离散数学 图论基础
离散数学 7-1图概念7-2路与回路
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及离散结构的数学学科。
与连续数学不同，离散数学侧重于处理离散的、离散可数的数学对象，如整数、图形、集合等。
离散数学的基础知识涵盖了一系列主题，如逻辑、证明方法、集合论、图论等等。
本文将重点介绍离散数学的基础知识。
一、逻辑逻辑是离散数学的基础。
它研究命题和推理的基本方法。
在逻辑中，我们使用符号来表示命题，如p表示“今天下雨”，q表示“明天晴天”。
逻辑运算包括与、或、非、蕴含等。
我们通过真值表或证明方法来判断命题的真假和进行推理。
二、证明方法证明方法是离散数学中非常重要的一部分。
数学证明是为了验证或推导数学命题的过程。
常见的证明方法包括直接证明、归谬法、数学归纳法等。
通过证明方法，我们可以从已知的前提出发，得出结论，并确保其正确性。
三、集合论集合论研究的是集合及其相互关系的数学理论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
在集合论中，我们可以使用集合运算符号来表示交集、并集、补集等操作。
集合的定义通常使用罗素悖论中的无限集合公理，这是集合论的基础。
四、图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图的应用非常广泛，如社交网络分析、电子电路设计等。
在图论中，我们研究图的连通性、路径、环等性质和算法。
五、离散数学的应用离散数学的应用非常广泛，影响着计算机科学、信息科学、运筹学等领域。
在计算机科学中，离散数学为算法设计、数据结构等提供了基础。
在信息科学中，离散数学为编码理论、密码学等提供了基础。
在运筹学中，离散数学为优化问题的建模和求解提供了工具。
总结离散数学的基础知识包括逻辑、证明方法、集合论和图论等内容。
透过这些基础知识，我们可以更深入地理解离散对象和结构的数学特性。
离散数学的应用也广泛影响着计算机科学、信息科学和运筹学等领域。
通过学习离散数学的基础知识，我们可以培养出严密的逻辑思维和问题求解能力。
以上是对离散数学基础知识的简要介绍，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一学科。
离散数学 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/3/24
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射 (associative mapping)
（va, vb V）则称e是有向边（或弧）
va是e的起始结点， vb是e的终结点
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/3/24
若va和vb与边（弧）e相联结，则称va和vb是e的端结点 va和vb是邻接结点，记作：va adj vb (adjoin) 也称e关联va和vb，或称va和vb关联e 若va和vb不与任何边（弧）相联结，则称va和vb是非邻接结点， 记作：va nadj vb 关联同一个结点的两条边（弧），称为邻接边（弧）
v1
构造双射函数f : V1 V2 ，f(v1)=a ，f(v2)=b
f(v3)=c ，f(v4)=d
v2
v4
可知，边[v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v1]被分别映射成[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]，故G1 G2
a
b v3
G1
c
0 ≤ d(v1)<d(v2)<… <d(vn)≤n-1。
结点的次数
2020/3/24
问题2：是否存在这种情况：两个人或以上的人群中，至少
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
离散数学中的图论着色算法-教案
离散数学中的图论着色算法-教案一、引言1.1图论的发展历程1.1.118世纪欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，奠定图论基础。
1.1.219世纪图论在数学和物理学领域得到发展。
1.1.320世纪图论在计算机科学中扮演重要角色。
1.1.4当前图论研究涉及网络科学、社会网络等多个领域。
1.2图论的基本概念1.2.1图由节点和边组成，用于表示物件与物件之间的关系。
