全国高考文科数学试题及答案北京

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普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，解析版）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么UP =(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞【答案】D【解析】：2111x x ≤⇒-≤≤，UP =()()11-∞,-,+∞，故选D（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。

（3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【答案】D【解析】：1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题【答案】D 【解析】：或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D （5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162 (C)48 (D)16322+【答案】B 【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622⨯⨯⨯+=+故选B 。

（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+= 1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C （7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷正式版)【含答案及解析】

2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷正式版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，集合，则（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ A ） 2 （ B ）（ C ）（ D ）4. 若满足则的最大值为（ A ） 1 （ B ） 3（ C ） 5 （ D ） 95. 已知函数，则（ A ）是偶函数，且在 R 上是增函数（ B ）是奇函数，且在 R 上是增函数（ C ）是偶函数，且在 R 上是减函数（ D ）是奇函数，且在 R 上是增函数6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A ） 60 （ B ） 30（ C ） 20 （ D ） 107. 设 m , n 为非零向量，则“ 存在负数，使得 m = λn ” 是“ m · n <0” 的（ A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（ C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3 361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 10 80 ．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48 ）（ A ） 10 33 （ B ） 10 53（ C ） 10 73 （ D ） 10 93二、填空题9. 在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 . 若 sin = ，则 sin =_________ ．10. 若双曲线的离心率为，则实数 m =__________ ．11. 已知，，且 x + y =1 ，则的取值范围是 __________ ．12. 已知点 P 在圆上，点 A 的坐标为 (-2,0) ， O 为原点，则的最大值为 _________ ．13. 能够说明“ 设 a ， b ， c 是任意实数．若 a > b > c ，则a + b > c ” 是假命题的一组整数 a , b , c 的值依次为 ______________________________ ．14. 某学习小组由学生和学科网 & 教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ ）教师人数的两倍多于男学生人数．① 若教师人数为 4 ，则女学生人数的最大值为 __________ ．② 该小组人数的最小值为 __________ ．三、解答题15. 已知等差数列和等比数列满足 a 1 = b 1 =1, a 2 + a 4 =10, b 2b 4 = a 5 ．（Ⅰ ）求的通项公式；（Ⅱ ）求和：．16. （本小题 13 分）已知函数 .（ I ） f ( x ) 的最小正周期；（ II ）求证：当时，．17. （本小题 13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： [20,30 ），[30,40 ），┄ ， [80,90] ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（Ⅱ ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 [40,50 ）内的人数；（Ⅲ ）已知样本中有一半男生的分数学 . 科网不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18. （本小题 14 分）如图，在三棱锥 P – ABC 中，PA ⊥ AB ，PA ⊥ BC ，AB ⊥ BC ， PA = AB = BC =2 ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点．（Ⅰ ）求证：PA ⊥ BD ；（Ⅱ ）求证：平面BDE ⊥ 平面 PAC ；（Ⅲ ）当PA ∥ 平面 BD E 时，求三棱锥 E – BCD 的体积．19. （本小题 14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0) ， B(2,0) ，焦点在 x 轴上，离心率为．（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4:5 ．20. （本小题 13 分）已知函数．（Ⅰ ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ ）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

2019年高考文科数学北京卷真题及答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学（文）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3 （D ）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）12y x = （B ）y =2x - （C ）12log y x = （D ）1y x =（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（5）已知双曲线2221x y a -=（a >0，则a =（A（B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10.110-（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4β+4cosβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2024年北京市高考数学真题试卷及答案

绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i - C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C.D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A .1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.22B.32C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<【答案】A 【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A.2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i -B.i- C.1i-- D.1【答案】C 【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.【答案】C 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+==，故选：C.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-【答案】B 【解析】【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T xxr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：B.5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.7.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >；若1S =，则1102.12.2S S --==，可得121n n ==；若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.12.2e e S S --<，即12n n <；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C.8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知PO ⊥平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：A.10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S <D.d =，1S >【答案】C 【解析】【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定[]1,2x ∈，则()210x x x x -=-≥，且[]0,1t ∈，可知()222x x t x x x x x x ≤+-≤+-=，即2x y x ≤≤，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，如图阴影部分所示，其中()()()1,1,2,2,2,4A B C，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯=△.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．【答案】()4,0【解析】【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是13,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．【答案】12±【解析】【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立3x =与2214x y -=，解得52y =±，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．【答案】115mm,23mm 2【解析】【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设第一个圆柱的高为1h ，第二个圆柱的高为2h ，则2222212325325ππ230221065325ππ22h h h ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故223mm h =，1115mm 2h =，故答案为：115mm,23mm 2.15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.【答案】①③④【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确.对于②，取()112,2,n n n n a b --==--则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b --===--，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1n n b Aq Aq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,n y A q y kn b ==+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为n A q kn b -=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q ->即ln 0Ak q <否则ln 0Ak q >，因,n y A q y kn b =-=+单调性相反，方程n A q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为{}n a 为单调递增，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为1534.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到53sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得2sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.【小问2详解】选择①7b =，则sin 714142B b ==⨯=，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入32sin 7B b =得3332147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯⨯= .选择③sin c A =2c ⨯=，解得5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin 32C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=- 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由00m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c = ，则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==- ，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3018.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．【答案】（1）110（2）(i)0.122万元(ii)0.1252万元【解析】【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求()E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求()E Y .【小问1详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得()603010180010060301010P A ++==++++.【小问2详解】（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======，603( 1.6)100050P ξ===，303( 2.4)1000100P ξ===，101(3)1000100P ξ===，故()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=，故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元）19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b +=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】（1）2221,422 x y e+==（2）2t=【解析】【分析】（1）由题意得b c==，进一步得a，由此即可得解；（2）说明直线AB斜率存在，设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，而()121112:y yAD y x x yx x-=-++，令x=，即可得解.【小问1详解】由题意b c===，从而2a==，所以椭圆方程为22142x y+=，离心率为22e=；【小问2详解】显然直线AB斜率存在，否则,B D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,AB y kx t t=+>，()()1122,,,A x yB x y，联立22142x yy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t+++-=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t=-+-=+->，即,k t应满足22420k t+->，所以2121222424,1221kt tx x x xk k--+==++，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y-，所以()121112:y y AD y x x y x x -=-++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t -++++++====+==+++-，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩，即k 应满足22k <-或22k >，综上所述，2t =满足题意，此时22k <-或22k >.20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B 时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）【答案】（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入1k =-，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t =+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S = 得到13ln(1)21501t t t t +--=+，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t=+-->+研究其零点即可.【小问1详解】1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x '=-+=-=>-++，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∞∈+，()0f x '>；()f x ∴在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】()11k f x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即ln(1)1k t k t t t t ++=++，则ln(1)1t t t +=+，ln(1)01t t t +-=+，令()ln(1)1t F t t t=+-+，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t +-'=-=>+++，()F t ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F t F >=，()F t ∴在(0,)+∞无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).【小问3详解】1k =时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x+'=++=+=>++.1()2ACO S tf t = ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q ≠.所以0q >，则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭，令0x =，则ln(1)1t y q y t t ===+-+.215ACO ABO S S = ，则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，13ln(1)21501t t t t ∴+--=+，记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t =+-->+，∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t +-++-+--+-=--===+++++'，当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，此时()h t 单调递增；当()4,t ∞∈+时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h ⎛⎫==-⨯-=> ⎪⎝⎭，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h ⨯=--=--<⨯--=-<，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】（1）():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω（2）不存在符合条件的Ω，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接按照()A Ω的定义写出()A Ω即可；（2）利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；（3）分充分性和必要性两方面论证.【小问1详解】由题意得():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω；【小问2详解】假设存在符合条件的Ω，可知()A Ω的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a s a a a a s ⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；【小问3详解】我们设序列()21...k T T T A 为{}(),18k na n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤.必要性：若存在序列12:,,...,s ωωωΩ，使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.根据()21...k T T T A 的定义，显然有,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.所以不断使用该式就得到，12345678a a a a a a a a +=+=+=+，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.同时，由于k k k k i j s t +++总是偶数，所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,2,4,6,8k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2-1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤.假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j s t ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),s na A =Ω是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞）【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-，所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=，故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减；故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===，故2251,a a =+解得211,42a a ==，故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数，若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+，所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ，根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=，所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1，焦点F 到准线l 的距离为2，故圆心为（1,0），半径为2，所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线，若m αP ，则l m ⊥；故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯，故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤；故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++，解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-；（Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125；（III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可；（II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率；（III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ，故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形，而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面；（Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1，根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=；（II ）设()()1122,,,P x y Q x y ，则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+，解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++，将直线y=kx+t 与椭圆方程联立，得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++，故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程；（II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =，则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-，整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=；（II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6，则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==，故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦，所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤；构造函数h （x ）=f （x ）-x ，则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤，综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--，则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==，故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

北京市高考数学文科试卷及答案解析

C.8
B .4
D. 16
C.

