(完整版)高中数学通用模型解题方法技巧总结

高中数学通用模型解题方法

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……a n,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。

当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”

∨∧⌝

()()().

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

满足条件，满足条件，

若；则是的充分非必要条件；

若；则是的必要非充分条件；

若；则是的充要条件；

若；则是的既非充分又非必要条件；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B 的映射个数有n m个。

如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。

函数的图象与直线交点的个数为个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：

●分式中的分母不为零；

●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

●指数式的底数大于零且不等于一；

●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数

●余切函数

●反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是[－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－

1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是R ，值域是.，函数y＝arcctgx

的定义域是R ，值域是(0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x 的范围，即为的定义域。

例 若函数的定义域为，则的定义域为 。 分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。 解：依题意知： 解之，得 ∴ 的定义域为

11、函数值域的求法 1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y=的值域 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x

bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数y=，，的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

例求函数y=+的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y=+ 的值域

解：原函数可变形为：y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣= =，

故所求函数的值域为[，+∞）。

例求函数y= -的值域

解：将函数变形为：y= -

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣= =

即：-＜y＜

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 。

综上所述，可知函数的值域为：（-，-）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x