1.2.2节点代表研究对象，边代表节点间的联系。
1.2.3图分为有向图和无向图，反映关系的方向性。
1.2.4图的度、路径、环等是图论中的基本术语。
1.3图论在现实中的应用1.3.1社交网络分析，如Facebook的社交图谱。
1.3.2电信网络设计，如电话网络的布局。
1.3.3交通运输规划，如航班路线的优化。
1.3.4计算机网络设计，如互联网的结构优化。
二、知识点讲解2.1图的着色问题2.1.1图的着色是将图中的节点用颜色进行标记，满足相邻节点颜色不同。
2.1.2着色问题分为正常着色和特定着色，如双色着色、列表着色等。
2.1.3着色问题在图论中具有重要地位，与图的性质紧密相关。
2.1.4着色问题广泛应用于地图着色、排课表、寄存器分配等领域。
2.2图的着色算法2.2.1Welsh-Powell算法，基于节点度进行着色。
2.2.2DSATUR算法，优先着色度数大且邻接节点着色多的节点。
2.2.3RLF算法，考虑节点邻接矩阵的行、列和节点度。
2.2.4图的着色算法不断发展，如启发式算法、遗传算法等。
2.3图的着色算法的应用2.3.1地图着色，确保相邻区域颜色不同。
2.3.2课程表安排，避免时间冲突。
2.3.3计算机寄存器分配，优化资源利用。
2.3.4光纤通信网络设计，减少信号干扰。
三、教学内容3.1图的着色问题的引入3.1.1通过地图着色实例引入图的着色问题。
3.1.2讲解正常着色和特定着色问题的区别。
3.1.3分析着色问题在现实中的应用场景。
3.1.4引导学生思考着色问题的数学模型。
离散数学入度和出度
离散数学入度和出度离散数学中，图论是一个重要的分支。
图是由节点（顶点）和边组成的数据结构，它可以用来描述现实生活中的许多问题。
在图中，每个节点都有一个入度和一个出度，它们分别指的是连接到该节点的边的数量和从该节点出发的边的数量。
首先，我们介绍一下图的概念。
图可以分为有向图和无向图。
对于有向图来说，边有方向，即从一个节点到另一个节点的方向是确定的。
而对于无向图来说，边没有方向，从一个节点到另一个节点的路径可以是任意的。
另外，图中的节点可以是有限个数的，也可以是无限个数的。
在图中，入度指的是连接到某个节点的边的数量。
具体而言，对于有向图而言，某个节点的入度等于与之相连的边的数量。
而对于无向图来说，某个节点的入度等于连接到该节点的边的数量。
相应地，出度指的是从某个节点出发的边的数量。
对于有向图来说，节点的入度和出度之和等于图中的总边数。
这是由于每条边都有一个起点和一个终点，起点的出度和终点的入度各自加一，所以它们的和等于总边数。
而对于无向图来说，节点的入度和出度是相等的，因为从一个节点出发的边也是连接到该节点的边。
节点的入度和出度在图论中有着重要的意义。
它们可以用来分析图的性质，以及解决与图相关的问题。
例如，通过计算图中各个节点的入度和出度，我们可以判断图的连通性。
如果图中存在一个节点的入度为零，那么该节点是一个源点，即没有边指向它的节点。
同样地，如果图中存在一个节点的出度为零，那么该节点是一个汇点，即没有边从它出发指向其他节点。
判断图中是否存在源点和汇点对于许多问题的解决都是很有帮助的。
除了连通性，入度和出度还可以用来分析图中的圈（环）结构。
圈是图中沿着边走回到出发点的路径，它可以是任意长度的闭环。
通过计算图中各个节点的入度和出度，我们可以判断是否存在圈，以及图中的圈结构。
例如，在有向图中，如果某个节点的入度大于零，那么从该节点出发可以走回到自身，即存在圈。
而在无向图中，如果存在一个节点的入度大于等于2，那么从该节点出发可以回到自身，即存在环。
中科大离散数学图论基础
增加运输量； 反方向的边（V3，V2）的运输量为1；
4
2
4 8 1 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2 2
4
7 4 3 5 3
3 4
6
销地
22
如果将反向边（V3，V2）的运量调到正向边（V2，V4）上 去完成，这样有向路P6（V1，V3，V2，V4，V6）的运量可增 加1。 4 2
27
例：一个网络流图：
a
源点
容量
4
s
2 3 3 b 1
3 2
汇点
t 4
4
2
d
c 2
中间点 中间点
28
对一个流网络G=(V,E,c)，每条边(u,v)上给定一个实数 f(u,v)，满足：0≤f(u,v) ≤ c(u,v)，则f(u,v)称为边(u,v)上的 流量。其中满足f(u,v)=c(u,v)的边称为饱和边。 如果有一组流量满足条件：
就需要定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
9
