（2）性质：(n＞1，且n∈N*）①（na）n＝a。
②n，a n＝错误!思考2：(n，a）n与错误!中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(错误!）n中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子错误!中，a∈R.知识点3分数指数幂的意义(a〉0，m,n∈N*,且n〉1)正分数指数幂a错误!＝错误!负分数指数幂a－错误!＝错误!＝错误!0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义思考3:为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：（1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数,则a错误!，a－错误!无意义；（2）当a＝0时，a0无意义．知识点4有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r,s∈Q）(1）a r a s＝a r＋s.（2)（a r)s＝a rs.(3)（ab)r＝a r b r。
根式与分数指数幂的互化公式
根式与分数指数幂的互化公式在初中数学学习中，我们经常会接触到关于根式与分数指数幂的互化公式。
这个公式在代数中具有非常重要的作用，能够方便我们进行运算和推导。
下面，就让我们来详细了解一下这个公式及其应用。
首先，我们需要明确一些基础概念。
根式是一个含有根号的式子，例如√2、∛3等。
而分数指数幂则是指数为分数的幂运算，例如2的1/2次方（即根号下2）、3的2/3次方等。
它们之间通过互化公式建立起了数学上的关系。
对于根式来说，我们经常需要将其转化为分数指数幂的形式，可以使用以下互化公式：√a = a的1/2次方∛a = a的1/3次方由此可见，任何一个根式都可以用分数指数幂来表示，并且我们可以通过指数的大小关系，对根式进行大小比较。
与此同时，对于分数指数幂，我们也可以利用互化公式将其转化为根式的形式，具体公式如下：a的分数次方 = 分母根号下a的分子次方例如：2的1/2次方= √23的2/3次方 = 3的1/3次方的平方根 = ∛3的2次方= √(√3) 通过这些互化公式的使用，我们可以方便地将根式和分数指数幂进行相互转化，并且可以将它们运用到各种代数运算中，例如加减、乘除等都可以利用互化公式进行简化。
除此之外，根式与分数指数幂的互化公式在平面几何和立体几何中也有非常广泛的应用，例如在构造三角形和正方体等图形时，经常需要将根式转化为分数指数幂的形式，从而方便计算。
而在解题过程中，我们也可以利用互化公式进行代数化简，找到已知条件与问题之间的联系。
总的来说，根式与分数指数幂的互化公式是数学学习中非常重要的一个知识点，它不仅能够帮助我们简化复杂的式子，还可以在实际问题中发挥重要的作用。
因此，在学习中一定要重视这个知识点，掌握互化公式的运用方法，以便更好地应用于数学实践中。
新高考A版讲义：初等函数 第5节指 数
指数知识点一根式的相关概念1．a的n次方根的定义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示3.根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4.根式的性质（1）.n0＝0(n∈N*，且n>1)．（2）．(na)n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．（3）.na n＝a(n为大于1的奇数)．（4）.na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0(n为大于1的偶数)．知识点二分数指数幂知识点三有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．题型一、n 次方根的概念例1 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 解析 81的平方根为－9或9，即a ＝－9或9， －8的立方根为－2，即b ＝－2，∴a ＋b ＝－11或7.(2)若4x －2有意义，求实数x 的取值范围．解 ∵4x －2有意义，∴x －2≥0，∴x ≥2， 反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)符号：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定． ①当n 为偶数，且a ≥0时，na 为非负实数； ②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 跟踪训练1 (1)已知x 7＝8，则x 等于( ) A ．2 2 B.78 C ．－78 D ．±78解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个78.(2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________；若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ R题型二、利用根式的性质化简或求值例2 化简：(1)4(3－π)4；(2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)∵a >b ，∴(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 反思感悟(1)n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝na n＝a ，a 为任意实数．(2)n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫na n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫na n ＝a ；而a 为任意实数时na n均有意义，且na n ＝|a |.跟踪训练2 化简：(1)7(－2)7；(2)4(3a －3)4(a ≤1)；(3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)∵a ≤1，∴4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a . (3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.题型三、根式与分数指数幂的互化例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝()12x -(x >0) B.6y 2＝13y (y <0) C ．34x -＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0) D ．13x -＝－3x (x ≠0) 解析 －x ＝12x -(x >0)；6y 2＝126(||)y ＝13y -(y <0)；31344()xx --=＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)；11331x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝31x(x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a >0，b >0)． ①3a ·4a ；②a a a ；③(3a )2·ab 3.解 ①3a ·4a ＝1173412;a a a ⋅= ②原式＝17118824;a a a a ⋅⋅=③原式＝21713336222.a a b a b ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭反思感悟 根式与分数指数幂的互化(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)34()a b --(a >b )； (2)3(x －1)5； (3)13a 2； (4)37().a b -解 (1)34()a b --＝14(a －b )3；(2)3(x －1)5＝53(1);x - (3)13a 2＝23;a -(4)37()a b -＝7(a －b )3.题型四、运用指数幂运算公式化简求值 例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)()10.52332770.0272;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1;2⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦()1.a++解 (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09. (2)原式＝⎛ ⎪ ⎪⎝⎭＝322⎛== ⎪ ⎪⎝⎭(3)1＝1＋1＝2.反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练1 计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)1318-⎛⎫ ⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6；(2)23a 2÷(46a ·b )·3b 3.解 (1)原式＝()6611111(1)333424812223⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝314422++＋22×33＝112.