齿轮啮合原理-第四章概要
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已知：平面曲线的方程式 F ( x, y) 0 和P点的坐标 x0 , y0 切线 则：平面曲线的切线为：
Fx x0 , y0 y y0 x x0 Fy x0 , y0
切点P
曲线C
平面曲线
1.3 平面曲线的法线
齿轮啮合原理
曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面 上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直 的那条直线（即向量）。 已知：平面曲线的方程式 F ( x, y) 0 和P点的坐标 x0 , y0 切线 则：平面曲线的法线为：
3
曲率半径：R a
1
3 2
2 2
a2 3 扇形M1OM2的面积： S 2 13 6
平面曲线
3、平面曲线相关应用
齿轮啮合原理
平面曲线本身是没有具体实物存在的，它只不过是我们为
了理解事物，解决问题而抽象出来而又能代表问题，通过 对曲线性质的理解和应用，从而解决问题。下面介绍几种 常见的应用。
x x0 y y0 Fy x0 , y0 Fx x0 , y0
曲线C 切点P
法线
平面曲线
1.4 平面曲线的曲率
齿轮啮合原理
用矢量函数 r s C 2 ， s E 表示的曲线，式中s是曲线的弧长。
s 曲线上分别与s和（s+ ）对应的两个相邻的点 M和N。 而
齿轮啮合原理
渐近线： x y a 0
圈套的面积：
3a 2 S1 2
3a 2 曲线与渐近线之间的面积： S 2 2
平面曲线
2.2 心脏线
齿轮啮合原理
它是使OM = OP ± a的点M的轨迹（a为圆的直径，P 为圆周上的一点）。它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆 的直径相等）
2 2 2 2 2 2 方程式： x y 2 ax x y a y 2
平面曲线
3.2 凸轮轮廓的应用
齿轮啮合原理
凸轮机构应用广泛。其最大优点是只要适当设计出凸轮的
轮廓曲线，就可以使推杆实现各种预期的复杂运动规律，
而且响应快速，机构简单紧凑。
平面曲线
齿轮啮合原理
设计方法有图解法、解析法。由于图解法难以满足对凸轮机 构精度的要求，现多采用解析法。用解析法设计凸轮轮廓曲 线时需对该机构进行运动分析，列矢量方程表达式，建立方
全曲线长：L = 6a
3 3 曲线所围成的面积： S a 8
平面曲线
2.4 阿基米德螺旋线
齿轮啮合原理
曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以 定角速度绕极点转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两 支曲线组成，它们关于x轴对称。 方程式： a
弧长： LOM
a v
a 2 1 Arsh 2
齿轮啮合原理
平面曲线
1.1 平面曲线的三种表示形式
齿轮啮合原理
1）函数方程： y f ( x) （显函数曲线） 2）二元方程： F ( x, y) 0 （隐函数曲线）
3）参数方程： x x(t ), y y(t ) （参数曲线）
平面曲线
1.2 平面曲线的切线
齿轮啮合原理
曲线的切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直 线，更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时， 切线的方向与曲线上该点的运动方向是相同的。
程，进行数值求解，得到推杆的运动学、动力学等规律。
平面曲线
齿轮啮合原理
如图所示，为一通用凸轮
曲线的各项运动规律曲线，
通过对推杆位移规律曲线 S的分析处理，可以得到 速度V、加wenku.baidu.com度a、跃度J 等的参数变化规律从，从
3 3 3 极值点：C , D 4 a, 4 a 3 3 二重切线的切点：E , F 4 , 4 a
曲线长：
L = 8a
平面曲线
2.3 圆内摆线
齿轮啮合原理
曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周 上一点M所描成的轨迹。