连通度
定义：连通度为 (G) min{|V || V 是G的顶点割集}
完全图的连通度定义为 ( Kn ) n 1，空图的连通度定义为0； 使得 | V | (G) 的顶点割集V’就是G的最小点割集； 若 (G) k ，则称G为k连通的； 所有非平凡连通图都是1-连通的； 就是一个图G最少要去掉 多少个点会变成非连通图。 若G不连通，则 (G) 0 ； 若G是平凡图，则 (G) 0 。
连通度分别是多少？
10
割边
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
离散数学基础图论
Fundamentals of Discrete Mathematics: Graph Theory
周晓聪(isszxc@) 中山大学计算机科学系, 广州 510275
年 月 日 2008 11 9
2
版权所有，翻印必究
第三章 路径问题
这一章集中考虑几个与图的路径有关的几个问题，包括有向图中任意两点之间的最短路径，图 的最小生成树，以及有向网络关键路径问题，这些问题都是在实际应用中经常遇到的问题，例如求 网络的关键路径是项目管理（包括软件开发项目）中的重要问题之一。
3.1 最短路径
3
达比v较5）在u；5这比=里较∞，u和我6u=们3 +∞看d和到35uv=33的+3，邻d3因接6 此=顶将8点，u有因5修v此2改,将v为5u,63v修，6，相改比应为较地8u，将2相=q应57的和地值u将改3 q+6为的dv3值32（=也即7修v，1改经因为过此vv仍33，可保因以持此比u得2较的到快值：地为到7；
S = {v2, v4, v6}
U = 0, 6, 1, 8, 3, 8
到此为至的计算结果也可用下表给出：
Q = v1, v5, v1, v5, v3, v3
第0步 第1步 第2步
v1 0
v2 7/v1 7/v1 6/v5
U = ∞, 7, 1, ∞, ∞, ∞
而对任意的1 ≤ i ≤ n，都令qi = v1，即目前考虑的可能前趋都是v1：
Q = v1, v1, v1, v1, v1, v1
或者说，按照耿素云教材，我们使用下表给出U和Q：
第0步
v1 0
v2 7/v1
v3 1/v1
v4
v5
v6
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学作为现代数学的一门重要分支，在计算机科学、通信工程、信息技术等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础知识，共分为三个部分：集合论、逻辑和图论。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念，它是一个由元素组成的整体。
例如，{1，2，3}就是一个集合，其中1、2、3是元素。
集合的描述通常采用列举法或描述法。
列举法即列举集合中的元素。
例如，{1，2，3}、{a，b，c，d}等都是集合。
描述法则是通过一些规则来描述集合中的元素。
例如，{x | x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数组成的集合。
集合之间有一些常见的运算：并集：将两个集合中的元素合并起来，形成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的并集为{1，2，3，4，5}。
交集：取两个集合中相同的元素组合成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的交集为{3}。
补集：设A为一个集合，A'为其补集，则A'包含所有不在A 中的元素。
除此之外，集合中还有子集、空集、全集等重要概念。
子集指的是一个集合中的所有元素为另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
空集指的是一个不包含任何元素的集合，全集则是该领域的所有元素的集合。
二、逻辑逻辑是进行推理和论证的基础。
在离散数学中，布尔代数是逻辑的一种基础形式。
它是一种将推理和论证过程化为运算的数学体系。
常见的布尔运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）。
与运算表示只有两个值同时为真，结果才为真。
例如，1 AND 1 为真，1 AND 0 为假。
或运算表示两个值中至少一个值为真，结果才为真。
例如，1 OR 0 为真，0 OR 0 为假。
非运算表示取反，将真变为假，将假变为真。
例如，NOT 1 为假，NOT 0 为真。
