离散数学第七章图论
离散数学 图论
a b c d 2 1 6 3 4
定义2：没有任何边的图称为空图；只有一个点 A 的图称为平凡图。 e1 e e5 2 定义3：图中顶点的个数称为图 B e6 D 的阶，若|V(G)|=n,则称G为n阶图； e3 e 4 C e7 连接两个相同顶点的边的条数称 为边的重数，这些边称为平行边或多重边。 邻接点: 与一边关联的两个结点. 邻接边: 关联同一个结点的两条边. 环:只关联一个结点的边. 简单图：没有环以及没有重数大于1的边的图。 孤立点：不与任何点邻接的点。 以下记|V(G)|=n， |E(G)|=m。
3.图的最大度Δ(G)与最小度δ(G) :G=<V,E>是 无向图, 定义 Δ(G) =max{d(v)|v∈G} δ(G) =min{d(v)|v∈G}
例：设G是一个非空简单图，则G中一定存在度相同 的顶点。 证明：因为G是简单图，所以，G中顶点的度只能是 0，1，2，…，n-1。 若G中存在一个顶点的度为0，则G中的最大度最多为 n-2，即G中的度只能是 0，1，…，n-2； 若G的最小度≥1，则G中的度只能是 1，2，…，n-1， 由抽屉原理，G中一定存在度相同的顶点。
h
g f
e
5
3.连通分支:令G=<V,E>是无向图, R是V上连通关系, 设 R对V的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n个等价类构 成的n个子图分别记作G[V1],G[V2],G[V3],…, G[Vn],并 称它们为G的连通分支. 并用W(G)表示G中连通分支数.
离散数学第7章
1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。 如图：
6、性质。
定理：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中，
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1， e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2， e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的， v5 为孤立点，v4 为悬挂点，
e3 v3
e6 为悬挂边，e2 为环，e4, e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合，称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。
离散数学第七章图论2
▪ 一般情况下，V1中的结点在C中即有相邻的，又有不 相邻的，因此总有p(C-V1)≤|V1|。
▪ 又因C是G的生成子图，从而C-V1也是G-V1的生成子 图，故有
2
15
1
16 13 14
20 17
12 4
3
19 18 11 5
9 10
6
8
7
给定G是一个无孤立结点的无向图，若存在一条路(回路)， 经过图中每个结点一次且仅一次，则称此路(回路)为该图 的一条汉密尔顿路(回路)。具有汉密尔顿回路的图称为汉 密尔顿图。
2020/9/21
国际学院
60--17
汉密尔顿图的定义
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国际学院
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一笔画问题
1
11
10
1
12
9
2
3
2
8
5
6
3
4
7
(a)
对于上图，有
4
5
(b)
图(a)能一笔画并且能回到出发点的，
图(b)能一笔画但不能回到出发点的。
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60--12
判断有向欧拉路、欧拉图的方法
定理7.2 有向图G具有一条欧拉路，当且仅当G 是连通的，且除了两个结点以外，其余结点的 入度等于出度，而这两个例外的结点中，一个 结点的入度比出度大1，另一个结点的出度比 入度大1。
②对于欧拉路L的任意非端点的结点vi，在L中每出现vi一 次，都关联着G中的两条边，而当vi又重复出现时，它又 关联着G中的另外的两条边，由于在路L中边不可能重复出
离散数学-第七章-图论
则称G1与G2是同构的，记作G1 G2
怎样定义有向图的同构？
第 七 章
图
论
2/12/2021
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离
散 例7、
数 学
a
d
第 七 章
图
论
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a' (b)
b
d ' (d)
c
c' (a)
b' (c)
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离
散
数
学
1
2
6
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第
3
4
七 章
彼得松图(petersen)
图
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1
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10 7 8
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离 散 数 学
第 七 章
图
论
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离 散 数 学
两个图同构必有： （1）结点数相同；
但不是充分条件
（满足这三个条件的两图 不一定同构）
第 （2）边数相同；
七
章 （3）度数列相同
图
论
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离 例8、 画出K4的所有非同构的生成子图。
散 数
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
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离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
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底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
离散数学 第七章 图论
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
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[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
《离散数学》word版
