离散数学图论
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学图论整理
离散数学图论整理总结第⼋章图论8.1 图的基本概念8.1.1 图定义8.1―1 ⼀个图G 是⼀个三重组〈V (G ),E (G ),ΦG 〉,其中V (G )是⼀个⾮空的结点(或叫顶点)集合,E (G )是边的集合,ΦG 是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
⼀个图可以⽤⼀个图形表⽰。
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是⽆序的。
若边e 所对应的偶对〈a ,b 〉是有序的,则称e 是有向边。
有向边简称弧,a 叫弧e 的始点,b 叫弧e 的终点,统称为e 的端点。
称e 是关联于结点a 和b 的,结点a 和结点b 是邻接的。
若边e 所对应的偶对(a ,b )是⽆序的,则称e 是⽆向边。
⽆向边简称棱,除⽆始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同每⼀条边都是有向边的图称为有向图。
每⼀条边都是⽆向边的图称为⽆向图。
有向图和⽆向图也可互相转化。
例如,把⽆向图中每⼀条边都看作两条⽅向不同的有向边,这时⽆向图就成为有向图。
⼜如,把有向图中每条有向边都看作⽆向边,就得到⽆向图。
这个⽆向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧⽴结点。
全由孤⽴结点构成的图称为零图。
关联于同⼀结点的⼀条边称为⾃回路。
在有向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若同始点和同终点的边多于⼀条,则这⼏条边称为平⾏边。
在⽆向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若多于⼀条边,则称这⼏条边为平⾏边。
两结点a 、b 间互相平⾏的边的条数称为边［a ,b ］的重数。
仅有⼀条时重数为1,⽆边时重数为0。
定义8.1―2 含有平⾏边的图称为多重图。
⾮多重图称为线图。
⽆⾃回路的线图称为简单图。
仅有⼀个结点的简单图称为平凡图。
定义 8.1―3 赋权图G 是⼀个三重组〈V ,E ,g 〉或四重组〈V ,E ,f ,g 〉,其中V 是结点集合, E 是边的集合,f 是定义在V 上的函数,g 是定义在E 上的函数。
8.1.2 结点的次数定义 8.1―4 在有向图中,对于任何结点v ,以v 为始点的边的条数称为结点v 的引出次数(或出度),记为deg +(v );以v 为终点的边的条数称为结点v 的引⼊次数(或⼊度),记为deg -(v );结点v 的引出次数和引⼊次数之和称为结点v 的次数(或度数),记作deg (v )。
离散数学中的图论与网络分析
离散数学中的图论与网络分析离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象及其相互关系。
图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由节点和边构成的图结构。
网络分析则是基于图论的方法，用于研究复杂系统中的关系和相互作用。
一、图论的基本概念和性质图是由节点和边构成的数学结构，节点代表对象，边代表节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向性，而无向图中的边没有方向性。
图的基本概念包括顶点、边、路径、回路等。
顶点是图中的节点，边是连接节点的线段。
路径是由一系列边连接的顶点序列，回路是起点和终点相同的路径。
图的性质有连通性、完全性、度数等。
连通性指图中任意两个节点之间都存在路径。
完全性指图中任意两个节点之间都存在边。
度数是指节点相连的边的数量。
二、图的表示方法图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方法来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的关系。
邻接表则是通过链表的方式来表示节点之间的关系。
邻接矩阵适用于表示稠密图，因为它需要使用大量的空间来存储节点之间的关系。
邻接表适用于表示稀疏图，因为它只需要存储节点之间存在关系的信息。
三、图的算法图的算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），最短路径算法，最小生成树算法等。
深度优先搜索是一种遍历图的算法，它从一个起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到无法继续为止，然后回溯到前一个节点，继续搜索其他路径。
广度优先搜索则是逐层遍历图，先访问离起始节点最近的节点，然后依次访问距离起始节点更远的节点。
最短路径算法用于寻找两个节点之间的最短路径。
常用的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法通过不断更新节点之间的距离来找到最短路径，而弗洛伊德算法则是通过动态规划的方式来计算任意两个节点之间的最短路径。
最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即用最少的边连接图中的所有节点。
常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
离散数学第8章 图论
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
