2018年初中数学联赛试题及答案
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2018全国初中数学联赛深圳赛区第一试(含答案)
2018年全国初中数学联赛试题第一试（时间：2018年3月13日上午9：30-11：00，满分100分）一、选择题:（每小题4分，共40分）1．下列几何图形中，不可能既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．圆； B.正三角形； C.线段； D.矩形.2．二次函数c bx x y ++=2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数122+-=x x y 的图象，则c b ,的值分别为（ ）A ．6，4； B.14,8-； C.6,6-； D.4,8--.3．已知四边形1S 的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结1S 各边中点得四边形2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2004S 为（ ）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形；C.既是菱形又是矩形；D.既非矩形又非菱形.4．α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算()βα+91的结果依次为50°、26°、72°和90°，其中确有正确的结果，那么算得正确的是（ ）A ．甲； B.乙； C.丙； D.丁5．使分式xx z y x 420020022001199920032000-+-有意义的x 取值范围是（ ） A ．0≠x ； B.500≠≠x x 且； C.500±≠≠x x 或； D.500±≠≠x x 且6．两个物体A 、B 所受压强分别为A P （帕）与B P （帕）（A P 、B P 为常数），它们所受压力F （牛）与受力面积S （米2）的函数关系图象分别是射线B A L L ,.如图所示，则（ ） A ．A P ＜B P ； B.A P =B P ；C ．A P ＞B P ； D.A P ≤B P7．已知a 、b 都是有理数，且b b a a ≠=,，则ab 是（ ） A ．负数； B.正数； C.负数或零； D.非负数.8．若关于x 的方程122-=++x a x 的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A ．2-<a ； B.2->a ； C.02≠->a a 且； D.0≠a9．有理数c b a ,,，满足：3≥a ，2-≤b ，5≥c ，且10=+-c b a ，则c b a ++3的最大值是（ ）A ．1； B.2； C.3； D.510．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（ ）A ．只有一个且为等腰三角形； B.至少有两个且都为等腰三角形；C. 只有一个但不是等腰三角形；D.至少有两个，其中有非等腰三角形.二、填空题:（每小题4分，共60分）11．2003年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台机组年发电量将达到h kw ⋅08470000000. 用科学记数法应表示为 ；12．要使分式方程323-=--x m x x 产生增根，则m = ； 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，b a ,分别是∠A 、∠B 的对边，如果3:2sin :sin =B A ，那么b a :等于 ；14．将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是 ；15．观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（11，60，61）…，发现()()(),21724,21512,2134222 ÷-=÷-=÷-=若设某组数第一个数为k ，则这个组的数为(),,k ；16．当 时，关于x 的一元二次方程()()01222=++-+-a x a x a 有实根.17．Rt △ABC 内的点P 到三边的距离均为d ，斜边为c, 则直角三角形的面积为 ；18．如果表示正方形ABCD 各边长的代数式如图所示，那么，阴影部分的面积是第18题 第19题 第20题19．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE=5，EC=7.点P 是BD 上的一动点，则PE+PC 的最小值是 .20．如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，则∠DAB 的度数是 ；21．()()+--20042002200320022002()()+--20022003200420032003AB C D 2x+3y-13x-4y+57x+8y-11B C E B A D C()()20032004200220042004--= ；22．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积S= ；23．如图所示， 是用火柴棒摆成的一序列“井”字型图案，按这种方式摆下去，当每边上摆201（即201=n ）根时，需要的火柴棒的总根数是 根.n =3n =5n =724．设n 为自然数，记n ！n =⋅⋅⋅⋅ 321，问和数1！+2！+3！+…+2003！+2004！的个位数字是 .25．若︒<<︒300θ，且31s i n +=km θ（k 为常数，且）0k ＜，则m 的取值范围是 .答案:一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A二、11．h kw ⋅⨯101047.8； 12. 3 ； 13. 2：3 ； 14. 180°或360°或540° 15．21,2122+-k k ； 16.41-≥a 且2≠a 17.2d cd + 18.84212=⨯19.13 20. 135° 21.0 22.49或723.()()120012016=-=n f24. 3 25.k ＜m＜k 3161-.。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________． 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ． 【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
2018年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2018年初中数学联赛试题（北京）2018年初中数学联赛试题及答案详解说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角形时，其边长为()A ．．D ．【答】C.由题设知2(,)2a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则12||BC x x =-=又AD =，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）所以△ABC 的边长BC ==. 2.如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=︒，，则BE =()A ．C 1D 1 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45︒，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30︒.设BE =x ，则HF =HE =2x，BH因为BF=BH+HF ,所以12x=，解得1BE x ==. 3.设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.若实数a ，b 满足2a b -=，()()22114a b ba-+-=，则55a b -=()A ．46B ．64C ．82D ．128【答】C.由条件()()22114a b ba-+-=得22332240a b a b ab a b ----+-=，即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，由对称性，同样可得()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，所以，由已知可得0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185336120183333M M <⨯⇒>= 又111111()()201820192030203120322050M =+++++++11134513202030205083230>⨯+⨯=所以18323011856113451345M <=，故的整数部分为61.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=︒，则B ∠=． 