第七章图在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。
例如用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。
图论起源于18世纪，它是研究由线连成的点集的理论。
一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。
由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。
由此经数学抽象产生了图的概念。
研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。
7.1 图的基本概念7.1.1图的定义7.1.1.1无向图定义7.1.1 设A，B是任意集合。
集合{(a,b)|aA且bB}称为A和B的无序积，记为A＆B。
在无序积中，两个元素间的顺序是无关紧要的，即(a,b)＝(b,a)。
定义7.1.2 无向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为结点(顶点)。
E是一个V＆V的多重子集，其元素称为边(无向边)。
我们可用平面上的点来表示顶点，两点间的连线表示边，从而将任一个无向图用图形表示出来。
［例7.1.1］无向图G＝<V，E>，其中V={a，b，c，d，e，f}，E={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,b)，(b,c)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}。
7.1.1.2有向图定义7.1.3 有向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为顶点，E是一个V V的多重子集，其元素称为有向边或弧，简称为边。
注：1)在有向图G＝<V，E>中，若e=〈u，v〉，则称u和v为e的起点和终点；2)自回路既可看成是有向边又可看成是无向边；3)去掉有向图中边的方向得到的图称为该有向图的基图。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
离散数学 第7章 图论基础(祝清顺版)
c
d
(b)
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
图的一些概念和规定
(n, m)图: 具有n个结点和m条边的图称为(n, m)图.
若|V|＝n, 则称G为n阶图.
如果图G是一个(n, 0)图, 则称此图为零图, 即零图是仅 由一些孤立结点所组成的. 如果图G是一个(1, 0)图, 则称此图为平凡图, 即平凡图 是仅由一个孤立结点所组成的. v1 v2
的出度之和。
[证] 因为每一条边必给结点的入度之和增加1，给结点的
出度之和增加1。
所以，有向图中所有结点的入度之和等于边数，所有结
点的出度之和等于边数。
因此，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
例题
例5 设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个 结点度数≥3。 [证] 设图G中有n个结点分别为v1, v2,…, vn, 则由握手 定理：
e1 a e7 c e3 e3
e4
e2
e5
b e6 d
a e7 e5 c c e4 e1 e2 e6 b
离散数学
第七章 图论基础
2007年8月20日
例题
例2 设有4个城市: v1, v2, v3, v4, 其中, v1与v2之间, v2与 v4之间, v2与v3之间有直达航班, 试将此问题用图的方法表
图的定义 图的一些概念和规定 简单图和多重图 顶点的度数与握手定理 图的同构 完全图与正则图 子图与补图
离散数学 第七章 图论基础 2007年8月20日
图的概念
定义1 一个图G由非空结点集合V＝{v1, v2,…, vn}以及边 集合 E＝{e1, e2, …, em}所组成. 其中每条边可用一个结 点对表示, 亦即 ei＝(vi1, vi2), i＝1, 2, …, m.
离散数学 第七章图论-1
2020/4/1
国际学院
60--16
握手定理
1. 在无向图G＝<V，E>中，则所有结点的度数的总和等 于边数的两倍，即：
deg(v) 2m；
vV
2. 在有向图G＝<V，E>中，则所有结点的引出度数之和等 于所有结点的引入度数之和，所有结点的度数的总和 等于边数的两倍，即：
deg (v) deg (v) m，
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020/4/1
国际学院
60--19
例7.7
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为 什么？
解 1）由于这两个序列中，奇数的个数均为奇数，由握 手定理的推论知，它们都不能成为图的度数序列。
图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边，
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj)或 <vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无环的线图称为简单图（即不含平行边和环的图）。
deg(v) deg(v) deg(v) 2m。
vV
vV1
vV2
由于上式中的2m和(偶数之和为偶数)均为偶数，因而奇
度数的结点和也为偶数。于是|V1|为偶数(因为V1中的结 点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
第七章 离散数学课件 图论-2nd
e1
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(b)
v2 e2 v3
v1 e4 v4
e1 e3
(c)
v2 e2 v3
15/44
子图和分支
定义:设G'是G的具有某种性质的子图,并且对于G 的具有该性质的任意子图G'',只要G′G〃,就有 G'=G'',则称G'相对于该性质是G的极大子图. 定义: 无向图G的极大连通子图称为G的分支 . 定义:设G是有向图:
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室: 综合楼411,Tel: 87571525 实验室:教学楼A318/A323,Tel:87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
回顾
23/44
分析
令Pt = {p1,p2,…,pm}表示计算机系统在时间t 的程序集合,Qt Pt是运行的程序集合,或者说 在时刻t至少分配一部分所请求的资源的程序集 合.Rt = {r1,r2,…,rn}是系统在时刻t的资源集 合.资源分配图 Gt = <Rt,E>是有向图,它表示了时间t系统中资 源分配状态.把每个资源ri看作图中一个结点, 其中i=1,2,…,n.<ri,rj>表示有向边,<ri, rj>∈E当且仅当程序pk∈Pt已分配到资源ri且等待 资源rj.
