精品课件-离散数学 第七章 图论 习题课
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《离散数学图论》课件

最短路径问题
实现方法:使用 队列数据结构, 将起始节点入队, 然后依次处理队 列中的每个节点, 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法:用于 求解单源最短路径问 题,通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法:用于求解 最小生成树问题,通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义:邻接矩阵是一个n*n的矩阵,其 中n是图的顶点数,矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质:邻接矩阵中的元素只有0和1, 其中0表示两个顶点之间没有边相连, 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用:邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息,是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理:优化图像分割, 提高图像质量
物流配送:优化配送路径, 降低配送成本
社交网络:优化社交网络 结构,提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人:PPT
数学:用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学:用于量子力学、 统计力学等领域
生物学:用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学:用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义:由节点和边组成的数学结构,节点表示对象,边表示对象之间的关系
节点表示方法:用点或圆圈表示 边表示方法:用线或弧线表示 图的表示方法:可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点:图中的基本元素,表示一个对象或事件 边:连接两个顶点的线,表示两个对象或事件之间的关系 度:一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径:从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图:图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图:图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法:使用 队列数据结构, 将起始节点入队, 然后依次处理队 列中的每个节点, 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法:用于 求解单源最短路径问 题,通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法:用于求解 最小生成树问题,通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义:邻接矩阵是一个n*n的矩阵,其 中n是图的顶点数,矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质:邻接矩阵中的元素只有0和1, 其中0表示两个顶点之间没有边相连, 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用:邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息,是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理:优化图像分割, 提高图像质量
物流配送:优化配送路径, 降低配送成本
社交网络:优化社交网络 结构,提高用户活跃度
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汇报人:PPT
数学:用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学:用于量子力学、 统计力学等领域
生物学:用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学:用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义:由节点和边组成的数学结构,节点表示对象,边表示对象之间的关系
节点表示方法:用点或圆圈表示 边表示方法:用线或弧线表示 图的表示方法:可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点:图中的基本元素,表示一个对象或事件 边:连接两个顶点的线,表示两个对象或事件之间的关系 度:一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径:从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图:图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图:图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学第七章图论习题课ppt课件

有环和平行边,u至多与其余n-1个结点中每一个 有一条边相连接,即deg(u)≤n-1,因此,⊿ (G) =maxdeg(u)≤n-1。
24
设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明: 因为G是n阶无向简单图,且n是大于等于3的奇数,
故无向图的结点数为奇数,则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数, 利用奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,所以, 在G中结点度数为奇数的结点,在其补图中的度 数也应为奇数,故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中,从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路,从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路,则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条? 答: 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条?其中有几条是回路? 答:长度4的通路88条,其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn},
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点,所以边数为(n-1)(n-2)/2,最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图,则该图称为自补图。
1)一个图是自补图,其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明:若n阶无向简单图是自补图,则n=4k或n=4k+1
(k为正整数)。 解:
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
24
设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明: 因为G是n阶无向简单图,且n是大于等于3的奇数,
故无向图的结点数为奇数,则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数, 利用奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,所以, 在G中结点度数为奇数的结点,在其补图中的度 数也应为奇数,故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中,从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路,从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路,则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条? 答: 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条?其中有几条是回路? 答:长度4的通路88条,其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn},
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点,所以边数为(n-1)(n-2)/2,最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图,则该图称为自补图。
1)一个图是自补图,其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明:若n阶无向简单图是自补图,则n=4k或n=4k+1
(k为正整数)。 解:
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学图论

