离散数学第七章图论2
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离散数学 7-1图概念7-2路与回路

若一条路中所有的边e1, …, en均不相同,称作迹 。 若一条路中所有的结点v0, v1,…, vn均不相同,称作通路 。 闭的通路,即除v0=vn之外,其余结点均不相同的路,称作圈。
例如
路:v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹:v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路:v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个): 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理,一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4:含有平行边的图称为多重图。 2、简单图:不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5:简单图G=<V,E>中,若每一对结点 间均有边相连,则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图:每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类:
①无向图:每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图:每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图:有些边是无向边,有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联:如ei=(u,v)或ei=<u,v>称u, v与ei关联。 5、点与点的相邻:关联于同一条边的结点称为邻 接点。
例如
路:v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹:v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路:v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个): 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理,一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4:含有平行边的图称为多重图。 2、简单图:不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5:简单图G=<V,E>中,若每一对结点 间均有边相连,则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图:每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类:
①无向图:每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图:每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图:有些边是无向边,有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联:如ei=(u,v)或ei=<u,v>称u, v与ei关联。 5、点与点的相邻:关联于同一条边的结点称为邻 接点。
第七章 2汉密尔顿图

只能邻接路上的结点为止。若 p=n,则汉密尔顿路找到了,否则 p<n,转 STEP 2。
L: v1
vp
2021/2/16
7-2 汉密尔顿图 2021/2/16
7-2 汉密尔顿图
如果 v p 不邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结点,则 deg(vp ) p 1 k ,
deg(u)+deg(v)≥ n, 则G是汉密尔顿图。
2021/2/16
11
7-2 汉密尔顿图
设G=〈V ,E〉是有n个结点的简单图, (1) 如果任两结点u,v∈V, 均有
deg(u)+deg(v)≥ n-1, 则在G中存在一条汉密尔顿路;
(1)证明:首先证明图 G 连通。用反证法进行证明。假设图 G 不连通,则图 G 至少
deg(v1) k , deg(vp ) deg(v1) p 1 k k p 1 n 1 , 这 与 前 提 条 件
deg u +deg v n-1矛盾。因此 v p 必然邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结
点。回路 L1 一定存在。 STEP 3:打开回路,得到基本路径 L2。
有两个连通分支 G1 和 G2 。G1=<V1, E1> ,G2=<V2 , E2> 。| V1 | n1 ,| V2 | n2 。在G1 中取 一 个 结 点 v1 , deg(v1) n1 1 , 在 G2 中 取 一 个 结 点 v2 , deg(v2 ) n2 1 。
deg(v1) deg(v2 ) n1 1 (n2 1) n1 n2 2 n 2 ,与 deg u+deg v n-1 矛
因此该定理不能证明彼得森图是非 汉密尔顿图。但彼得森图是非汉密尔 顿图。
L: v1
vp
2021/2/16
7-2 汉密尔顿图 2021/2/16
7-2 汉密尔顿图
如果 v p 不邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结点,则 deg(vp ) p 1 k ,
deg(u)+deg(v)≥ n, 则G是汉密尔顿图。
2021/2/16
11
7-2 汉密尔顿图
设G=〈V ,E〉是有n个结点的简单图, (1) 如果任两结点u,v∈V, 均有
deg(u)+deg(v)≥ n-1, 则在G中存在一条汉密尔顿路;
(1)证明:首先证明图 G 连通。用反证法进行证明。假设图 G 不连通,则图 G 至少
deg(v1) k , deg(vp ) deg(v1) p 1 k k p 1 n 1 , 这 与 前 提 条 件
deg u +deg v n-1矛盾。因此 v p 必然邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结
点。回路 L1 一定存在。 STEP 3:打开回路,得到基本路径 L2。
有两个连通分支 G1 和 G2 。G1=<V1, E1> ,G2=<V2 , E2> 。| V1 | n1 ,| V2 | n2 。在G1 中取 一 个 结 点 v1 , deg(v1) n1 1 , 在 G2 中 取 一 个 结 点 v2 , deg(v2 ) n2 1 。
deg(v1) deg(v2 ) n1 1 (n2 1) n1 n2 2 n 2 ,与 deg u+deg v n-1 矛
因此该定理不能证明彼得森图是非 汉密尔顿图。但彼得森图是非汉密尔 顿图。
离散数学图论作业7-二部图匹配

离散数学图论作业7-二部图匹配Problem1证明:一个无回路的简单连通图最多只有一个完美匹配。