6
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则（）
A. CE·CB=AD·DB
C. ADAAB CD2
B. CE·CB=AD·AB
D. CEAEB CD2
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为(
15．（本小题共13分）已知函数 f (x) (sin x cos x) sin 2x 。（1）求f（x）的定义域及最小正周期； sin x
（2）求f（x）的单调递增区间。
16. （本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上
的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使 A1C⊥CD,如图2.
x 3cos

y

3
sin
a1

1 2
(
，
为参数)的交点个数为
S2
12.在直角坐标系xOy中，直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线 l 的倾斜角为60º.则 AOAF 的面积为
13.己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则 DEACB 的值为
4
D.
4
开始 k=0,S=1
k=k+1
S=S· 2k
是 k<3
否输出 S
结束（第 4 题图）
)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

2020年北京市高考文科数学试卷(含解析版)

绝密★本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 <x< 3} ，则A B =（）．A.{-1, 0,1}B.{0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2} 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅z =（）．D. -2 -iA.1+ 2iB.-2 +iC.1- 2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z =1+ 2i ，∴iz =i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.33 35-rrrr +15 53.在( x - 2)5 的展开式中， x 2 的系数为（）．A. -5 【答案】CB. 5C. -10D. 10【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可. 【详解】( - 2) 展开式的通项公式为： T= C r( x ) (-2) = (-2)C rx2，令5 - r = 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .25故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2C. 12 +D.12 + 2【答案】D5-r x 35【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2 的等边三角形，侧面为三个边长为2 的正方形，则其表面积为：S = 3⨯(2⨯ 2)+ 2⨯⎛1⨯ 2⨯ 2⨯sin 60︒⎫=12 + 2 3 .2 ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1 可得答案.【详解】设圆心C (x, y )，则化简得(x - 3)2 +(y - 4)2 =1，=1，所以圆心C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，(x -3)2 +(y - 4)2所以| OC | +1 ≥| OM | == 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，32+ 42当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x-x -1 ，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．(1, +∞) A.(-1,1) B. (-∞, -1)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃(1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x和y =x +1 的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f (x)= 2x -x -1，所以f (x)> 0 等价于2x>x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y =x + 1 的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1, 2) ，不等式2x>x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f (x)> 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞).故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OC. 平行于直线OP B. 经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n}中，a1=-9 ，a3=-1 ．记T n=a1a2…a n(n =1, 2,…) ，则数列{T n}（）．A.有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d =a5-a1 =-1+ 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n=a1+(n -1)d=-9 +(n -1)⨯2 = 2n -11 ，注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1 <a7 <，且由T5< 0 可知T i< 0(i ≥ 6, i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i ≥ 7, i ∈N )可知数列{T n}不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 =1，故数列{T n}中的正项只有有限项：T2 = 63 ，T4 = 63⨯15 = 945 .故数列{T n}中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知α, β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“sin α= sin β”的（）．A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ时，若k 为偶数，则sin α= sin (kπ+β)= sin β；若k 为奇数，则sinα= sin (kπ-β)= sin ⎡⎣(k -1)π+π-β⎤⎦= sin (π-β)= sin β；(2)当sin α= sin β时，α=β+ 2mπ或α+β=π+ 2mπ，m ∈Z ，即α=kπ+(-1)k β(k = 2m)或α=kπ+(-1)k β(k = 2m +1)，亦即存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ．所以，“存在k ∈Z 使得α=kπ+ (-1)kβ”是“ sin α= sin β”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日（πD ay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．⎛30︒ 30︒⎫ ⎛30︒ 30︒⎫A.3n sinn +tan ⎪n B. 6n sin n+tan ⎪n⎝⎭⎝⎭⎛60︒ 60︒⎫ ⎛60︒ 60︒⎫C.3n sinn +tan ⎪n D. 6n sin n+tan⎪n⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似⎩y 值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为360︒ = 60︒，每条边长为 n ⨯ 6 n2 s in 30︒ ，n所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12n sin 30︒ ，n单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2 tan30︒ ，其周长为12n tan30︒ ，nn12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴2π = n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭则π = 3n ⎛sin30︒+ tan 30︒ ⎫ . n n ⎪ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率π 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 函数 f (x ) =1x +1+ ln x 的定义域是．【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 x > 0 ，∴ x > 0⎨x +1 ≠ 0 故答案为： (0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线C :x 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距6 3离是．26 3 3 3 PD |= 【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a = ，b = ，则c = 为(3, 0) ， = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标双曲线C 的渐近线方程为 y =±2 x ，即 x ± 2所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为2 y = 0 ，= .