例:把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习:把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示:
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T,设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点, 则v至少有一个儿子,最多有两个儿子。若v有两个儿 子,在由v引出的两条边上,左边的标上0,右边的标 上1;若v有一个儿子,在由v引出的边上可标上0,也
可标上1。设vi为T的任一片树叶,从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0,1串组成的符号串放在vi处,t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中, 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
18
第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点,且内部通路长度总和为L,外 部通路长度总和为E,则 E=L+2n。 证明:
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时,如右图所示,
L=0, E=2,
。
。
显然, E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点,且内部通路长度总 和为L,外部通路长度总和为E,则 E=L+2n。 证明:
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e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页(2)构造一种欧拉图,其结点数v和边数e满足下述条件
a)v,e旳奇偶性一样。 b) v,e旳奇偶性相反。 假如不可能,阐明原因。
练习 321页(1)
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明:若图G是自对偶旳,则e=2v-2。
证明: 若图G是自对偶旳,则v=v*,e=e*,即 r*=v=v*=r,e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2,即e=2v-2。 若图G是自对偶旳,则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时,因为A[4,2]=1,将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行,A不变。
达性矩阵。
i=5时,因为A旳第5列全为0,所
i=1时,因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0,所以A不变。
i=2时,因为A旳第2列 全为0,所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路,当且仅当G是连通旳,而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数,所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页(6)
第7章图论离散数学离散数学第四版清华出版社1

若T上无重复出现的顶点,则T为基本通路。否则必 存在t<s,vt=vs,在T中去掉vt到vs的一段,所得通路 仍为u到v的通路,不妨仍记为T。若T上还有重复出 现的顶点,就做同样的处理,直到无重复出现的顶点
为止。最后得到的通路是u到v的基本通路,显然它 的长度应小于等于n-1。类似地可证定理的后半部分。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
23
例:
(1) 画出4个顶点3条边的所有可能非同构的 无向简单图。
(2) 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的 有向简单图。
• (1)
(2)
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
24
§2 通路、回路、图的连通性
证明思路:将图中顶点的度分类,再利用定理1。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点,m 条边,则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和,也等于m。
即:
n
n
d (vi ) d (vi ) m.
i 1
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
8
[定理1 (握手定理Handshaking)] 设无向图
G=<V, E>有n个顶点,m条边,则G中所有
顶点的度之和等于m的两倍。即
n
d(vi ) 2m.
i 1
证明思路:利用数学归纳法。
[定理2] 无向图中度为奇数的顶点个数恰有 偶数个。
狼菜
狼
菜
羊
空(成功)
为止。最后得到的通路是u到v的基本通路,显然它 的长度应小于等于n-1。类似地可证定理的后半部分。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
23
例:
(1) 画出4个顶点3条边的所有可能非同构的 无向简单图。
(2) 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的 有向简单图。
• (1)
(2)
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
24
§2 通路、回路、图的连通性
证明思路:将图中顶点的度分类,再利用定理1。
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点,m 条边,则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和,也等于m。
即:
n
n
d (vi ) d (vi ) m.
i 1
9/21/2019 4:36 AM
第四部分:图论(授课教师:向胜军)
8
[定理1 (握手定理Handshaking)] 设无向图
G=<V, E>有n个顶点,m条边,则G中所有
顶点的度之和等于m的两倍。即
n
d(vi ) 2m.
i 1
证明思路:利用数学归纳法。
[定理2] 无向图中度为奇数的顶点个数恰有 偶数个。
狼菜
狼
菜
羊
空(成功)
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念

• 〔u,v〕∈E1〔f(u),f(v)〕∈E2 • (或<u,v>∈E1 <f(u),f(v)>∈E2) • 且重数相同,则称G1同构于G2,记为
• G1 G2。
• 显然,两图的同构是相互的,即G1同构 于G2,G2同构于G1。
• 由同构的定义可知,不仅结点之间要具 有一一对应关系,而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边,另一些边是无向边, 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括,即:图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集,则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点,且由E2所唯一确定,即 以E2为边集,以E2中边关联的结点全体为顶 点集,则称G2是边集E2的导出子图。
• G1 G2。
• 显然,两图的同构是相互的,即G1同构 于G2,G2同构于G1。
• 由同构的定义可知,不仅结点之间要具 有一一对应关系,而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边,另一些边是无向边, 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括,即:图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集,则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点,且由E2所唯一确定,即 以E2为边集,以E2中边关联的结点全体为顶 点集,则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学第7章PPT课件