(完美匹配指能饱和所有顶点的匹配)Problem2从下图G=(A,B,E)中,找出相对于匹配M(粗边的集合)的任意三条交错路径(alternating path)和至少两条增广路径(augmenting path),然后利用增广路径扩大M来找到最大匹配。
a0 a1 a2 a3 a4 a5b0 b1 b2 b3 b4 b5Problem3对于哪些n值来说,下列图是存在完美匹配的二部图?a)K nb)C nc)Q n对于每一个二部图G=(A,B,E),判断G是否有饱和A的匹配。
如果没有,请说明理由。
(1)(2)(3)(4)Problem5令k为一整数。
对于任意有限集合,证明对它的任意两个k划分都存在一个相同的代表集。
•集合的k划分指划分为大小相同的互不想交的k个子集,为简便起见,设集合的大小为k的整数倍从而每个子集均有相同个元素。
•一个划分的代表集指从每个子集中取出一个元素而构成的集合。
举例:集合{1,2,3,4}的一个2划分为A:{1,2}{3,4}。
此划分的代表集有{1,3},{2,3},{1,4},{2,4},但{1,2}不是其代表集。
集合的另外一个划分为B:{2,3}{1,4}。
易见,A与B存在相同的代表集{1,3}。
Problem6假设某校计算机系学生选导师时出现了这样的情况:对于每一位学生,至少对k名导师感兴趣;对于每一位导师,至多有k名学生对他感兴趣。
假设每位导师只能指导1名学生,且每位学生也只能选择1名导师。
试证明:存在这样的匹配,使得每位学生都能选到自己感兴趣的导师。
证明一个6×6的方格纸板挖去左上角和右下角后不能用剪刀裁剪成若干1×2的小矩形。
离散数学-图论基础

结点的次数
2020/1/17
问题1:是否存在这种情况:25个人中,由于意见不同,每 个人恰好与其他5个人意见一致?
在建立一个图模型时,一个基本问题是决定这个图是什么 —— 什么是结点?什么是边? 在这个问题里,我们用结点表示对象——人; 边通常表示两个结点间的关系——表示2个人意见一致。 也就是说,意见一致的2个人(结点)间存在一条边。
第七章 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/1/17
一个图G定义为一个三元组:G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合,V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合(可以为空),E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射
以v为起始结点的弧的条数,称为出度(out-degree) (引出次数),记为d+(v)
以v为终结点的弧的条数,称为入度(in-degree)
(引入次数),记为d-(v)
v3
v的出度和入度的和,称为v的度数(degree)
(次数),记为d(v) = d+(v) + d-(v)
v1 (a) v2
结点的次数
(associative mapping)
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/1/17
图G=<V, E, Φ>中的每条边都与图中的无序对或有序对联系
若边e E 与无序对结点[va, vb]相联系,即Φ(e)= [va, vb] (va, vb V)则称e是无向边(或边、棱)
离散数学 第七章 图论

10
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′=<V′,E′>=<{v1′,v2′,v3′, v4′,v5′},{<v1′,v2′>,<v2′, v3′>,<v3′,v4′>,<v2′,v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边,另一些边是无向边, 则称这个图是混合图。
G″=<V″,E″>=<{ v1″,v2″,v3″,
v4″,},{( v1″,v4″),(v2″,v4″),<v1″,
v3″>,<v3″,v4″>}>
11
在一个图中,若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联,则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点,称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图,仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中,任意两点间都有边相连, n 个结点 中任取两点的组合数为:
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| = n(n-1)/2 。
21
注意:
如果在Kn中,对每条边任意确定一个方 向,就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然,它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ,总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图,方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ,V V ,则称 G 为 G 的子图。
例:如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点,则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′=<V′,E′>=<{v1′,v2′,v3′, v4′,v5′},{<v1′,v2′>,<v2′, v3′>,<v3′,v4′>,<v2′,v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边,另一些边是无向边, 则称这个图是混合图。
G″=<V″,E″>=<{ v1″,v2″,v3″,
v4″,},{( v1″,v4″),(v2″,v4″),<v1″,
v3″>,<v3″,v4″>}>
11
在一个图中,若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联,则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点,称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图,仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中,任意两点间都有边相连, n 个结点 中任取两点的组合数为:
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| = n(n-1)/2 。
21
注意:
如果在Kn中,对每条边任意确定一个方 向,就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然,它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ,总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图,方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ,V V ,则称 G 为 G 的子图。