故答案为： (3, 0) ； .【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP = 1( AB + AC ) ，则| ；2PB ⋅ PD =．【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，3a 2 +b 2 3 12+ 25PD5cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2( )则点 A (0, 0) 、 B (2, 0) 、C (2, 2) 、 D (0, 2) ，AP = 1 AB + AC = 1 (2, 0) + 1(2, 2) = (2,1) ，2 2 2则点 P (2,1) ，∴ PD = (-2,1) ， PB = (0, -1) ，因此，故答案为：； -1.= ，PB ⋅ PD = 0 ⨯(-2) +1⨯ (-1) = -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) + cos x 的最大值为 2，则常数ϕ 的一个取值为．【答案】 π （2k π + π, k ∈ Z 均可） 22【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f ( x ) =( x +θ ) ，可得 = 2 ，即可解出.【详解】因为 f ( x ) = cos ϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x =sin ( x +θ ) ，所以 = 2 ，解得sin ϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2故答案为： π （ 2k π + π, k ∈ Z 均可）. 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业PD =(-2)2 +125 cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2 ϕ + (sin ϕ +1)2cos 2ϕ + (sin ϕ +1)2要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W =f (t) ，用-f (b) -f (a)的大小评b -a价在[a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0, t1],[t1, t2],[t2, t3]这三段时间中，在[0, t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】-f (b) -f (a)表示区间端点连线斜率的负数，b -a在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0, t1 ],[t1, t2 ],[t2 , t3 ]这三段时间中，甲企业在[t1 ,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1 ,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为BB1的中点．（I）求证：BC1 // 平面AD1E ；（II）求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 .3【解析】【分析】（I）证明出四边形ABC1D1为平行四边形，可得出BC1 //AD1，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（I I）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：⎩⎩在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 ，则 AD 1 = (2, 0, 2) ， AE = (0, 2,1) ，A (0, 0, 0) 、A 1 (0, 0, 2) 、D 1 (2, 0, 2) 、E (0, 2,1)，设平面 AD E 的法向量为n = (x , y , z ) ，由⎧n ⋅ AD 1 = 0 ，得⎧2x + 2z = 0 ，1⎨n ⋅ AE = 0 ⎨2 y + z = 0令 z = -2 ，则 x = 2 ， y = 1，则n = (2,1, -2).cos < =-2 . 3因此，直线AA 与平面AD E 所成角的正弦值为2 .113【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC 中，a +b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：c = 7, cos A =-1 ；7条件②：cos A =1, cos B =9．816注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =3, S = 6 3 ；2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =7, S =157.4 4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A, sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A =-17a +b =11∴a= 8 +c2- 2bc cos A∴a2= (11-a)2+ 72- 2(11-a) ⋅7 ⋅(-1)7（Ⅱ）cos A =-1，A∈(0,π)∴sin A = =4 3 7 7n, AA >=1n ⋅AA1n ⋅AA1=-43⨯ 2a2=b21- cos2A1- cos 2 B a 由正弦定理得： sin A = c ∴8 sin C 4 3 7= 7 sin C ∴sin C = 3 2S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯8⨯ 3 = 6 2 2 2 选择条件②（Ⅰ） cos A = 1 , cos B = 9，A , B ∈(0,π )∴sin A 8 16 = 3 7, s in B == 5 7 8 16a =b ∴a = 11- a ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（II ） sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + sin B cos A =3 7 ⨯ 9 + 5 7 ⨯ 1 =7S = 1 ba sin C = 1(11- 6) ⨯ 6⨯7 = 15 78 16 16 8 42 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（I ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；31- cos 2 A 男生女生支持不支持支持不支持方案一 200 人 400 人 300 人 100 人方案二 350 人250 人150 人250 人（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）1【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为33 ，该校女生支持方案一的概率为；4（Ⅱ）13,（Ⅲ）p <p 3610【解析】【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（III）先求p0，再根据频率估计概率p1，即得大小.2001【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为=，200+40033003该校女生支持方案一的概率为=；300+1004（Ⅱ）3 人中恰有2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2 人支持方案一概率为：(1)2 (1-3) +C1(1)(1-1)3=13;（III）p1 <p34233436【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数f (x) = 12 -x2．（I）求曲线y =f (x) 的斜率等于-2 的切线方程；（II）设曲线y =f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (t) ，求S (t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x +y -13 = 0 ，（Ⅱ）32 .【解析】【分析】12)⋅ ，( ) （I ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（II ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2 ，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为( x 0 ,12 - x 0 ) ，则-2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1 ，所以切点为(1,11) ，由点斜式可得切线方程： y -11 = -2 ( x -1) ，即2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然t ≠ 0 ，因为 y = f (x ) 在点(t ,12 - t 2 ) 处的切线方程为： y - (12 - t 2 )= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2 +12 ，令 y = 0 t 2 +12 ，得x = ，2t所以S (t ) = 1⨯(t 2 + t 2 +12 22 | t |不妨设t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，t 4 + 24t 2 + 1441 则 S t == (t 3+ 24t + 144) ， 4t4 t所以 S '(t ) = 1(3t 2 + 24 - 144 3(t 4 + 8t 2 - 48)) = 4t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12)3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)==，4t 24t 2由 S '(t ) > 0 ，得t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得0 < t < 2 ，所以 S (t ) 在(0, 2) 上递减，在(2, +∞) 上递增，所以t = 2 时， S (t ) 取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆C :x 2+y 2= 过点 A (-2, -1) ，且a = 2b ．