离散数学中的图论应用
离散数学中的图论应用离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而图论作为离散数学中的一个重要分支，研究的是图这种离散结构的性质和应用。
图论在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍离散数学中图论的应用。
一、计算机网络中的图论应用计算机网络是现代信息社会的重要基础设施，而图论在计算机网络中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析计算机网络的拓扑结构。
计算机网络中的节点和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析网络的稳定性、可靠性和性能等指标。
其次，图论可以用来解决网络中的路径选择问题。
通过图的最短路径算法，可以找到两个节点之间的最短路径，从而实现数据的快速传输。
另外，图论还可以用来解决网络中的流量控制和路由问题，通过最大流最小割算法可以实现网络资源的合理分配和优化。
二、社交网络中的图论应用随着社交媒体和社交平台的兴起，社交网络成为人们日常生活中重要的一部分。
而图论在社交网络中也有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析社交网络的关系。
社交网络中的用户可以用图的顶点来表示，而用户之间的关系可以用图的边来表示。
通过图的连通性和聚类系数等指标，可以分析社交网络中的社群结构和信息传播等现象。
其次，图论可以用来解决社交网络中的推荐问题。
通过图的相似度算法，可以实现用户之间的兴趣相似度计算和推荐系统的构建。
另外，图论还可以用来解决社交网络中的影响力传播问题，通过图的传播模型可以模拟和预测信息在社交网络中的传播路径和影响力。
三、电路设计中的图论应用电路设计是电子工程中的一个重要领域，而图论在电路设计中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析电路的拓扑结构。
电路中的器件和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析电路的稳定性、功耗和延迟等指标。
其次，图论可以用来解决电路中的布线问题。
通过图的最小生成树算法和最短路径算法，可以实现电路的布线优化和信号传输的最优化。
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学——图论
2023/5/24
42
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
2023/5/24
27
正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
2023/5/24
28
两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
2023/5/24
❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
2023/5/24
4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发 表了第一部集图论二百年研究成果于一书的 图论专著《有限图与无限图理论》，这是现 代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门 独立学科。
2023/5/24
37
连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的， 则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图 是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通 图。
2023/5/24
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有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向
离散数学图论代表性论题解析
离散数学图论代表性论题解析离散数学是数学中的一个重要分支，而图论则是离散数学的一个重要分支。
作为一个独特的数学领域，图论研究图的性质以及其在不同领域中的应用。
本文将对图论中的代表性论题进行解析，以便读者更好地理解和应用离散数学中的图论知识。
1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它用于寻找图中两个结点之间连接的最短路径。
最短路径算法有多种，如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是一种单源最短路径算法，它通过维护一个距离数组来找到从源结点到其他结点的最短路径。
弗洛伊德算法则用于解决所有结点对之间的最短路径问题。
它通过不断更新距离矩阵来寻找最短路径。
2. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通图中找到一个生成树，使得其所有边的权值之和最小。
常用的解决该问题的算法是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法从一个初始结点开始，逐步添加到生成树中的结点，直到包含所有结点为止。
在每次添加结点时，选择与当前生成树距离最小的结点。