例:如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点,则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
21
例:
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
22
例:
1(b)
有向图
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中,若e=(a, b)∈E,则称a与 b彼此相邻(adjacent),或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中,若e=<a, b>∈E,即箭头 由a到b,称a邻接到b,或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex),b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路:将图中顶点的度分类,再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分:图论(授课教师:向胜军) 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点,m 条边,则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和,也等于m。
即:
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路:利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
10
一些特殊的简单图:
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学第7章 图论 习题

证明:设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹,即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1,若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
300页(2) 如果u可达v,它们之间可能不止一条
路,在所有这些路中,最短路的长度 称为u和v之间的距离(或短程线), 记作d<u,v>,如果从u到v是不可达的, 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路,但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点(k>0)的连通图, 证明在G中的边能剖分为k/2条路(边不相重)。 证明:因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数, 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边,得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数,故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2),得到两条边互不相重的迹,这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ,则将一条迹(包含u3和v3的迹)又分 为两条边互不相重的迹,共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
300页(2) 如果u可达v,它们之间可能不止一条
路,在所有这些路中,最短路的长度 称为u和v之间的距离(或短程线), 记作d<u,v>,如果从u到v是不可达的, 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路,但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点(k>0)的连通图, 证明在G中的边能剖分为k/2条路(边不相重)。 证明:因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数, 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边,得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数,故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2),得到两条边互不相重的迹,这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ,则将一条迹(包含u3和v3的迹)又分 为两条边互不相重的迹,共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
离散数学图论2PPT教学课件

(1)欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复. 笔不离开纸,不重复地走完所有的边,
且走过所有结点,就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
(2)欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点;(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4.(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
,表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
2020/12/11
2
3.(有向图)关联矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行,边为列).
具有性质: 1 vi为终, 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0); i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1.(无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点,列为边). 具有性质:
m
① mij 2(列元素之和为2);
i1
m
② mij degv,(i若)
且走过所有结点,就是所谓的一笔画.
2020/12/11
6
(2)欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点;(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4.(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
,表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
2020/12/11
2
3.(有向图)关联矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行,边为列).
