离散数学图论复习

离散数学11春图论部分综合练习辅导

大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法．

图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等．

本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习．

下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目．

一、单项选择题

单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目．

第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目．

1．设图G ＝，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( ) ．

A ．deg(v )=2∣E ∣

B ． deg(v )=∣E ∣

C ．E v V v 2)deg(=∑∈

D ．

E v V

v =∑∈)deg(

该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况．复习握手定理：

定理3.1.1 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则

∑∈=V

v E v ||2)deg(

也就是说，无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．

正确答案：C

2．设无向图G 的邻接矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******

000011100100110， 则G 的边数为( )．

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位．大家要复习邻接矩阵的定义，

要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10÷2=5条边．

正确答案：B

3．如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ．

A ．{(a, e )}是割边

B ．{(a, e )}是边割集

C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集

D ．{(d , e )}是边割集

先复习割边、边割集的定义： 定义3.2.9 设无向图G =为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）

因为删除答案A 或B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案A 、

B 、

C 是错误的．

正确答案：D

4．图G 如由图所示，以下说法正确的是 ( )．

A ．a 是割点

B ．{b, c }是点割集

C ．{b , d }是点割集

D ．{c }是点割集

主要是检查对点割集、割点的概念理解的情况．

定义3.2.7 设无向图G =为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．

从图二中删除结点b, c ，得到的子图是由不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以 正确答案：B

5．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．

A ．（a ）是强连通的

B ．（b ）是强连通的 ο ο ο ο a b c d

ο e ο

ο ο a b d ο

C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的

我们先复习强连通的概念：

定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；

若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的．

正确答案：A

问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？

请大家要复习“弱连通”的概念．

6．设完全图K

n 有n个结点(n 2)，m条边，当（）时，K

n

中存在欧拉

回路．

A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数我们先复习完全图的概念：

定义3.1.6简单图G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．

由定义可知，完全图K n中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数．

由定理4.1.1的推论

一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．

所以，正确答案应该是C．

7．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．

A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图

我们先复习汉密尔顿图的概念：

定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；

具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．

由定义可知，汉密尔顿图是连通图．

所以，正确答案应该是D．

问：汉密尔顿图为什么不一定是欧拉图吗？

8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．

A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理．

定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则欧拉公式v-e+r =2成立．

由欧拉公式v-e+r =2，得到r = e- v+2．

所以，答案A是正确的．

9．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．