【答】84°.设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.所以∠B =∠FGC =180248=84-⋅8.若实数x y ，满足()3311542x y x y+++=，则x y +的最大值为．【答】3.由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115()()42x y x xy y +-++= 令x y k +=，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=> 又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以3115423k k xy k+==于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k+=-+=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k+=∆=--⋅≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤⇒<≤ 故x + y 的最大值为3.思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876⨯⨯⨯⨯=18816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876⨯⨯⨯=2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++=．答案：52由已知条件可得222233311[()()],322ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++3()abc abc ab bc ca =+++.所以55552a b c abc ++=第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.满足()2211x x x ++-=的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=() A ．5B ．6C ．7D ．8解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故222112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t a n ABF ∠=() A ．12B ．35C ．D解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ∆≅∆，所以4BH BA ==由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++四边形得2111144(4)43412222x x =⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅，解得85x =所以1245AF x =-=，3tan 5AF ABF AB ∠==.4.方程()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令y 0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由已知得， 201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，， 由120()()170a b c --=，可得1,2017a b or c ==（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或20182017a =- （2）当 abc =≠时，解得12017a b ==，120182017c =- （3）当a b ≠时，12017c =，此时有：12017a =，120182017b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,c )共有5个. 6.已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()A ．2B ．3C ．4D ．5【答】A.有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，，两式相加得33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=因为2222()()()()[13111121(1)(1)4(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>所以20a b +-=，因此2a b +=.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-==++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以32k < 而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等.当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故 2q =.于是2221qr qr q r =++-故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即 3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()110(101)m n --= 又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以()21,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()21,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .9.已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=ABD ∠，则DE =．【答】4.1//2CD F DF DC DE AF DE AF ==延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是 10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥，90.FAB FDB ∠=∠=︒故6AB AF =又，故，所以14.2DE AF ==已知二次函数()()222221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n)的个数为． 解析：16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以222[()](22)144500m n m n ∆=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122)11m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(122.)15m n <++ 又12m +≥，所以25212n +<，故5n ≤. 当n=1时，1m +253≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；当n=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n=3时，1m +257≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=4时，1m +259≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=5时，1m +2511≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有8421116＋＋＋＋＝个第二试(A)一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.因为a 是方程210110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①类似可得211011100.c c a ac -+-=②①－②得)((1210)a c a c -+-=因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=︒=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以(111101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=⨯+≤⨯=⋅⋅=当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.683612=105EF OE OF ⋅=-=-此时，212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结 因为1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以12DE EG =故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥C ,E ,G 三点共线时等号成立2CE DE +故的最小值为.