具有性质: 1 vi为终, 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0); i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1.(无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点,列为边). 具有性质:
m
① mij 2(列元素之和为2);
i1
m
② mij degv,(i若)
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2) V1中结点在C上存在r(2≤r≤|V1|)个互不相邻,删除C上 V1中各结点及关联的边后,将C分为互不相连的r段, 即p(C-V1)=r≤|V1|。
▪ 一般情况下,V1中的结点在C中即有相邻的,又有不 相邻的,因此总有p(C-V1)≤|V1|。
▪ 又因C是G的生成子图,从而C-V1也是G-V1的生成子 图,故有
2
15
1
16 13 14
20 17
12 4
3
19 18 11 5
9 10
6
8
7
给定G是一个无孤立结点的无向图,若存在一条路(回路), 经过图中每个结点一次且仅一次,则称此路(回路)为该图 的一条汉密尔顿路(回路)。具有汉密尔顿回路的图称为汉 密尔顿图。
2020/9/21
国际学院
60--17
汉密尔顿图的定义
2020/9/21
国际学院
60--11
一笔画问题
1
11
10
1
12
9
2
3
2
8
5
6
3
4
7
(a)
对于上图,有
4
5
(b)
图(a)能一笔画并且能回到出发点的,
图(b)能一笔画但不能回到出发点的。
2020/9/21
国际学院
60--12
判断有向欧拉路、欧拉图的方法
定理7.2 有向图G具有一条欧拉路,当且仅当G 是连通的,且除了两个结点以外,其余结点的 入度等于出度,而这两个例外的结点中,一个 结点的入度比出度大1,另一个结点的出度比 入度大1。
②对于欧拉路L的任意非端点的结点vi,在L中每出现vi一 次,都关联着G中的两条边,而当vi又重复出现时,它又 关联着G中的另外的两条边,由于在路L中边不可能重复出
现,因而vi每出现一次,都将使得结点vi的度数增加2度, 若vi在路中重复出现j次,则deg(vi)=2j。
2020/9/21
国际学院
60--6
在右图所示的欧拉图 中,求从v1出发的欧拉回 路。
如果P4=v1e1v2e2v3e3v4e7v7,再往下走(注意别 走桥),就可以走出欧拉回路: P4=v1e1v2e2v3e3v4e7v7e6v6e5v5e4v4e8v2e9v7e10v1
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60--16
7.2 汉密尔顿图
周游世界问题
2020/9/21
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60--27
推论
推论7.4 设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向 图。如果对任意两个不相邻的结点u,v∈V,均 有
deg(u)+deg(v)≥n 则G中存在汉密尔顿回路。 推论7.5 设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向 图,n≥3。如果对任意v∈V,均有
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60--25
证明(续2)
b) 若 在 P 上 v1 与 vk 不 相 邻 , 假 设 v1 在 P 上 与
vi1=v2,vi2,vi3,…,vij 相 邻 ( j 必 定 大 于 等 于 2 , 否 则 deg(v1)+deg(vk)≤1+k-2<n-1),此时vk必与vi2,vi3,…,vij 相 邻 的 结 点 vi2-1,vi3-1,…,vij-1 至 少 之 一 相 邻 ( 否 则 deg(v1)+deg(vk)≤j+k-2-(j-1) = k-1 < n-1 ) 。 设 vk 与 vir-1 (2≤r≤j)相邻,如下图所示。在P中添加边(v1,vir)、 (vk,vir-1) , 删 除 边 (vir-1,vir) 得 基 本 回 路 C = v1v2…vkvk1…v1。
是欧拉图;
▪ 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。
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60--14
例7.2(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位于右图 中的结点a,b处,并设图中的边长
度是相等的。甲、乙进行比赛:从 它们所在的结点出发,走过图中的 所有边最后到达结点c处。如果它们 的速度相同,问谁先到达目的地?