7/44
路证:在任何基本路径中,出现于序列中的各结点都 是互不相同的.在长度为l的任何基本路径中,不 同的结点数目是l+1.因为集合V仅有n个不同的结 点,所以任何基本路径的长度不会大于n-1.对于 长度为l的基本循环来说,序列中有l个不同的结点. 因为是n阶图,所以任何基本循环的长度,都不会 超过n,综上所述,在n阶图中,基本路径的长度不 会超过n-1.
离散数学第七章图的基本概念知识点总结docx
图论部分第七章、图的基本概念7.1 无向图及有向图无向图与有向图多重集合: 元素可以重复出现的集合无序积: A&B={(x,y) | x∈A∧y∈B}定义无向图G=<V,E>, 其中(1) 顶点集V¹∅，元素称为顶点(2) 边集E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2),(v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ,定义有向图D=<V,E>, 其中(1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) 边集E为V´V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图，右图是有向图，试写出它的V和E注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图, 用e k表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=∅平凡图: 1 阶零图空图: V=∅顶点和边的关联与相邻：定义设e k=(v i,v j)是无向图G=<V,E>的一条边, 称v i,v j为e k的端点, e k与v i (v j)关联. 若v i ¹v j, 则称e k与v i (v j)的关联次数为1;若v i = v j, 则称e k为环, 此时称e k与v i 的关联次数为2; 若v i不是e k端点, 则称e k与v i 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E>, v i,v j∈V, e k,e l∈E,若(v i,v j) ∈E, 则称v i,v j相邻; 若e k,e l至少有一个公共端点, 则称e k,e l相邻.对有向图有类似定义. 设e k=áv i,v j〉是有向图的一条边,又称v i是e k的始点, v j是e k的终点, v i邻接到v j, v j邻接于v i.邻域和关联集顶点的度数设G=<V,E>为无向图, v∈V,v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边G的最大度∆(G)=max{d(v)| v∈V}G的最小度δ(G)=min{d(v)| v∈V}例如d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,∆(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环设D=<V,E>为有向图, v∈V,v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和v的入度d-(v): v作为边的终点次数之和v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和d(v)= d+(v)+ d-(v)D的最大出度∆+(D), 最小出度δ+(D)最大入度∆-(D), 最小入度δ-(D)最大度∆(D), 最小度δ(D)例如d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5,d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,∆+(D)=4, δ+(D)=0, ∆-(D)=3,δ-(D)=1,∆(D)=5, δ(D)=3.握手定理定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.图的度数列设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, v n}G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(v n)如右图度数列:4,4,2,1,3设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, v n}D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(v n)D的出度列: d+(v1), d+(v2), …, d+(v n)D的入度列: d-(v1), d-(v2), …, d-(v n)如右图度数列:5,3,3,3出度列:4,0,2,1入度列:1,3,1,2例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗?解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点?解设G有n个顶点. 由握手定理,4´3+2´(n-4)³2´10解得n³8例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.证用反证法. 假设存在这样的多面体,作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},E={(u,v) | u,v∈V∧u与v有公共的棱∧u¹v}.根据假设, |V|为奇数且∀v∈V, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾.多重图与简单图定义(1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念图的同构定义设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的v i,v j∈V1,(v i,v j)∈E1（<v i,v j>∈E1）当且仅当(f(v i),f(v j))∈E2（<f(v i),f(v j)>∈E2），并且, (v i,v j)（<v i,v j>）与 (f(v i),f(v j))（<f(v i),f(v j)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法完全图：n阶无向完全图K n: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ∆=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ∆=δ=2(n-1),∆+=δ+=∆-=δ-=n-1子图：定义设G=<V,E>, G '=<V ',E '>是两个图(1) 若V '⊆V且E '⊆E,则称G '为G的子图, G为G '的母图, 记作G '⊆G(2) 若G '⊆G 且V '=V，则称G '为G的生成子图(3) 若V '⊂V 或E '⊂E，称G '为G的真子图(4) 设V '⊆V 且V '¹∅, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导出子图，记作G[V '](5) 设E '⊆E且E '¹∅, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子图, 记作G[E ']补图：定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图K n的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 .