离散数学王元元习题解答

第三篇图论

第八章图

图的基本知识

内容提要

8.1.1 图的定义及有关术语

定义图（graph）G由三个部分所组成：

（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。

（2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。 I

（3）函数Ψ

G

：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。

这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，

v），u，v为结点，它们未必不同。Ψ

G

(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G) ?V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。

图G常用三元序组< V(G)，E(G)，Ψ

G

>,或< V，E，Ψ>来表示。显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。

定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。

（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。本书只讨论有限图。

（2）当Ψ

G 为单射时，称G为单图；当Ψ

G

为非单射时，称G为重图，

又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。

（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或）时，称e为环（loops）。无环和重边的无向单图称为简单图。当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = ?V ?，m = ?E ? 。

（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ? v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的

完全图常记作K

n

。

（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或）时，也用(u,v)(或)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。不是任何边的端点的结点都称为孤立结点，仅由孤立结点构成的图（E = ?）称为零图。

（6）当给G赋予映射f：V→W，或g：E→W，W为任意集合，常用实数集及其子集,

此时称G为赋权图，常用< V,E,Ψ,f >或< V,E,Ψ,g >或< V,E,Ψ,f,g >表示之。f(v)称为结点v的

权，g(e)称为边e的权。

8.1.2 结点的度

定义在无向图中，结点v的度（degree）d(v)是v作为边的端点的数目。在有向图中，结点的度d(v)是v的出度d+(v)（out-degree）与入度d-(v)（in-degree）的和；v的出度是v作为有向边起点的数目，v的入度是v作为有向边终点的数目。

定理对任意图G，设其边数为m, 顶点集为{v

1，v

2

，…，v

n

}，那么

∑==

n

i

i

m

v

d

1

2

)

(

定理图的奇数度顶点必为偶数个。

定理自然数序列（a

1,a

2

,…,a

n

）称为一个度序列，如果它是一个图的

顶点的度的序列。（a

1,a

2

,…,a

n

）为一度序列，当且仅当∑

=

n

i

i

a

1

为一偶数。

定义一度的顶点称为悬挂点（pendant nodes）。

定义各顶点的度均相同的图称为正则图（regular graph）。各顶点度均为k的正则图称为k-正则图。

8.1.3 图运算及图同构

由于图由结点集、边集及关联映射组成，因此对图可作种种与集合运算相类似的运算。

定义设图G1＝，G2＝，称G1为G2的子图（subgraph），如果V1?V2，E1?E2，Ψ1? Ψ2。称G1为G2的真子图，如果G1是G2的子图，且G1 ? G2。称G1为G2的生成子图（spanning subgraph），如果G1是G2的子图，且V1 = V2。

定义设图G1＝，G2＝，且Ψ1与Ψ2是相容的，即对任一x，若Ψ1(x) = y1, Ψ2(x) = y2，则y1= y2，从而Ψ1?Ψ2为一函数。

（1）G1与G2的并，记为G1?G2＝G3＝，其中V3 = V1?V2，E3 = E1?E2，Ψ3= Ψ1?Ψ2。

（2）G1与G2的交,记为G1?G2 = G3 = ，其中V3 = V1?V2，E3 = E1?E2，Ψ3= Ψ1?Ψ2。

（3）若G1为G2的子图，则可定义G2对G1的差，记为G2－G1＝G3＝，其中E3 = E2 – E1，V3＝V2，Ψ3 = Ψ2?

。

E3（4）G1与G2的环和，记为G1?G2，

G1?G2＝(G1?G2)－(G1?G2)

（5）若G为简单图，则可定义G的补，记为Gˉ，若 ?V(G)? = n，则 Gˉ= K

－G

n

定义设图G＝

（1）G－e表示对G作删除边e的运算，G－e = ，其

。

中E’＝E－{e}，Ψ’= Ψ?

E’

（2）G－v表示对G作删除顶点v的运算，G－v = ，

。

其中V’= V－{v}，E’＝E－{e ? e以v为端点}，Ψ’＝Ψ?

E’（3）边e切割运算。设G中Ψ (e) = (u,v),对G作边e切割得G’＝，其中，V’＝V?{v’}，E’= (E－{e})?{e1,e2}, Ψ’= (Ψ－{})?{，}

（4）顶点v贯通运算。设G中顶点v恰为边e1,e2的端点，且Ψ(e1) = (u,v)，Ψ(e2) = (w,v)。对G作顶点v贯通得G’＝，其中V’=V－{v}, E’=(E－{e1,e2})?{e}, Ψ’=( Ψ－{,})?{}。

切割与贯通是互逆的，两者常被称为同胚运算。

定义设G1＝，G2＝为两个图，称G1与G2同构（isomorphic），如果存在双射f：V1→V2，双射g：E1→E2，使得对每一边e?E1，