离散数学图论习题课共50页文档
离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
离散数学习题课图论
2021/6/28
6 of 220
练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0
A 0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
Hale Waihona Puke 5 6 4 2A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
2021/6/28
8 of 220
练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
〔1 n 6〕 熟练掌握求最优树的方法
2021/6/28
12 of 220
习题1
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
离散数学——图论部分习题课
之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学图论习题
第4章图论综合练习一、单项选择题1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．(A) L可以不是简单路径，而是基本路径(B) L可以既是简单路径,又是基本路径(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径(D) L可以是简单路径，而不是基本路径答案：A2．下列定义正确的是( )．(A) 含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图(C) 含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图答案：D3．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图(D) 图中的基本回路都是简单回路答案：D4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)答案：B5．下列数组能构成简单图的是( )．(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)答案：C6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3答案：C7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．(A)2)1(+nn(B)2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)答案：B8．以下命题正确的是( )．(A) n (n1)阶完全图K n都是欧拉图(B) n(n 1)阶完全图K n都是哈密顿图(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图答案：C10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度 答案：D11．无向完全图K 4是（ ）．（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：43．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －14．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：46．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．答案：V ≥8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． 1 v 2 v 6 v 53 v 4图2•2 23 • 1 • 7 9 2• 8 • 6 图1(1) 画出图G 的图形；(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4 第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶点．由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．a b ec d 图3图4b • 23 1c • • a 4 • f 9 3d • •e 图6b •23 1 15 c • 25 •a 4 • f 28 9 16 3 d • 15 • e 图5。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
18
第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
离散数学第7章 图论 习题
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。 证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数，故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分 为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
离散数学图论部分14章习题课
离散数学（图论部分）1-4章习题课1. 证明：在10个人中，或有3人互相认识，或有4人互不认识。
证：设x为10人中之任意某人，则在余下9人中：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中3人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
(1) 若此x认识的4人互不相识，命题得证；否则，互相认识的2人加上x构成互相认识的3人，命题得证。
(2) 若此x不认识的6人中有3人互相认识，命题得证；否则，由Ramsey(3,3)=6知，此6人中至少有3人互不认识，此3人加上x为互不认识的4人，命题得证。
2. 设(a) V={a,b,c,d}，A={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}(b) V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)}画出上述图的图解。
解：略。
3. 试找出K3的全部子图，并指出哪些是生成子图。
解：K3共有17个子图。
其他略。
4. 证明：在至少有2人的团体中，总存在2个人，他们在这个团体中恰有相同数目的朋友。
解：在n个人的团体中，各人可能有的朋友数目为0, 1, 2, 3, …, n-1，共n个数，但其中0和n-1 不能共存，故n个人事实上可能的朋友数目只有n-1个。
由鸽巢原理，命题得证。
5.某次宴会上许多人互相握手。
证明：必有偶数个人握了奇数次手。
证：以人为顶点，握手关系为邻接关系构造一个无向图。
由图的性质，奇数度的顶点必为偶数个，即握了奇数次手的人数必为偶数。
6. 证明：Ramsey(3,4)=9。
（提示：题1的推广）证：在9个人中，不可能每个人都恰好认识其他的3个人（即图的9个顶点不可能每个顶点的度都为3，否则违反图的奇数度的顶点必为偶数个的性质）。
设x不会恰好认识其他的3个人（即deg(x)≠3），则在余下8人中：：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中2人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（3）构成了初级通路，因为点不重复；
（4）不构成通路，因为边 不存在；
（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边
（6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（7）构成了初级通路；