推论7.2 有向图G具有一条欧拉回路,当且仅当 G是连通的,且所有结点的入度等于出度。
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60--13
例
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8
V4
V4
V4
V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
▪ 图a)存在一条的欧拉路:v3v1v2v3v4v1; ▪ 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1,因而(b)
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60--9
判断无向欧拉图的方法
推论7.1 无向图G=<V,E>是欧拉图当
且仅当G是连通的,且G的所有结点的 度数都为偶数。
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60--10
例
V1
V1
V1
V4
V2
V5 V2
V5
V3
V4
(a)
V3
V4 V2
V3
(b)
(c)
由定理7.1容易看出: a) 是欧拉图; b) 不是欧拉图,但存在欧拉路; c) 即不是欧拉图,也不存在欧拉路。
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60--22
定理7.4
设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向图。如果 对任意两个不相邻的结点u,v∈V,均有 deg(u)+deg(v)≥n-1
则G中存在汉密尔顿路。
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60--23
证明
▪ 首先证明满足上述条件的G是连通图。否则G
有两个或更多连通分支。设一个连通分支有n1 个结点,另一个连通分支有n2个结点。这二个 连通分支中分别有两个结点 v1、v2。显 然, deg(v1)≤n1-1 , deg(v2)≤n2-1 。 从 而 deg(v1) + deg(v2)≤n1+n2-2≤n-2 与 已 知 矛 盾 , 故 G 是 连 通 的。
60--4=<V,E>具有一条欧
拉路当且仅当G是连通的,且仅有零个 或者两个奇度数结点。若有两个奇度数 结点,则它们是G中每条欧拉路的端点。
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60--5
证明
若G=(1,0)是一个平凡图,则定理显然成立。
下面讨论G是非平凡图的情况。
证明(续1)
若端点v0vk,设v0,vk在路中作为非端点分别出 现j1次和j2次,v0,vk每出现一次,都将使得结点v0,vk 的度数增加2度,而v0,vk作为端结点时,仅仅只出现一 次,且在其v0,vk的度数上只增加1度,则v0,vk的总度 数分别是:
deg(v0)=2j1+1, deg(vk)=2j2+1。
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60--26
证明(续3)
3) 证明存在比P更长的通路。 ▪ 因为k<n,所以V中还有一些结点不在C中,
由G的连通性知,存在C外的结点与C上的结 点相邻,不妨设vk+1∈V-V(C)且与C上结点 vt相邻,在C中删除边(vt-1,vt)而添加边(vt,vk+1) 得到通路P'=vt-1…v1vir…vkvir-1…vtvk+1。显然, P'比P长1,且P'上有k+1个不同的结点。 ▪ 对P'重复1)~3),得到G中的汉密尔顿通路 或比P'更长的基本通路,由于G中结点数目有 限,故在有限步内一定得到G中的一条汉密 尔顿通路。
例
a
c
(a)
(b)
(c)
既 存 在 汉 既不存在汉 既存在汉密
密 尔 顿 路 , 密尔顿路, 尔顿路,又
又 存 在 汉 也不存在汉 存在汉密尔
密 尔 顿 回 密尔顿回路。 顿回路,即
路,即为
为汉密尔顿
汉密尔顿 图。
图。
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(d)
存在汉密尔 顿路,但不 存在汉密尔 顿回路。
60--19
第7章 特殊图
7.1 Euler图
哥尼斯堡七桥问题:
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60--1
欧拉图的定义
定义7.1 设G是无孤立结点的图,若存在一 条路(回路),经过图中每边一次且仅一次, 则称此路(回路)为该图的一条欧拉路(回 路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图。
规定平凡图(一个孤立节点图)为欧拉图。
p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|
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60--21
注意
1) 定理7.3给出的是汉密尔顿图的必要条件,而不是充
分条件。下图所示的彼得森图,对V的任意非空子集