克鲁斯卡尔算法则是按权值从小到大的顺序选择边来构建最小生成树。
3. 图的着色问题图的着色问题是指对一个图中的结点进行染色，使得相邻结点颜色不同。
在实际生活中，这个问题被广泛应用于调度、地图着色等问题。
图的着色问题是一个NP完全问题，目前只能通过启发式算法来求解。
其中，最知名的算法是著名的四色定理，它指出任意平面图都可以用四种颜色进行着色。
4. 欧拉回路和哈密顿回路问题欧拉回路和哈密顿回路是图论中两个经典的回路问题。
欧拉回路是指一个图中通过每条边一次且仅一次的回路，而哈密顿回路是指一个图中通过每个结点一次且仅一次的回路。
对于欧拉回路问题，欧拉提出了著名的欧拉定理，它指出一个连通图存在欧拉回路当且仅当每个结点的度数都是偶数。
哈密顿回路问题至今没有有效的判定算法，只能通过穷举法进行求解。
5. 网络流问题网络流是图论中一个重要的研究方向，它研究由结点和边组成的网络中的流量分配问题。
离散数学第8章 图论
软件学院
图论原理 两个图同构的必要条件: 1.结点个数相等. 2.边数相等. 3.度数相同的结点数相等. 4.对应的结点的度数相等. 下面是同构的图:
a b c e d 3 5 1 4 2 b c d a f e 2 4 6 1 3 5
软件学院
图论原理
软件学院
图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
c
d
v2
v4 v6 G2
v3
v5
f g h G1
软件学院
图论原理
欧拉通路的判定方法： 定理：无向连通图G中结点a和b间存在欧拉通路的充分必要 条件是a与b的次数均为奇数而其他结点的次数均为偶数。 如果G有两个奇数度结点:就从一个奇数度结点出发,每当到 达一个偶数度结点,必然可以再经过另一条边离开此结点, 如此重复下去,经过所有边后到达另一个奇数度结点 如果G无奇数度结点,则可以从任何一个结点出发,去构造一 条欧拉路. a b 1 2 c d 4 3
v3
是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
离散数学-图论
若图 G 是连通图，则 G 只有一个分图。
27
用第二章“关系”的概念解释分图的概念如下：
设有图 G = (V, E)，其中 V 有 n 个结点。在 V 上定义一个二
元关系 ，当且仅当从 vi 到 vj 有路连接时，vi vj。 图 G 中结点之间的连接关系 是 V 上的一个等价关系。
要求的 V 到 V 的双射函数 h。
因为这两个图中边与结点的关联关系不相同。
例如，在 G 中度为 3 的 4 个结点构成一个长为 4 的环，而在
G 中度为 3 的 4 个结点没有构成长为 4 的环。
23
五、子图与分图
利用子集的概念可定义图 G 的子图。 定义8-7 设有图 G1 = (V1, E1) 和图 G2 = (V2, E2)， (1) 若 V2 V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的子图，或称 G1 包含 G2，记作 G2 G1； (2) 若 G2 G1 但 G2 G1（即 V2 V1 或 E2 E1），则称 G2 是 G1 的真子图，记作 G2 G1； (3) 若 V2 = V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的生成子图。 显然，任一图 G 都是自己的子图。
8
例2 (a), (b) 分别给出了例 1 中图 G 的图解方法5
(a)
矩阵表示法
v1 v2 v3 v4 v5 (b)
用矩阵的方法也可以表示一个图。在 8.2 节中我们再专门讨论。
9
二、完全图与补图
v1
(n, m) 图
具有 n 个结点和 m 条边的图称为 (n, m) 图。
例1 设 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，
离散数学中的图论入门
离散数学中的图论入门图论是离散数学的一个重要分支，研究的对象是图。
图是由一些点和连接这些点的边组成的数学模型，可以用来描述现实世界中的各种关系和问题。
本文将介绍图论的基本概念和常见应用，帮助读者初步了解图论的入门知识。
一、图的定义与基本术语图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合是图中的点的集合，用V表示；边集合是图中连接顶点的边的集合，用E表示。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系；无向图中的边是无方向的，表示两个顶点之间的关系。
图还可以分为简单图和多重图。
简单图中不存在重复的边和自环（起点和终点相同的边）；多重图中可以存在重复的边和自环。
图中的边可以带权重，表示顶点之间的距离、代价或其他属性。
带权图可以用来解决最短路径、最小生成树等问题。
图的度是指与顶点相关联的边的数量。
对于无向图，顶点的度等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边的数量和从该顶点指出的边的数量。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于稠密图，但对于稀疏图来说，会浪费较多的存储空间。
邻接表是由若干个链表构成的数组，数组的每个元素对应一个顶点，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
邻接表适用于稀疏图，可以有效地节省存储空间。
三、常见的图论算法与应用1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，通过递归的方式依次访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
