第七章 图论

第七章图论1设P={u,v,w,x,y},画出图G={P，L}，其中（1）L={uv,ux,uw,vy,xy};(2)L={uv,vw,wx,wy,xy},并指出各个点的度。

解对应于（1）的图如图7—1所示。

其中各点的度为：d G(u)=3, d G(x)=2, d G(y)=2, d G(v)=2, d G (w)=1.对应于（2）的图如7—2所示。

各点的度为：d G (u)=1, d G (x)=2, d G (y)=2, d G (v)=2, d G (w)=3。

U V UVXY XYWW图7—12 设图G有5个点，4条边，在同构的意义下，画出图G的所有可能形式。

解图7—3是图G的所有可能形式。

图7—2 图7--33 图G=（P ，L ）如图7—4所示，试画出G 的三个不同支撑子图。

图7--4解 图7—5（a ）,(b),(c)就是图G 的三个支撑子图。

（a ） (b) (c)图7--54 是否可以画一个图，使各点的度与下面给出的序列一致，如可能，画出一个符合条件的(a) (b) (c) (d)(e) (f) (g)图，如不可能，说明原因。

（1）3，3，3，3，3，3； （2）3，4，7，7，7，7； （3）1，2，3，4，5，5；解 （1）可以，如图7—6所示：图7—6（2）不可能。

在六个顶点中，奇数度点为5个，与定理2相矛盾。

（3）不可能。

考虑两个度为5的顶点，设其为u 和v ，因为只有6个顶点，因此u 和v 除自身之外的个顶点皆相连。

而除u ，v 之外的4个顶点中的每一个都至少是两条边的端点，即这4个顶点的度都至少是非，这与其中某一个顶点的度为1矛盾。

5 设G 是有限图，M ，A 分别是G 的关联矩阵和相邻矩阵，证明：M*M / 和A 2 的对角线上的元素恰好是G 中所有点的度。

证 设L （G ），P （G ）的元素分别为n,m. 令B= M*M / ，由矩阵的乘法定义知b ii=∑=nj 1a ij * a /ji i=1,2,3---------m因为M / 是M 的转置矩阵，所以 a ij= a /ji ，，又因为a ij 非0即1，所以a ij 2 = a ij 故得b ii=∑=nj 1a ij * a /ji=∑=nj 1a ij 2=∑=nj 1a ij即b ii 等于M 的第I 行中所有1的个数，也就是b ii 等于M 的第I 行所对应的点的度。

故M*M / 的对角线上的元素是G 中所有点的度。

令C=A 2则Cii=∑=∙mj ajiaji 1I=1,2,------,m因为A 是对称矩阵，所以a ij =a ji ,aij2=a ij ,所以cii=∑=mj 1aij ∙aji=∑=mj 1a ij 2=∑=mj 1aij.即cii 等于第I 行所有1的个数，即第I 行所对应点的度，（I=1，2，-------M ）。

故A2的对角线上的元素是G 中所有点的度。

6 设G 是有限图，P （G ），L （G ）的元素分别为m,n,＆ △分别是G 中点的最小度现最大度。

证明：＆≤2n／m≤△证因为＆△分别是G中点的最小度和最大度，因此有m*＆≤≤m*△又因为=2n，所以m*＆≤2n ≤m*△即＆≤2n／m≤△证毕7 证明连通图中两条最长年简单路必有公共点。

证用反证法。

若不然，设两条最长路为l1=(u,-----u/),l2=(v----v/).因为图是连通的，故从u 到v/有路，设此路最后一次离开l1的点是w ,第一次进入l2的点是w/，由题设可知，/w图7—7取max{ (u,------,w),(w,-----, u/)}∪{(w,----,w/)}∪max{ (v,-----, w/),( w/,-----, v/)便得到一条更长的简单路，与l1，l2是两条最长的简单路矛盾。

因此，连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。

8 一公司在六个城市C1，C2，----，C6中每一个都有分公司，从CI到CJ的班机旅费由下列矩阵中第I行第J列的元素给出（∞表示没有直接班机）。

00 50 ∞40 25 1050 0 15 20 ∞25∞15 0 10 20 ∞40 20 10 0 10 2525 ∞20 10 0 5510 25 ∞25 55 0公司所关心的是计算两城市间的费用最低的路线，对上述六城市中任意一对城市，计算两城市间费用最低的路线。

解首先，求C1到C2，----，C6的最短路线。

（1）从C2，---，C6，中找出与C1距离最近的一个，为C6，于是l（C6）=10，最短路线C1→C6。

（2）从d（C1，Ci），l(C6)+d(C6,Ci)中选取最小者，其中i2,3,4,5,可得dC1，C5），于是lC5）=25，最短路线C1→C5。

（3）类似于步骤（2），依次可得：l（C4）=15，最短路线C1→C6→C4；l（C2）=35，最短路线C1→C6→C2；l（C3）=45，最短路线C1→C5→C3对于城市C2，----，C6，可以用类似于C1的方法得到最短路线。

9设G是图，＆是G 中最小度，K 是一个正整数，若k≤＆，试证明G 中有一条长为k的简单路。

证明不妨设＆≥0，当＆=0时，命题显然成立。

以下设＆≠0，任取一点v0,显然d(v0)≥＆, 故可找到一相邻点v1。

设已找到v i, i＜＆. 由d(vi)≥＆, 看v i 的相邻点，至少有一个不同于v0，v1，---，是v i –1取这样一个点设为v i+1；如此下去可一直找到v﹠，而（v0，v1，---，v﹠）正是一条长为﹠的简单路。