若G≅ , 则称G是自补图.例对上一页K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对子图, 并指出哪些是自补图.7.2 通路、回路、图的连通性简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路定义给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…e l v l，(1) 若∀i(1≤i≤l), v i-1, v i是e i的端点(对于有向图, 要求v i-1是始点, v i是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, v l是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=v l，则称Γ为回路.(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=v l)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).说明:表示方法①用顶点和边的交替序列(定义), 如Γ=v0e1v1e2…e l v l②用边的序列, 如Γ=e1e2…e l③简单图中, 用顶点的序列, 如Γ=v0v1…v l④非简单图中,可用混合表示法,如Γ=v0v1e2v2e5v3v4v5环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈.在无向简单图中, 所有圈的长度³3; 在有向简单图中, 所有圈的长度³2.在两种意义下计算的圈个数①定义意义下在无向图中, 一个长度为l(l³3)的圈看作2l个不同的圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈.在有向图中, 一个长度为l(l³3)的圈看作l个不同的圈.②同构意义下所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.定理在n阶图G中，若从顶点v i到v j（v i¹v j）存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n-1的通路.推论在n阶图G中，若从顶点v i到v j（v i¹v j）存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n-1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在v i到自身的回路，则一定存在v i到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在v i到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v∈V且u~v}是V上的等价关系连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图.连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,V k}, G[V1], G[V2], …,G[V k]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.G是连通图⇔p(G)=1短程线与距离u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)³0, 且d(u,v)=0 ⇔u=vd(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)³d(u,w)点割集与割点记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V ': 从G中删除V '中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设无向图G=<V,E>, V '⊂V, 若p(G-V ')>p(G)且∀V ''⊂V ', p(G-V '')=p(G),则称V '为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.边割集与割边(桥)定义设无向图G=<V,E>, E '⊆E, 若p(G-E ')>p(G)且∀E ''⊂E ',p(G-E '')=p(G), 则称E '为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：K n无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E '为边割集，则p(G-E ')=2若G连通，V '为点割集，则p(G-V ')³2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通): 基图为无向连通图D单向连通: ∀u,v∈V，u可达v或v可达uD强连通: ∀u,v∈V，u与v相互可达强连通⇒单向连通⇒弱连通定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v)u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.性质：d<u,v>³0, 且d<u,v>=0 u=vd<u,v>+d<v,w> ³d<u,w>注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表示无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, v n}, E={e1, e2, …, e m},令m ij为v i与e j的关联次数，称(m ij)n´m为G的关联矩阵，记为M(G).