三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数．解：记()33222m n m n S m n +-=+，则()2222332222()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-⎛⎫===+-- ⎪+++⎝⎭+,,(,?,,1).mnm n p q p q p q m n==+因为为正整数，故可令为正整数，且 于是222233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①所以2n mn n m n m n=-++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②3223222³(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以³m n m n =由对称性，同理可得，故34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()11195555a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求()111a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则()111111555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪+-+-+----⎝⎭⎝⎭22323[312()36()](936)6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得272xy z = 所以()111272xy a b c a b c z ⎛⎫++++==⎪⎝⎭.二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE．145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=︒==解（）由题意知，所以,AC DCDCA ECB BC EC∠=∠=，所以ADC BEC ∆∆∽，故45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥（2）设AE x =，因为30ACE ∠=，可得,2,AC CE x DE DC === 因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ∆∆∽，故可得12APE DPC S S ∆∆=又22,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S S S S x ∆∆∆∆∆∆+==+=，于是可得2(2DPC S x ∆=，21)EPC S x ∆=所以DPC EPC S DP PE S ∆∆==三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ．( ,.) 2x abcd m n m n =解设，由题设知与的最大公约数为大于的素数 91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能88999799.x =于是可得或。
2018年全国初中七年级数学联合竞赛答案
2018年全国初中数学联合竞赛（初一年级）参考答案与评分标准一、选择题（1）B ；（2）C；（3）A；（4）C ；（5）A ；（6）B ；（7）B；（8）D．二、填空题（9）3-；（10）3；（11）d b a c >>>；（12）36．（13）14-；（14）9．第二试一、（本题满分15分）解：设A B 、两地间的距离为x km，根据题意得4224x -+=⨯解得=10x …………………………………………………………………12分答：A B 、两地间的距离为10km.………………………………………………………15分二、（本题满分15分）解：30(1)410(2)a b c a b c =⎧⎨=-⎩K K +2-2+-6由（2）×2—（1）得=24a c -（3）…………………………………………………3分把（3）代入（2）得=62b c -…………………………………………………6分因为a b c 、、均为非负数，所以240200a c b c c =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪≥⎩6，23c ≤≤.……………………10分336S a b c c ==--+-7………………………………………………………………12分max 12S =-，min 15S =-，xy =180…………………………………………………15分三、（本题满分20分）解：设每船可装a 升汽油，则每升油可行驶300a 海里，设两船用了x 升汽油返回，根据题意得22a x a x a x a -+-+-=…………………………………………………………12分解得25a x =.……………………………………………………………………………14分12300()21025a a a⨯+⨯=………………………………………………………………19分答：第3艘船最远可巡逻至210海里处.………………………………………………20分四、（本题满分20分）解：不妨设a b c >>，则111a b c<<，因为6665ab bc ca abc ++=，所以11156a b c ++=，………………………………………………………………………5分所以11113c a b c c<++<，……………………………………………………………………8分所以1536c c <<，所以61855c <<，所以=2c 或3.…………………………………12分当=2c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，所以1123b b <<，所以36b <<，所以=4b 或5.若=4b ，则=12a ；若=5b ，则15=2a （舍）.…………………………………16分当=3c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，……………………………………………18分所以1122b b<<，所以24b <<，所以=4b （舍）.所以=18a b c ++.……………20分。
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关 系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。
2018年初中数学联赛试题(含答案)
12018年初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ,C .当△ABC 为等边三角形时，其边长为( )A.6B.22C.23D.322.如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，AB =1，∠CAE =15°，则BE=( )A.33 B.222-1 33.设p ,q 均为大于3的素数，则使p 2+5pq+4q 2为完全平方数的素数对(p ,q )的个2数为( )A.1B.2C.3D.44.若实数a ,b 满足a-b=2,()()22114a b ba-+-=,则a 5-b 5=( )A.46B.64C.82D.1285.对任意的整数x ,y ，定义xy =x +y -xy ，则使得(xy )z +(yz )x +(zx )y =0的整数组(x ,y ,z )的个数为( )A.1B.2C.3D.46.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是( ) A.60 B.61 C.62 D.63二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______.32.若实数x ,y 满足()3311542x y x y +++=，则x +y 的最大值为_______. 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.4.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0，a 2+b 2+c 2=1，则555a b cabc++=_______.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知x 1,x 2,x 3 (x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3-3x 2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则22211234x x x x -++=( )A.5B.6C.7D.83.