《离散数学》第七章_图论第34节

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离散数学第七章图的基本概念

离散数学第七章图的基本概念第7章图的基本概念7.1 无向图及有向图7.2 通路、回路、图的连通性7.3 图的矩阵表示7.4 最短路径及关键路径7.1 无向图及有向图一.基本概念和术语1.无向图与有向图图:图G=,其中V为(非空)顶点集合,E是V中顶点偶对的集合,称为边.通常用V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集合和边集合.无向图:若图G中边集合E(G)为无向边的集合,则称该图为无向图.有向图:若图G中边集合E(G)为有向边的集合,则称该图为有向图.有时用D=表示有向图.2.有限图与n阶图若G=中V,E都是有穷集合,则称G为有限图.若|V|=n,则称G为n阶图.例如:图7.1中(1)为无向图G=,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={(v1,v2),(v2,v2),(v2,v3),(v1,v3),(v1,v3)(v1,v4)};(2)为有向图D=,V={v1,v2,v3,v4,v5},E={,,,,,, ,}V2V1V5V3V4e1e2e3 e4e5e6(1)V1V2V3 V4V5e1e2e3e4e5e6e7e8 图7.1 (2)3.零图与平凡图若G=中,E=φ,则称G为零图.若|V|=1,则称G为平凡图.4.关联与相邻设图G=, u,v∈V,(u,v)∈E(有向图∈E)常记e=(u,v)(或有向图e=),称u,v为e的端点.(对有向图中的有向边来说,称u为e的始点,v为e的终点)称e与u或v是彼此相关联的;无边关联的顶点称为孤立点.若e关联的两个顶点重合,则称e为环;若u≠v,则称e与u(或v)的关联次数为1;若u=v(即e为环),则称e与u关联的次数为2;若顶点u,v之间有边关联,则称u与v相邻;若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.5.顶点的度数设v为无向图G中的一个顶点,称v作为边的端点的次数之和为v 的度数或度,记作d(v).若v为有向图G中的一个顶点,称v作为边的始点次数之和为v的出度,记作d+(v);v作为边的终点的次数之和为v的入度,记作d-(v),称d+(v)+d-(v)为v的度数或度,记作d(v). G的最大度:Δ(G)=max{d(v)|v∈V(G)}G的最小度:δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)}V2V1V5V3V4(1)V1V2V3 V4V5图7.1 (2)V1 V2V3 V5V4V1V2V3V5V46.简单图对于无向图,若关联一对顶点的边多于1条,则称这些边为平行边.对于有向图,关联一对顶点的方向相同的边,如果多于1条,则称这些边为平行边.既不含平行边,也不含环的图,称为简单图.1 2 4 323 4512 3(1)K4 (2)K5图7.2(3)7.完全图设G为n阶(n个顶点)无向简单图,若G中任何两个顶点均相邻,则称G为n阶(无向)完全图,记作Kn.边数n(n-1)/2设D为n阶(n个顶点)有向简单图,若G中任何两个顶点之间均有两条方向相反的边,则称G为n阶有向完全图.边数n(n-1)8.子图设G=,G’=,若V’?V,E’?E,则称G’为G的子图.记作G’?G.若G’?G且G’≠G,则称G’为G的真子图.若G’?G且V’=V,则称G’为G的生成子图.若V1?V且V1≠φ,称以V1为顶点集,以两个端点均在V1中的边为边集的图为V1的导出子图.若E1?E且E1≠φ,称以E1为边集,以E1中边关联的顶点为顶点集的图为E1的导出子图.注)每个图都是本身的子图.e1e3V1V2V3V4e4e2V1 V2 e5 e4V1V2V3V4e1e3 e4(1)(2)(3)V1V2V3e1e2e3e4V1V2 V3e1e3 (2) 图7.3 V1V2e1(3演示文稿后等挂机赚钱/doc/cf12769815.html, 嵠吖夻9.补图:设G=为n阶简单图,称以V为顶点集,以使G成为n阶完全图所添加的边为边集的图为G的补图,记作G 123 4 5123 45123 45(1) (2) 5阶完全图(1)与(2)互为补图12 312 312 3(1)(2) 3阶有向完全图(1)与(2)互为补图二.握手定理(图论基本定理)任何图G 中各顶点的度数之和等于边数的2倍.若G 为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和.都等于边数.mE v v v V E V G mv d v dmv d n ni i ni i ni i ==>=<===∑∑∑=-=+=||},,...,,{,,)()(2)(21111其中即推论:任何图G 中,奇度顶点的个数为偶数.说明:图G 的度数序列为{d(v 1),d(v 2),…,d(v n )}例7.1 (1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗?为什么? (2)已知图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G中至少有多少个顶点?为什么?三.图的同构设G1=,G2=为两个无向图,若存在双射函数f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构.记作G1≌G2.abc deV1V2V3V4V5(1) (2)例7.2(1)画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无向简单图(2)画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简单图(1)(2) 12 3412 34 12 34 12 31231231237.2 通路、回路、图的连通性一.术语1.通路与回路设Γ=v0e1v1e2…e k v k为图G中的顶点与边的交替序列,若Γ满足:v i-1,v i为e i的端点(若G为有向图,v i-1是e i的始点,v i是e i的终点)i=1,2,…,k,则称Γ为G中通路,v0,v k分别称为通路的始点和终点,Γ中边的数目k称为通路长度.若v0=v k,则通路称为回路.若Γ中各边互不相同,则称Γ为简单通路,若v0=v k,则称Γ为简单回路.若Γ中各顶点互不相同,则称Γ为初级通路,若Γ中除v0=v k外,各顶点各不相同,并且各边也互不相同,则称Γ为初级回路或圈.有边重复出现的通路和回路分别称为复杂通路和回路.V0V6V5V7V8V3V1V2V4V0V1V2V3V4V2V3V4V1 V5(1)v0到v4长为4的初级通路(3)v0到v8长为8的简单通路(5)v0到v0=v5长为5的初级回路(7)v0到v0长为8的简单回路图7.7V0V6V5V7V8V3V1V2V4V0V1V2V3V4V2V3V4V1 V5(2)v0到v4长为4的初级通路(4)v0到v8长为8的简单通路(6)v0到v0=v5长为5的初级回路(8)v0到v0长为8的简单回路图7.7定理1:在一个n阶图中,若从顶点v i到v j(v i≠v j)存在通路,则从v i到v j存在长度小于等于n-1的通路.推论:在一个n阶图中,若从顶点v i到v j(v i≠v j)存在通路,则从v i 到v j存在长度小于等于n-1的初级通路.定理1:在一个n阶图中,如果存在v i到自身的回路,则从v i到自身存在长度小于等于n的回路.推论:在一个n阶图中,如果存在v i到自身存在一条简单回路,则从v i到自身存在长度小于等于n的初级回路.2.顶点之间的连通关系在无向图G中,若顶点v i到v j有通路,则称v i与v j连通.规定顶点与自身连通.顶点之间的连通关系是等价关系.在有向图G 中,若顶点v i到v j有通路,则称v i可达v j.规定任何顶点与自身可达.3.短程线与距离若v i与v j连通(有向图,若v i可达v j),则称v i到v j长度最短的通路为v i到v j的短程线,短程线的长度称为v i到v j的距离,用d(v i,v j)表示.(对于有向图,用d表示).说明:若v i与v j不连通(对于有向图,若v i不可达v j),则规定d(v i,v j)=∞(d=∞).其他情况满足距离公式.。