(2)原式＝21133662243a a b b ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133662132a b b --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭41323.2a b =题型五、分数指数幂运算的综合应用 例2 (1)已知a m ＝4，a n ＝3，求a m －2n的值；(2)已知1122a a-+＝3，求下列各式的值．①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③3322.a a -+解 (1)a m－2n＝()()121222m mn n a a aa -⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎣⎦12243⎛⎫= ⎪⎝⎭＝23.(2)①∵11223,a a-+=∴211229,a a-⎛⎫+=⎪⎝⎭即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.②∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.③3333112222a a a a--⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122(1)a a a a--⎛⎫=+-+⎪⎝⎭＝3×(7－1)＝18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．解设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.所以y＝±215，即a2－a－2＝±21 5.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练2已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求11221122x yx y-+的值．解211221122111111222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12()2(),x y xyx y+-=-①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x<y，∴x－y＝－6 3.③；将②③代入①，得111 22211229x yx y-== +指数1．已知m10＝2，则m等于()A.102 B．－102 C.210D．±102考点n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念解析∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±102.故选D.2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－1 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简解析∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0，∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1. 3．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 解析a 2a·3a 2＝2225132a a⨯＝a 2·56a -＝526a-＝76a .4．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 解析 ∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.5．2327＋1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－23827-⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．3B ．6 C.14 D ．15解析 原式＝233(3)＋()1224-－(2－1)－2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23323- ＝9＋4－1－4－⎝⎛⎭⎫23－2＝9＋14－4－94＝3. 6．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y x a+等于( )A ．9＋ 5 B.452 C ．9 5 D ．65解析 22y x a+＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.7．设12a －12a -＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值解析 将12a －12a -＝m 两边平方，得21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.8．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________.解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2)32-＝23＝8.9________.解析＝1.10．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 解析 因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，所以a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)．所以m ＝24＝16. 11．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(－31134a b-)(42132a b -)÷(－21134a b -)；(3)(14x ＋14y )(14x －14y )(x ＋y )．解 (1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(14m )8(38n -)8＝m 2n －3＝m 2n3.(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·121111333424a b-+--+＝6a 0b 0＝6.(3)原式＝[(14x)2－(14y )2](x ＋y )＝(12x －12y )(x ＋y )＝(x －y )(x ＋y )＝(x )2－(y )2＝x －y . 12．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)0.008 114-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤81－0.25＋⎝⎛⎭⎫33813-12-－10×0.02713.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 (1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋(3×133)14＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫310414-－(3×1)－1×⎣⎡⎦⎤3－1＋⎝⎛⎭⎫32－112-－10×(0.33)13 ＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋2312-－10×0.3＝103－13－3＝0.13．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．50 B ．12 C ．20 D ．1解析 ∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b ＝102a ·10b ＝5×2＝10，∴2a ＋b ＝1，故选D. 14．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 D解析 a >1，b >0，∴a b >1，∴a －b ＝1a b ，∴a －b ∈(0,1)，∴a b －a －b >0，∵a b ＋a －b ＝22，∴a 2b ＋a－2b ＝6，(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b－2＝4，∴a b －a －b ＝2.故选D.15．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 解析 ∵2x ＝8y ＋1＝(23)y ＋1＝23y ＋3，∴x ＝3y ＋3，① 又∵9y＝3x －9＝(32)y ＝32y ，∴x －9＝2y ，②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.16．化简a23b a12-·3b÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a 23- (a >0，b >0)的值为________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算解析 原式＝1321132a b a b 2-⋅⋅÷2131212a bb a---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭＝21321132a b a b -⋅⋅÷21131122a b -----⎛⎫ ⎪⎝⎭＝21113223ab+-÷233322a b ---⎛⎫⎪⎝⎭＝7166a b ÷(ab )＝711166a b -- ＝1566a b -.17．