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠AB F ＝( )4A.12B.35C.2D.24.=的实数根的个数为( )A.0B.1C.2D.35.设a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ,b ,c )的个数为( )A.4B.5C.6D.76.已知实数a ,b 满足a 3-3a 2+5a=1，b 3-3b 2+5b=5，则a +b =( )A.2B.3C.4D.5二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.已知p ,q ,r 为素数，且pqr 整除pq +qr +rp -1，则p +q +r =_______.2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_______.3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD，则DE =_______.4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_______.第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA 上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.56（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； （2）求CE +2DE 的最小值.三、（本题满分25分）求所有的正整数m ,n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数.第二试（B ）一、（本题满分20分）若实数a ,b ,c 满足(a+b+c)11195555a b c b c a c a b ⎛⎫++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求(a+b+c)111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.二、（本题满分25分）如图，点E在四边形ABCD的边AB上，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=AC，DE=DC.. （1）证明：ADBC；（2）设AC与DE交于点P，如果∠ACE=30°，求DPPE三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.7。
2018初中数学竞赛试卷精选题10套含答案(华师大版)
2018初中数学竞赛试卷精选题10套含答案一一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图，三个图形的周长相等，则（）（A）c<a<b （B）a<b<c （C）a<c<b （D）c<b<a2a2aa abc c2．已知a<b，那么)()(3bxax++--的值等于（）（A）))(()(bxaxax+++-（B）))(()(bxaxax+++（C）)()()(bxaxax++-+-（D）))(()(bxaxax++-+3．若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）34．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（）（A）69°（B）)9623(（C）)13900(（D）不能确定5．已知正数a,b满足a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8，a2-b2=（）（A）1 （B）3 （C）5 （D）不能确定二、填空题（每小题6分，共30分）6．如图，三角形数表第82行的第3个数是_____________.7.如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_________.8.已知naaa,,,21是正整数,且n aaa≤≤≤21,,1021=+++naaa,2422221=+++naaa则=),,,(21naaa______________________________.9.今天是星期日,若明天是第一天,则第20033-20023+20013-20003+…-23+13天是星期__________________.10.在2×2的正方形表中填入4个不同的非零平方数,使每一行、每一列的和都是平方数。
（注：平方数是指一个整数的平方）三、解答题（每小题20分，共60分）11．数学集训队教练要将一份资料复印给23名队员，校内复印店规定300页以内每页1角5分，超过部分每页1角，这23份资料一起复印的费用正好是单份复印时的20倍，问这份ABCDE……12345678910111213141516（第6题）953351016第7题复印资料共有几页？12．在△ABC 中,∠ACB=90°，是AB 上一点，M 是CD 的中点，若BMD AMD ∠=∠，求证：ACD CDA ∠=∠2。
2018年全国初中数学联赛模拟试题(含答案)
2018年全国初中数学联赛模拟试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1．已知a 、b 、c 是两两不相等的实数．则方程（x-a ）（x-b ）+（x-b ）（x-c ）+（x-c ）（x-a ）=0根的情况为（ ）．（A ）必有两个不相等的实根 （B ）没有实根（C ）必有两个相等的实根 （D ）方程的根有可能取值a 、b 、c2．在半径为1的圆内，自点A 出发的所有长度不小于该圆的内接正△ABC•的边长a 的弦，所组成的图形的面积为（ ） （A ）2π+23 （B ）3π+22 （C ）2π+33 （D ）3π+323．已知a 、b 为实数，设b-a=2 006，如果关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0的根都是整数，则该方程的根共有（ ）组．（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）104．如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、……．•已知该三角形数表中每个“”中的数均为正整数的倒数，且等于与其相连的两脚下数之和．如果第一行中的那个数是11，则第三行中的数从左至右的填法有（ ）．（A ）恰有一种 （B ）恰有两种 （C ）恰有三种 （D ）有无数多种5．在△ABC 中，AB<BC<CA ，且AC-AB=2，AD 为∠BAC 的平分线，E 为边AC 上的一点，•联结BE 交AD 于点G ，且2,AC AE AGCD BD GD===2 007，则边BC 的长为（ ）． （A ）2 008 （B ）2 007 （C ）2 006 （D ）2 0056．某次数学竞赛设选择题（含6个小题）、填空题（含4个小题）、解答题（含3个小题）分类，其中，选择题、填空题均每小题7分，解答题中第1小题20分、第2、3小题每小题25分，满分140分．评分标准是：选择题、填空题做对得7分，不做或做错得0分；解答题设0分，5分，10分，15分，20分，25分共6档．那么，这次考试所得的不同分数最多有（ ）种．（A ）141 （B ）129 （C ）105 （D ）117二、填空题（每小题7分，共28分） 1．已知a 、b 、c 均为非零实数，满足：b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，则()()()a b b c c a abc+++的值为_________． 2．点G 是△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB 、AC 分别交于点M 、N ．已知,AM ANm AB AC==n ．则一次函数y=-nmx+n 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积的最小值为______．3．把n 个大小均不相同的正方形互不重叠地拼在一起，•所得的图形的面积恰为2006，则n 的最小值为______．4．如图，两个全等的边长为正整数的正△A 1B 1C 1和正△A 2B 2C 2的中心重合，•且满足A 1B 1⊥A 2C 2，若六边形ABCDEF 的面积为S=13m n-，其中，m 、n 为有理数，则mn的值为_______．第二试一、（20分）求证：面积和周长分别对应相等的两个直角三角形全等．二、（25分）已知k、a都是正整数，2 004k+a、2 004（k+1）+a都是完全平方数．（1）请问这样的有序正整数（k，a）共有多少组？（2）试指出a的最小值，并说明理由．三、（25分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M•在对角线BD 上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）AN AM CN CM．