DFS可以用来解决连通性、可达性等问题。
2. 广度优先搜索（BFS）：BFS也是一种用于遍历图的算法，通过队列的方式按层次遍历图中的顶点。
BFS可以用来求解最短路径、网络分析等问题。
3. 最小生成树（MST）：最小生成树是指在连通图中选择一棵生成树，使得树中所有边的权重之和最小。
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
离散数学中的图论与组合数学
离散数学中的图论与组合数学离散数学是数学的一个分支领域，研究离散化的结构和对象，而图论和组合数学则是离散数学中的两个重要分支。
本文将探讨图论和组合数学的基本概念和应用。
一、图论图论是研究图及其性质和应用的数学分支。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
具体来说，图由顶点的集合和边的集合构成，顶点间的边表示了它们之间的关系。
1.1 图的基本概念在图论中，我们经常会遇到以下几个基本概念：顶点：图中的一个节点或一个元素，用于表示一个实体或一个抽象的对象。
边：连接顶点的线段，表示顶点之间的关系。
路径：由边连续连接的顶点序列。
回路：起点和终点相同的路径。
距离：两个顶点间的路径长度。
连通性：图中任意两个顶点之间存在路径。
1.2 图的应用图论在现实生活和计算机科学中都有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：网络分析：图论可用于分析社交网络、互联网和公共交通网络等复杂的网络结构。
电路设计：图论可以帮助设计电路和优化电路的布局。
路线规划：图论可应用于解决最短路径和旅行商问题等。
二、组合数学组合数学是一门研究离散结构的数学分支，主要研究离散对象的计数、排列、组合和选择等问题。
它涉及到排列组合、图论、图表以及递归等数学技术。
2.1 排列与组合排列是从给定对象中选取若干个并按照特定顺序排列的方式，而组合则是从给定对象中选取若干个但不考虑顺序的方式。
排列与组合的计数问题在实际应用中经常出现，比如：从n个数中选取m个不同的数，有多少种选择方式？从n个人中选取m个人组成一个团队，有多少种不同的团队组合方式？2.2 图论与组合数学的联系图论和组合数学有着紧密的联系，它们互相补充和借鉴。
图的着色问题是图论和组合数学中的一个重要问题。
着色问题可以简单地理解为如何用有限数量的颜色为图中的每个顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同。
另一个联系是组合数学中的波利亚定理，它可以用于计算图的数量。
波利亚定理告诉我们，一个n个顶点的图中存在多少个不同的子图。
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。
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无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶 点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则 d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 应用握手定理,得不等式 32=2m= Σd(vi)3*4+4*3+2x 得 x 4, 阶数 n 4+3+4=11.
14
1
实例
有向图D如图所示，求D的邻接矩阵 A与 A2, A3, A4. 问D 中长度 为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别有多少条？
2
实例求解
1 2 A 1 1 1 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A
8
例题
已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树 叶，试求树叶数. 解 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 先依树的性质m=n1， 再根据握手定理： 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x， 解出x = 3，故T有3片树叶.
9
例题
已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.
2
1 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1
A
3
1 5 4 A 4 4
答： D中长度小于等于4的通路为50条，其中有8条是回路.
5
练习
用至少两种方法证明下图不是哈密顿图. 方法一. 取 V1 = {a, c, e, h, j, l}，则 p(GV1) = 7 > |V1| = 6 故已知图下图不是哈密顿图. 方法二. G为二部图，互补顶点子集 V1 = {a, c, e, h, j, l}, V2 = {b, d, f, g, i, k, m}， |V1| = 6 7 = |V2|. 故已知图下图不是哈密顿图. 方法三. 此图中，n = 13，m = 21. 由于h, l, j 均为4度顶点，a, c, e为3度顶点， 且它们关联边互不相同. 而在哈密顿回路上，每个顶点准确地关联两条边， 于是可能用的边至多有21(32+31) = 12<n. 故已知图下图不是哈密顿图.