a 2b21y + ⎨ 2 y y2 （I ）求椭圆 C 的方程：（II ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求| PB |的值．| BQ |【答案】（Ⅰ） x 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： x 2 y = 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 + 1 = 1a b⎧a 2 = 8 ⎪ a2⎪⎩b 2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b = 2故椭圆方程为： x 2+ = 1.82(2)设 M (x 1, y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2 ( x + 4)2 = 8 ，8 2即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =4k 2+1, x 1x 2 =64k 2 - 8 .4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1 - x 1 + 2 = -(2k +1)( x 1 + 4) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 21 1 1 12 2 22 2= ⨯= ，a n n a同理可得： y = -(2k +1)( x 2 + 4) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：=，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Qx + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤ 2 ⎢ 4k 2 +1+ 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2 - 8) + 3⨯(-32k 2 ) + 8(4k 2 +1)2 0 4k 2+1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{a n } 是无穷数列．给出两个性质：2①对于{a }中任意两项a i , a j (i > j ) ，在{a } 中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm ja 2②对于{a n }中任意项a n (n …3) ，在{a n } 中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得a n(I) 若a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；= k ．a l(II) 若a = 2n -1(n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (III) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n } 为等比数列.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【解析】PBPQy Py Q PB PQ y Py QQa 2 a a ma 【分析】(I) 根据定义验证，即可判断；(II) 根据定义逐一验证，即可判断；a 2 (III) 解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明a 3 = 2，最后，用数学归纳法证明数a 1列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1, a 2 , a 3 成等比数列，之后证得a 1, a 2 , a 3, a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.a 29 【详解】(Ⅰ)Q a = 2, a = 3, 3 = ∉ Z ∴{a } 不具有性质①； 2 3 n2a 2 a 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N *, i > j , i = 2(2i - j )-1, 2i - j ∈ N * ∴ i = a∴{a }具有性质①； a j a ja 22i - j nQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1,l = n - 2, k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a } 具有性质②；n nl(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设N 0 = max {n | a n < 0} ，第一种情况：若 N 0 = 1，即a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 <，由①可知：存在m 1 ，满足a a 2 = 2 < 0 ，存在m 2 ，满足aa 2 = 3 < 0 ， m 1 m 21 1a 2 a 2由 N 0 = 1可知 2= 3 ，从而a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. a 1 a 1a 2第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数m ，满足a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知：m ≤ N ，0 012 2另一方面， a m = N 0> N 0 = aa a N 0 ，由数列单调性可知： m > N 0 ，1N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.aaa 1a 1 1 1a 综上可得，数列中的项数同号.a 2 其次，证明a 3 = 2：a 1利用性质②：取n = 3 ，此时a 32= k (k > l ) ， a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3) 项成等比数列，不妨设a s= a q s -1(1 ≤ s ≤ k ) ，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 情况类似）由①可得：存在整数m ，满足 a a2= k = a q k > a，且a = a q k ≥ a（*）a k -1a 2 am 1 k +1由②得：存在 s > t ，满足： a = s = a ⋅ s > a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， k +1 a s a ss -1t t22s -t - - 由 a = a q (1 ≤ s ≤ k ) 可得： a = s= a q 1 > a = a q k 1 （**）s 1 k +1 1 k 1t 由（**）和（*）式可得： a q k ≥ a q 2s -t -1 > a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，注意到 s , t , k 均为整数，故k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a= a q k .k +11总上可得，数列{a }的通项公式为： a = a q n -1 .nn1即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：m1 kaa 1 4 1 4 1 4 1 4 1 首先利用性质②：取n = 3 ，此时 a 3由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，2= k (k > l ) ， a l而 a 3 = a k ⋅ a ka l> a k ，故 k < 3 ，2 此时必有k = 2, l = 1 ，即a3 = 2，a 1即 a , a , a 成等比数列，不妨设a = a q , a = a q 2(q > 1) ，1232 13 1a 2 a 2q 4然后利用性质①：取i = 3, j = 2 ，则a = 3 = 1 = a q 3 ， a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明a = a q 3，否则，由数列的单调性可知 a < a q 3 ，在性质②中，取n = 4 ，则a a 2 = k = a a k > a，从而k < 4 ，4 a k a kl l与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4a 2a 2= k ，a l若 k = 3, l = 2 ，则： a = k = a q 3，与假设矛盾；1la 2 若 k = 3, l = 1，则： a = k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 1 1la 2若 k = 2, l = 1 ，则： a = k = a q 2= a ，与数列的单调性矛盾；1 3l即不存在满足题意的正整数 k , l ，可见a < a q 3 不成立，从而a = a q 3，同理可得：a = a q 4 , a = a q 5 , ，从而数列{a } 为等比数列，5161n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{a n } 为等比数列.m 14a 4 a 4a【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