布尔代数的一个重要应用是逻辑电路的设计。
逻辑电路是指由逻辑门和连线构成的电路，其中逻辑门实现着不同的布尔运算。
三、图论图论是离散数学中的重要分支。
离散数学——图论
2023/5/24
42
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
2023/5/24
27
正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
2023/5/24
28
两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
2023/5/24
❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
2023/5/24
4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发 表了第一部集图论二百年研究成果于一书的 图论专著《有限图与无限图理论》，这是现 代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门 独立学科。
2023/5/24
37
连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的， 则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图 是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通 图。
2023/5/24
38
有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向
傅彦离散数学课件
傅彦离散数学
傅彦离散数学课件
一、离散概率论
离散概率论是研究离散随机现象的数学分支，其主要研究对象是离散随机事件、离散随机变量和离散随机过程。
在本部分中，我们将学习离散概率论的基本概念、离散概率空间、离散随机变量和离散概率分布等。
二、集合论初步
集合论是研究集合、集合之间的关系和集合的性质的数学分支。
在本部分中，我们将学习集合的基本概念、集合的运算、集合的表示方法以及集合的性质等。
三、图论基础
图论是研究图（由顶点和边构成的图形）的数学分支。
在本部分中，我们将学习图的基本概念、图的表示方法、图的性质以及一些基本的图算法等。
四、逻辑初步
逻辑是研究推理规则的数学分支。
在本部分中，我们将学习命题逻辑和谓词逻辑的基本概念、基本规则以及一些基本的推理方法等。
五、组合数学
组合数学是研究组合优化和组合计数问题的数学分支。
在本部分中，我们将学习组合数学的基本概念、基本定理和组合计数方法等。
六、离散概率论续
在上一部分的基础上，进一步学习离散概率论的高级概念和技巧，包括条件概率、独立性、贝叶斯定理等。
七、集合论深入
深入学习集合论的高级概念和技巧，包括集合的基数、可数性、不可数性等。
八、图论深入
深入学习图论的高级概念和技巧，包括图的连通性、最短路径问题、网络流等。
九、逻辑深入
深入学习逻辑的高级概念和技巧，包括一阶逻辑、推理系统等。
十、组合数学续
在上一部分的基础上，进一步学习组合数学的高级概念和技巧，包括排列组合的推广、组合恒等式等。
数学中的离散数学及其应用
数学中的离散数学及其应用离散数学是一门集合论、图论、逻辑学和计算机科学等学科为基础的数学分支，其主要研究离散的、有限的和离散化的对象及其性质。
离散数学不同于传统的连续数学，它更注重离散化、离散结构的研究，因而被广泛应用于计算机科学、信息技术等领域。
一、离散数学基础1. 集合论集合是离散数学的基础，引入了集合的概念定义，以及集合的各种基本操作，如交、并、补集等，为后续的数学研究打下了基础。
2. 图论图论是离散数学中一个非常重要的分支，主要研究图及其性质。
图是一个由若干个节点和连接这些节点的边组成的结构，它在现代科学中有着广泛的应用。
图论的研究对象往往是它所表示的实体及其关系，如社交网络、交通网络、电子电路等。
通过构建图模型来描述实际问题，可以帮助我们更好地理解问题，找到最优解。
3. 逻辑学逻辑学是离散数学中另一个重要的分支，主要研究命题、谓词逻辑、命题演算等。
通过逻辑学可以学习到证明问题思考的能力，这对于人类生活中的决策非常有用。
4. 数论数论是离散数学中比较古老的一个分支，研究自然数的性质，包括素数、最大公因数、同余等。
数论的应用非常广泛，如密码学中就使用了大量数论的结论。