离散数学图论

1.两个结点是连通的: 在无向图中,结点u和v之间如果存在一条路, 则称u与v是连通的. 规定: 对任何结点u, u与u是连通的. 2.结点之间的连通关系是个等价关系. 令G=<V,E>是无向图, R是V上连通关系, 即 R={<u,v>|u和v是连通的} 显然R具有自反、对称和传递性.
a b c d 2 1 6 3 4

定义2：没有任何边的图称为空图；只有一个点 A 的图称为平凡图。 e1 e e5 2 定义3：图中顶点的个数称为图 B e6 D 的阶，若|V(G)|=n,则称G为n阶图； e3 e 4 C e7 连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数，这些边称为平行边或多重边。邻接点: 与一边关联的两个结点. 邻接边: 关联同一个结点的两条边. 环:只关联一个结点的边. 简单图：没有环以及没有重数大于1的边的图。孤立点：不与任何点邻接的点。以下记|V(G)|=n， |E(G)|=m。
3.图的最大度Δ(G)与最小度δ(G) :G=<V,E>是无向图, 定义 Δ(G) =max{d(v)|v∈G} δ(G) =min{d(v)|v∈G}
例：设G是一个非空简单图，则G中一定存在度相同的顶点。证明：因为G是简单图，所以，G中顶点的度只能是 0，1，2，…，n-1。若G中存在一个顶点的度为0，则G中的最大度最多为 n-2，即G中的度只能是 0，1，…，n-2；若G的最小度≥1，则G中的度只能是 1，2，…，n-1，由抽屉原理，G中一定存在度相同的顶点。
h
g f
e
5
3.连通分支:令G=<V,E>是无向图, R是V上连通关系, 设 R对V的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n个等价类构成的n个子图分别记作G[V1],G[V2],G[V3],…, G[Vn],并称它们为G的连通分支. 并用W(G)表示G中连通分支数.