V1,均满足p(G-V1)≤|V1|,但它不是汉密尔顿图。
2) 定理7-3在应用中它本身用处不大,
但它的逆否命题却非常有用。我们
经常利用定理7-3的逆否命题来判断
某些图不是汉密尔顿图,即:若存
在V的某个非空子集V1使得p(G-V1)> |V1|,则G不是汉密尔顿图。例如在
a
上 图 中 取 V1= { v1,v2} , 则 p(G-V1)
= 4 > |V1| = 2 , 因 而 该 图 不 是 汉 密 尔顿图。
c
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60--8
证明(续3)
由这些结点中的一个开始我们再通过边构造路, 因为结点的度数全为偶数,因此,这条路一定最终回到 起点。我们将这条回路加到已构造好的路中间组合成一 条路。如有必要,这一过程重复下去,直到我们得到一 条通过图中的所有边的路,即欧拉路。
▪ 一般情况下,V1中的结点在C中即有相邻的,又有不 相邻的,因此总有p(C-V1)≤|V1|。
▪ 又因C是G的生成子图,从而C-V1也是G-V1的生成子 图,故有
2
15
1
16 13 14
20 17
12 4
3
19 18 11 5
9 10
6
8
7
给定G是一个无孤立结点的无向图,若存在一条路(回路), 经过图中每个结点一次且仅一次,则称此路(回路)为该图 的一条汉密尔顿路(回路)。具有汉密尔顿回路的图称为汉 密尔顿图。
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60--17
汉密尔顿图的定义
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60--11
一笔画问题
1
11
10
1
12
9
2
3
2
8
5
6
3
4
7
(a)
对于上图,有
4
5
(b)
图(a)能一笔画并且能回到出发点的,
图(b)能一笔画但不能回到出发点的。
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60--12
判断有向欧拉路、欧拉图的方法
定理7.2 有向图G具有一条欧拉路,当且仅当G 是连通的,且除了两个结点以外,其余结点的 入度等于出度,而这两个例外的结点中,一个 结点的入度比出度大1,另一个结点的出度比 入度大1。
②对于欧拉路L的任意非端点的结点vi,在L中每出现vi一 次,都关联着G中的两条边,而当vi又重复出现时,它又 关联着G中的另外的两条边,由于在路L中边不可能重复出
现,因而vi每出现一次,都将使得结点vi的度数增加2度, 若vi在路中重复出现j次,则deg(vi)=2j。
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60--6
在右图所示的欧拉图 中,求从v1出发的欧拉回 路。
如果P4=v1e1v2e2v3e3v4e7v7,再往下走(注意别 走桥),就可以走出欧拉回路: P4=v1e1v2e2v3e3v4e7v7e6v6e5v5e4v4e8v2e9v7e10v1
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7.2 汉密尔顿图
周游世界问题
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推论
推论7.4 设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向 图。如果对任意两个不相邻的结点u,v∈V,均 有
deg(u)+deg(v)≥n 则G中存在汉密尔顿回路。 推论7.5 设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向 图,n≥3。如果对任意v∈V,均有
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证明(续2)
b) 若 在 P 上 v1 与 vk 不 相 邻 , 假 设 v1 在 P 上 与
vi1=v2,vi2,vi3,…,vij 相 邻 ( j 必 定 大 于 等 于 2 , 否 则 deg(v1)+deg(vk)≤1+k-2<n-1),此时vk必与vi2,vi3,…,vij 相 邻 的 结 点 vi2-1,vi3-1,…,vij-1 至 少 之 一 相 邻 ( 否 则 deg(v1)+deg(vk)≤j+k-2-(j-1) = k-1 < n-1 ) 。 设 vk 与 vir-1 (2≤r≤j)相邻,如下图所示。在P中添加边(v1,vir)、 (vk,vir-1) , 删 除 边 (vir-1,vir) 得 基 本 回 路 C = v1v2…vkvk1…v1。
是欧拉图;
▪ 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。
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例7.2(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位于右图 中的结点a,b处,并设图中的边长
度是相等的。甲、乙进行比赛:从 它们所在的结点出发,走过图中的 所有边最后到达结点c处。如果它们 的速度相同,问谁先到达目的地?
