2018届三好网985核心密卷理科数学(答案)
2018年高考理科数学全国三卷试题和答案解析
2018年高考理科数学全国三卷试题和答案解析2018年高考理科全国三卷1.已知集合 $A=\{1,2,3,4\}。
B=\{2,3,4\}。
C=\{3,4\}。
D=\{4\}$，则 $(A\cup B)\cap (C\cup D)$ 的元素为 $\{3,4\}$。
2.设 $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$，则 $f(f(x))=\dfrac{x-1}{x+1}$。
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是选项 B。
4.若 $\log_2 a=3$，$\log_3 b=4$，$\log_5 c=5$，则$a^2bc=\dfrac{2^6\cdot 3^8\cdot 5^{10}}{15}$。
5.$x^6+(x+1)^6$ 的展开方式中 $x^2$ 的系数为 $40$。
6.直线 $y=x+1$，$y=-x+3$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于两点，点在圆 $x^2+y^2=1$ 上，则面积 $S$ 的取值范围是$0<S<2\pi$。
7.函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=\dfrac{1}{2}$，则$h(x)=f(x)g(x)+\dfrac{1}{2}$ 的图像大致为一个半径为$\dfrac{1}{2}$，圆心在 $y$ 轴上方 $\dfrac{1}{2}$ 的圆。
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率为 $0.8$，各成员的支付方式相互独立。
设使用移动支付的人数为 $n$，则$P(n\leq 3)$ 的概率为 $0.008+0.096+0.345+0.409=0.858$。
9.已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=120^\circ$，$AB=AC$，$BC=2$，则 $S_{\triangle ABC}=\sqrt{3}$，$\sinA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos A=-\dfrac{1}{2}$。
2018全国卷3高考试题及答案-理科数学.doc
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量1(,22BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（A （B （C ）- （D ）-(9)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18+（B ）54+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件{x−y+1≥0 x−2y≪0x+2y−2≪0则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数y=sin x−√3cos x的图像可由函数 y=sin x+√3cos x的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2018年985核心密卷理科综合(试题)
A．该探究实验的自变量是一定浓度的 NAA 和 6-BA B．在 NAA 浓度为 0．6mg·L-1 和 6-BA 浓度为 0．4mg·L-1 时促进生根的效果较好 C．NAA 和 6-BA 促进月季生根的效果与生长素和细胞分裂素相同 D．该实验实施过程中，温度、溶液 pH、处理时间等各组保持相同且适宜 5．往受试者皮内注射白喉毒素 24～48h 后，如出现局部皮肤红肿，则说明受试者对白喉毒素无免疫力； 反之，则说明受试者血清中含有足量的抗白喉毒素抗体。下列相关叙述正确的是 A．局部皮肤出现红肿说明受试者对白喉毒素产生了过敏反应 B．若受试者注射白喉毒素后皮肤没有红肿，则说明其机体没有发生免疫反应 C．抗白喉毒素抗体的产生需要相应抗原的刺激和淋巴因子的参与 D．若受试者注射白喉毒素后皮肤出现红肿，下次注射一定还会出现红肿 6．下图是某家系中甲病、乙病的遗传系谱图，甲病由基因 A、a 控制，乙病由基因 B、b 控制，其中一种 基因位于 X 染色体上。下列分析不正确的是
一、选择题：本题共 13 个小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．下列有关细胞结构与功能的叙述，不．正．确．的是
A．真核细胞的各种生物膜中都含有丰富的磷脂
B．某些细胞器衰老后可被溶酶体吞噬、消化
C．真核细胞的 RNA 主要在细胞核中合成
D．细胞内以囊泡的形式运输的物质都是大分子化合物
9．下列关于
三种有机物的说法正确的是
A．只有 b 和 c 两种互为同分异构体
B． b、c 的一氯代物均有六种
C．a、b、c 均可发生加成反应
D．a、b、c 中所有原子处于同一平面
10．X、Y、Z、W 是原子序数依次增大的四种短周期主族元素，其原子序数之和为 38，元素 X 形成的单质在天
2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析
2018年高考理科全国三卷一．选择题1、已知集合,则（）A。
B。
C. D。
2、（）A. B。
C. D。
3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A。
B。
C。
D。
4、若,则( ）A. B。
C. D.5、的展开方式中的系数为（）A。
10 B。
20 C.40 D。
806、直线分别与轴,轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A。
B. C。
D。
7、函数的图像大致为( ）A。
B. C。
D.8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为，各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ）A。
0.7 B。
0。
6 C。
0.4 D。
0.39、的内角的对边分别为，若的面积为则=（ )A. B. C。
D。
10、设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( ）A. B。
C。
D。
11、设是双曲线的左，右焦点,是坐标原点，过作的一条逐渐近线的垂线，垂足为，若,则的离心率为（）A。
B.2 C. D。
12、设则（）A。
B. C. D.13、已知向量，若，则14、曲线在点处的切线的斜率为,则15、函数在的零点个数为16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若,则三．解答题17、等比数列中，1。
求的通项公式；2.记为的前项和，若，求18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人,第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：)绘制了如下茎叶图：1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由;2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表:超过不超过第一种生产方式第二种生产方式3。
2018 年全国 III 卷数学(理)答案及解析
a1 = 1 ，
an = 2n −1 或 an =
( −2 )
n −1
S = 63 ， (2) mn −1 ∴ 当通项公式为 an = 2 时， 1 − 2
(1 − 2 ) = 63
m
，得 m =6
当通项公式为
an =
( −2 )
n −1
1 − ( −2 )m = 63 m −1) 2m = 188 ( + 1 2 时， ，得 ,
− x + x + 2 的图像大致为（ 7.函数 y =
4 2