12
欧拉公式
证明欧拉公式：nm+r=2，其中 n为连通平面图G的阶数， m为G中边的条数，r为G中面的个数。 证：对边数m做归纳法。 m=0时，G为平凡图，结论显然为真. 假设m=k（k0）时结论为真，证明m=k+1时结论亦真. (1) 若G中无圈，则G为树，删除一片树叶， 则阶数与边数皆减1，依归纳假设， (n1)(m1)+r=2, 从而欧拉公式成立. (2)否则，在某一个圈上删除一条边， 此时边数与面数皆减1， 依归纳假设，n(m1)+(r1)=2, 从而欧拉公式亦成立. 13 综合(1)(2),m=k+1时结论恒真. 依归纳原理,欧拉公式得证.
练习
设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. 证明G中存在次数4的面. r=12时，上述结论成立吗（无需证明）？ 解：假设G中不存在次数4的面， 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r, 则由欧拉公式得 2m 5r = 5 (2+mn) ① 由于(G)3有 2m 3n ② 由①与②得 2m10+5m5n，10+3m≤5n≤10m/3， 于是 m30 ③ 又依欧拉公式及已知得 r=2+mn <12 ④ 由④及②得 m<30 ⑤ ③与⑤矛盾，故G中必存在次数4的面. r=12时，正十二面体就是上述结论的一个反例.
3
实例
有向图D如图所示，求D的邻接矩阵 A与 A2, A3, A4. 问D 中长度 小于等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？
4
实例求解
1 2 A 1 1 1 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A
2
1 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
A
3
1 5 4 A 4 4
答：D中长度为1的通路为8条，其中有1条是回路. D中长度为2的通路为11条，其中有3条是回路. D中长度为3和4的通路分别为14和17条，回路分别为1与3条.
7
证明思路
设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，G 中任意两个顶点之间存在 惟一的路径，证明 G 中无回路且 m=n1. 证明：假设G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不惟一 , 故G 中无回路. 对n用归纳法证明m=n1. n=1正确. 设nk时正确，证n=k+1时也正确. 取G中边e，Ge有且仅有两个连通分支G1,G2 , nik， 由归纳假设得mi=ni1, i=1,2. 于是，m=m1+m2+1=n1+n22+1=n1.
10
练习
设n阶非平凡的无向树T中，(T) k 1. 证明T至少有k片树叶. 证 用反证法. 假设T有s片树叶，s < k， 下面利用握手定理及树的性质m = n1推出矛盾. 由于(T) k，故存在v0，d(v0) k. 于是，
2 m 2 n 2 d ( v ) 2 ( n s 1) k s
i 1 i n
2n 2 2n 2s 2 k s
由此解出s k，这与s < k矛盾.
11
练习
设T 是正则2叉树，T 有t 片树叶，证明T的阶数 n=2t1. 证法一. 利用正则2叉树的定义及树的性质有： (1) n = t+i (i为分支点数) (2) n = m+1 （m为T的边数） (3) m = 2i （正则2叉树定义） 由(2)、(3)得 i =(n1)/2 ，代入（1）得n = 2t1. 证法二. T的树根为2度顶点，所有内点为3度顶点，树叶为1度顶点， 利用握手定理及树的性质有： (1) 2m = 2+3(i1)+t (i为分支点数) (2) n = m+1 = i+t 由(1) 和(2) 可解出n = 2t1.
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练习
某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4人 有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座， 使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中V={v| v为与会者}， E={(u,v) | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为简单图且vV, d(v)4， 于是，u,vV, 有d(u)+d(v) 8， 由定理15.7 的推论可知G为哈密顿图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C， 按C中相邻关系安排座位即可.