（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。
23、用Dijkstra标号法求图9.22中各图从顶点 到其余各点的最短路径和距离。
解答
步骤
1
2
3
4
5
6
7பைடு நூலகம்
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为3；
到 最短路为 ，路长为5；
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为12；
到 最短路为 ，路长为7；
那么对于n阶m条边的无向图G是 棵树组成的森林，在任意两棵树中分别找一点进行连一条边，那么得到的图则为n阶m+1条边的无向图G是 棵树组成的森林，
那么 ，所以 。
方法二：设 棵树中，分别有 个顶点和 条边， ，则有
， ， ，即可得证。
19、求图10.17中两个带权图的最小生成树。
解答：
P204:习题十一
16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
解答：
（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是
①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；
由于是简单图，①②两种情形不可能
离散数学第8章 图论
软件学院
图论原理 两个图同构的必要条件: 1.结点个数相等. 2.边数相等. 3.度数相同的结点数相等. 4.对应的结点的度数相等. 下面是同构的图:
a b c e d 3 5 1 4 2 b c d a f e 2 4 6 1 3 5
软件学院
图论原理
软件学院
图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
c
d
v2
v4 v6 G2
v3
v5
f g h G1
软件学院
图论原理
欧拉通路的判定方法： 定理：无向连通图G中结点a和b间存在欧拉通路的充分必要 条件是a与b的次数均为奇数而其他结点的次数均为偶数。 如果G有两个奇数度结点:就从一个奇数度结点出发,每当到 达一个偶数度结点,必然可以再经过另一条边离开此结点, 如此重复下去,经过所有边后到达另一个奇数度结点 如果G无奇数度结点,则可以从任何一个结点出发,去构造一 条欧拉路. a b 1 2 c d 4 3
v3
是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
离散数学图论部分综合练习及答案
则对于结点集 V 的每个非空子集 S，在 G 中删除 S
中的所有结点得到的连通分支数为 W，则 S 中结点
数|S|与 W 满足的关系式为
．
4．无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通
且 每个节点的度数为偶数
．
fο
οc
eο οd
图四
5．设有向图 D 为欧拉图，则图 D 中每个结点的入度
．
应该填写：等于出度
3．解：图G是平面图． 因为只要把结点 v2 与 v6 的连线(v2, v6)拽 到结点 v1 的外面，把把结点 v3 与 v6 的连线 (v3, v6)拽到结点 v4, v5 的外面，就得到一个平 面图，如图九所示．
v1ο v6 ο
ο v5
οv2 ο v3
οv4
图九
4．解：错误． 不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v≥3，则 e ≤3v-6．”
方法（Huffman）：从 2,3,5,7,11,13,17
,19,23,29,31 中选 2,3 为最低层结点，并
1ο60
从权数中删去，再添上他们的和数，即 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；
再从 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选 5,5 为倒数第 2 层结点，并从上述数列中 删去，再添上他们的和数，即 7,10,11,13, 17,19,23,29,31；
8．设完全图 K n 有 n 个结点(n≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧 拉回路．
A．m 为奇数
B．n 为偶数
C．n 为奇数
D．m 为偶数
9．设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( A )．
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
21
连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
20
14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
《离散数学》图论部分习题
《离散数学》图论部分习题《离散数学》图论部分习题1.已知⽆向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均⼩于3，问G⾄少有⼏个顶点？并画出满⾜条件的⼀个图形. （24-3*6）/2 +6=92.是否存在7阶⽆向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.不存在；7阶⽆向简单图G中最⼤度≤63.设d1、d2、…、d n为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、…、d n为度序列的⽆向简单图.Max{d1，d2，…，dn}≥n，n阶⽆向简单图G中最⼤度≤n-14.求下图的补图.5.1)试画⼀个具有5个顶点的⾃补图2)是否存在具有6个顶点的⾃补图，试说明理由。
对于n阶图，原图与其补图同构，边数应相等，均为(n*(n-1)/2)/2，即n*(n-1)/4且为整数，n=4k或n=4k+1，不存在6阶⾃补图。
6.设图G为n(n>2且为奇数)阶⽆向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.n(n>2且为奇数)，奇度点成对出现7.⽆向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否⼀定连通.给出说明或证明。
只有2个奇度顶点u和v，如果不连通，在u和v在2个连通分⽀上，每个分⽀上仅有⼀个奇度顶点，与握⼿引理相⽭盾。
8.图G如下图所⽰：1)写出上图的⼀个⽣成⼦图.2)δ(G)，κ(G)，λ(G).δ(G)=2，κ(G)=1，λ(G)=2.说明：δ(G)=min{ d(v) | v V } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ；λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集} 9.在什么条件下⽆向完全图K n为欧拉图？n为奇数时10.证明：有桥的图不是欧拉图.假设是欧拉图：桥的端点是u和v，并且图各顶点度均为偶数；桥为割边，删除桥，图不再连通，u和v应该在2各不同的连通分⽀上；且u和v度数变为奇数；由于其他顶点度数均为偶数，则u和v所在的连通分⽀上只有⼀个奇度顶点，与握⼿引理⽭盾。
离散数学--第七章-图论---习题课
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？
(1)证明中关键步骤是握手定理：
2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G)
⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于
证明 ：
设从结点u到结点v长度为偶数的通路是 ue1u1e2u2…e2kv，
长度为奇数的通路是ue11u11e12u12…e12h-1v， 那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回