性质(1) 每一列恰好有两个1或一个2有向图的关联矩阵定义设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, v n},E={e1, e2, …, e m}, 令性质(1) 每一列恰好有一个1和一个-1(2) 第i行1 的个数等于d+(v i), -1 的个数等于d-(v i)(3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m(4) 平行边对应的列相同有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵7.4 最短路径及关键路径带权图G=<V,E,w>, 其中w:E→R.∀e∈E, w(e)称作e的权. e=(v i,v j), 记w(e)=w ij . 若v i,v j不相邻, 记w ij =∞.设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的权, 记作w(L).u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.标号法(E.W.Dijkstra, 1959)PERT图与关键路径PERT图(计划评审技术图)设有向图G=<V,E>, v∈Vv的后继元集Γ+(v)={x|x∈V∧<v,x>∈E}v的先驱元集Γ-(v)={x|x∈V∧<x,v>∈E}PERT图:满足下述条件的n阶有向带权图D=<V,E,w>,(1) D是简单图,(2) D中无回路,(3) 有一个入度为0的顶点, 称作始点; 有一个出度为0的顶点, 称作终点.通常边的权表示时间, 始点记作v1, 终点记作v n关键路径关键路径: PETR图中从始点到终点的最长路径v i的最早完成时间TE(v i): 从始点v1沿最长路径到v i所需的时间TE(v1)=0TE(v i)=max{TE(v j)+w ji|v j∈Γ-(v i)}, i=2,3,¼,nv i的最晚完成时间TL(v i): 在保证终点v n的最早完成时间不增加的条件下, 从始点v1最迟到达v i的时间TL(v n)=TE(v n)TL(v i)=min{TL(v j)-w ij|v j∈Γ+(v i)}, i=n-1,n-2,¼,1 v i的缓冲时间TS(v i)=TL(v i)-TE(v i), i=1,2,¼,nv i在关键路径上 TS(v i)=0最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1v3v7v8。
《离散数学》第七章_图论-第2节-预习
定理7-2.1推论
推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有 路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通 路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在 经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ， 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 ：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
chap7离散数学 图论
7-2
路与回路
推论： G=<V,E>具有n个结点，如果从结点vj到结点vk存在一 条路，则此两结点间必存在一条边不多于n-1的通路。 2）连通性： 在无向图G中，若结点u和v之间存在一条路，则 称u和v是连通的； 性质：结点之间的连通性是结点集上的等价关系。 证明：自反性：v和v是连通的 对称性：若u和v连通，则v和u必定也是连通的 传递性：u和v连通，v和w连通，则u和w中也存在路，连通
2014/11/1
《图论与代数系统》 图论
7-1 图的基本概念
6）多重图： 含有平行边的图； 简单图： 不含有平行边和环的图； 完全图： 简单图中，每一对结点间都有边关联。 如果对每条边任意确定一个方向，就称该图为有向完全图。 a e
b
d
f
h
g c 定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2。 证明：在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的 度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2。
71图的基本概念2016826图论与代数系统图论在图g中由g中所有结点和所有能使g成为完全图的添加边组成的图是g相对于完全图的补图简称为g的补图记为g71图的基本概念2016826图论与代数系统图论在表示图时图的结点位置和连线长度可以任意选择故一个图的图形表示不唯一因而需讨论图的同构的概念
第七章
图论
deg(v) 2 E
vV
证明：每条边关联两个结点 一条边给相关的每个结点的度数为1 因此，在图中，结点度数总和等于边数的两倍。
例如：上图中， E 7 deg(v) 14，
2014/11/1
vV
《图论与代数系统》 图论
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
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记为G，其中
（1）Ｖ≠称为结点集，元素称为结点或顶点；
第 七 章
（2）Ｅ称为边集，它是无序积 V&V 的多重子集，
其元素称为无向边，简称为边。 常把无向图记为G=<V,E>
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图 论
离 散 数 学
例1、G1=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3} E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
|E(D)|=m，则
deg
第 七 章
n
(vi ) m
n i
i 1
deg
i 1
n
(vi ) m
图 论
deg(v ) 2m
第 七 章
deg(v ) 2m
i i 1
n
即使出现多重边和环，这 个式子仍然成立
图 论
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离 散 数 学
n=4 m=5 结点入度之和为5 结点出度之和为5 e5
v1 e1
v4
e3
e4
e2
v3
v2
定理1.2 设D=<V，E>为有向图， |V(D)|= n，
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离 散 数 学