参考答案第一试 一、1．A ．原方程可化为3x 2-2（a+b+c ）x+ab+bc+ca=0． 其判别式为△=4（a+b+c ）2-4×3（ab+bc+ca ） =2[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]．因为a 、b 、c 两两不相等，则△>0，所以，方程必有两个不相等的实根． 2．D ．由题给条件易知，这些弦组成的图形恰为正△ABC 及其所对的弓形． 设△ABC 的中心为O ，则小扇形BOC 的面积为3π．而S △AOB =S △AOC =12×12×sin120°．故所求的图形的面积为2+3π． 3．B ．由韦达定理得x 1+x 2=-a ，x 1x 2=b ，则x 1+x 2+x 1x 2=2 006． 所以，（x 1+1）（x 2+1）=2 007=9×223=-9×（-223）=3×669=-3×（-669）=1×2 007=（-1）×（-2 007）． 易知方程有6组解． 4．C ．设第二行的两个数为m 、n ，则11m n+=1（m 、n ∈N +）． 于是，m=1111n n n =+--，解得n-1=1．从而，n=2，且n=2， 即第二行的数只能为12，12． 设第三行中12脚下的两个数为12=11m n+（m 、n ∈N +）． 则m=24222n n n =+--．故（n-2）│4，知n-2=1，2，4．于是，6,4,3,34, 6.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 故第三行的数由左到右是13，16，13或16，13，16或14，14，14． 5．B ．如图，过点E 作EF ∥AD 交CD 于点F ，设AB=x ，则AC CD CDAE DF BD==． 有BD=DF ．所以，DG 为△BEF 的中位线，则BG=GE ． 又∠BAG=∠EAG ，所以，AB=AE=x ． 得CE=AC-AE=AC-AB=2． 又因EF ∥AD ，所以AE CE ACDF CF CD===2． 故DF=2x，CF=1． 而222EF CE AD AC AE CE x ===++ 及22220081EF GD AG AD AG GD GD===++，故x=2 006． 因此，BC=2 007． 6．D（1）选择题及填空题的得分有0，7，14，…，70共11种可能，解答题得分有0，5，10，•…，70共有15种可能，故产生11×15=165种结果．（2）下列23个分数0，5，7，10，12，14，15，17，19，20，21，22，24，25，26，27，•28，•29，30，31，32，33，34可以得到且只有一种获得方法；又35=7×5=5×7，即35•分可表示为做对5个7分或7个5分的题，故前面23个分数相应分别加上35•所得的分数均有两种获得方法．于是，这新的23个分数各有两种获得方法，且均小于70．根据对称性，用140减去新的23个分数所得的数也均有两种表示方法，这些数恰为71到140之间的能够取到的分数．前后共计2×23=46个数．（3）由70=7×10=5×14=7×5+5×7，知共有三种获取方法． 故满足不重复的要求的不同分数共165-46-2=117（种）．二、1．-1或8．令b c a c a b a b ca b c+-+-+-===k，则b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b，a+b=（k+1）c．于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）．故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c．所以()()()a b b c c aabc+++=-1或8．2．29如图，在△ABD中，应用梅涅劳斯定理得AM BE DGMB ED GA=1，即12MB EDAM BE=．在△ADC中，应用梅涅劳斯定理得AG DE CNGD EC NA=1，即12DE CNEC NA=．则1122BM CN BE EC DEAM AN ED DE DE+=+==1．故BA CAAM AN+=3，即11m n+=3．所以，3mn=m+n≥mn mn≥49．而一次函数y=-nmx+n与x轴、y轴的交点坐标为（m，0），（0，n），故所求的三角形的面积S=12mn≥29，且当且仅当m=n时，等号成立．注：本题也可以用特殊值法求解．3．3．设n个正方形的边长分别为x1，x2，…x n，则x12+x22+…+x n=2006.由于x i2≡0或1（mod 4），而2 006≡2（mod 4），故x i中至少有两个奇数。
2018年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)(含答案)
2018年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）（2018年4月１９日 上午９：00—１１：３０）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、从分数组{}111111,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）（A ）1148与 (B)11410与(C)11810与 (D)11812与 2的结果是（ ）（A ）12383、555的末尾三位数字是（ ）（A ）125 (B)375 (C)625 (D)8754、若实数,,x y z 满足方程组： 1.........(1)2 2..........(2)2 3...........(3)2xyx y yzy z zxz x⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 则有（ ）（A ）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0 5、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）（A ）15 (B)18 (C)21 (D)246、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数ab cd 与，结果所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数，则ab cd +=（ ） （A ）４０ (B)５０ (C)６０ (D)７０ 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、设(9,x y +==则 .8、一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 . 9、如图，在边长为1的正三角形ABC 中，由两条含0120圆心角的弓形弧 AOB ， AOC 及边BC 所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 .10、不超过6的最大整数是 . 三、解答题（共70分）11. （本题满分20分）设a 为整数,使得关于x 的方程a 2x -(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12. （本题满分25分）如图，四边形中ABCD 中 ，E,F 分别是AB,CD 的中点，P 为对角线AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于M ，PE 交BC 于N ，EF 交MN 于K; 求证：K 是线段MN 的中点.FCD A PE MK BN13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？参考答案－、选择题（每小题7分，共42分） 1 、解：由1114123+=，而1111,236++=故删去11810与后，可使剩下的数之和为1. 故选C212====12.故选A .3、解：555=5×545=5×18125，因125被8除余l ，所以18125被8除余l ，故知555被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A 4 、解：由（1）、（3）得2x y x =-，63x z x =-,故x ≠0，代人（2）解得2710x =，所以277y =， z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是10X ＋7y ＋Z ＝0．故选D5、解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形. 故选C6、解：设28abcd =3()xy ，则据末位数字特征得y ＝2，进而确定xy ： 因360＝216000，370＝343000，所以60＜xy ＜70，故只有，xy =62， 而262＝238328，则ab ＝38，cd ＝32，ab ＋cd =70. 故选D 二．填空题（每小题7分，共28分）7、解：据条件式9........1xy +=（）令z ，则（1）式化为：z xy ++＝9，即有9-z ＝xy81-18z ＋2z ＝2222(1)(4)2x y x y xy++++ ……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy++++代入（2）得，81-18z=4,所以7718z =. 