离散数学图论

图的同构
对于两个图G和G,如果它们的顶点之间存在一一对应关系，而 且这种关系保持了两顶点间的邻接关系（在有向图中，还保 持了边的方向）和边的重数，则这两个图是同构的。
同构的图除了点和边的名称不同外，实际上代表同样的组织结 构。 由于图形的顶点位置和连线长度都可任意选择，同一个图可能 画出不同的形状来，因而引出图同构的概念。 如下面两个图同构:
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8.3 图的矩阵表示
定义 1 设 G=<V,E> 是无向图，且无平行边，其中 V={v1,v2,…,vn}, 定义一个nn的矩阵A,其中各元素aij为：
1 如果<vi,vj>E aij=
0 如果<vi,vj>E
称这样的矩阵为图 G 的邻接矩阵。（即若两点间有边相连，则对应 的为1，无边相连，则对应的为0）
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连通图
定义3 设G=<V,E>，且vi,vjV.如果存在从vi到vj的路径，则 称从vi可达vj. (因vi 可看作长度为 0的路径，即从vi可达vi, 即任何顶点都是自己可达)。
定义4 在无向图中，如果任何两个顶点都可达，则称之为连通图。 如果G的子图是连通图，称之为连通子图。 一个无向图如果不是连通图，就是由若干个连通子图构成。 定义5 在有向图G中，如果在任两个顶点中，存在从一个顶点到 另一个顶点的路径，则称图 G为单向连通的。如果在 G中，任 何两个顶点都互相可达，则称G为强连通的。如果它的基础图 （底图）是连通的，则称之为弱连通的。 显然，强连通的，也是单向连通的，也是弱连通的。
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8.1 图的基本概念
定义1 一个图G是一个三重组<V,E,>，其中V是图 G的顶点集合，E是图G的边集合，是从边集E到 顶点偶对集合的函数，即边与点的对应关系。 例1 设G=<V,E, >,其中: V={a,b,c,d,e},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7} (e1)={a,d}, (e2)={c,d}, (e3)={b,d} (e4)={a,c}, (e5)={b,c}, (e6)={a,d}, a (e7)={b,b} e6 e1 e4 b d 则G可用图表示为: e3 e2 e7 e5 c
图的邻接矩阵
设图G如右图所示， 则其邻接矩阵为：
基本概念
定理2 在图中，度为奇数的顶点有偶数个。
定义4 各顶点的度都相同的图，称为正则图。各顶点的度都 为k的图，称为k度正则图。 对于 n 阶无向图，n-1度正则图称为n阶无向完全图。简称 为n阶完全图。记为：Kn （在完全图中，每两个顶点之间都有边相连） 对于n阶有向图，若每个顶点的出度和入度都为n-1,则称之为 n阶有向完全图。
路径中所有边的加权长度之和称为该路径的加权长度。 从顶点v 到顶点s的路径中加权长度最小者称为从 v 到s的最 短路径。最短路径的加权长度为从v到s的加权距离。 若从v不可达s,则称它们的加权距离为
Dijkstra算法
Dijkstra给出了求从顶点s至顶点t的加权距离 的如下算法： 1） 若v≠s,则（v）=,否则 （v）=0； T=V（顶点集合） //初如化顶点的值,初如化集合T 2) 在T中寻找值最小的顶点u. 3）如果u=t,则算法结束。 4) 考虑在集合T中且与u邻接的顶点v,若（v）>（u）+W(e) (e 连 接 u 和 v) ， 则 修 改 顶 点 v 的 值 。 即 （ v ） = （ u ） +W(e) (要考虑所有在T中又与u邻接的点) 5） T=T-{u} (不再考虑顶点u) ； 转向2 当算法结束时，（t）即为从s到t的加权距离。
e
基本概念
若边e对应的是有序偶<a,b>，则称e为有向边。在 画图形时，有向边 <a,b>, 就画一条从 a 出发箭头指 向b的弧。 有向边 e 称为弧， a 叫弧 e 的起点， b 叫弧 e 的终点， 统称为端点。 称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接的。 若边 e 对应的是无序偶 {a,b}, 则称 e 为无向边。同样 称 a,b 是端点，称 e 关联于顶点 a 和 b ；称 a 和 b 是邻接 的。 每一条边都是有向边的图，称为有向图。每条边都 是无向边的图，称为无向图。
子图与补图
定义6 设G=<V,E>,G=<V,E >都是图，如果非空集合V V 或E E，则称G 是G的子图；如果V V 或E E，则称G是G的真子图；如果V =V, E E,则称G 是G的生成子图。
1
2
3
(3)为(1)的生成子图，(2)为(1)的真子图。
哥尼斯堡七桥问题
城的四个陆地部分分别表以A，B（大岛），C，D（小岛)， 将陆地设想为图的顶点，把桥画成相应的边，
A B C
则问题等价于在图中从某一顶点出发找一条回径，通过它的每条 边一次且仅一次，并回到原顶点。
D
（你能否看出，此问题无解，即这样的走法不存在呢？）
主要内容
1.图的基本概念 2.路径与回路 3.图的矩阵表示 4.几种特殊的图 5.无向树, 有向树
第八章
图
论
图论起源：哥尼斯堡七桥问题：能否从一处出发， 经过七座桥一次，又回到出发点？
图论的应用非常广泛，主要有运筹学、网络理论、 信息论、控制论、及计算机科学等等。
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普 莱格尔河上有七座桥,将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于 是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到 出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 这就是哥尼斯堡 七桥问题，一个著名的图论问题。
图中不与任何顶点邻接的点称为 孤立点。全都是孤 立点的图称为零图。关联于一个顶点的边称为自回路， 也称为自圈。 在有向图中，若同始点和同终点的边多于一条，则 这几条边称为平行边。