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【考点】函数图像以及性质 【难易程度】基础题 【解析】当 x=1 时，函数值大于 0，排除 A、B;因为 F(x)=F(-x)，函数为偶函数，图像关于 y 轴
−4 x 3 + 2 x =0 ,解得 x=0、 、 对称， 令F '( x) =
,函数在（-∞，
）单调递增， （
，0）
单调递减， （0， ）单调递增， （ ，+∞）单调递减，故选 D。
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 体的 10 位成员中使用移动支付的人数， A. 0.7 【答案】B 【考点】二项分布概率与方差 【难易程度】基础题 【解析】使用移动支付符合二项分布， B.0.6
是带卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
A.
B.
C. 【答案】A 【考点】三视图 【难易程度】基础题
D.
【解析】卯眼的空间立体图如图，同时需要注意在三视图中，看不见的线用虚线表示， 故答案选 A
4、若
，则
（
）
A. 【答案】B
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学含答案解析
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}()(){}0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则 A ．[－1，4)B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)2. 在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积为（ ） A． B ．4 C． D．3. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =|MP|的最大值为A.B.C.D.4. 设实数x y ，满足20401x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，，，≥≤≥则2x y -的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8163π+ B ．1683π+C ．126π+D ．443π+6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7 7. 若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3B ．0C ．3-D ．03-或8. 若双曲线C: 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．239. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是A ．,112π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,212π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24π⎛⎫⎪⎝⎭10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高中高考全国3卷理科数学带答案
2018年一般高等学校招生全国一致考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．已知会合 A x|x 1≥0，B 0，1，2，则AIBA． 0 B．1 C．1，2 D．0，1，22．1 i 2 iA． 3 i B． 3 i C．3 i D．3 i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连结起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右侧的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是4．若sin1，则cos23A．8778 B．C．D．99995．x225的睁开式中x4的系数为xA．10B．20C．40D．806．直线x y20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x 222上，则ABP面积的2y取值范围是A．2，6B．4，8C．，D．22，32 2327．函数y x4x22的图像大概为1/108．某集体中的每位成品使用挪动支付的概率都为p ，各成员的支付方式互相独立，设X 为该集体的10位成员中使用挪动支付的人数， DX，PX 4PX6，则pA ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．39．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为a 2b 2c 2 ，则C4A ．πB ．πC ．πD ．π234610．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．543F 1 ，F 2x2y2OF 211．设 是双曲线 C ：a 2 b 2 1（a0，b 0）的左，右焦点， 是坐标原点．过作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若PF 16OP ，则C 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．212．设alog ，blog 2，则A ．abab0B ．abab0C ．ab0abD ．ab0ab二、填空题：此题共 4小题，每题 5分，共20分。
2018年三好网985核心密卷理科数学(试卷)
2.已知实数 m, n 满足 m 2i n(2 i) ，则在复平面内，复数 z m ni 所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知向量 m (1,1) ， n (1, ) ，若 m n ，则 m n 与 m 之间的夹角为（ ）
A． 4
B． 3
5.如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是（ ） A. 9 a 10 B. 9 a 10 C. 10 a 11 D. 8 a 9
注意事项：
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
（1）先将曲线 C 的参数方程化成直角坐标方程，再将直线 l 的极坐标方程化成参数方程（使 得参数具有几何意义）；
（2）求直线 l 与曲线 C 相交所得的弦 AB 的长．
…
三好网“985”核心密卷
理科数学试题 第 5页（共 8页）
公众号：2020押题
三好网“985”核心密卷
理科数学试题 第 6页（共 8页）
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
学 校 ： ______________姓 名 ： _____________班 级 ： _______________考 号 ： ______________________
2018届全国名校高三新题试卷数学(理)