8、解：l ＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如ab 的页码被当成ba 后，加得的和数将相差9a b -，因为,a b 只能在1，2，…，9中取值，a b -≤8，得9a b -≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是ab 和cd ，若9a b -=72，9c d -=45，只有ab ＝19，而cd 可以取l6，27，38，49；这时ab +cd 的最大值是68；若9a b -=63，9c d -=54，则ab 可以取18，29，而cd 可以取17，28，39，ab +cd 的最大值也是68．9、解：如右图，连OA ，OB ，OC ，线段 OA 将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O 旋转0120后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△A BC .10、解：6=3(8+，令 8+a ，8-b ，得 a ＋b ＝16，ab=4，a,b 是方程21640x x -+=的两个根， 故得2a ＝16a －4，2b ＝16b －4；3a ＝162a －4a ，32164b b b =-；所以3a +3b ＝16（2a +2b ）-4（a+b ）＝16（16（a+b ）一8）－4（a+b ）=252（a+b ）-128=3904.∵0＜b ＜1，∴0＜3b ＜1， ∴3a 的最大整数值不超过3903. 三.解答题（共70分）11、解：当a ＝0时，方程的有理根为75x =； ……5分F CD A PEMK B N以下考虑a ≠0的情况，此时原方程为一元二次方程，由判别式2(5)4(7)0,a a a +-+≥即32a ＋18a －25≤0a ≤≤ 整数a 只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3，－4，－5，－6，－7中取值，10 分由方程得x = (1)当a ＝1，由（1）得x ＝2和4；当a=－1时，方程无有理根；当a ＝－2，由（1）得x ＝1和－52；当a=－3时，方程无有理根； ……15分 当a ＝－4，由（1）得x ＝－1和34；当a=－5时，方程无有理根；当a ＝－6，由（1）得x ＝12和－13；当a ＝－7时，由（1）得x ＝37和17-； 20分12、证明：EF 截△PMN ， 则.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN =……5分 BC 截 △PAE ，则.. 1...........(2)EB AC PNBA CP NE =， 即有2,PN CPNE AC= 所以2..............(3)PE CP ACEN AC+=, 10分 AD 截△PCF ，则..1,FD CA PMDC AP MF= 即22,............(4)PM AP PF AP ACMF AC MF AC-=∴=……15分 因AP ＝AC ＋CP ，得2CP ＋ AC ＝2AP －AC ，由(3),(4)得，,........20PE FPEN MF=分 即.1,MF PEFP EN=所以由(1)得 NK ＝KM ，即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解：将这120人分别编号为12120,,....,P P P ，并视为数轴上的120个点，用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ，2，3，4，5，则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k=l ，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于1A +2345A A A A +++＝246， 故至少染有三色的点不多于2463=82个，……10分 右上图是满足条件的一个最佳染法，即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色；点1237,,....,P P P 这37个点染第二色；点383983,,....,P P P 这46个点染第四色；点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色；点252678,,....,P P P 这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分8546 5437 24。
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
2018 年全国初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．设二次函数 2a2y x ax 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B,C .当△ABC 为等边三角22形时，其边长为（）A. 6 ．B.2 2 ．C.2 3 ．D.3 2 ．【答】C.2a由题设知A (a ,) .设B(x1,0) ，C(x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则22aBC | x 1 x |(x x ) 4x x 4a 42a .2 2 22 1 2 1 2223 3a又AD BC | | 2a，则 2 ，解得a 2 6 或a 2 0 （舍去）.2 2 2所以，△ABC 的边长BC 2a 2 2 3 .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD的平分线交BD 于点E ，AB 1，CAE 15，则BE （）A.33． B.22． C. 2 1． D. 3 1． A D 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得BAF FAD AFB HEF 45，B F AB1，EBH ACB 30.EB CH F设BE x，则xHF HE，23xBH .2因为BF BH HF ，所以13 xx，解得x 3 1.所以BE 31.2 23．设p,q 均为大于 3 的素数，则使p 2 5pq 4q 为完全平方数的素数对(p,q) 的个数为（）2A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 10 页）设p2 5pq 4q2 m2 （m 为自然数），则(p 2q)2 pq m2 ，即(m p 2q)(m p 2q) pq .由于p,q 为素数，且m p 2q p,m p 2q q ，所以m p 2q 1，m p 2qpq ，从而pq 2p 4q 1 0，即(p 4)(q 2) 9，所以(p,q) (5,11)或(7, 5) .所以，满足条件的素数对(p,q) 的个数为 2.2 24．若实数a,b 满足a b 2，(1 ) (1 ) 4a b，则a5 b5 （）b aA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.( 2 21 a) (1 b)由条件 4得a b 2a2 2b2 4ab a3 b3 0，b a即(a b) 2[(a b)2 4ab] (a b)[(a b)2 3ab] 0，又a b 2，所以2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0，解得ab 1.所以a2 b2 (a b)2 2ab6 ，a b a b a b ab ，a5 b5 (a2 b2 )(a3 b3) a2b2 (a b) 82 .3 3 ( )[( )2 3 ] 145．对任意的整数x, y ，定义x@ y x y xy ，则使得(x@ y)@z (y @z)@x (z@x)@ y的整数组(x, y, z) 的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@ y)@z (x y xy)@z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ，由对称性，同样可得(y@z)@x x y z xy yz zx xyz ，(z@x)@ y x y z xy yz zx xyz .所以，由已知可得x y z xy yz zx xyz 0 ，即(x 1)(y 1)(z 1) 1.所以，x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：x 11, y 1 1,z 1 1,x 11,或y 11,z 11,x1 1,或y 11,z 11,x或yz1111,1,1,所以，(x, y, z ) (2,2,0)或(2,0,2) 或(0,2,2) 或(0,0,0)，故共有 4 个符合要求的整数组.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 10 页）1 1 116．