离散数学第7章

1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。如图：
6、性质。
定理：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路，则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个简单回路，则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中，
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1， e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2， e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的， v5 为孤立点，v4 为悬挂点，
e3 v3
e6 为悬挂边，e2 为环，e4, e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合，称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。多重图——含有平行边的图。简单图——不含平行边和环的图。

《离散数学图论》课件

最短路径问题
实现方法：使用队列数据结构，将起始节点入队，然后依次处理队列中的每个节点，直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于求解单源最短路径问题，通过不断更新最短路径来寻找最短路径。
Prim算法：用于求解最小生成树问题，通过不断寻找最小权重的边来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1，其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通性、路径长度等信息，是图论中常用的表示方法之一。
图像处理：优化图像分割，提高图像质量
物流配送：优化配送路径，降低配送成本
社交网络：优化社交网络结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、基因调控等领域
社会科学：用于社会网络分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示边表示方法：用线或弧线表示图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径

离散数学第七章图论

10
每一条边都是有向边的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向边，另一些边是无向边，则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向边或一条无向边相关联，则这两个节点称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成的图称为零图，仅由一个孤立节点组成的图称为平凡图。
证明在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点中任取两点的组合数为：
Cn2

1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总可以把它补成一个具有同样结点的完全图，方法是把那些没有联上的边添加上去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则称该子图为 G 的生成子图。如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。

第7章图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无向图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或结束顶点(endpoint)。在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)

《离散数学》课件-第七章图的基本概念

• 〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕∈E2 • (或<u，v>∈E1 <f(u)，f(v)>∈E2) • 且重数相同，则称G1同构于G2，记为
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具有一一对应关系，而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系。对于有向图的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合图。
第七章图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应一个出度和一个入度.故所有结点的出度之和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶点集，则称G2是边集E2的导出子图。

离散数学第7章图论基础(祝清顺版)

c
d
(b)
离散数学
第七章图论基础
2007年8月20日
图的一些概念和规定
(n, m)图: 具有n个结点和m条边的图称为(n, m)图.
若|V|＝n, 则称G为n阶图.
如果图G是一个(n, 0)图, 则称此图为零图, 即零图是仅由一些孤立结点所组成的. 如果图G是一个(1, 0)图, 则称此图为平凡图, 即平凡图是仅由一个孤立结点所组成的. v1 v2
的出度之和。
[证] 因为每一条边必给结点的入度之和增加1，给结点的
出度之和增加1。
所以，有向图中所有结点的入度之和等于边数，所有结
点的出度之和等于边数。
因此，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。
离散数学
第七章图论基础
2007年8月20日
例题
例5 设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3。 [证] 设图G中有n个结点分别为v1, v2,…, vn, 则由握手定理：
e1 a e7 c e3 e3
e4
e2
e5
b e6 d
a e7 e5 c c e4 e1 e2 e6 b
离散数学
第七章图论基础
2007年8月20日
例题
例2 设有4个城市: v1, v2, v3, v4, 其中, v1与v2之间, v2与 v4之间, v2与v3之间有直达航班, 试将此问题用图的方法表
图的定义图的一些概念和规定简单图和多重图顶点的度数与握手定理图的同构完全图与正则图子图与补图
离散数学第七章图论基础 2007年8月20日
图的概念
定义1 一个图G由非空结点集合V＝{v1, v2,…, vn}以及边集合 E＝{e1, e2, …, em}所组成. 其中每条边可用一个结点对表示, 亦即 ei＝(vi1, vi2), i＝1, 2, …, m.

