分数指数幂与根式

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特级教师 王新敞
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例3．定义在 2, 2 上的偶函数 f ( x) ，当 x 0 时，
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2014年3月11日
回忆
乘方的意义： a n = a×a×a× ……×a ( n ∈ N *)
n 个a 零的负整数次幂没有意义
a-n= a0=
1 an
( a≠0,n∈N*).
零的零次幂没有意义
1 （a≠0）
整数指数幂的运算性质是： ①am· an=am+n(m,n∈Z) ②(am)n=amn(m,n∈Z)
3

1 2
m
5 2
例２
3 1 3 16 4 求值：8 、 100 、 ( ) 、 ( ) . 81 4
2 3
1 2
(1)8 (2
(2)100
1 2
2 3
2 3 3
) 2
1
1 2
3
2 3
2
2
=4
1 2
=

1 (10 2 )
100
1 10
1 3 (3)( ) = 4
16 (4)( ) 81
3 2
5
2 1 3 4
a
3 2
5
5 4
2 5 6
1 2 2 3
5 12
5
12 55 5 4 5.
a5
化简：
1．(2
4
a 4 ab ) 3 b
6
3
2． [(
8 ) ( 10 ) ] 10
3
2 3
9 2 2
5
题型五
利用代数公式进行化简：
a b (a b)( a b)(平方差公式)
4
2
7 40 7 40
回顾：分数指数幂的定义
规定正数的正分数指数幂的意义：
a a (a 0, m, n N 且n 1)
n m
m n

规定正数的负分数指数幂的意义：
a
m n

1 a
m n

1
n
a
m
(a 0, m, n N 且n 1)

0的正数次幂等于0， 0的负数次幂无意义，0的0次幂无意义。
③(ab)n=an bn(n∈Z).
注意： ①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的 底数不能等于0的规定.
1. 回答下列各题（口答）：
【练一练】
① a 2· a3= a5 ② (b4)2= b8
③ (m · n)3=. m3 ×n3
复习知识
指数
4 16
2
底
幂
复习知识
4 ?
2
乘方运算
? 16
4
x 12
6
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的 n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a (a 0) 的形式． 负数没有偶次方根．
注意问题
特别注意：0的 n 次方根等于0. 1） n 思考：
a 一定表示一个正数吗？
4 8
3 4 5
( 8) • (3 ) • a •
10 3 4
3
( 10)
2 2
(a b ) a
12
练一练：
1.求下列各式的值 （１）
（３）
3
4
(8)
3
（２） （４）
5
( 10)
2
(3 ) 4
(3 ) 5
（５）
（６）
4
( a b)
4
(a b)
4
5
a
10
a
2 1 1 3 2 6
1 6
5 6
(2)(m n )
1 4 8
1 4
3 8 8 3 8 3
b
1 1 5 2 3 6
(m ) (n ) m 3 n 3 m 3 n
2
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
3 4
(2-2)-3 = 2(-2)(-3) = 26 = 64
3 4( ) 4
2 = ( ) 3
2 3 27 ( ) 3 8
题型二
分数指数幂
m n n
a
m n 求值，先把a写成
x
n
然后原式便化为
a (x ) x
(1)10000
a
m n
m （即：关键先求a的n次方根）
2 3
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f ( x)单调递减，且 f (1 m)
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题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
题型二
分数指数幂
a
m n (不按计算器)求值，
关键先求a的n次方根
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n
为奇数时，它可为正、可为负、可为零． n a n为偶数时，它表示非负数．
a 中的 a 一定是正数或非负数吗？ 当 n为偶数时，它有意义的条件是 a 0； 当 n为奇数时，它有意义的条件是 a R ．
2）n
两个等式
( 2) 2
2Βιβλιοθήκη Baidu
( 2 ) 2 ( 3) 3
2
4和- 4叫做16的平方根
开方运算
2 8
3
2叫做8的立方根
引入新课
? 9
4
? 32
5
要求：用语言描述式子的含义
3称为9的四次方根 2 称为-32的五次方根
n次方根概念
? a
n
描述：一个数的
开
n次方
n次方等于 a(n 1, n N 那么这个数叫做 a的 n方根．
如果一个数的 数学符号表示： 若x
12
2 ; ② ( a) a a a ③ 3 a 3 a ;④ (3 a ) 3 a .其中恒成立 的个数为( )
2.给出下列4个等式：①
2
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 )
1 3.已知 a ，则化简 4 ( 2a 1) 2的结果是( 2 A. 2a 1 B. 2a 1 C. 1 2a D. 1 2a
3
= (a b) (a b)
练习2
1）
3
x x
2
2
2 3
2）
4
(a b) (a b) (a+b>0)
3
2 3
3 4
3）3
(m n) (m n)
6 5 5 3 2
4）
( m n) ( m n)
4
2
5）
p q p q ( p 0)
6）
m
3
m
m m
n *
n次方根定义：
n 次方等于 a ，求这个数．
*
)
a(n 1, n N )，则 x 叫做a 的 n 次方根．
练一练
3
2
3
3
5
27
2
3
2
2 4
4
9
16
8
32
2
2
观察思考：你能得到什么结论？
27 3 2 8
3
2 5
得出结论 3
3 2 2