没有平行边和自圈的图称为：简单图。
在无向图中，两顶点间若多于一条边，则称这几条边 为平行边。图G中，顶点的个数称为图G的阶
P2 P1 P4 P3 1 P2 P41 r3 r4 r2
显然，当且仅当分配图 Gt包含多于一个顶点的强 分图时，计算机系统在t时刻死锁。显然图示状态是 死锁状态。以后我们可用矩阵方法来识别是否包含 多于一个顶点的强分图。
求加权图中的最短路径问题
定 义 7 设 图 G=<V,E,> 。 若 W:ER, 则 称 <G,W>为加权图。若e∈E,称W(e)为边e的加权长 度。
8.2 路径与回路

这一节将要引入路径的概念，以后还要引用简单路径、 基本路径、简单回路、基本回路、及路径的长度概念 及与路径相关的连通图，连通子图，及在有向图中的单 向连通，强连通与弱连通的概念。
求加权图中的最短路径的算法也是本节的一个重点。
路径的基本概念
定义1 给定图G=<V,E>，设G中顶点和边的 交替序列： = 0 e1 1 e 2 2 … el l 若满足：i-1和i是ei的端点(i=1,2,…l),则称之为从顶点0 到l的路径，0和l分别称为此路径的起点和终点， 中边的 数目称为的长度。 若中的所有边互不相同，则称为简单路径。 若中所有顶点0, 1,2,…,l互不相同，则称此路为径为基 本路径。 当0=l时， 称为回路。 若回路中所有的边互不相同，则称此回路为简单回路。 通过各顶点不超过一次的回路为基本回路。
补图
定义 7 设图 G=<V, E> , 若 G 是 n 阶无向图，则 G 的补图为： KnG。即为n阶完全无向图与G的差。若G是n阶有向图， 则G的补图为：n阶有向完全图与G的差。
（这一节介绍了图的一些基本概念，如图的定义，图 中顶点的度，图的所有顶点的度为边的 2 倍，且一个 图中有偶数个奇顶点，简单图等的定义，图的运算， 子图，补图的一些概念。要掌握这些简单的定义）
a
d
b
c c
a d b
图的运算
图的常见运算 有并、交、差、环和，补图等。定义如下： 定义5 设图G1=<V1,E1>和图G2=<V2,E2>。 （1）G1与G2的并 ：记为: G1∪G2=< V1∪V2, E1∪E2>
（2） G1与G2的交 ：记为： G1∩G2=< V1∩V2, E1∩E2>
（3） G1与G2的差 ：定义为图： G3=<V3,E3>, E3=E1-E2, V3=(V1-V2)∪{E3中边与V3所关联的点}。 记为：G1-G2 （4）G1与G2的环和，记为 G1G2= G1∪G2- G1∩G2
基本概念
定义2 对图G的每条边都赋以一个数值的图，称为加权图。 定义3 在有向图中，对于顶点v，以v为起点的边的数目，称 为v的出度（引出次数）。记为：deg+(v),以v为终点的边 的数目称为v的入度（引入次数）,记为：deg-(v)， v的出度和入度之和称为v的度。记为deg(v)。 即 deg(v)= deg+(v)+ deg-(v) 对于无向图，顶点v 的度就是与 v相关联的边的条数。孤立 点的度为0. 约定： 含有n个顶点和m条边的图，记为（n,m）图。 定理1 设G是有m条边，则它的所有顶点的度之和为2m