离散数学讲义(第7章)

15
7-1 图的基本概念（续）
术语孤立点(isolated vertex) ：图中不与任何结点相邻接的结点。零图：仅由孤立点组成的图。（E=, Nn）平凡图：仅由一个孤立点构成的图。（1 阶零图, N1）环（自回路loop）：关联于同一结点的一条边。（环的方向无意义）。
16
7-1 图的基本概念（续）
31
7-1 图的基本概念（续）
有向图
D1
D2
D3
D1D2, D2D3
32
7-1 图的基本概念（续）
33
7-2 路与回路
在无向图(或有向图)的研究中，常常考虑从一个结点出发，沿着一些边(或弧) 连续移动而达到另一个指定结点，这种依次由结点和边(或弧)组成的序列，便形成了链(或路)的概念。
25
7-1 图的基本概念（续）
图的同构
定义：设G=〈V,E 〉和G’=〈V’,E’ 〉是两个图，若存在一双射函数： g： V V’，当且仅当 e’＝ {g(vi), g(vj)}是G’中的一条边，才能使e＝{vi, vj} 是 G 中的一条边，则称 G’ 和 G 同构。记作 G1G2

26
5
图论（续）
哥尼斯堡七桥问题(Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad, Russia
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A 与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题………… 这个问题无解

《离散数学》课件-第七章图(A)

d
e6e3
b
e7
e5
c
14
握手定理
• 定理7.1.1 设图G=(V, E)为无向图或有向图，G有n个结点 v1,v2,…,vn，e条边(无向或有向), 则图G中所有结点的度数之和为边数的两倍，即
n
d (vi ) 2e
i 1
• 证图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 • 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.
（1）（5,5,4,4,2,1）
（2）（5,4,3,2,2）
（3）（3,3,2,2,1,1）（4）(d1, d2 , , dn ), d1 d2
n
dn 1且 di为偶数 i 1
解（1）根据握手定理的推论可知，不是图的结点度数序列，因为有 3个奇数。（2）中有5个数，最大数是5，根据定理7.1.3，它不是简单图的结点序列。
K5
正则图
• 根据握手定理，n阶k-正则图的边数 m nk。
2
• 当k为奇数时，n为偶数。 • 当k=0时，0-正则图就是n阶零图。 • n阶无向完全图是(n-1)-正则图。
环图和轮图
定义7.1.12 如果图G =（V，E）的结点集V={v1，v2，vn} （n3），边集E={（v1，v2），（v2，v3），（ vn-1，vn），（vn，v1）}，则称G为环图，记为Cn。下图是C3,C4 ,C5 ,C6。
19
实例
• 例4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的 • 多面体.
证用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中 V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾.