a b t b 方程式： a b y a b sin t b sin t b x a b cos t b cos
的创新研究和发展具有重要意义。
平面曲线
齿轮啮合原理
图中所示，对于特定的渐开线，其基圆半径为固定值，渐开 线上各点处的压力角 及曲率半径 可由对应位置的极径 根据理 论公式计算求得。例如对于齿数为30、模数为2.0mm、分度圆
压力角为20°的渐开线标准齿轮，其基圆半径为28.19mm，求
得压力角及曲率半径值沿渐开线齿廓的分布。
是点 M和N处的两条切线之间的夹角。当点N趋近于点M时，
比值
s 的极限称为曲线在点 M处的曲率。
平面曲线
2 几种特殊的平面曲线
2.1 笛卡尔叶形线 2.2 心脏线 2.3 圆内摆线
齿轮啮合原理
2.4 阿基米德螺旋线
平面曲线
2.1 笛卡尔叶形线
方程式： x y 3axy
3 3
平面曲线
3.1齿轮传动中的应用
齿轮啮合原理
齿轮是各种机械设备中应用最为广泛的一种机械传动元件。
齿轮传动水平的高低是衡量一个国家机械工业水平高低的 重要标志。
平面曲线
齿轮啮合原理
目前齿轮创新研究和发展的重点、难点集中在轮齿横截面 齿廓曲线形状上，齿轮齿廓形状是影响齿轮承载能力和使 用寿命的主要因素之一。
平面曲线
齿轮啮合原理
渐开线齿廓自从二百多年前出现后，就一直在工程实践中
居于绝对的统治地位，目前渐开线仍是各种齿轮中最主要 的齿廓曲线形式。利用数学微分几何原理对渐开线曲线进 行曲率分析，求得渐开线各点处曲率中心的分布，可以简 化齿轮传动啮合运动机构分析。另外对渐开线曲线进行曲 率分析，是对渐开线齿轮进行齿廓啮合分析、齿形创新设 计及齿廓修形加工新工艺开发的基础和前提，对齿轮传动
LOGO
齿轮啮合原理 —平面曲线
小组成员：
谭 张 王 罗 成 彩 惠 文 军 非 煌
平面曲线
齿轮啮合原理
平面曲线
目
1 2 3 4
齿轮啮合原理
录
平面曲线的基本要素 几种特别的平面曲线 平面曲线的相关应用
平面曲线
1 平面曲线的基本要素
1.1 平面曲线的三种表示形式 1.2 平面曲线的切线 1.3 平面曲线的法线 1.4 平面曲线的曲率
Fx x0 , y0 y y0 x x0 Fy x0 , y0
切点P
曲线C
平面曲线
1.3 平面曲线的法线
齿轮啮合原理
曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面 上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直 的那条直线（即向量）。 已知：平面曲线的方程式 F ( x, y) 0 和P点的坐标 x0 , y0 切线 则：平面曲线的法线为：
3
曲率半径：R a
1
3 2
2 2
a2 3 扇形M1OM2的面积： S 2 13 6
平面曲线
3、平面曲线相关应用
齿轮啮合原理
平面曲线本身是没有具体实物存在的，它只不过是我们为
了理解事物，解决问题而抽象出来而又能代表问题，通过 对曲线性质的理解和应用，从而解决问题。下面介绍几种 常见的应用。
x x0 y y0 Fy x0 , y0 Fx x0 , y0
曲线C 切点P
法线
平面曲线
1.4 平面曲线的曲率
齿轮啮合原理
用矢量函数 r s C 2 ， s E 表示的曲线，式中s是曲线的弧长。
s 曲线上分别与s和（s+ ）对应的两个相邻的点 M和N。 而
齿轮啮合原理
渐近线： x y a 0
圈套的面积：
3a 2 S1 2
3a 2 曲线与渐近线之间的面积： S 2 2
平面曲线
2.2 心脏线
齿轮啮合原理
它是使OM = OP ± a的点M的轨迹（a为圆的直径，P 为圆周上的一点）。它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆 的直径相等）
2 2 2 2 2 2 方程式： x y 2 ax x y a y 2
平面曲线
3.2 凸轮轮廓的应用
齿轮啮合原理
凸轮机构应用广泛。其最大优点是只要适当设计出凸轮的
轮廓曲线，就可以使推杆实现各种预期的复杂运动规律，
而且响应快速，机构简单紧凑。
平面曲线
齿轮啮合原理