二、离散数学的应用离散数学不仅仅是一门纯粹的学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举一些典型的应用场景：1. 计算机科学离散数学在计算机科学中有着极其重要的地位。
在计算机科学中，集合论主要用于描述算法数据结构的基本概念，图论被广泛应用于网络拓扑、寻路、优化算法等领域，逻辑学则是计算机科学领域中的基本工具，其使用在证明算法正确性、构造程序等方面都有很大的帮助。
2. 通信工程通信工程中需要进行的就是大量的离散问题建模和求解，比如需要处理的一些诸如边缘检测、图像压缩等的问题就可以建模为离散数学的问题。
3. 金融工程在金融工程中，离散数学主要用于衡量、处理风险，从而帮助投资者进行决策。
比如期权定价、股票波动率等问题，都离不开离散数学。
同等学力离散数学基础知识点
同等学力离散数学基础知识点一、集合论基础。
1. 集合的概念与表示。
- 集合是一些确定的、互不相同的对象的总体。
例如，全体自然数的集合，记为N = {0,1,2,·s}。
集合的表示方法有列举法，如A={1,2,3}；描述法，如B = {xx是偶数}。
- 元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，记作a∈ A；否则记作a∉A。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
特别地，A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊂ B。
- 空集varnothing是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={3}。
- 差集：A - B={xx∈ A且x∉ B}。
A={1,2,3}，B = {3,4,5}时，A - B={1,2}。
- 补集：设全集为U，集合A的补集¯A=U - A。
二、关系与函数。
1. 关系的概念。
- 关系是集合笛卡尔积的子集。
设A、B是两个集合，A× B={(a,b)a∈ A,b∈B}，A到B的关系R是A× B的子集，若(a,b)∈ R，则称a与b有关系R，记作aRb。
- 关系的表示：可以用关系矩阵和关系图表示关系。
2. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有aRa，则R是自反的。
- 对称性：若对任意a,b∈ A，当aRb时，有bRa，则R是对称的。
- 传递性：对任意a,b,c∈ A，当aRb且bRc时，有aRc，则R是传递的。
3. 函数。
- 函数是一种特殊的关系。
设A、B是两个集合，f:A→ B是一个函数，对于任意a∈ A，存在唯一的b∈ B，使得(a,b)∈ f，记为b = f(a)。
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1. 离散数学的定义和意义2. 离散数学与其他数学分支的区别3. 离散数学在计算机科学和信息技术领域的应用4. 学习离散数学的目标和要求二、逻辑与集合1. 逻辑基础命题与联结词逻辑推理与证明2. 集合的基本概念集合的表示方法集合的运算集合的性质3. 集合的运算律和集合恒等式4. 集合的分类和应用三、图论基础1. 图的基本概念图的定义和表示方法图的类型和例子2. 图的运算邻接矩阵和邻接表子图、补图和连通性3. 路径和圈路径和圈的概念最短路径问题环的性质和应用4. 树和森林树的概念和性质树的表示方法树的算法四、组合数学1. 组合的基本概念排列和组合的定义组合数的计算公式2. 组合计数原理包含-排除原理鸽巢原理和球和箱子问题3. 组合设计区块设计和平面设计拉丁方和Steiner系统4. 组合数学的应用组合数学在计算机科学中的应用组合数学在其他领域的应用五、离散数学的应用实例1. 布尔代数和逻辑电路布尔代数的基本概念逻辑电路的设计和分析2. 计算复杂性理论计算复杂性的基本概念时间和空间复杂性的分析方法3. 信息论和编码理论信息论的基本概念编码理论和错误纠正码4. 离散数学在其他领域的应用实例离散数学在生物学中的应用离散数学在经济学中的应用六、关系与函数1. 关系的基本概念关系的定义和表示关系的性质和分类2. 关系的运算关系的复合和逆关系关系的闭包和分解3. 函数的基本概念函数的定义和表示函数的性质和分类4. 函数的运算和性质函数的复合和反函数函数的连续性和differentiability七、组合设计与计数1. 组合设计的基本概念区块设计和平面设计-拉丁方和Steiner系统2. 组合计数原理包含-排除原理鸽巢原理和球和箱子问题3. 代数结构群、环和域的基本概念群的作用和群的分解八、图论进阶1. 欧拉图和哈密顿图欧拉图的定义和性质哈密顿图的定义和性质2. 网络流和匹配网络流的基本概念和定理最大流和最小费用流问题匹配的概念和算法3. 树的同构和唯一分解定理树的同构概念唯一分解定理的证明和应用九、离散数学在计算机科学中的应用1. 计算理论和算法计算模型的基本概念算法的描述和分析2. 数据结构和算法基本数据结构常见算法和分析方法3. 形式语言和编译原理形式语言的基本概念编译器的设计和实现1. 离散数学的主要概念和定理2. 离散数学在不同领域的应用3. 离散数学的发展趋势和未来展望重点和难点解析一、引言难点解析：离散数学与其他数学分支的区别，学习离散数学的目标和要求。