推论7.2 有向图G具有一条欧拉回路,当且仅当 G是连通的,且所有结点的入度等于出度。
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例
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8
V4
V4
V4
V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
▪ 图a)存在一条的欧拉路:v3v1v2v3v4v1; ▪ 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1,因而(b)
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判断无向欧拉图的方法
推论7.1 无向图G=<V,E>是欧拉图当
且仅当G是连通的,且G的所有结点的 度数都为偶数。
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例
V1
V1
V1
V4
V2
V5 V2
V5
V3
V4
(a)
V3
V4 V2
V3
(b)
(c)
由定理7.1容易看出: a) 是欧拉图; b) 不是欧拉图,但存在欧拉路; c) 即不是欧拉图,也不存在欧拉路。
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定理7.4
设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向图。如果 对任意两个不相邻的结点u,v∈V,均有 deg(u)+deg(v)≥n-1
则G中存在汉密尔顿路。
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证明
▪ 首先证明满足上述条件的G是连通图。否则G
有两个或更多连通分支。设一个连通分支有n1 个结点,另一个连通分支有n2个结点。这二个 连通分支中分别有两个结点 v1、v2。显 然, deg(v1)≤n1-1 , deg(v2)≤n2-1 。 从 而 deg(v1) + deg(v2)≤n1+n2-2≤n-2 与 已 知 矛 盾 , 故 G 是 连 通 的。
60--4=<V,E>具有一条欧
拉路当且仅当G是连通的,且仅有零个 或者两个奇度数结点。若有两个奇度数 结点,则它们是G中每条欧拉路的端点。
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证明
若G=(1,0)是一个平凡图,则定理显然成立。
下面讨论G是非平凡图的情况。
证明(续1)
若端点v0vk,设v0,vk在路中作为非端点分别出 现j1次和j2次,v0,vk每出现一次,都将使得结点v0,vk 的度数增加2度,而v0,vk作为端结点时,仅仅只出现一 次,且在其v0,vk的度数上只增加1度,则v0,vk的总度 数分别是:
deg(v0)=2j1+1, deg(vk)=2j2+1。
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证明(续3)
3) 证明存在比P更长的通路。 ▪ 因为k<n,所以V中还有一些结点不在C中,
由G的连通性知,存在C外的结点与C上的结 点相邻,不妨设vk+1∈V-V(C)且与C上结点 vt相邻,在C中删除边(vt-1,vt)而添加边(vt,vk+1) 得到通路P'=vt-1…v1vir…vkvir-1…vtvk+1。显然, P'比P长1,且P'上有k+1个不同的结点。 ▪ 对P'重复1)~3),得到G中的汉密尔顿通路 或比P'更长的基本通路,由于G中结点数目有 限,故在有限步内一定得到G中的一条汉密 尔顿通路。
例
a
c
(a)
(b)
(c)
既 存 在 汉 既不存在汉 既存在汉密
密 尔 顿 路 , 密尔顿路, 尔顿路,又
又 存 在 汉 也不存在汉 存在汉密尔
密 尔 顿 回 密尔顿回路。 顿回路,即
路,即为
为汉密尔顿
汉密尔顿 图。
图。
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(d)
存在汉密尔 顿路,但不 存在汉密尔 顿回路。
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第7章 特殊图
7.1 Euler图
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欧拉图的定义
定义7.1 设G是无孤立结点的图,若存在一 条路(回路),经过图中每边一次且仅一次, 则称此路(回路)为该图的一条欧拉路(回 路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图。
规定平凡图(一个孤立节点图)为欧拉图。
p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|
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注意
1) 定理7.3给出的是汉密尔顿图的必要条件,而不是充
分条件。下图所示的彼得森图,对V的任意非空子集
V1,均满足p(G-V1)≤|V1|,但它不是汉密尔顿图。
2) 定理7-3在应用中它本身用处不大,
但它的逆否命题却非常有用。我们
经常利用定理7-3的逆否命题来判断
某些图不是汉密尔顿图,即:若存
在V的某个非空子集V1使得p(G-V1)> |V1|,则G不是汉密尔顿图。例如在
a
上 图 中 取 V1= { v1,v2} , 则 p(G-V1)
= 4 > |V1| = 2 , 因 而 该 图 不 是 汉 密 尔顿图。
c
2020/9/21
2020/9/21
国际学院
60--8
证明(续3)
由这些结点中的一个开始我们再通过边构造路, 因为结点的度数全为偶数,因此,这条路一定最终回到 起点。我们将这条回路加到已构造好的路中间组合成一 条路。如有必要,这一过程重复下去,直到我们得到一 条通过图中的所有边的路,即欧拉路。