2018届全国名校高三新题试卷理科数学本试题卷共10页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2,0},{|20}xM x R y x N x R x x =∈=>=∈-<，则M N =（ ）A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,0](1,)-∞+∞2. 复数21(1)z a a i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中a R ∈，则2a iai-+的实部为（ ） A ．15-B ．35-C ．15D ．353. 在区间[3,5]-上随机地取一个数x ，若x 满足(0)x m m ≤>的概率为78，则m 的值等于（ ） A ．72B ．3C ．4D ．2- 4. 已知非零向量,a b ，满足2a b =，且()()32a b a b +⋅-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．34π B ．14π C ．12π D ．π 5. 定义某种运算:S m n ⊗=⊗的运算原理如右边的流程图所示，则6547⊗-⊗=（ ）A ．3B ．1C ．4D ．06. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一中名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ） A ．43π B ．4π C ．8π D ．64π7. 已知函数()1ln 1x f x x -=+，若,x y 满足()1()02f x f y +-≥，则3yx +的取值范围是（ ）A ．1[1,]2- B ．1(1,)2- C ．(1,1)- D ．[]1,1- 8. 若函数()sin()(0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．511[2,2]()1212k k k Z ππππ++∈C ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．511[,]()1212k k k Z ππππ++∈9. 函数()2cos(23)f x x x x =--在区间[]1,4-上的零点个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 10. 删去正整数数列1,2,3, 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）A ．2062B ．2063C ．2064D ．206511. 已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线左右两支分别交于,A B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 12. 若,,x a b 均为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．．18 C ．1 D ．19-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式82)x的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14.如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得20,15,30AB cm AD cm EF cm ===,AB 与EF 间的距离为25cm ，则几何体EF ABCD-的体积为 3cm ．15.四边形ABCD 中，0160,cos ,77A B AB BC ====,当边CD 最短时，四边形ABCD 的面积为 ．16.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，且ME =，则AB = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n a S 成等差数列。
2018年高考全国卷Ⅲ卷理科数学(含答案)(2021年整理精品文档)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}012=-≥，{}B=，，,则A B=|10A x xA．{}0B．{}1C．{}，，012，D．{}122．()()+-=1i2iA．3i-+C．3i-D．3i+--B．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =，()()46P X P X =<=,则p = A ．0.7B ．0.6C ．0。
2018年高考全国卷Ⅲ最权威预测密卷数学(理科)试题Word版含解析
2018年高考全国卷Ⅲ最权威预测密卷数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（）A．1 B．2 C．D．02．已知集合M={x|x2＜1}，N={y|y=log2x，x＞2}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．1204．下列命题中的假命题为（）A．设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件B．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣pC．要得到函数f（x）=cos（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度D．∃x∈（0，），x＜sinx5．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A．n≤2014 B．n≤2015 C．n≤2016 D．n≤20186．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣7．函数y=4cos﹣e|2016x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C．D．8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（）A．2 B．C．D．9．若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．10．函数f（x）=ln（x+1）+e﹣x的单调递增区间为（）A．（﹣1，+∞）B．（0，+∞）C．（e，+∞）D．（，+∞）11．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．若有λ∈（7，16），则在正方形的四条边上，使得•=λ成立的点P有（）个．A．2 B．4 C．6 D．012．已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2﹣x1的最小值为（）A． B．2 C．4 D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且S n=a n（a n+3），则数列{a n}的通项公式为．根据上表可得回归直线方程为=0.92x﹣96.8，则表格中空白处的值为．15．已知点A是抛物线y=x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|=m|PA|，则m的最小值为．16．若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则关于x的方程x2+2alnx﹣2ax=0解的个数是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的面积为S，且•=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．18．如图：已知平面ABCD⊥平面BCE，平面ABE⊥平面BCE，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形，P是线段CD上的动点．（1）求证：平面ABE⊥平面ADE；（2）求直线AB与平面APE所成角的最大值；（3）是否存在点P，使得AP⊥BD？请说明理由．19．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．K2=．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．21．已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（I）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）在圆C上求一点D，使它到直线l的距离最短，并求出点D的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c∈R，且ab+bc+ac=1．