全国高考文科数学试题及答案北京卷

全国高考文科数学试题及答案北京卷The document was prepared on January 2, 20212017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32 （C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg3≈）（A ）3310 （B ）5310 （C ）7310 （D ）9310 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

高考北京文科数学带答案

绝
密
★
启
封
并
使
用
完
毕
前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文）
本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A={( ??|| ??|<2)}, B={ - 2,0,1,2}, 则 A B
（ A ）{0,1}
（ B） {-1,0,1}
（ C）{ - 2,0,1,2}
（D）{ - 1,0,1,2}
（2）在复平面内，复数 1 的共轭复数对应的点位于
1i
（ A）第一象限
（B）第二象限
3
17. （共 13 分）
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50，故所求概率为 50 0.025 .
2000
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50 ×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
20．（共 14 分）【解析】（Ⅰ）由题意得 2c 2 2 ，所以 c 2 ，
又e c
a
6 ，所以 a
3
3 ，所以 b2 a2 c2 1，
所以椭圆 M 的标准方程为 x2 y2 1．

全国高考文科全国卷数学试题及答案

年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--．二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤；当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。

完整word版北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一局部〔选择题共40分〕一、选择题：共8个小题，每题5分，共40分。

在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕假设集合A x 5 x 2,B x 3 x 3,那么A B 〔〕(A) x 3 x 2 (B) x 5 x 2 (C) x 3 x 3 (D) x 5 x 3〔2〕圆心为〔1，1〕且过原点的圆的方程是〔〕A〕x1（C〕x1222y12 y11〔B〕x11222y12 y12〔D〕x12〔3〕以下函数中为偶函数的是〔〕〔A〕y x2sinx〔B〕y x2cosx〔C〕y lnx〔D〕y2x〔4〕某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，那么该样本的老年人数为〔〕A〕90〔B〕100〔C〕180〔D〕300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300〔5〕执行如下图的程序框图，输出的k值为〔〕A〕3〔B〕4(C)5(D)6〔6〕设a,b是非零向量，“ab ab〞是“a//b〞的〔〕（〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件C〕充分必要条件D〕既不充分也不必要条件〔7〕某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥最长棱的棱长为〔〕(A)1〔B〕错误！未找到引用源。