因此，若k≤＆,则必有一条长为k的简单路。

10 设G为图（可能无限），无回路，但若外加任意一边于G 后就形成一回路，试7证明G必为树。

证按树的定义可知，只需证G为连通即可。

任取不相领两点v,v1,由已知，加上边vv1后就形成一回路。

于是去掉边vv1，从v到v1仍有路v,…,v1,即v,v1相连。

由v,v1 的任意性可知G是连通的。

因此，G必为树。

证毕。

11 在具有n个顶点的完全图k n中需删去多少条边才能得到树？解n个点的完全图k n中共有C n2条边，而n个点中的树中共有n-1条边。

因此需要删除c n2-(n-1)=.(n-1)(n-2)/2条边后方可得到树。

12分别用三种不同的遍历方式写出图7-8中二叉树点的访问次序。

AB C GDE FJH IK L图7-8解先根次序：ABDEHKLCFGIJ;中根次序：DBEKHLAFCIGJ;后根次序：DKLHEBFIJGCA.13 分别写出下列表达式的后缀表示：（1）（a+b）*c;(2) l n(a+b)-c+e*f.解（1）首先将表达式化成二叉树如图7-9（a）,由此可知表达式的后缀表示为：ab+c*.图7-9（2）首先将表达式化为二叉树，如图7-9（b ）,从而表达式的后缀表示为： ab+㏑c-ef*+.14 设有5个城市v 1,…,v 5,任意两城市之间铁路造价如下（以百万元为单位）： W(v 1,v 2)=4, W(v 1,v 3)=7, W(v 1,v 4)=16, W(v 1,v 5)=10, W(v 2,v 3)=13, W(v 2,v 4)=8, W(v 2,v 5)=17, W(v 3,v 4 )=3, W(v 3 ,v 5)=10, W(v 4,v 5)=12.试求出连接5个城市而且造价最低的铁路网。

解 首先将本题用一权图来描述，于是求解此题便成为求权图中的最优支撑树问题。

按克鲁斯卡尔算法，图7-10中（b ）～ (e) 就是求解最优支撑树的过程。

（a ）(b)V3 3V4V1 74V3 16 13 V210 8 10 17 3V4 12 V5(c) (d) (e)15 试用克鲁斯卡尔算法求图7-11所示权图中的最优支撑树。

图7-11解 图7-12（a ）～ (e) 表示图7-11的最优支撑树。

(a) (b) (c)121313231523323 45981567 37V1 V1 V1 77 4V3 V2 V1 V2 V3 V23 3 3 1012(d) (e)16 举出满足下列要求的具有5个点的有向图：（1）G有根，但是不是强连通的；（2）G存在一棵有向支撑子树，并标出这棵有向树；（3）G 是强连通的（将G漠视为于是强连通的），但G无根。

解（1）如图7-13（a）, A是根，但是不存在从B到D 的有向路。

（2）如图7-13（b），图7-13（c）是7-13（b）的一棵有向支撑树。

（3）如图7-13（d）。

(a) (b) (c) (d)17 设G（P,A）是有向图，G中任意两个不同点之间至多有一条弧，G中没有指向自身的弧，若不考虑G中弧的方向，把弧看成边，则G是连通的。

问G是否有根？若能肯定G 有根，试给出证明，否则举出反例。

解回答是否定的。

举例如图7-13（d），将此有向图漠视为图以后，它是连通的，但它却无根。

18 设G=(P,A)为有向图，若G与根r，且无有向回路，问G是否是有向树？解回答是否定的，举反例如图7-13中（a）。

19 证明：若r是有向图G的根，则G必含有一个以r为根的有向支撑树。

G1 G 2图7-14证用如下方法来构造的支撑树：令G0={r}，设已得G K是有向树，做G K+1如下：选取P(G)中的某顶点v，使得v∈P(G k)。

设从v到r的有向路进入G k后第一个顶点v’，进入G k前的最后一个顶点是v”，再在G K中加入弧v”v’，及顶点v”。

又归纳法可证，G K是有向树。

按如上做法便可得到G中以r为根的支撑树。

20能否对图7-14的边指定方向，使其成为欧拉图？解G可以，如图7-15（a）所示，由于G1中的每一个点都是平衡点。

G2不可以，图7-15（b）中所有点的度都是3，因此不论怎样指定边的方向，G2中的每个点都不是平衡点。

因此不可能适当地指定G2中各边的方向，使其成欧拉图。

(a)(b)图7-1521 下列图形是否可以一笔画出？如可以的话画出欧拉图，否则说明原因。

G1 G 2图7-16解不可以。

因为中有8个度为奇数的顶点。

可以。

按照边上的标号依次读下来，便可以一笔画出。

见图7-17图7-17 21 举出满足下列要求的具有5个点的图。

（1）没有哈密顿回路，也不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （2）有哈密顿回路，但是不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （3）没有哈密顿回路，但是能适当指定各边的方向使其具有欧拉路； （4）有哈密顿回路，也能适当指定各边的方向使其具有欧拉路。

解 见图7-18（a ）～（d ），它们分别满足条件（1）～（4）（a ） （b ）（c ） （d ） 图7-823 使用平面图定义及Jordan 曲线性质证明K 3..3是非平面图。