《离散数学》第七章图的基本概念讲稿

《离散数学》第七章图的基本概念讲稿7.1 ⽆向图及有向图⼀、本节主要内容⽆向图与有向图顶点的度数握⼿定理简单图完全图⼦图补图⼆、教学内容⽆序对: 两个元素组成的⼆元组（没有顺序），即⽆论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）⽆序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合⽆向图与有向图定义⽆向图G=, 其中(1) V?≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义⽆向图G=, 其中(1) V≠?为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ⽆向图与有向图(续)定义有向图D=, 其中(1) V同⽆向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V?V的多重⼦集，其元素称为有向边，简称边.⽤⽆向边代替D的所有有向边所得到的⽆向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E⽆向图与有向图(续)通常⽤G表⽰⽆向图, D表⽰有向图,也常⽤G泛指⽆向图和有向图,⽤ek表⽰⽆向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=?平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是⽆向图G=的⼀条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.⽆边关联的顶点称作孤⽴点.定义设⽆向图G=, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el⾄少有⼀个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的⼀条边, vi,vj是ek端点,⼜称vi 是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设⽆向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=为⽆向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最⼤度?(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最⼩度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的⼊度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最⼤出度?+(D), 最⼩出度δ+(D) 最⼤⼊度?-(D), 最⼩⼊度δ-(D) 最⼤度?(D), 最⼩度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,+(D)=4, δ+(D)=0, ?-(D)=3, δ-(D)=1, ?(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握⼿定理定理任意⽆向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供⼀个⼊度和⼀个出度, 故所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数. 握⼿定理(续)推论在任何⽆向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证设G=为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=?，由握⼿定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设⽆向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的⼊度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 ⼊度序列:1,3,1,2 握⼿定理的应⽤例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均⼩于等于2, 问G ⾄少有多少个顶点? 解设G 有n 个顶点. 由握⼿定理, 4?3+2?(n-4)≥2?10 解得 n ≥8握⼿定理的应⽤(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成⽆向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在⽆向图中,如果有2条或2条以上的边关联同⼀对顶点, 则称这些边为平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平⾏边, 简称平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(3) 含平⾏边的图称为多重图.(4) 既⽆平⾏边也⽆环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平⾏边重数为2不是简单图e2和e3 是平⾏边,重数为2 e6和e7不是平⾏边不是简单图图的同构定义设G1=, G2=为两个⽆向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（∈E2），并且,(vi,vj)（）与(f(vi),f(vj))（）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2.图的同构(续)⼏点说明：图之间的同构关系具有⾃反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图例2 判断下述每⼀对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构⼊(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶⽆向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶⽆向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ?=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条⽅向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ?=δ=2(n-1),+=δ+=?-=δ-=n-1n阶k正则图: ?=δ=k 的n阶⽆向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶⽆向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图⼦图定义设G=, G '=是2个图(1) 若V '?V且E '?E, 则称G '为G的⼦图, G为G '的母图, 记作G '?G(2)若G '?G且G '≠ G（即V '?V 或E '?E），称G '为G的真⼦图(3) 若G '?G 且V '=V，则称G '为G的⽣成⼦图(4) 设V '?V 且V '≠?, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的⼦图称作V '的导出⼦图，记作G[V '](5) 设E '?E且E '≠?, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的⼦图称作E '的导出⼦图, 记作G[E ']⼦图(续)例画出K4的所有⾮同构的⽣成⼦图补图定义设G=为n阶⽆向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G?G.若G ? G , 则称G 是⾃补图.例画出5阶7条边的所有⾮同构的⽆向简单图⾸先，画出5阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图然后，画出各⾃的补图7.2 通路、回路与图的连通性⼀、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路⽆向连通图, 连通分⽀弱连通图, 单向连通图, 强连通图点割集与割点边割集与割边(桥) ⼆、教学内容通路与回路定义给定图G=（⽆向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若?i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. ⼜若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路⼜称作路径, 初级回路⼜称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在⽆向图中，环是长度为1的圈, 两条平⾏边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条⽅向相反边构成长度为2的圈. 在⽆向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通路，则从vi 到vj 存在长度⼩于等于n -1的通路.推论在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ??例设与均为⽆向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度⼩于等于n-1的初级通路.定理在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的回路，则⼀定存在vi到⾃⾝长度⼩于等于n的回路.推论在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的简单回路，则⼀定存在长度⼩于等于n的初级回路.⽆向图的连通性设⽆向图G=,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与⾃⾝总连通.连通关系R={| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分⽀: V关于R的等价类的导出⼦图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分⽀, 其个数记作p(G)=k.G是连通图? p(G)=1u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ? u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三⾓不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设⽆向图G=, 如果存在顶点⼦集V'?V, 使p(G-V')>p(G)，⽽且删除V'的任何真⼦集V''后（? V''?V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设⽆向图G=, E'?E, 若p(G-E')>p(G)且?E''?E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上⼀页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？⼏点说明：Kn⽆点割集n阶零图既⽆点割集，也⽆边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=u可达v: u到v有通路. 规定u到⾃⾝总是可达的.可达具有⾃反性和传递性D弱连通(连通): 基图为⽆向连通图D单向连通: ?u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ?u,v∈V，u与v相互可达强连通?单向连通?弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d=∞.性质：d+d ≥d注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表⽰⼀、本节主要内容⽆向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵⼆、教学内容⽆向图的关联矩阵定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义设⽆环有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ?m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义设有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ?n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G=1100010111()0000101110M D ---?=-??-??平⾏边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到⾃⾝长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度⼩于或等于l 的通路数，为D 中长度⼩于或等于l 的回路数. 例有向图D 如图所⽰, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度⼩于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D=有向图的可达矩阵定义设D=为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ?n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对⾓线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例右图所⽰的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径⼀、本节主要内容最短路关键路线⼆、教学内容对于有向图或⽆向图G 的每条边，附加⼀个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=,G 中每条边的权都⼤于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通=1101110111110001P路中带权最⼩的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======?=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==?=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为⼀个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中⽆环路3. 有⼀个顶点出度为0，称为发点；有⼀个顶点⼊度为0，称为收点4. 记边的权为wij,它常常表⽰时间1. 最早完成时间：⾃发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ），i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n -∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的⼀条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，⾃发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。