（1）求证：|a+b+c|≥；（2）若∃x∈R，使得对一切实数a，b，c不等式m+|x﹣1|+|x+1|≤（a+b+c）2恒成立，求m的取值范围．2018年高考全国卷Ⅲ最权威预测密卷数学（理科）试题参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（）A．1 B．2 C．D．0【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数z，求出共轭复数，再计算的值．【解答】解：∵复数z===1﹣i，∴=1+i，∴=|（1﹣i）（1+i）|=2．故选：B．2．已知集合M={x|x2＜1}，N={y|y=log2x，x＞2}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，即可作出判断．【解答】解：∵M={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=log2x，x＞2}={y|y＞1}，∴M∩N=∅，M∪N={x|x＞﹣1且x≠1}，又U=R，∴∁U N={y|y≤1}，∴M∩（∁U N）={x|﹣1＜x＜1}=M，M⊆（∁U N）．故选：D．3．某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．120【考点】计数原理的应用．【分析】先分组5个尖子生分为（2，2，1），再分配即可．【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，故选：B．4．下列命题中的假命题为（）A．设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件B．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣pC．要得到函数f（x）=cos（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度D．∃x∈（0，），x＜sinx【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面垂直和线面垂直的关系进行判断．B．根据正态分布的性质进行求解．C．根据三角函数的关系进行判断．D．构造函数，利用导数研究函数的单调性进行判断．【解答】解：A.，反之不成立，故A为真命题．B∵ξ服从正态分布N（0，1），∴p（ζ＜﹣1）=P（ξ＞1）=p，p（﹣1≤ζ≤1）=1﹣2p，从而P（﹣1＜ξ＜0）=．故B命题为真命题．C．函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得，，故命题C为真命题；D．设f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx＞0，∴f（x）单调递增，f（x）＞f（0）=0，即：x＞sinx．故命题D为假命题．故选：D5．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A．n≤2014 B．n≤2015 C．n≤2016 D．n≤2018【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意．【解答】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：s=0，n=1；满足条件，执行循环体，s=，n=2；满足条件，执行循环体，s=0，n=3；满足条件，执行循环体，s=0，n=4；满足条件，执行循环体，s=，n=5；满足条件，执行循环体，s=0，n=6…观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s的值为，由于：2014=671×3+1所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意．故选：A．6．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】首先作出可行域，根据区域面积达到共赢a的方程，然后求抛物线的准线方程．【解答】解：作可行域如图：由题知：A（2，2a+1），B（1，a+1），C（1，0.5），D（2，0）所以s=，a=；所以抛物线为，即：x2=6y，准线方程为：．故选D．7．函数y=4cos﹣e|2016x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性以及特殊值即可判断．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=4cos[2016（﹣x）]﹣e|2016（﹣x）|=4cos﹣e|2016x|=f（x），∴y=f（x）为偶函数，故排除B、D，又f（0）=4﹣1=3＞0，故选：A．8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（）A．2 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体建立空间直角坐标系，由三视图求出A、C、D、E的坐标，设平面DEC的法向量，根据平面法向量的条件列出方程，求出法向量的坐标，由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值，由平方关系求出正弦值，由商的关系即可求出正切值．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，截面是平面CDE，由三视图得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），C（2，0，0），所以，，设平面DEC的法向量为，则，即，不妨令x=1，则y=﹣1，z=1，可得，又为平面ABC的法向量，设所求二面角为θ，则，∵θ是锐二面角，∴=，则，故选B．9．若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】解：由题意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=π×1=π，满足y≥sinx的点构成区域的面积为：S=sinxdx=﹣cosx|=﹣cosπ+cos0=2，则满足y＞sinx的概率为．10．函数f（x）=ln（x+1）+e﹣x的单调递增区间为（）A．（﹣1，+∞）B．（0，+∞）C．（e，+∞）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．【解答】解：函数定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，令m（x）=e x﹣（x+1），（x＞﹣1），则m′（x）=e x﹣1，由m′（x）=0，得x=0，则x∈（﹣1，0）时，m′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，所以m（x）在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以m（x）≥m（0）=0，即f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，即f（x）的增区间为（﹣1，+∞），故选：A．11．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．若有λ∈（7，16），则在正方形的四条边上，使得•=λ成立的点P有（）个．A．2 B．4 C．6 D．0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2，分类讨论P点的位置，分别求得•的范围，从而得出结论【解答】解：由正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF，可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2．若P在AB上，；若P在CD上，；若P在AE上，；同理，P在BF上时也有；若P在DE上，；同理，P在CF上时也有，所以，综上可知当λ∈（7，16）时，有且只有4个不同的点P使得•=λ成立．