路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故 这条回路的长度是奇数。
（k为正整数）。 解：
1)设图G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的 边数为 A。G 的补图 G’的边数应为 A 一 e。因为 G～G’， 故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对 应的完全图的边数 A 为偶数。
2)由 1)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图 Kn 的边数为n(n-1)/2 ， 所以 n(n-1)/2=2m ，即n(n-1)=4m，因而 n为4的倍数，即n=4k， 或n-1为4的倍数，即n=4k+1，
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
离散数学第一章习题课
1兴义民族师范学院数学系10级专科班使用代数结构集合论组合数学离散数学数理逻辑图论初等数论离散数学及其应用兴义民族师范学院2主要内容z 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化z 联结词¬, ∧, ∨, →, ↔及复合命题符号化z 命题公式及层次z 公式的类型z 真值表及应用基本要求z 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化z 会求复合命题的真值z 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念z 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假赋值及判断公式类型第一章习题课例2将下列命题符号化.(1)吴颖既用功又聪明.(2)吴颖不仅用功而且聪明.(3)吴颖虽然聪明，但不用功.(4)张辉与王丽都是三好生.(5)张辉与王丽是同学.(1) p∧q解令p:吴颖用功, q:吴颖聪明(2) p∧q(3) ¬p∧q设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生(4) p∧q(5) p: 张辉与王丽是同学(1)—(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性(4)—(5) 要求分清“与”所联结的成分34例3将下列命题符号化(1) 2 或4 是素数.(2) 2 或3 是素数.(3) 4 或6 是素数.(4) 小元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王小红生于1975 年或1976 年.解：(1) 令p :2是素数, q :4是素数, p ∨q 解：(2) 令p :2是素数, q :3是素数, p ∨q 解：(3) 令p :4是素数, q :6是素数, p ∨q解：(4) 令p :小元拿一个苹果, q:小元拿一个梨(p ∧¬q )∨(¬p ∧q )解：(5) p :王小红生于1975 年, q :王小红生于1976 年,(p ∧¬q )∨(¬p ∧q ) 或p ∨q相容或排斥或5定义1.4设p , q 为两个命题，复合命题“如果p , 则q ”称作p 与q 的蕴涵式，记作p →q ，并称p 是蕴涵式的前件，q 为蕴涵式的后件，→称作蕴涵联结词.规定：p →q 为假当且仅当p 为真q 为假.2. 蕴涵联结词(1)p →q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件(2)“如果p , 则q ”有很多不同的表述方法：若p ，就q 只要p ，就q p 仅当q 只有q 才p除非q , 才p 或除非q ，否则非p ，…．(3)当p 为假时，p →q 恒为真，称为空证明(4)常出现的错误：不分充分与必要条件6第一章习题课1.下列句子中，那些是命题？并判断其真假.(1) 古代中国有四大发明. (2) 是无理数. (3)3是素数或4是素数.(4) ,其中是任意实数.(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数.(7)刘红与魏新是同学.(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘以.(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数.(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.(13)2025年元旦下大雪.5x 235x +<π是命题，真命题是命题，真命题是命题，真命题不是命题，真值不唯一不是命题，疑问句是命题，假命题是命题，真值客观存在，真值视具体情况定不是命题，感叹句不是命题，祈使句是命题，真命题是命题，真命题是命题，假命题是命题，真值客观存在，真值待定78. 将下列命题符号化,并指出各命题的真值.(1)只要，就有.(2) 如果，则.(3) 只有，才有.(4) 除非，才有.(5) 除非，否则.(6) 仅当.32<21<21<21<21<21<21<32≥32<32≥32≥32<解：设p :，q : 21<32<提示：分清必要与充分条件及充分必要条件(1) p →q,真值为：1(2) p →¬q,真值为：1真值为：0(3) ¬q →p,(4) ¬q →p,真值为：0(5) ¬q →p,真值为：0假言易位A →B ⇔¬B →¬A¬q →p ⇔¬p →q(6) p →q,真值为：1补充题3. 用真值表判断下面公式的类型(1)p∧r∧¬(q→p)(2)((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r(3)(p→q) ↔(p→r)89(1) p ∧r ∧¬(q →p )矛盾式0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 p q r 000000001100001001111p ∧r ∧¬(q →p )¬(q →p ) q →p 001(2) ((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r永真式111111111111111111110 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1((p→q) →(¬q→¬p)) ∨r ¬q→¬pp→qp q r10练习3解答(3) (p→q) ↔(p→r)非永真式的可满足式1111111111111111110 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1(p→q) ↔(p→r)p→rp→qp q r1112（3）(p ∧q ) →¬p 的真值表1 11 00 10 0(p ∧q ) →¬pp ∧q┐pp q11100111000成真赋值为00，01,1020.列出真值表，求下列公式的成真赋值13（4）¬(p ∨q ) →q 的真值表1 11 00 10 0¬(p ∨q ) →q¬(p ∨q )p ∨qp q111011100001成真赋值为01，10，1120.列出真值表，求下列公式的成真赋值14111100000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1101010100011000011101111成假赋值为：011¬(¬p ∧q ) ∨¬r¬(¬p ∧q )¬r ¬pp q r¬p ∧q11001111（1）¬(¬p ∧q ) ∨¬r 的真值表21.列出真值表，求下列公式的成假赋值15（2）(¬q ∨r ) ∧(p →q )的真值表0 0 01 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 1(¬q ∨r ) ∧(p →q )p →q ¬q ∨r ¬q p q r 11001111100010110011001110111011成假赋值为：010，100，101，110。