设计方法有图解法、解析法。由于图解法难以满足对凸轮机 构精度的要求，现多采用解析法。用解析法设计凸轮轮廓曲 线时需对该机构进行运动分析，列矢量方程表达式，建立方
全曲线长：L = 6a
3 3 曲线所围成的面积： S a 8
平面曲线
2.4 阿基米德螺旋线
齿轮啮合原理
曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以 定角速度绕极点转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两 支曲线组成，它们关于x轴对称。 方程式： a
弧长： LOM
a v
a 2 1 Arsh 2
齿轮啮合原理
平面曲线
1.1 平面曲线的三种表示形式
齿轮啮合原理
1）函数方程： y f ( x) （显函数曲线） 2）二元方程： F ( x, y) 0 （隐函数曲线）
3）参数方程： x x(t ), y y(t ) （参数曲线）
平面曲线
1.2 平面曲线的切线
齿轮啮合原理
曲线的切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直 线，更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时， 切线的方向与曲线上该点的运动方向是相同的。
程，进行数值求解，得到推杆的运动学、动力学等规律。
平面曲线
齿轮啮合原理
如图所示，为一通用凸轮
曲线的各项运动规律曲线，
通过对推杆位移规律曲线 S的分析处理，可以得到 速度V、加wenku.baidu.com度a、跃度J 等的参数变化规律从，从
3 3 3 极值点：C , D 4 a, 4 a 3 3 二重切线的切点：E , F 4 , 4 a
曲线长：
L = 8a
平面曲线
2.3 圆内摆线
齿轮啮合原理
曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周 上一点M所描成的轨迹。
a b t b 方程式： a b y a b sin t b sin t b x a b cos t b cos
的创新研究和发展具有重要意义。
平面曲线
齿轮啮合原理
图中所示，对于特定的渐开线，其基圆半径为固定值，渐开 线上各点处的压力角 及曲率半径 可由对应位置的极径 根据理 论公式计算求得。例如对于齿数为30、模数为2.0mm、分度圆
压力角为20°的渐开线标准齿轮，其基圆半径为28.19mm，求
得压力角及曲率半径值沿渐开线齿廓的分布。
是点 M和N处的两条切线之间的夹角。当点N趋近于点M时，
比值
s 的极限称为曲线在点 M处的曲率。
平面曲线
2 几种特殊的平面曲线
2.1 笛卡尔叶形线 2.2 心脏线 2.3 圆内摆线
齿轮啮合原理
2.4 阿基米德螺旋线
平面曲线
2.1 笛卡尔叶形线
方程式： x y 3axy
3 3
平面曲线
3.1齿轮传动中的应用
齿轮啮合原理
齿轮是各种机械设备中应用最为广泛的一种机械传动元件。
齿轮传动水平的高低是衡量一个国家机械工业水平高低的 重要标志。
平面曲线
齿轮啮合原理
目前齿轮创新研究和发展的重点、难点集中在轮齿横截面 齿廓曲线形状上，齿轮齿廓形状是影响齿轮承载能力和使 用寿命的主要因素之一。
平面曲线
齿轮啮合原理
渐开线齿廓自从二百多年前出现后，就一直在工程实践中
居于绝对的统治地位，目前渐开线仍是各种齿轮中最主要 的齿廓曲线形式。利用数学微分几何原理对渐开线曲线进 行曲率分析，求得渐开线各点处曲率中心的分布，可以简 化齿轮传动啮合运动机构分析。另外对渐开线曲线进行曲 率分析，是对渐开线齿轮进行齿廓啮合分析、齿形创新设 计及齿廓修形加工新工艺开发的基础和前提，对齿轮传动
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齿轮啮合原理 —平面曲线
小组成员：
谭 张 王 罗 成 彩 惠 文 军 非 煌
平面曲线
齿轮啮合原理
平面曲线
目
1 2 3 4
齿轮啮合原理
录
平面曲线的基本要素 几种特别的平面曲线 平面曲线的相关应用
平面曲线
1 平面曲线的基本要素
1.1 平面曲线的三种表示形式 1.2 平面曲线的切线 1.3 平面曲线的法线 1.4 平面曲线的曲率