精品课件-离散数学 第七章 图论 习题课
合集下载
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学第七章图论习题课ppt课件
有环和平行边，u至多与其余n-1个结点中每一个 有一条边相连接，即deg(u)≤n-1，因此，⊿ (G) ＝maxdeg(u)≤n-1。
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
18
第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学-图论-习题公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一种欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e旳奇偶性一样。 b) v，e旳奇偶性相反。 假如不可能，阐明原因。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶旳，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A旳第5列全为0，所
i=1时，因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A旳第2列 全为0，所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通旳，而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
第7章图论离散数学离散数学第四版清华出版社1
若T上无重复出现的顶点，则T为基本通路。否则必 存在t<s，vt=vs，在T中去掉vt到vs的一段，所得通路 仍为u到v的通路，不妨仍记为T。若T上还有重复出 现的顶点，就做同样的处理，直到无重复出现的顶点
为止。最后得到的通路是u到v的基本通路，显然它 的长度应小于等于n-1。类似地可证定理的后半部分。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
23
例：
(1) 画出4个顶点3条边的所有可能非同构的 无向简单图。
(2) 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的 有向简单图。
• (1)
(2)
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
§2 通路、回路、图的连通性
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
n
n
d (vi ) d (vi ) m.
i 1
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
8
[定理1 (握手定理Handshaking)] 设无向图
G=<V, E>有n个顶点，m条边，则G中所有
顶点的度之和等于m的两倍。即
n
d(vi ) 2m.
i 1
证明思路：利用数学归纳法。
[定理2] 无向图中度为奇数的顶点个数恰有 偶数个。
狼菜
狼
菜
羊
空(成功)
为止。最后得到的通路是u到v的基本通路，显然它 的长度应小于等于n-1。类似地可证定理的后半部分。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
23
例：
(1) 画出4个顶点3条边的所有可能非同构的 无向简单图。
(2) 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的 有向简单图。
• (1)
(2)
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
§2 通路、回路、图的连通性
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
n
n
d (vi ) d (vi ) m.
i 1
9/21/2019 4:36 AM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
8
[定理1 (握手定理Handshaking)] 设无向图
G=<V, E>有n个顶点，m条边，则G中所有
顶点的度之和等于m的两倍。即
n
d(vi ) 2m.
i 1
证明思路：利用数学归纳法。
[定理2] 无向图中度为奇数的顶点个数恰有 偶数个。
狼菜
狼
菜
羊
空(成功)
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• 〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕∈E2 • (或<u，v>∈E1 <f(u)，f(v)>∈E2) • 且重数相同，则称G1同构于G2，记为
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学第7章PPT课件
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
第七章 离散数学课件 图论-2nd
(a)
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
《离散数学》课件-第七章 图(A)
d
e6e3
b
e7
e5
c
14
握手定理
• 定理7.1.1 设图G=(V, E)为无向图或有向图，G有n个结点 v1,v2,…,vn，e条边(无向或有向), 则图G中所有结点的度数 之和为边数的两倍，即
n
d (vi ) 2e
i 1
• 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 • 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.
（1）（5,5,4,4,2,1）
（2）（5,4,3,2,2）
（3）（3,3,2,2,1,1） （4）(d1, d2 , , dn ), d1 d2
n
dn 1且 di为偶数 i 1
解 （1）根据握手定理的推论可知，不是图的结点度数序列，因为有 3个奇数。 （2）中有5个数，最大数是5，根据定理7.1.3，它不是简单图的结 点序列。
K5
正则图
• 根据握手定理，n阶k-正则图的边数 m nk。
2
• 当k为奇数时，n为偶数。 • 当k=0时，0-正则图就是n阶零图。 • n阶无向完全图是(n-1)-正则图。
环图和轮图
定义7.1.12 如果图G =（V，E）的结点集V={v1，v2，vn} （n3），边集E={（v1，v2），（v2，v3），（ vn-1，vn）， （vn，v1）}，则称G为环图，记为Cn。下图是C3,C4 ,C5 ,C6。
19
实例
• 例4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的 • 多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中 V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的 推论矛盾.
离散数学--第7章 图论-5(匹配)
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
返回 结束
v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
返回 结束
7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
返回 结束
7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
4/24/2020 2:55 PM
G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
4/24/2020 2:55 PM
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
【最新】离散数学之图论ppt模版课件
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
31
[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称 此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子 图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通 分图。
[定义] 通路(path)
给定图G=<V, E>，设图G中顶点和边的交替 序列为T=v0e1v1e2…ekvk，若T满足如下条件：vi-1 和vi是ei的端点(当G为有向图时，vi-1是ei的始点， vi是ei的终点)，i=1,2,…,k，则称T为顶点v0到vk的 通路。此通路的长度为k。也可以用v0, v1, …, vk 表示通路，v0为始点，vk为终点。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
2
§1 无向图及有向图
❖ 本节介绍图的一些最常用的概念,主要有： 无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限 图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构， 入度，出度，度，孤立点等。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs) (2) 有向完全图 (3) 零图：E=. (4) 平凡图：E=且|V|=1. (5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点 的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可以
(2)(1,1,2,2,3)
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
少条？
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有 多少条？
(4)D中长度为4的回路有多少条？ (5) D中长度≤4的通路有多少条？其中
有几条是回路？
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示，回答下列诸问：
(1) D是哪类连通图? D是强连通图。
解答为解(2)—(6)，只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
1 2 0 0
A
0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
5 6 4 2
A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？ 答： v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ 答：长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
离散数学 第七章 图论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问
题，再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
简单图
(2) E ( a ,b ) ,( b ,e ) ,( e ,b ) ,( a ,e ) ,( d ,e ) 多重图
(3) E (a ,b ),(b ,e ),(e ,d ),(c ,c )
不是
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
邻接矩阵为对称的．即当结 点vi与vj相邻时，结点vj与vi也 相邻，所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共 有8个1，故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
有向图D如图所示，回答下列问题：
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E， 使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一 个边割集，则称该边为割边（或桥）
如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不 连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
割点。
{f，c}是不满定义的，因为{f}是{f，c}的真子集， 而删除{f}后，图是不连通的。
下图所示的六个图中，强连通，单向连通，弱连通 的分别有哪些？
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( )． A．5 B．6 C．3 正确答案是：D。
D．4
当给定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ简单图是无向图时，
重要定理：握手定理及其推论
无向图：
有向图：
且
推论 ： 任何图(无向的或有向的)中，奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d,e}，E分别由下面给 出。判断哪些是简单图，哪些是多重图？
(1) E (a ,b ),(b ,c ),(c ,d ),(a ,e )
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈
无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G)
点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离
有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图