故选：B12．已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2﹣x1的最小值为（）A． B．2 C．4 D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】根据直线和圆相切，建立m，k的关系，联立直线和双曲线，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵l与圆相切，∴原点到直线的距离d=，∴m2=1+k2．由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支交于两点，∴∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范围为（﹣1，1）．由于x1+x2=，∴x2﹣x1===，∵0≤k2＜1，∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值2．故选：A二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且S n=a n（a n+3），则数列{a n}的通项公式为a n=3n．【考点】数列递推式．【分析】根据数列的前n项和通项公式之间的关系，即可得到结论．【解答】解：当n=1时，，解得a 1=3；当n ≥2时，，整理，得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）=0．因为a n ＞0，所以a n ﹣a n ﹣1﹣3=0，即a n ﹣a n ﹣1=3，所以{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n =3+3（n ﹣1）=3n ，即a n =3n ． 故答案为：a n =3n ．根据上表可得回归直线方程为=0.92x ﹣96.8，则表格中空白处的值为 60 ． 【考点】线性回归方程．【分析】先求得身高x 的平均数，根据回归直线经过样本中心点，求得，由体重y 的平均数的计算公式，即可求得结果．【解答】解：由==165，根据回归直线经过样本中心，可得=0.92×165﹣96.8=55，由=，解得y=60， 故答案为：60．15．已知点A 是抛物线y=x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |=m |PA |，则m 的最小值为 ﹣ ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合|PF |=m |PA |，则=m ，设PA 的倾斜角为α，则当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求得结论． 【解答】解：过P 作准线的垂线，垂足为N ， 则由抛物线的定义可得|PN |=|PF |，∵|PF |=m |PA |，∴|PN |=m |PA |，则=m ，设PA 的倾斜角为α，则sin α=m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1）， 即x 2﹣4kx +4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1，∴m的最小值为﹣．故答案为：﹣．16．若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则关于x的方程x2+2alnx﹣2ax=0解的个数是1．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，∵a＞0∴e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣lna＞0，即lna＜，故0＜a＜．令h（x）=x2+2alnx﹣2ax，，∵a2﹣4a＜0，∴h′（x）＞0，h（x）单调递增，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）=0有一个解，故答案为：1．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的面积为S，且•=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由条件利用余弦函数的图象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根据f（）=1求得B，再利用条件求得A，从而△ABC是直角三角形，从而计算△ABC的面积S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圆半径R，再化减S+3cosBcosC为3cos（B﹣C），从而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为T，∴T=2，即：，解得ω=π，故f（x）=2cos（πx+B）．又，即：，∵B是△ABC的内角，∴，设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c，∵，∴，解得，，从而△ABC是直角三角形，由已知得，，从而，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设△ABC的外接圆半径为R，则2R===2，解得R=，∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），故的最大值为．18．如图：已知平面ABCD⊥平面BCE，平面ABE⊥平面BCE，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形，P是线段CD上的动点．（1）求证：平面ABE⊥平面ADE；（2）求直线AB与平面APE所成角的最大值；（3）是否存在点P，使得AP⊥BD？请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明平面ABE的法向量、面ADE的一个法向量垂直，即可证明平面ABE⊥平面ADE；（2）利用向量的数量积公式，求直线AB与平面APE所成角的最大值；（3）利用反证法证明不存在点P，使得AP⊥BD．【解答】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面BCE=BC，在平面ABCD内作AM⊥BC，则AM⊥平面BCE，同理，在平面ABE内作AN⊥BE，则AN⊥平面BCE，∴AM∥AN，即AM，AN重合，AB⊥平面BCE，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，则A（﹣2，0，4），B（﹣2，0，0），，，E（2，0，0），可得平面ABE的法向量为=（0，2，0）设面ADE的一个法向量为则可得从而，平面ABE⊥平面ADE．（2）解：设|CP|=d，则，设面APE的一个法向量为则可得=（1，，1）．设直线AB与面ADE所成角为θ，则sinθ=∈（0，），所以，从而直线AB与平面APE所成角的最大值为．（3）解：由（2）知，，则，，d=﹣4＜0，故不存在点P，使得AP⊥BD．19．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．K2=．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6，从而得到2×2列联表，从而求出K2≈4.327＞3.841，从而有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），=，，，，X20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）分类讨论当斜率不存在时，设x=﹣r，代入椭圆方程求得A、B点坐标，以AB为直径的圆恒过原点，⊥，利用向量数量积的坐标，求得r2，求得丨AB丨；当斜率不存在时，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及向量垂直，求得圆的方程，进而表达出丨AB丨，综上即可求得丨AB丨的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．