〔B〕错误！未找到引用源。

(D)2〔8〕某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为〔〕加油时间加油量〔升〕加油时的累计里程〔千米〕2021年5月1日12350002021年5月15日4835600注：“累计里程〞指汽车从出厂开始累计行驶的路程〔A〕6升〔B〕8升〔C〕10升〔D〕12升第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕复数i1i的实部为．1〔10〕23,32,log25三个数中最大数的是．〔11〕在ABC中，a3,b6,A2,那么B．3〔12〕2,0是双曲线x2y21b0的一个焦点，那么bb2．〔13〕如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D Px,y为D中任意一点，那么z2x3y的最大值，为．14〕高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如以下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

全国高考文科数学试题及答案北京卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学文史类一、选择题共8小题,每小题5分,共40分;在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项;1已知U =R ,集合{|22}A x x x =<->或,则U A =A (2,2)-B (,2)(2,)-∞-+∞C [2,2]-D (,2][2,)-∞-+∞2若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是A (,1)-∞B (,1)-∞-C (1,)+∞D (1,)-+∞3执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 A2 B 32 C 53 D 854若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为A1 B3 C5 D95已知函数1()3()3x x f x =-,则()f x A 是偶函数,且在R 上是增函数 B 是奇函数,且在R 上是增函数C 是偶函数,且在R 上是减函数D 是奇函数,且在R 上是减函数6某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A60 B30 C20 D107设,m n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=”是“0m n <”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是参考数据：lg3≈ A 3310 B 5310 C 7310 D 9310二、填空题共6小题,每小题5分,共30分;9在平面直角坐标系xOy 中,角a 与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3a =,则sin β=_________．10若双曲线221y x m -=则实数m =__________． 11已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是__________．12已知点P 在圆22=1x y +上,点A 的坐标为-2,0,O 为原点,则AO AP ⋅的最大值为_________．13能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c的值依次为______________________________．14某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件：ⅰ男学生人数多于女学生人数；ⅱ女学生人数多于教师人数；ⅲ教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、解答题：共6小题,共80分;解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程; 15本小题13分已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11242451,10,a b a a b b a ==+==．Ⅰ求{}n a 的通项公式；Ⅱ求和：13521n b b b b -++++．16本小题13分已知函数())2sin cos 3f x x x x π=-- Ⅰ求()f x 的最小正周期； Ⅱ求证：当[,]44x ππ∈-时,1()2f x ≥-17本小题13分某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组：20,30,30,40,......,80,90,并整理得到如下频率分布直方图：Ⅰ从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率；Ⅱ已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50内的人数；Ⅲ已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18本小题14分如图,在三棱锥P ABC -中,,,,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点．Ⅰ求证：PA BD⊥；Ⅱ求证：平面BDE⊥平面PAC；Ⅲ当//-的体积．PA平面BDE时,求三棱锥E BCD19本小题14分已知椭圆C的两个顶点分别为A2,0,B2,0,焦点在x轴上,离心率为3．2Ⅰ求椭圆C的方程；M N,过D作AM Ⅱ点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点,的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．20本小题13分已知函数()cos x f x e x x =-Ⅰ求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；Ⅱ求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.2017年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学文史类一、选择题1C 2B 3C 4D 5B 6D 7A 8D二、填空题 913 102 111[,1]2 126 13-1,-2,-3 146,12三、解答题15解：Ⅰ设{}n a 的公差为d ,据已知2410a a +=,得11310d d +++=,所以2d =. 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-Ⅱ设{}n b 的公比为q ,因为245b b a =,所以39qq =,所以23q =因为{}n b 是首项为1公比为q 的等比数列,所以13521,,,...,n b b b b -是首项为1公比为23q =的等比数列, 所以*135211(13)31...()132n n n b b b b n N -⨯--++++==∈- 求和：13521n b b b b -++++．16解：Ⅰ())2sin cos 3f x x x x π=-- 12sin 2sin 22x x x =⋅+-1cos 2sin 222x x =+ sin(2)3x π=+ 所以,最小正周期为22||2T πππω=== Ⅱ由Ⅰ知,()sin(2)3f x x π=+ 因为[,]44x ππ∈- 所以52[,]366x πππ+∈- 所以,当236x ππ+=-,即4x π=-时,()f x 取最小值, 所以1()2f x ≥-,得证17解：Ⅰ由频率分布直方图知,分数小于70的频率为1(0.40.2)0.4-+= Ⅱ设样本中分数在区间40,50内的人数为x ,则由频率和为1得50.10.20.40.21100100x +++++= 解得5x = Ⅲ因为样本中分数不小于70的人数共有(0.40.2)10060+⨯=人所以,分数不小于70的人中男女各占30人所以,样本中男生人数为30+30=60人,女生人数为100-60=40人所以,总体中男生和女生的比例为603402= 18Ⅰ证明：,,PA AB PA BC AB BC B ⊥⊥=,又AB ⊂平面,ABC BC ⊂平面ABC ,PA ∴⊥平面ABC , 又BD ⊂平面ABC , PA D ∴⊥Ⅱ证明：AB BC =,D 是AC 的中点,BD AC ∴⊥,由Ⅰ知PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面PAC , ∴平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =,BD ⊂平面ABC ,BD AC ⊥,BD ∴⊥平面PAC ,BD ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面PAC , Ⅲ//PA 平面BDE ,又平面BDE 平面PAC DE =,PA ⊂平面PAC ,//PA DE ∴ D 是AC 中点,E ∴为PC 的中点,1DE ∴=111221222BDE ABC S S ∆∆∴==⨯⨯⨯= , 111111333E BCD V DE -=⨯⨯=⨯⨯= 19解：Ⅰ焦点在x 轴上,且顶点为(2,0)± 2a ∴=2c e a == c ∴=222a b c =+ 1b ∴= ∴椭圆方程为2214x y += Ⅱ设()()()00000,0,,,,D x M x y N x y - ,直线AM 的方程是()0022y y x x =++ , DE AM ∴⊥,002DE x k y +∴=-, 直线DE 的方程是()0002x y x x y +=-- ,直线BN 的方程是()0022y y x x -=-- , 直线BN 与DE 直线联立()()00000222x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩, 整理为：()()00000222x y x x x y x +-=-- ,即()()()2200042x x x y x --=- 即()()()220004424x x x x x ---=-,解得0425E x x +=,代入求得045E y y ==- ∴54N E y y =又4S 5BDE E BDN N S y y ==△△ BDE ∴∆和BDN ∆面积的比为4:5 20解：Ⅰ()cos x f x e x x =-∴()(cos sin )1x f x e x x '=--∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为0(cos0sin 0)10k e =--= 切点为(0,1),∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = Ⅱ()(cos sin )1x f x e x x '=--,令()()g x f x '=则()(cos sin sin cos )2sin x x g x e x x x x e x '=---=- 当[0,]2x π∈,可得()2sin 0x g x e x '=-≤, 即有()g x 在[0,]2π上单调递减,可得()(0)0g x g ≤=,所以()f x 在[0,]2π上单调递减, 所以函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值为0(0)cos 001f e =-=；最小值为2()cos 2222f e πππππ=-=-。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷)(解析版)

