离散数学 第七章 图论 习题课ppt课件
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离散数学_图论123页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
Hale Waihona Puke 离散数学_图论1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
离散数学 第七章 图论
10
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
离散数学第七章图论习题课ppt课件
有环和平行边，u至多与其余n-1个结点中每一个 有一条边相连接，即deg(u)≤n-1，因此，⊿ (G) ＝maxdeg(u)≤n-1。
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
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一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
18
第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学第7章 图论 习题
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。 从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结 点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。 证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数，故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分 为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。 证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数，故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分 为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
《离散数学之图论》课件
二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可 以被分成两个不相交的集合，即两 个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图，他是一个 无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法，它将图中的每个点与其他点之间的连接 关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构，用于存储有向图或无向图中顶点的邻接 关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中，如果由顶 点i到顶点j有路径，由顶点j 到顶点k有路径，则从i到k也 有路径。这种情况称为传递 闭包。
在一个有向图中，如果自己 只能到自己，则称之为自反 闭包。
在一个有向图中，如果存在 有向边从i到j，同时存在一 个从j到i的反向边，则称之 为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵，它将图中的所有点和边都表示为元素，可以将和特定边 相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始，递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实 现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点 的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间 的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树，该树包含了关键点并且保证了所有点 都连通。
离散数学第7章PPT课件
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
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一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
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一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
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n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
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第七章 离散数学课件 图论-2nd
(a)
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
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回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
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b
c
g
d
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f
（c） 19
第19页
7.1 图基本概念
• （13）生成子图: 假如G子图包含G全部结点，则称 该子图为G生成子图。
• 以下图，（b）、（c）都是（a）生成子图。
（a）
（c）
20
第20页
7.1 图基本概念
（14）．定义: 设图G =<V，E>及图G =<V ，E >， 假如存在一一相应映射g: vi→v i且e=（vi，vj）是G 一条边，当且仅当e =（g（vi ），g（vj））是 G 一条边，则称G与G 同构，记作G≌G 。 两个图同构充要条件是: 两个图结点和边分别存在着 一一相应关系，且保持关联关系。
7.1 图基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边集合，ΦG是从边集E到 结点偶对集合上函数。
讨论定义:
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合,
Vi称为结点,简称V是点集。
(b) E(G)={e1，…，em}为有限边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中某两个顶点,称E为边集。
（8）入度，出度: 在有向图中，射入一个结点边数称 为该结点入度。由一个结点射出边数称为该结点出 度。 结点出度与入度和是该结点度数。
定理: 在任何有向图中，所有结点入度和等于所有结 点出度之和。
14
第14页
7.1 图基本概念
证: ∵每一条有向边必相应一个入度和出度，若一个结点含 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，因此，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
4/24/2020 2:55 PM
G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
4/24/2020 2:55 PM
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
31
[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称 此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子 图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通 分图。
[定义] 通路(path)
给定图G=<V, E>，设图G中顶点和边的交替 序列为T=v0e1v1e2…ekvk，若T满足如下条件：vi-1 和vi是ei的端点(当G为有向图时，vi-1是ei的始点， vi是ei的终点)，i=1,2,…,k，则称T为顶点v0到vk的 通路。此通路的长度为k。也可以用v0, v1, …, vk 表示通路，v0为始点，vk为终点。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
2
§1 无向图及有向图
❖ 本节介绍图的一些最常用的概念,主要有： 无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限 图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构， 入度，出度，度，孤立点等。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs) (2) 有向完全图 (3) 零图：E=. (4) 平凡图：E=且|V|=1. (5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点 的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。
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(1) D是哪类连通图? D是强连通图。
解答为解(2)—(6)，只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
1 2 0 0
A
0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
3 2 2 2
A3
1
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1
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2 2 2 1
1
2
1
0
1 2 2 0 A 2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
5 6 4 2
A4
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
若 G 中没有孤立点,则 G 中 n个结点的度只取 n-1 个 可能值：1,2,…,n-1，从而 G 中至少有两个结点的度 数相同。
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？ 答： v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ 答：长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
重要定理：握手定理及其推论
无向图：
有向图：
且
推论 ： 任何图(无向的或有向的)中，奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d,e}，E分别由下面给 出。判断哪些是简单图，哪些是多重图？
(1) E (a ,b ),(b ,c ),(c ,d ),(a ,e )
简单图
使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一 个边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不 连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
(2) E ( a ,b ) ,( b ,e ) ,( e ,b ) ,( a ,e ) ,( d ,e ) 多重图
(3) E (a ,b ),(b ,e ),(e ,d ),(c ,c )
不是
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
下图所示的六个图中，强连通，单向连通，弱连通 的分别有哪些？
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( )． A．5 B．6 C．3
D．4
正确答案是：D。
当给定的简单图是无向图时， 邻接矩阵为对称的．即当结
点vi与vj相邻时，结点vj与vi也 相邻，所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共 有8个1，故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
离散数学
河南工业大学 信息科学与工程学院
第7章 图 论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问
题，再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
平面图的判断 欧拉公式
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
ห้องสมุดไป่ตู้义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
{f，c}是不满定义的，因为{f}是{f，c}的真子集， 而删除{f}后，图是不连通的。
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
有向图D如图所示，回答下列问题：
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
少条？
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有 多少条？
(4)D中长度为4的回路有多少条？ (5) D中长度≤4的通路有多少条？其中
有几条是回路？
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示，回答下列诸问：
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈 无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G) 点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离 有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E，
解答为解(2)—(6)，只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
1 2 0 0
A
0
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1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
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A3
1
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1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
1 2 2 0 A 2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
5 6 4 2
A4
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
若 G 中没有孤立点,则 G 中 n个结点的度只取 n-1 个 可能值：1,2,…,n-1，从而 G 中至少有两个结点的度 数相同。
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？ 答： v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ 答：长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
重要定理：握手定理及其推论
无向图：
有向图：
且
推论 ： 任何图(无向的或有向的)中，奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d,e}，E分别由下面给 出。判断哪些是简单图，哪些是多重图？
(1) E (a ,b ),(b ,c ),(c ,d ),(a ,e )
简单图
使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一 个边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不 连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
(2) E ( a ,b ) ,( b ,e ) ,( e ,b ) ,( a ,e ) ,( d ,e ) 多重图
(3) E (a ,b ),(b ,e ),(e ,d ),(c ,c )
不是
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
下图所示的六个图中，强连通，单向连通，弱连通 的分别有哪些？
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( )． A．5 B．6 C．3
D．4
正确答案是：D。
当给定的简单图是无向图时， 邻接矩阵为对称的．即当结
点vi与vj相邻时，结点vj与vi也 相邻，所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共 有8个1，故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
离散数学
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第7章 图 论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问
题，再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
平面图的判断 欧拉公式
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
ห้องสมุดไป่ตู้义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
{f，c}是不满定义的，因为{f}是{f，c}的真子集， 而删除{f}后，图是不连通的。
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
有向图D如图所示，回答下列问题：
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
少条？
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有 多少条？
(4)D中长度为4的回路有多少条？ (5) D中长度≤4的通路有多少条？其中
有几条是回路？
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示，回答下列诸问：
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈 无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G) 点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离 有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E，