21．已知f（x）=xlnx+mx，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．（1）求实数m的值；（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），由f′（1）=1求得m值；（2）求出g（x），求其导函数，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，转化为恒成立，进一步转化为恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，求导可得满足条件的λ的范围．【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，由题意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得m=0；（2）∵e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，由题意可知x1，x2分别是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．作差得，，即．∴原式等价于，∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又h′（t）=，当λ2≥1时，可得t∈（0，1）时，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可得t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时，h′（t）＜0，∴h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（I）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）在圆C上求一点D，使它到直线l的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t即可得出直线l的普通方程．由，得，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出直角坐标方程．（II）利用圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出，【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t得，直线l的普通方程为．由，得，从而有，配方可得：（Ⅱ）∵点D在圆C上，∴可设点D（φ∈[0，2π）），∴点D到直线l的距离为=．∵φ∈[0，2π），∴当时，．此时D．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c∈R，且ab+bc+ac=1．（1）求证：|a+b+c|≥；（2）若∃x∈R，使得对一切实数a，b，c不等式m+|x﹣1|+|x+1|≤（a+b+c）2恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）由题意可得，只需证（a+b+c）2≥3，只需证a2+b2+c2≥1，只需证a2+b2+c2﹣（ab+bc+ca）≥0，只需证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0．（2）由题意得，即可求m的取值范围．【解答】（1）证明：要证原不等式成立，只需证（a+b+c）2≥3，即证a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2﹣1≥0，因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2﹣（ab+bc+ca）≥0，只需证：2a2+2b2+2c2﹣2（ab+bc+ca）≥0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，而（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0显然成立，故原不等式成立；（2）解：由题意得由（1）知（a+b+c）2min=3，又|x﹣1|+|x+1|≥|（x﹣1）﹣（x+1）|=2，∴m+2≤3，m的取值范围为：m≤1．。
2018新课标全国卷3高考理科数学试题及答案解析
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数 =x﹣1﹣alnx．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n， ﹤m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
14．设等比数列 满足a1+a2= –1,a1–a3= –3，则a4= ___________．
15．设函数 则满足 的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
设 是平面DAE的法向量，则
可取
设 是平面AEC的法向量，则 同理可得
则所以二面Βιβλιοθήκη D-AE-C的余弦值为20.解
（1）设
由 可得
又 =4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得
故圆心M的坐标为 ，圆M的半径
由于圆M过点P（4，-2），因此 ,故
即
由（1）可得 ，
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
2018全国卷3高考试题及答案理科数学.doc
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合S= ，则S T=
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+ ）
(C)[3,+ ）(D)（0，2] [3,+ ）
（2）若z=1+2i，则
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
， ， ， ，
， ， .
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，可取 ，
于是 .
（20）解：由题设 .设 ，则 ，且
.
记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .....3分
（Ⅰ）由于 在线段 上，故 .
记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则
.
所以 . ......5分
（Ⅱ）设 与 轴的交点为 ，
则 .
由题设可得 ，所以 （舍去）， .
解：（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . ……5分
（Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值，
即为 到 的距离 的最小值， .
………………8分
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 . ………………10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量。
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
（II）设点P在 上，点Q在 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
2018年全国3卷理科数学真题（解析版）
18年全国3卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合AT x |x ・120}, B={0. 1. 2},贝iJACBA. {0JB. HIC. {1 . 2}D. (0. k 2}【答案】C【解析】分析：由题意先解出集合A.进而得到结果。