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v1 (a) v2
v4
v1
v2
(b)
结点的次数
2020/7/10
在图G中的任意一条边e E，都对其联结的结点贡献度数2 定理：在无向图G=<V, E>中， d(v) = 2|E| 通常，将度数为奇数的结点称为奇度结点
将度数为偶数的结点称为偶度结点 定理：在无向图G=<V, E>中，奇度结点的个数为偶数个
给每条边（弧）都赋予权的图，叫做加权图(weighted graph)
记作G=<V, E, W>，W是各边权之和
v3
v3
1
1
2
v1 (a) v2
1
1
2
v1
v2
(b)
v3
1
1
1
v1 1 v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
在无向图G=<V, E>中，V中的每个结点都与其余的所有结点邻
接，即 (va)(vb)(va, vb V [va, vb] E)，如图(a) 则称该图为无向完全图(complete graph)，记作K|V| 若|V|=n，则|E|= C 2 = n(n-1)/2
（va, vb V）则称e是有向边（或弧）
va是e的起始结点， vb是e的终结点
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
若va和vb与边（弧）e相联结，则称va和vb是e的端结点 va和vb是邻接结点，记作：va adj vb (adjoin) 也称e关联va和vb，或称va和vb关联e 若va和vb不与任何边（弧）相联结，则称va和vb是非邻接结点， 记作：va nadj vb 关联同一个结点的两条边（弧），称为邻接边（弧）
三、子图
定义：给定无向图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2> 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图(subgraph)， 记作G2 G1 若V2 V1，E2 E1，且E2 ≠ E1，则称G2是G1的真子图， 记作G2 G1 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图(spanning subgraph)，记作G2 G1
V2 = V1
子图
例如：
2020/7/10
v2
v5
v1
v2
v5
v3
v4
(a)
v3 (a)的真子图 v4 v1
v2
v5
v3
v4
(a)的生成子图
子图
2020/7/10
定义：对于图G=<V, E>，G1=<V, E>=G，G2=<V, > G1和 G2都是G的生成子图，称为平凡生成子图 定义：设G2=<V2, E2>是G1=<V1, E1>的子图
第七章 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/7/10
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射 (associative mapping)
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
图G=<V, E, Φ>中的每条边都与图中的无序对或有序对联系
若边e E 与无序对结点[va, vb]相联系，即Φ(e)= [va, vb] （va, vb V）则称e是无向边（或边、棱）
若边e E与有序对结点<va, vb>相联系，即Φ(e)=<va, vb>
（或<u, v> E1 <f(u), f(v)> E2）
则称G1与G2同构(isomorphic)，记作 G1 G2
图的同构
2020/7/10
例7.1.1 证明下面两个图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2>同构