3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有:
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路,回路。 2、简单通路,简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路,回路。 3、初级通路,初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路),
但反之不真。
4、通路,回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念, 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V , E 中元素为无向边,简称边。
有向图 D V, E
E V V , E 中元素为有向边,简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1: 设图 G V , E 为无向图或有向图,
V v1,v1,
则
,vn,E m ( m为边数),
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论:任何图中,度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2: 设D V, E 为有向图,
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有:
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路,回路。 2、简单通路,简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路,回路。 3、初级通路,初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路),
但反之不真。
4、通路,回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念, 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V , E 中元素为无向边,简称边。
有向图 D V, E
E V V , E 中元素为有向边,简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1: 设图 G V , E 为无向图或有向图,
V v1,v1,
则
,vn,E m ( m为边数),
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论:任何图中,度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2: 设D V, E 为有向图,
第36页/共94页
第七章 离散数学课件 图论-2nd

(a)
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
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大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
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可以
(2)(1,1,2,2,3)
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示,以下说法正确的是 ( ) . A.{(a, d)}是割边 B.{(a, d)}是边割集 C.{(d, e)}是边割集 D.{(a, d) ,(a, c)}是边割集
(5) D中长度4的通路有多少条?其中有几条是回路? 答:长度4的通路88条,其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
少条?
(3) D中长度为4的通路(不含回路)有 多少条?
(4)D中长度为4的回路有多少条? (5) D中长度≤4的通路有多少条?其中
有几条是回路?
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示,回答下列诸问:
(1) D是哪类连通图? D是强连通图。
解答为解(2)—(6),只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
1 2 0 0
A
0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
5 6 4 2
A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条? 答: v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路(不含回路)有多少条? 答:长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条? 答: 长度为4的回路为11条。
离散数学 第七章 图论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时,先用反向思维(从结论入手)分析问
题,再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
简单图
(2) E ( a ,b ) ,( b ,e ) ,( e ,b ) ,( a ,e ) ,( d ,e ) 多重图
(3) E (a ,b ),(b ,e ),(e ,d ),(c ,c )
不是
下列各序列中,可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些?
(1) (2,2,2,2,2)
邻接矩阵为对称的.即当结 点vi与vj相邻时,结点vj与vi也 相邻,所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1,题中给出的邻接矩阵中共 有8个1,故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
有向图D如图所示,回答下列问题:
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
设给定图G(如由图所示),则图G的点割集
是
.
应该填写:{f},{c,e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图,若有点集
V1V,使图G删除了V1的所有结点后,所得的子
图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得的子图是连通图,则称V1是G的一个点割
集.若某个结点构成一个点割集,则称该结点为
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
正确答案是:C。 对割边、边割集的概念理解到位。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图,若有边集E1E, 使图G删除了E1的所有边后,所得的子图是不连通 图,而删除了E1的任何真子集后,所得的子图是连 通图,则称E1是G的一个边割集.若某个边构成一 个边割集,则称该边为割边(或桥)
如果答案A正确,即删除边(a, d)后,得到的图是不 连通图,但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义;有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻); 结点的度数;结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
零图与平凡图;简单图与多重图; 完全图;子图,生成子图,补图;图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论, (2) 判断两个图是否同构, (3) 画出满足某些条件的子图,补图等。
割点。
{f,c}是不满定义的,因为{f}是{f,c}的真子集, 而删除{f}后,图是不连通的。
下图所示的六个图中,强连通,单向连通,弱连通 的分别有哪些?
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( ). A.5 B.6 C.3 正确答案是:D。
D.4
当给定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ简单图是无向图时,
重要定理:握手定理及其推论
无向图:
有向图:
且
推论 : 任何图(无向的或有向的)中,奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>,其中V={a,b,c,d,e},E分别由下面给 出。判断哪些是简单图,哪些是多重图?
(1) E (a ,b ),(b ,c ),(c ,d ),(a ,e )
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路,回路,迹, 通路,圈
无向图和有向图中结点之间的可达关系;连通 图,连通分支,连通分支数W(G)
点割集,割点,点连通度k(G) 边割集,割边(桥),边连通度λ(G) 短程线,距离
有向图连通的分类,强连通,单侧连通,弱连 通, 强分图,单侧分图,弱分图