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝________. 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简解析 f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪a －1a ， 因为0<a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝1a －a . 18．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b ，⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，所以a －b a ＋b ＝15＝55. 19．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．b >a >cD ．a <b <c解析 a b ＝424312＝(23×3)14(22×3)13＝314421332323⨯⨯＝3243113423--＝11211223＝⎝⎛⎭⎫23112 <1， 又a >0，b >0，∴a <b ，b c ＝3126＝(22×3)13(2×3)12＝213311222323⨯⨯＝2132112323--＝161623＝1623⎛⎫⎪⎝⎭<1， 又b >0，c >0，∴b <c ，综上有a <b <c ，故选D. 20．已知a ＝3，求1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a的值． 解1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a ＝1144211a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋1221a +＋41＋a ＝1221a-＋1221a+＋41＋a ＝1122411a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)
《指数与指数幂的运算》从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。
进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
【知识与能力目标】1、掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2、了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3、理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质。
【过程与方法目标】具体习题，灵活运用根式运算。
由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性质。
【情感态度价值观目标】1、通过学习n次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。
2、通过分数指数幂的学习，让学生体会严谨的求学态度。
【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化。
【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算。
通过本节导学案的使用，引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。
(一)创设情景，揭示课题1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。
2、由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。
那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3、初中根式的概念思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义。
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根式与分数指数幂的互化（一）
一．标教学目
1.知识与技能
①初步了解指数幂和指数函数；
②通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念．
2.过程与方法
会求或化简根指数为正整数的根式。
3.情感.态度与价值观
通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，培养学生对数学的情感。
二．重点
利用n次方根式性质化简n次方根式。
三．难点
指数幂的含义与根式互化
四、教学过程设计
（一）教学基本流程
（二）教学情景
1．本章学习引导
问题1：给出化石图片，归纳出函数关系式。
设计意图：引导同学对本章内容有一个概括性的认识，并大致清楚学习的目标和方法．问题2：对于a n，当n是正整数时的意义我们已经知道；当n是有理数时，它的意义又是什么呢？
设计意图：引导同学建立与根式的联系．
2．概念的引入
问题3：我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x 叫做a的立方根（3次方根）．请问：
（1）你由此想到，还有哪些方根？
（2）你能否根据上述定义，给你所说的这些方根进行定义？
设计意图：通过回顾平方根和立方根，让同学在已有认知基础上，与同类概念进行比较，通过类比得到对新概念的认识方法上的启发，并为领会新概念找到一个固着点，从而引出n 次方根的定义．以此促进概括，明确n次方根概念的内涵，进而准确把握此概念．师生活动：为了帮助同学进行类比，可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上，然后让同学将类比出的定义写在它们的下面．
3．概念的形成
问题4：根据平方根和立方根的定义，我们可以举例，例如，由于（±2）2=4，所以±2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根．类似地，请根据你所给出的其他方根的定义，举出相应的例子．
设计意图：当n较大时，同学举例困难了，于是引入n次方根的表示．
师生活动：可引导同学类比平方根和立方根的表示，给出n次方根的表示：
（1）我们知道，4的平方根是±2，可以表示为±4=±2；8的立方根是2，可以表
=-2．那么类似地，16的4次方根怎样表示为38=2；-8的立方根是-2，可以表示为38
示？32的5次方根怎样表示？-32的5次方根怎样表示？a的n次方根又怎样表示？
（2）从上述例子中我们是否能看出什么规律？也就是：
n是奇数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？负数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？
n是偶数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？
（3）负数有没有偶次方根？
（4）0的n次方根是多少？可以怎样表示？
4．概念的明确
问题5：请把前面学习的内容归纳一下，什么叫n 次方根？如何表示？ 设计意图：让同学明确n 次方根的概念．
师生活动：为了让同学进一步明确n 次方根的概念，可提出下列问题： （1）当n 为奇数时，(n a )n
= ；当n 为偶数时，(n a )n
= ．举例说明．
（2）当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n
n a = ．举例说明． 5．概念的表示
前面用来表示a 的n 次方根的式子n a ，我们把它叫做根式，读作n 次根号下a （其中
a 一般读作根号a ），其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当根指数为n 时，又把n a 叫
做n 次根式．
6．概念的巩固和应用 例1：求下列各式的值：
（1）33)8(-； （2）44)π3(-； （3）2
10-）（．（4）)()2b a b a >-（
设计意图：通过应用概念解决问题，推进同学对概念本质的理解． 师生活动：为了进一步推动同学对概念理解的深化，提出下列变式题组 下列各式中，不正确的序号是
3
3-53-3-43-3-33-3-22
16)1(4451055554====±=）（）（）（）（）（）（））（（
2，求下列各式的值
[]
6
25)4()32()3()3()232
-12
1
245---（）（
例2:填空：
（1）在412345462)3(,,,)2(+---n n a a 这四个式子中，无意义的是（ ） （2）若131692-=+-a a a ，则a 的取值范围是（ ）
（3）已知a,b,c 为三角形的三边，则=----+c a b c b a 2
)(( ) 7．小结
我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容？ 8.作业 9.板书设计
教学反思
1．由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义，还涉及其表示和性质，后续内容还涉及其运算，所以对根式概念的定位应该是理解层次．而本小节教科书之后将不再专门介绍根式，所以本节课务求初步理解根式概念，而在下节课的根式运算中逐步达到真正的理解．
2．在与平方根、立方根比较的过程中，可以进一步学习类比的思想方法，提高同学的思维水平．并在推广与化归的过程中，形成根式的知识链．。