定义1.3 在图G=<Ｖ，Ｅ>中，与结点v（vV）关联的 边数称为结点v的度数，简称度，记为deg(v)。 (结点上的环关联次数为2)
设D=<Ｖ，Ｅ>为有向图，以结点v（vV）作为始 点的边数称为v的出度，记作deg+(v)；以v作为终 点的边数称为v的入度，记作deg-(v) 称deg+(v)+deg-(v)为v的度数，记作deg(v)
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离 散 数 学
有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出 度之和。
最大度 在无向图G中， 令△(G)=max{deg(v)|vV(G)} (G)=min{deg(v)|vV(G)} 最小度
第 七 章
类似可定义有向图的最大出度和最小出度、最大入 度和最小入度。
图 论
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多重图
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（不含平行边也不含环） 1/17/2019 1:11 PM
离 散 数 学
底特律 旧金山 纽约 芝加哥 华盛顿 洛杉矶
丹佛
第 七 章
图 论
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离 散 数 学
定义1.2 一个有向图是一个有序的二元组<V,E>，记 为D，其中 （1）Ｖ同无向图； （2）Ｅ称为边集，它是笛卡尔积V×V的多重子集， 其元素称为有向边，简称为边。 v0 D=<V,E> V＝{v0, v1, v2}， E＝{<v0,v1>, <v1,v0>, <v1，v2>}
v1 e1 v2 e2 e4 e5 v1 e1 e4 v4 e3
e3
e2
v3
第 七 章
e5
v2 v v + + + deg 3 (v1)=3 deg 4 (v2)= deg (v4)=1 deg+(v3)=0 图 deg(v deg(v )=deg(v 论 deg -1/17/2019 -(v 2 -(v )=2 4)=2 3)=3 PM-(v (v1)=deg(v )=1:11 deg )=deg )=1 deg
e5 (v3，v4)
关联次数
邻接点、邻接边
图 论
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离 散 数 学
在有向图D=<V,E>中，若ek=<vi，vj> ∈Ｅ，则称vi 为ek 的起点， vj 为ek的终点 ；并称vi邻接到vj ， vj 邻接于vi 。
v1
v2
v3
第 七 章
v4
图 论
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v0 v3
第 七 章
v1 v2
图 论
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G1
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离 散 数 学
例2 、 G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3} E＝{(v0,v3),(v1,v3),(v1,v3),(v2，v3),(v0,v0)}
环 v0 v1
第 七 章
G 简单图
v3
v2 G2
平行边
图 论
第七章
图 论
离 散 数 学
图论的起源
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
A
C
D
B
第 七 章
问题：能否从河岸或小岛出发，不重复地经过所 有的桥回到原地。
图 论
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离 散 数 学
Euler (欧拉) 1736年对这个问题给出了否定的回答。
A
C
D
B
第 七 章
图 论
Euler将河岸和小岛作为图的结点，七座桥为 边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路 的问题。
空图 ——V(G)=
丹佛 洛杉矶
图 论
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标定图
离 散 数 学
e0
非标定图
e1
e3
v1
v5 v3
在无向图G=<V,E>中，若ek= v2 （vi，vj） ∈Ｅ，则称vi，vj 为 e2 边ek的端点,
e4
ek与vi或ek与vj是彼此关联的；
v4
孤立点
第 七 章
平行边
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有时用G泛指图（有向的或无向的）
离 散 数 学
|V(G)|表示G的结点数
|E(G)|表示G的边数
有限图—— |V(G)|和 |E(G)|均有限
n阶图——|V(G)|=n
零图—— E(G)=
旧金山 平凡图——1阶零图
第 七 章
底特律 纽约 芝加哥 华盛顿
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离 散 数 学
一、图的基本概念
底特律 旧金山 纽约 芝加哥 华盛顿 洛杉矶
丹佛
第 七 章
图 论
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离 散 数 学
设A、B是两个集合，称
A&B={{a,b}|aA, bB} 为A与B的无序积。 为方便起见，常将无序对{a,b}记为(a,b) 定义 1.1 一个无向图是一个有序的二元组 <V,E> ，
v1
第 七 章
v2
D
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图 论
离 散 数 学
例3、 D=<V,E>, 其中 V={v1，v2 ，v3 ，v4 } E={<v1,v1>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v2,v4>,<v3,v4>, <v3,v4>,<v2,v1>}
v1 v2
第 七 章
v3
v4
图 论
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离 散 数 学
对图的所有顶点的度求和时，得出了什么？
n=4 一个具有 10个顶点，每
顶点度之和为10 结点度之和为 8
个结点的度都为 6的图， m=4 m=5 e5 有多少条边？
v3
v1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e1
e3
v2 e2
e4 v4
定理1.1 设G=<V，E>为无向图， |V(G)|= n， |E(G)|=m，则 握手定理