设M ，则2018 2019 2020 2050 1M的整数部分是（）A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.1 201815 因为M 33 ，所以61.2018 M 33 331 1 1 1 1 1又M ( ) ( )2018 2019 2030 2031 2032 20501 1 134513 20 ，2030 2050 832301 183230 1185所以61 ，故的整数部分为 61.M 1345 1345 M二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC 2AB ，CE AB于E ，F 为AD 的中点，若AEF48，则 B _______．【答】84.AF 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形.D由AB // FG // DC及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点.又CE AB，所以CE FG ，所以FH 垂直平分CE ，故DFC GFC EFG AEF 48.所以B FGC 180 248 84 .E HB CG2．若实数x, y 满足1 15x 3 y 3 (x y ) ，则x y的最大值为．4 2【答】3.1 1 1515由x 3 y 3 (x y ) 可得x y x 2 xy y 2 x y ，即( )( ) ( )4 4 222 2 1 15(x y)(x xy y ) . ①4 2令x y k ，注意到 2 2 1 ( )2 3 2 1 0x xy y x y ，故x y k 0 .y4 2 4 4又因为x2 xy y2 1 (x y)2 3xy 1 ，故由①式可得 3 3 1 15k xyk k ，所以4 4 4 2 115k k34 2xy .3k1 15k k34 2于是，x, y 可看作关于t 的一元二次方程t2 kt 0 的两根，所以3k1 15k k34 22 ，( k) 4 03k化简得k3 k 30 0 ，即(k 3)(k2 3k 10) 0，所以0 k 3.故x y 的最大值为3.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 10 页）3．没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8787 6 18816个.当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为887 6 2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504（个）.4．已知实数a,b,c满足a b c 0 ，a 2 b 2 c 2 1，则a5 5 5b cabc．5【答】.21 2 2 2 21由已知条件可得ab bc ca a b c a b c ，a 3 b 3 c 3 3abc ，所以[( ) ( )]2 2a 5bc (a 2 b 2 c2 )(a 3 b 3 c3) [a2 (b 3 c3 ) b2 (a 3 c3) c2 (a 3 b3)]5 53abc (a2b2c a2c2b b2c2a) 3abc [a b (a b) a c (a c) b c (b c)]2 2 2 2 2 21 53abc abc(ab bc ca ) 3abc abc abc .2 2所以5ab5abc5c52.第一试(B)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．满足(x 2 x 1)x 2 1的整数x 的个数为（）A.1． B.2． C.3． D.4．【答】C.当x 2 0且x 2 x 1 0时，x 2.当x2 x 1 1时，x 2或x 1.当x2 x 11且x 2为偶数时，x 0.所以，满足条件的整数x 有 3 个.2．已知x1, x2 ,x3 (x1 x2 x3 )为关于x 的方程x3 3x2 (a 2)x a 0 的三个实数根，则4x x x x （）2 2 21 12 3A.5．B.6．C.7．D.8．2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 10 页）【答】A. 方程即 (x1)(x 22x a ) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小于 1，另一根大于 1，于是 x 2 1, x 1 x 3 2 ，故4x x x x (xx )(xx )4x12(xx ) 4x12 2 2 1123313113112(x x )15 .313．已知点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边CD ， AD 上，CD 4CE ，EFB FBC ，则tan ABF（）A. 12 ．B. 35．C. 2 2．D. 3 2．【答】B. 不妨设CD 4，则CE 1,DE 3.设 DF x ，则 AF 4 x ， EFx 29 .作 BHEF 于点 H .因为 EFBFBC AFB ， BAF 90 BHF ， BF 公共，所以△ BAF ≌△ BHF ，所以 BH BA 4.由 S 四边形ABCDSABFSBEF SDEFSBCE 得ADF1 11 14 2 xx 2x， 222 2 4 (4 ) 4 934 18解得 所以x . 512 AF 3 AF4 x， tanABF.5 AB 5BH EC4．方程 3 9 x3 x 的实数根的个数为（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B. 令 y 9 x ，则 y 0，且 x y 2 9 ，原方程变为 3 y 3 y 2 9 ，解得 y 1或 y 6，从而可得 x 8或 x 27 .检验可知： x 8是增根，舍去； x27 是原方程的实数根.所以，原方程只有 1 个实数根.5．设 a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样的三元 数组 (a ,b ,c )的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得， a 2017bc 2018，b 2017ac 2018 ，c 2017ab 2018，两两作差，可得(a b)(1 2017c) 0，(b c)(1 2017a) 0，(c a)(1 2017b) 0.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 10 页）1由(a b )(1 2017c ) 0，可得 a b 或c .20172018（1）当a b c 时，有2017a 2 a 2018 0，解得a 1或a .20171 1a ， c 2018 .2017 2017（2）当a b c 时，解得b1 1 1 11 （3）当a b时，c ，此时有：a ,b 2018 ，或a 2018 ,b .2017 2017 2017 2017 2017故这样的三元数组(a,b,c)共有 5 个.6．已知实数a,b 满足a 3 3a 2 5a 1，b 3 3b 2 5b 5，则a b （）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得(a 1)3 2(a 1) 2，(b 1)3 2(b 1) 2 ，两式相加得(a 1) 2(a 1) (b 1) 2(b 1) 0 ，3 3因式分解得(a b2)[(a 1)2 (a 1)(b 1) (b1)2 2] 0 .因为1 3(a 2 a b b 2 a b 2 b 2 ，2 41) ( 1)( 1) ( 1) 2 [( 1) ( 1)] ( 1) 2 0所以 a b 2 0，因此 a b 2.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．已知p,q,r 为素数，且pqr 整除pq qr rp 1，则p q r _______．【答】10.设kpq qr rp 1 1 1 1 1，由题意知k 是正整数，又p,q,r2 ，所以pqr p q r pqr3k ，从2而k 1，即有pq qr rp 1pqr ，于是可知p,q,r 互不相等.当2 p q r 时，pqr pq qr rp 1 3qr ，所以q 3，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r，故(q 2)(r 2) 3，所以q 2 1,r 2 3，即q 3,r 5 ，所以，(p,q,r) (2,3,5) . 1再由p,q,r 的对称性知，所有可能的数组( p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3) ，(3,2,5) ，(3,5,2) ，(5,2,3) ，(5,3,2) .于是p q r 10 .2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 10 页）2．已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为m2 ,n (m 2 n) ，则m 2 n m2n 1000，即(m 2 1)(n 1) 1001.