第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]

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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e

2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
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[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
(2) 有向完全图
(3) 零图：E=.
(4) 平凡图：E=且|V|=1.
(5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点 的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。
a
a e
a b e
b
e b
c
d
c
d
c
图 C
d
图 A
b e
图 B
a
b
c d
e
b
图 D
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c
图 E
d
d
图 F
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
图Ａ是一个无向完全图 图Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ均是Ａ的子图 图Ｃ的顶点ａ是孤立顶点
图Ｂ的边(ａ，ｂ)是孤立边
图Ｄ是图Ｃ的子图
图Ｅ是图Ｃ的补图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称 此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子 图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通 分图。

G 2。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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例：
a' (a)
a
无 向 图
b
d
c

c' (c)
d' (d)
b' (b)
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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例：
a
无 向 b 图
e
d c

4 (d) 1 (a) 5 (e) 3 (c) 2 (b)
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通
路，则称vi到vj连通(connective)或可达。 说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则
vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
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有着极其丰富的内容，是数据结构等课程的先
修内容。学习时应掌握好图论的基本概念、基
本方法、基本算法，善于把实际问题抽象为图
论的问题，然后用图论的方法解决问题。
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§1 无向图及有向图

本节介绍图的一些最常用的概念,主要有：
无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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[定义] 图的同构
图 G 1 ＝<V 1, E 1>，G 2 ＝<V 2, E 2>，如果 能建立 V 1 与 V 2 间的一一对应， 在此对应下， E 1 与 E 2 中的边也一一对应，对有向图还保 持关联方向的对应，则称图 G 1 与 G 2 同构， 记作 G 1
第四部分：图论（授课教师：向胜军） 26


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“巧渡河”问题的解

注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
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狼
菜
羊
空(成功 )
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
[定义] 简单通路(Simple Path)
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[定义] 补图
设G=<V, E>是n阶无向简单图，以V为顶 点集，以所有能使G成为完全图Kn的添加边
组成的集合为边集的图，称为G相对于完全
图Kn的补图，简称G的补图，记为 G 。
图G与其补图G’具有相同的顶点集，其边集 不相交，构成相应完全图边集的划分。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 16
[定义] 子图
设G=<V, E>，G’=<V’, E’>是两个图，若 V’V ， 且 E’E ， 则 称 G’ 为 G 的 子 图 (subgraph)。
注：
当V’=V时，称G’为G的生成子图。 当E’E，或V’V时，称G’为G的真子图。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 11
完全图(n=1,2,3,4,5)
K1
K2
K3
K4
K5
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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[定理4] 设无向完全图G有n个顶点，
则G有n(n-1)/2条边。
证明：每一顶点都与其余的n-1个顶点相
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
存在通路，则从u到v存在长度小于等于n-1 的基本通路。若存在v到自身的简单回路， 则从v到自身存在长度不超过n的基本回路。 证明：设T=v0e1v1…ekvk(v0=u, vk=v)为u到v的通路，
若T上无重复出现的顶点，则T为基本通路。否则必 存在t<s，vt=vs，在T中去掉vt到vs的一段，所得通路 仍为u到v的通路，不妨仍记为T。若T上还有重复出 现的顶点，就做同样的处理，直到无重复出现的顶点 为止。最后得到的通路是u到v的基本通路，显然它 的长度应小于等于n-1。类似地可证定理的后半部分。
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限 图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构，
入度，出度，度，孤立点等。
主要定理：握手定理。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 3
[定义] 图
V是一个非空有限集，E是V上的一个二元 关 系 ， 有 序 对 <V, E> 称 为 有 向 图 (Directed Graph)。可记为D. 若将E中的有序对看成是无序的（即将 e=<a,b>看成e={a,b}或(a,b)），则称<V,E>为 无向图(Undirected Graph)。有向图和无向图 统称为图(Graph)，记为G 。
若通路中所有边互不相同，称此道路为简
单通路。若回路中的所有边互不相同，称为简
单回路(Simple Circuit)。
[定义] 基本通路(Element Path)
一条通路中，除了始点和终点可以相同，其
余顶点均互不相同，称此通路为基本通路(初级
通路)。当其是回路时，称为基本回路(Element Circuit初级回路或圈)。
邻，即每一顶点的度为n-1，共有n个顶 点，则图G的度为n(n-1)，由握手定理， 得边数m=n(n-1)/2.
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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正则图（各顶点的度相同）
3-正则图
3-正则图
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 5
[定义] 图的分类
对图G=<V, E>，若允许E是一个多重集合，
则称图G为多重图(Multigraph)。其相同的元素 称为平行边，平行边的条数称为重数。 无环的非多重图称为简单图(Simple Graph)。
6/27/2013 6:02 PMa be来自5(e)2(a)
d
c
4(c)
3(d)
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