详解：由集合A 得X2 1,所以AOBTL2}故答案选C.2. (1 +A. -3rB. -3+iC. 3-iD. 3 + i【答案】D【解析】分析：由0数的乘法运算展开即可。
详解：(I + iX2 • i) = 2 . 1 + 2」.『=3 + l故选D.3.中国古建筑借助棵卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是桦头.若如留摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯限的木构件的俯视图可以是fS徵方向A C D. DC DA. AB. BC.【答案】A【解析】分析：观察图形可得。
详解：观擦图形图可知，俯视图为_____:故答案为A.4.若gma-,则cos2a7SA. B. C.— D.—99【答案】B【解析】分析：由公式脉2«=1”28静(1可得。
,27详解:cos2a•1-2sin"a■1--1■-99故答案为B.5.的展开式中的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】分析：与出然后可得结果详解：由鼬可得T"」C^x2)5'r(-)r C；2r-x10JrX令10.3r=4,则r=2所iUC；-2,=C^x2z=40故选C.6直线x+y+2=0分别与轴，轴交于，两点，点在圆(x-2)'y'=2上，则△ABP面积的取值范围是A.|2.6|B.[4.8]C.匝.^1D.[20.3因【答案】A【解析】分析：先求出A・B两点坐标得到|AB|•再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围・由而枳公式计算叩可详解：•・Fgr+2=0分别与轴，轴交于，两点•・•点P在圆&.2尸+广=2上12+0+21 l W 同心为(2, 0).则圆心到I • L .项小一f —"夕故点P 到立线x +y f =0的距离的范"I 为[也3卤则 S &AB P -*!AB|<i 2-^d,e[16]故答案选A.D. DC. C A. A B. B【答案】D 【解析】分析:由特殊值排除即可详解：％ = 0时.y = 2,排除ABy ，= + ・2\(2^・ 1)•场丘• y AO,排除C故正确答案选D.8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，备成员的支付方式相互独立，设为该群体 的10位成员中使用移动支付的人数,DX = 24, P(X = 4)<P(X 6),则pA. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【解析】分析；判断出为二项分布.利用公mx)=np(l・p)进行计算即可•IXX)二np(l・P)••・p=04或p=06P(X=4)=C加」(】.p)6<P(X=6)=C,y(1-p)1,.-.(I『)2<^,可知1>>。
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷(理科数学)试卷答案及评分参考
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A．[－1，4) B．[0，5) C．[1，4] D．[－4，－1) [4，5)2.在中，，，，则的面积为（）A．B．4 C．D．3.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为A. B. C. D.4.设实数满足则的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．1B．2 C．4D．77.若直线与直线垂直，则实数A．3 B．0 C．D．8.若双曲线C: （，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2 B. C. D.9.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A．B．C．D．10.甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。
若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁11.设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为（）A．B．1 C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则．14.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．15.已知的展开式中，的系数为，则．16已知椭圆的半焦距为c，且满足，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
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心到直线 l1 的距离 d 5 ，故弦长为 2 20 5 = 2 15 .
15.【答案】 9 16
【解析】选取 OA,OB 为基向量.
DO
OB
因为 D 为 OB 的中点，所以
2.
因为 OC OA 1 OB ，
所以
DC
DO
OC
OA
1 2
OB
.
所以
DC
OC
OA
2x＋y－14≤0
的可行域，如图中阴影部分所示，由
题意得 A(1,9)，C(3,8).
1
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当曲线 y＝ax 过 A(1,9)时，a 取最大值，此时 a＝9； 当曲线 y＝ax 过 C(3,8)时，a 取最小值，此时 a＝2，∴2≤a≤9.
8.【答案】B
【解析】通过三视图可知该几何体是正方体的一部分，在正方体中作出该几何体的直观图如
x)
2
2
(x 0) ，令 f '(x) 0 ，得
1 x ln x 0 ，设 g(x) 1 x ln x ，故 g'(x) 1 1 0 ，故 g(x) 1 x ln x 在
2
2
2x
2
(0, ) 上单调递减，不妨设
1 2
x
ln
x
0 的根为
x0
，即 ln
x0
1 2
x0
，分析单调性可知
x
存在零点，所以函数 f x ln x 2 a 在区间 1,e 上存在唯一零点.
x
所以
f f
1 0, e 0,
解得，
2 e
1
a
2
.
10.【答案】A
【解析】令 a, b 的夹角为锐角 ，因为 b 被 a 同余，所以
b a
cos ，所以
b
a
cos ，
所以 b
ab
2Tn
Tn
(21
22
23
...
2 n1) (n 1) 2 n
2(1 2n1) 1 2
(n 1) 2 n
(n 2) 2 n
2
即 Tn (n 2) 2n 2 . 17.【解析】（1） 4c sin A b sin C ，由正弦定理得 4ac bc,b 4a .
4
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S 1 absin C 3a2 4 3,a 2,b 8,a b 10.
2
（6 分）
（2）设 CD x ，则 BD 8 x ，由余弦定理得 BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos C ，
即（8 x)2 22 x2 4x 1 , x 30 ,CD 30 ．（12 分）
女生
30
20
50
男生
40
10
50
总计
70
30
100
（4 分）
（2）因为
K 2 的观测值 k0
100 (300 800)2 50 50 30 70
100 21
4.762
3.841 ，
所以有 95%的把握说明是否愿意去西部支教与性别有关.（7 分）
（3）由题意，抽取的 10 人中有 8 人愿意去西部支教，2 人不愿意去西部支教，于是 0，
2
7
7
18.【解析】（1）因为 SA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 SA BD ；（2 分） 在直角梯形 ABCD 中， BAD ADC 90 ， SA AD 2CD 2 ， AB 4 ，所以 tan ABD tan CAD 1 ， 即 ABD CAD . 又 CAD BAC 90 ， 所 以
a2
1 , s2 1 2 a2
2, a2
2.