2010高考真题精品解析--文数（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

【名师简评】作为北京进入新课改后第一年高考的数学试题，我认为很好的完成了由老教材到新课改的过度，试题的命制在这方面做的很好.我的总体感觉：耳目一新。

1、风格亲切，考生不意外。

对这份题，考生可能感觉似曾相识，与此前的模拟练习很类似，可以说是练什么就考什么。

这也正说明出题人与教师、学生的目的是一致的，最终是让学生掌握基本知识，而不是找学生毛病。

2、平稳中有创新。

20个题严格依照考试说明的要求，考查主要知识、基本方法。

保持了北京卷的一贯特点：关注考生的探索意识和动手能力。

如第14、第20题等，情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。

3、敢于探索，创新力度大。

尽管今年是北京新课程第一年高考，但试题并没有一味求稳，依据新课程的要求，大胆取舍，甚至一步到位，创新力度出乎多数人意料。

其中倒数第2题给人印象尤其深刻，题目新颖不落俗套，学生平时常用的方法不能解决了。

但问题不是偏了、怪了，而是回归到解析几何最本质的问题：代数方法研究几何问题。

4、难度比去年要高一点。

试卷梯度明显，入手容易，但真正完全解决，还需要学生有扎实的基础和顽强的意志。

考试后接触到一些水平不错的孩子，他们大都觉得这份试卷比平时的模拟练习难度要高，阅读量大，计算量大。

第Ⅰ卷（选择题共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B ) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i1．答案C【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化.【解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故其对应的复数为2+4i.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（A ）一次函数且是奇函数（B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数（D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+；（B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα-+ （D ）2sin cos 1αα-+7. 答案A【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。