《离散数学》第七章_图论-第3-4节

图的可达性矩阵计算方法（3）无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩阵。分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法：将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度为2通路数目为0，G中长度为2的路（含回路）总数为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度为3的通路数目为2， G中长度为3的路（含回路）总

图的邻接矩阵的应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

【最新】离散数学之图论ppt模版课件

第四部分：图论（授课教师：向胜军）
31
[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通分图。
[定义] 通路(path)
给定图G=<V, E>，设图G中顶点和边的交替序列为T=v0e1v1e2…ekvk，若T满足如下条件：vi-1 和vi是ei的端点(当G为有向图时，vi-1是ei的始点， vi是ei的终点)，i=1,2,…,k，则称T为顶点v0到vk的通路。此通路的长度为k。也可以用v0, v1, …, vk 表示通路，v0为始点，vk为终点。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
2
§1 无向图及有向图
❖ 本节介绍图的一些最常用的概念,主要有：无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构，入度，出度，度，孤立点等。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs) (2) 有向完全图 (3) 零图：E=. (4) 平凡图：E=且|V|=1. (5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。

离散数学第7章图论

v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边不含有平行边和环每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一条从vj到vk的不多于n-1条边的路。

第七章图论-最终版

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握手定理的应用
V={v1, v2, …, vn}为无向图G的结点集，称(deg(v1), deg(v2), …, deg(vn))为G的度数列。下面整数列是否可图化？ (1) (5, 3, 3, 2, 1); (2) (2, 2, 3, 1, 5)。解： (1) deg(i) = 偶数，所以(1)可图化，或奇数度结点为偶数，则其图化解可有多个。 (2) 中有3个奇度结点, 由握手定理, 图G中奇度结点必为偶数个, 所以(2)不可图化。下面整数列是否可简单图化？ (2, 3, 2, 4, 6, 5); 解:是阶为6的简单图, (G)≤5, 所以不可简单图化。
一、图的基本概念

现实世界中许多现象能用某种图形表示 , 这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。例：A、B、C、D四个队举行篮球比赛，为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出下图。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队，称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。
第7页
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韦尔奇.鲍威尔法

v1 v4 v7 v5
v2
v3 v6 v8
第8页
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7-1 图的基本概念
知识点：图的基本概念点与边的关联、点（边）相邻完全图、补图，子图、生成子图点度数握手定理图的同构
第9页
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度数为偶数的结点为偶度数结点(Even Degree Point)。
握手定理的推论
定理7-1.3 任何图(无向的或有向的)中，奇度数结点的个数是偶数。证明：设G=<V，E>为任意一图，令 V1是偶度数结点的集合，V2是奇度数结点的集合， V1∪V2=V，V1∩V2=Ø ，由握手定理可知 2m= =

《离散数学》第七章_图论-第3-4节

图的可达性矩阵计算方法（3） Warshall算法
无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。
第21页
河南工业大学离散数学课程组例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩阵。

分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、3、4、 v1 v4 5次幂，然后做布尔加即可。解： v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
第1页
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预备知识
第2页
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预备知识
第3页
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一、图的邻接矩阵

以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵。
定义7-3.1 设简单图G=<V,E>，其中V={v1,v2,…,vn}，则n阶方阵A(G)=(aij)nn ，称为图G的邻接矩阵。其中第i行j列的元素。
p ij =
v1 1 1 1 1 v2 1 1 1 1 P v3 1 1 1 1 v4 0 0 0 0 v5 0 0 0 0
1 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
v i 和 vj 至少有一条路
从vi到vj没有路
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
河南工业大学离散数学课程组第40页欧拉图与汉密尔顿图总结欧拉图与汉密尔顿图的判别方法全体非空连通图满足定理741的条件不满足定理741的条件全体非空连通图汉密尔顿图非汉密尔顿图满足必要条件但不满足任何充分条件至少满足一个充分条件不满足某个必要条件不能根据已知的充分条件或已知的必要条件判别是否是汉密尔顿图
0 1 A(G)= 1 0 0 第7页 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

《离散数学》第七章_图论第34节

离散数学第七章图的基本概念

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《离散数学图论》课件

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第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

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离散数学 第7章 图论基础(祝清顺版)

离散数学讲义(第7章)

《离散数学》课件-第七章 图(A)

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