数列an是以a1=1为首项，公比为2的等比数列.
an f (an ) 2n1 log2 2n1 (n 1)2n1
Tn 0 21 2 22 3 23 ... (n 1) 2n1, 2Tn 22 2 23 3 24 ... (n 1) 2n
即 E(0,1, 3) （8 分） 2.
设平面
EAC
的法向量为
m
(x,
y,
z)
，又
AC
(2,1, 0)
，
AE
(0,1,
3)
2.
由
AC AE
m m
0, 0,
得
2x y 0,
y
3 2
z
0,
取
y
2
，
得平面 EAC 的一个法向量为 m (1, 2, 4) （10 分） 3.
5
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(4k 2
1)
4(m2 1) 1 4k 2
4km
8km 1 4k 2
4m2
0，
整理得 4k 2 1，k 1 （8 分） 2.
∵A,B,C,D 的位置可轮换，∴ AB, BC 的斜率一个是 1 ，另外一个就是 1
2
2.
∴ k AB
k BC
1 2
1 2
0 为定值.（10
分）
不妨设
k AB
g(x) (a 1)x2 ax 的图象的对称轴在 y 轴右侧，而图中的对称轴在 y 轴左侧，故选 C．
12.【答案】B
【
解
析
】
依
题
意
问
题
等
价
于
m
ln x 1 x2
x
1 x
在
(0, )
上
恒
成
立
，
令
2
f
(x)
ln x 1 x2
x
x
1
(
x
0)
，故
f
'(x)
(x 1)( 1 x ln 2
(1 x2 x)2
a
2
2 b
a
a
b
sin
.
∴a
b在a
上的投影
a
b
cos
2
a
b
sin
2 2 a b ，故选 A.
a
11.【答案】C
【解析】选项 A 对应的是 a 2 ，选项 B 对应的是 a 4 ，选项 D 对应的是 a 1 .在选项 C 的 图 象 中 ， 由 f (x) sin ax(a R) 的 图 象 可 知 ， a 1 ， 故 g(x) 2x2 x ， 则
1 2
，则
图 中 三 棱 锥 A BCD ， 以 A 为 顶 点 ， △BCD 为 底 面 ， 可 以 求 出 该 几 何 体 的 体 积
V
1 3
6
1 2
3
6
18 ，故选
B.
9.【答案】C
【解析】因为 f x ln x 2 a （a 是与 x 无关的实数）在 1,e 单调增，在区间 1,e 上
n=9；S=55，n=8，所以 a 的取值范围是 9 a 10 .
6.【答案】D
【解析】结合题意，可以将三棱锥 D ABC 补成一个长方体，且此长方体的体对角线长为
6, 则球 O 的半径为 3 ，故球 O 的表面积为 4π 32 36π ．
7.【答案】C
x＋2y－19≥0， 【解析】作出二元一次不等式组： x－y＋8≥0，
f
( x) max
f
(x0 )
ln x0 x0 1
1 2
x02
x0
1
1 2
x0
1 2
x02
x0
=
1 x0
，因为
g(1) 0, g(1) 0 2
，所以
x0
(1 2
,1)
，则
1 x0
(1,
2)
，则整数
m
的最小值为
2，故选
B.
13.【答案】 110
【解析】依题意可知，所求系数为1 C15 2 3C52 22 110 .
1，2，
∴ P(
0)
C83 C130
7 15
， P(
1)
C12C82 C130
7 ， P( 15
2)
C22C18 C130
1 15
，（10 分）
∴ ξ的分布列为
0
1
2
7
7
1
P
15
15
15
∴ E 0 7 1 7 2 1 3 ．（12 分） 15 15 15 5
6
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14.【答案】 2 15
3
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【解析】依题意，由 : x2 y 2 4x 8 y 0 ，得圆心坐标为 (2, 4) ，半径为 2 5 ，设
直线 l1 : x 2 y m 0 ，将点 (1, 0) 的坐标代入，解得 m 1，故直线 l1 : x 2 y 1 0 .圆
1 2
OB
OA
1
OB
4
2
9 2
3 2
.
当且仅当
9
0,1
时，
DC
OC
取得最小值.
16
16.【答案】 (n 2) 2n 2
【解析】由题意可得： k1
log2 (s1 1) log2 s1 1 a1
a1
1,
s1 1 a1
2, a1
1.
又 k2
log2 (s2 1) log2 s2 1 a2
ba
b
2
b
a
cos
b
2
b2
2
，所以 b
b 0
ab
.
如图，易知