证明：V1={v1, v2, v3, v4}, V2={a, b, c, d}
对任意结点u, v V2，若有[u, v] E1，则有[u, v]E2， 则G2由V2唯一地确定，则称G2是V2的诱导子图 记作G[V2]，或G2=<V2> 若G2中无孤立结点，且由E2唯一地确定，则称 G2是E2的诱导子图，记作G[E2]，或G2=<E2>
子图
例如：
2020/7/10
v1
v2
关联同一个结点及其自身的边，称为环(cycle)，环的方向没有
意义 v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
若将图G中的每条边（弧）都看作联结两个结点 则G简记为：<V, E>
每条边都是弧的图，称为有向图(directed graph)（如图b）
每条边都是无向边的图，称为无向图(undirected graph)
v1
构造双射函数f : V1 V2 ，f(v1)=a ，f(v2)=b
f(v3)=c ，f(v4)=d
v2
v4
可知，边[v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v1]被分别映射成[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]，故G1 G2
a
b v3
G1
c
v5
v2
v5
v3
v4
G=<V, E>
v3
v4
G’=<V’, E’>
V’或E’的诱导子图
补图
2020/7/10
定义： 设G1=<V1, E1>和G2=<V2, E2>是G=<V, E>的子图，
若 E2 = E - E1，且G2是E2的诱导子图，即G2=<E2>
则称G2是相对于G的G1的补图
补图
图G1和G2互为
v1
相对于G补图
v2
v5
v1 v2
v3
v4
G
v5
v2
2020/7/10
v5
v3
v4
G1
v3
v4
G2
补图
2020/7/10
定义： 给定图G1=<V, E1> ，若存在图G2=<V, E2>
且 E1 E2 = ，及图<V, E1 E2 >是完全图
则称G2是相对于完全图的G1的补图，记作G2 = G1
补图
v1
v2
v5
2020/7/10
v3
v4
G2 = G1
v1
K5
v1
v2
v5
v2
v5
v3
v4
G1
v3
v4
G2
图的同构
2020/7/10
四、图的同构
定义：
给定图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2>
若存在双射函数f : V1 V2 ，使得对于任意u, v V1
有
[u, v] E1 [f(u), f(v)] E2
要注意的是，这不是充分条件
2020/7/10
图的同构
2020/7/10
例7.1.3 证明下面两个无向图是不同构的
n
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
图的基本概念
2020/7/10
在有向图G=<V, E>中，V中的任意两个结点间都有方向相反的
两条弧，即
(va)(vb)(va,vbV <va,vb>E∧<vb,va>E)，如图(a)
则称该图为有向完全图，记作K|V|
若|V|=n，则|E|=
P
2 n
=
n(n-1)
平行边（弧）的条数，称为重数
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
在多重图的表示中，可在边（弧）上标注正整数，以表示平行边 （弧）的重数
把重数作为分配给边（弧）上的数，称为权(weight) 将权的概念一般化，使其不一定是正整数，则得到加权图的概念：
2020/7/10
类似问题： 1. 晚会上大家握手言欢，握过奇数次手的人数一定是偶数 2. 碳氢化合物中，氢原子个数是偶数 3. 是否有这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条
棱？
结点的次数
2020/7/10
问题2：是否存在这种情况：两个人或以上的人群中，至少
有两个人在此人群中的朋友数一样多？
以人为结点，仅当二人为朋友时，在此二人之间连一边， 得一“友谊图”G(V,E)， 设V={v1, v2, …, vn}，不妨 设各结点的次数为d(v1)≤d(v2)≤… ≤d(vn)≤n-1。 假设命题不成立，则所有人的朋友数都不一样多，则
d
G2
图的同构
2020/7/10
例7.1.2 证明下面两个有向图是同构的。
d
c
证明：如图所示，G1=<V1, E1>，
G2=<V2, E2>，结点编号如图所示。