3 4
1 1000
125 (2)( ) 27
c
9 (3)( 36 ) 49 25
3 2
216 343
已知10 2,10 3,10 5, 求10
b
3a 2b c
的值。
40 9
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。 3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
3 4
4. a
9 24
b
3
a b
9 4
3 8
小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。
练习：用分数指数幂表示下列各式 ⑴
（ 2）
4
a
1
3
= =
a
3 4
7
x
3
x
3 (x>0) 7
1 2 3 4
(3)
ab
4
( a b)
ac
1 3 1
2 3
1
4 2
例4 计算（式中字母都是正数）：
(1)( 2a b )( 6a b ) (3a b )
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
(2)(m n )
2 3 1 2 1 2 1 3
1 4
3 8 8
(1)( 2a b )( 6a b ) (3a b ) [2 (6) (3)]a 4ab0 4a
rs
(ab) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例１ 用分数指数幂的形式表示下列各式:
（式中a>0）
(1)a a
2
( 2) a a
3 3
1 2
2
(3) a a
1 2
2 3
解：
(1)a a = a 2 a a
2
3 3 2
2
a
a
3 2 1 2
5 2
11 3
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f (m) 成立，求实数
m
的取值范围。
指数 （3）
题型三
分数指数幂的运算 1、系数先放在起运算。 2、同底数幂 进行运算，乘的指数 相加，除的指数相减。
1.(2x y )(3x y )(4x y )
原式 (2) 3 (4) x
1 4
1 4
1 2
1 2

a b a b
1 2
1 2
1 2 1 2
3.(2 x 3 y )(2 x 3 y )
1 4
1 2
1 4
1.已知a a 3, 则a a
5
3
27 8 32
3
32 x 11
5
x
5
11
结论：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正 数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根 只有一个，记为 x n a ．
4 2 3 9 4 2 16
2
得出结论 2
2 4 3 9
2 16 6 x 12
3 3
5
5
(2)
2
n
( a) a 3 4 3 4 2 5 5 (3 ) 3 为奇数 n a
n n
a |a|
n
n 为偶数
例1：求下列各式的值。
3 4
27 ， 32 ，2 ，
5 3 6
16 ， 16 ，256
111 4 2 4
1 4
1 3
1 2
2 3
1 4
2 3
y
22 1 3 3 3
24 y
2.
7 (2 ) 9
100
0.5
10 0.1 (2 ) 27
2

2 3
37 3 48
0
3.(a b )(4a b) (12a b c) 2 1 4 31 2 1 解：原式 (4) 12a b c
2 2
(a b) a 2ab b (完全平方公式)
2 2 2
a b (a b)( a ab b )(立方公式)
3 3 2 2
例1 化简：
1 4 1 4
1 2 1 2
1.(a b )(a b )(a b )
2. a b a b
1 2
1 2 1 2
( 2) a a = a a a
3
2 3
3
(3) a a = (a a ) (a ) a
1 2
1 2
3 4
题型一
将根式转化分数指数幂的形式．（a>0,b>0)
5 6
1. a a a
4 3
3
a
3a 4 4 4 2. ( ) 3 a b 3 27b
3
8 3
3
3. ( a b) (a b)
4.下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正 确的是( )
b A. a 0时， a ab a b B. a 0时，a ab a 1 C. a 0时， ab b a
D. a 0, b 0时，a b ab
ab(a b)
2
5.化简：① ②
4
(2 x) (3 x)
例1、求值：
25 、 8 、
1 5 ( ) 、 2
2 3
1 2
16 ( ) . 81
3 4
分数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进 而推广到有理数范围：
a a a
r s r s r r
rs
(a 0, r , s Q)
(a ) a (a 0, r , s Q)
例5 计算
(1)( 3 25 125)
4
5 (2)
a2 a
3
a
2
( a 0)
(1)( 3 25 (5 5 5 5
2 3 2 3 3 2
125 )
1 4 1 4
4
5
(2) a a a
6
a2 a a2
1 2 3
5 ) 5
1 4
a2
5
5
3 1 2 4