又1001100111437 9111 7713 ，所以(m 2 1,n 1) ＝(1001, 1) 或(143, 7) 或(91,11) 或(77,13) ，验证可知只有(m 2 1,n 1) (143,7) 满足条件，此时m 2 144,n 8.3 ．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB 6 ，BC 10 ，BAD BCD ，EDC ABD ，则DE ．F【答】4.1延长CD 至F ，使DF DC ，则DE// AF 且DE AF ，A2AFD EDC ABD ，故A, F, B, D 四点共圆，于是所以DEB CBFD BAD BCD，所以BF BC 10 ，且BD FC ，FAB FDB 90.故1又AB 6，故AF 102 62 8，所以AF 4DE .24．已知二次函数y x 2 2(m 2n 1)x (m 2 4n 2 50) 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为．【答】16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以 [2(m 2n 1)]2 4(m 2 4n 2 50) 0 ，整理得514mn 2m 4n 49 ，即(m n .因为m,n 为正整数，所以(m 1)(2n 1) 25.1)(2 1)225又m 1 2，所以2n ，故n 5.1225 22当n 1时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 8 个；m ，故3 3当n 2 时，m 1 5，故m 4，符合条件的正整数对(m,n)有 4 个；25 18当n 3时， 1m ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 2 个；7 725 17当n 4 时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个；m ，故9 925 14当n 5时，m 1 ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个.11 11综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有 8＋4＋2＋1＋1＝16 个.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 10 页）第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d 为四个不同的实数，若a,b 为方程x 2 10cx 11d 0的根，c,d为方程x 2 10ax 11b 0的根，求a b c d 的值.解由韦达定理得a b 10c ，c d 10a，两式相加得a b c d 10(a c) .……………………5 分因为a 是方程x 2 10cx 11d 0 的根，所以a 2 10ac 11d 0 ，又d 10a c ，所以a 110 11 10 0 . ①……………………10 分2 a c ac类似可得c 2 110c 11a 10ac 0 . ②……………………15 分①－②得(a c)(a c 121) 0.因为a c，所以a c 121，所以a b c d 10(a c ) 1210. ……………………20 分二、（本题满分25 分）如图，在扇形OAB 中，AOB 90，OA 12 ，点C 在OA上，AC 4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；A（2）求CE 2DE 的最小值.解(1)分别过O, E 作CD 的垂线，垂足为M , N .CE由OD 6,OC 8，得CD 10.所以FMN1S S OCD S ECD CD (OM EN)OD B21 1CD OE 10 12 60，……………………5 分2 2当OE DC 时，S 取得最大值 60.此时，12 68 36EF OE OF . ……………………10 分10 5G （2）延长OB 至点G ，使BG OB 12 ，连结GC,GE .因为O DOEO EOG12 ，DOEEOG，D EEG12，故EG2DE .所以△ODE∽△OEG，所以……………………20 分所以CE 2DE CE EG CG 242 82 8 10 ，当C, E,G 三点共线时等号成立. 故CE 2DE 的最小值为8 10 . ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 8 页（共 10 页）三、（本题满分25 分）求所有的正整数m,n ，使得m3n 3m2n2(m n)2是非负整数.解记Sm n m n3 3 2 2，则(m n)2S(m n)[(m n ) 3mn ] m n 3mn mn(m n )( ) .2 (m n) 22m n m n因为m,n 为正整数，故可令mnm n qp，p,q 为正整数，且( p,q ) 1.于是S3q q2 3pq q2 (m n ) (m n ).p 2 2p p因为S 为非负整数，所以p | q2 ，又( p,q ) 1，故p 1，即(m n) | mn . ①……………………10 分所以2nmnnmnmn是整数，所以(m n) | n2 ，故n 2 m n ，即n 2 mn .又由S 0，知m 3 n 3 m2n 2 0 . ②所以n 3 m2n 2 m 3 m2 (n 2 m ) m2n，所以n m.由对称性，同理可得m n，故m n. ……………………20 分把m n代入①，得2 | m ，则m 2.把m n代入②，得2m 3 m 4 0，即m 2 .故m 2.所以，满足条件的正整数m,n 为m 2，n 2 . ……………………25 分第二试（B）1 1 1 9一、（本题满分20 分）若实数a,b,c 满足(a b c )( ) ，求a b 5c b c 5a c a 5b 51 1 1(a b c )( )的值.a b c解 记 a b c x ， ab bc ca y ， abc z ，则( a bc )( a 1 b 5cb1 c 5ac1 ) a 5b x( x 1 6ax 1 6bx 1) 6c3 x 2 x [3x 6( a12( a b c )x b c )x36(ab2 36(ab bc bc ca )xca )] 216abcx (9x 36y ) 2 5x 3 36xy 216z， ……………………10 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 9 页（共 10 页）结合已知条件可得x( 9x 36y) 925 3 36 2165x xy z27，整理得xy z .所以21 1 1 xy 27(a b c )( ) . ……………………20 分a b c z 2二、（本题满分25 分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB AC ，DE DC.（1）证明：AD // BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果ACE 30，求DP PE.解（1）由题意知ACB DCE 45，BC 2AC ，EC 2DC ，AD 所以DCA ECB ，AC DC，所以△ADC ∽△BEC ，故DACBC ECEBC 45，所以DAC ACB ，所以AD // BC . EP……………………10 分B C（2）设AE x ，因为ACE 30，可得AC 3x ，CE 2x ，DE DC 2x .1因为EAP CDP 90，EPA CPD ，所以△APE ∽△DPC ，故可得S APE S DPC.2 ……………………15 分3又S EPC APE ACE 2 ，S EPC S DPC S CDE x2 ，于是可得S S x2S DPC ，S EPC ( 3 1)x2 . ……………………20 分(2 3)x2所以DPPESSDPCEPC2 33 1. ……………………25 分3 1 2三、（本题满分25 分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x 1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解设x abcd ，由题设知m 与n 的最大公约数(m,n)为大于 2 的素数.若d 9 ，则n m 1，所以(m,n) 1，矛盾，故d 9. ……………………5 分若c 9 ，则n m 19 m 8 ，故(m,n) (m, 8) ，它不可能是大于 2 的素数，矛盾，故c 9 .……………………10 分若b 9 ，显然a 9 ，所以n m 19 9 9 m 26，故(m,n) (m, 26) 13，但此时可得n ，m n 26 39 36，矛盾. ……………………15 分13若b 9，则n m 19 9 m 17，故(m,n) (m,17) 17，只可能n 17,m 34.……………………20 分于是可得x 8899或9799. ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 10 页（共 10 页）。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。