第七章图论
第七章 图论

第七章图论1设P={u,v,w,x,y},画出图G={P,L},其中(1)L={uv,ux,uw,vy,xy};(2)L={uv,vw,wx,wy,xy},并指出各个点的度。
解对应于(1)的图如图7—1所示。
其中各点的度为:d G(u)=3, d G(x)=2, d G(y)=2, d G(v)=2, d G (w)=1.对应于(2)的图如7—2所示。
各点的度为:d G (u)=1, d G (x)=2, d G (y)=2, d G (v)=2, d G (w)=3。
U V UVXY XYWW图7—12 设图G有5个点,4条边,在同构的意义下,画出图G的所有可能形式。
解图7—3是图G的所有可能形式。
图7—2 图7--33 图G=(P ,L )如图7—4所示,试画出G 的三个不同支撑子图。
图7--4解 图7—5(a ),(b),(c)就是图G 的三个支撑子图。
(a ) (b) (c)图7--54 是否可以画一个图,使各点的度与下面给出的序列一致,如可能,画出一个符合条件的(a) (b) (c) (d)(e) (f) (g)图,如不可能,说明原因。
(1)3,3,3,3,3,3; (2)3,4,7,7,7,7; (3)1,2,3,4,5,5;解 (1)可以,如图7—6所示:图7—6(2)不可能。
在六个顶点中,奇数度点为5个,与定理2相矛盾。
(3)不可能。
考虑两个度为5的顶点,设其为u 和v ,因为只有6个顶点,因此u 和v 除自身之外的个顶点皆相连。
而除u ,v 之外的4个顶点中的每一个都至少是两条边的端点,即这4个顶点的度都至少是非,这与其中某一个顶点的度为1矛盾。
5 设G 是有限图,M ,A 分别是G 的关联矩阵和相邻矩阵,证明:M*M / 和A 2 的对角线上的元素恰好是G 中所有点的度。
证 设L (G ),P (G )的元素分别为n,m. 令B= M*M / ,由矩阵的乘法定义知b ii=∑=nj 1a ij * a /ji i=1,2,3---------m因为M / 是M 的转置矩阵,所以 a ij= a /ji ,,又因为a ij 非0即1,所以a ij 2 = a ij 故得b ii=∑=nj 1a ij * a /ji=∑=nj 1a ij 2=∑=nj 1a ij即b ii 等于M 的第I 行中所有1的个数,也就是b ii 等于M 的第I 行所对应的点的度。
第七章_图论

非连通图的边连通度为 0
工
平凡图G, (G)=0
程
学
院
第七章 图论
与称为G的相对于完全图的补图,简称为G的补图,记作
工G` 若图G≌G,则称G为
程 自补图
学
院
第七章 图论
信 定义7-1.5
息
简单图G=<V,E>中,若每个结点均与其余结点相连,则称G为完全图。
有n个结点的完全图称为n阶完全图,记作Kn(n≥1) 。
科
学
。
如:
与
。。
。
。
工
。
。
程
。。
学
K3 考虑: Kn的边数为???
信 7-2 路与回路
息 定义7-2.1 设图G=<V,E>,G中结点与边的交替序列
科
=vi0ej1vi1ej2 … ejkvik
学 称点v,i0r为=0v,i1k ,到…的路,.k其中. :vviri-01,,vviikr分为别ej是r的的端始点和
与 终点. 中边的条数称为它的长度。
工 若vi0=vik ,则称该路为回路。 程 若中所有边各异,则称 为迹。
K6
院
定理7-1.4 Kn的边数为Cn2=n(n-1)/2。
第七章 图论
信 定义7-1.7
息 设G=<V,E>, G`=<V`,E`>为两个图(同时为无向图或有向图),若V` V且 E` E,则称G`为G的子图, G为G`的母图,记作G`G。
科 若V` V或E` E,则称G`为G的真子图。
d
d
d
息
e1
科 a e6
e4
c
e4
ca
第七章 图论

§7.1 图的基本概念
两图同构的必要条件:
1. 结点数相等。
2. 边数相等 3. 度数相同的结点数相等 不是充分条件。
本讲稿第三十页,共九十一页
§7.2 路与回路
1.路径和循环 [定义]在一个图中,从某一结点出发经过某些结点到达终点
的边的序列称为图的路径,而路径中边的条数称为路
径的长度(路长)。
(4)回路:起始且终结于同一结点的路径。
(5)简单回路:每一条边出现一次且仅一次的回路。 (6)基本回路:通过每个结点一次且仅一次的回路。 例:在上例中,列出下列回路,判断为何种回路
本讲稿第三十三页,共九十一页
§7.2 路与回路
(7)非循环图:没有任何循环的简单有向图。 讨论: ①一定不包含自循环 ②不是基本路径的任何路径都会包含循环,去掉这些
于所有结点的出度之和。
本讲稿第十六页,共九十一页
§7.1 图的基本概念
(12)多重边(平行边):在有向图中,始点和终点均 相同的边称为平行边,无向图中若两个结点间有两 条(或多条)边,称这些边为平行。
两点间平行边得条数称为边的重数。
例:
本讲稿第十七页,共九十一页
§7.1 图的基本概念
[定义7-1.4]含有平行边的图称为多重图,非多重图称
讨论定义: (1)从一个结点到某一结点的路径,(若有的话)不 一定是唯一的; (2)路径的表示方法:
(a)边的序列表示法: 设G=<V,E>为一有向图, ,则路径可以表示
成:(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页,共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法: (v1,v2vk)
第七章 图论

12
7.1 图及相关概念
7.1.5 子图
Graphs
图论
定义7-1.8 给定图G1=<V1,E1>和G2=<V2,E2> , (1)若V1V2 ,E1E2 ,则称G1为G2的子图。 (2)若V1=V2 ,E1E2 ,则称G1为G2的生成子图。
上图中G1和G2都是G的子图,
但只有G2是G的生成子图。
chapter7
18
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
Graphs
图论
【例4】 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图,则
它们之间至少有几个是同构的? 解:由下图可知,4阶3条边非同构的无向简单图共有3个, 因此G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
4/16/2014 5:10 PM
4/16/2014 5:10 PM chapter7 10
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图
Graphs
图论
【例2】证明在 n(n≥2 )个人的团体中,总有两个人在 此团体中恰好有相同个数的朋友。 分析 :以结点代表人,二人若是朋友,则在结点间连上一 证明:用反证法。 条边,这样可得无向简单图G,每个人的朋友数即该结点 设 G 中各顶点的度数均不相同,则度数列为 0 , 1 , 2 , …, 的度数,于是问题转化为: n 阶无向简单图 G中必有两个 n-1 ,说明图中有孤立顶点,与有 n-1 度顶点相矛盾(因 顶点的度数相同。 为是简单图),所以必有两个顶点的度数相同。
vV1
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vV2 vV
由于 deg( v) 是偶数之和,必为偶数,
vV1
离散数学第7章

1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。 如图:
6、性质。
定理:在一个
n
阶图中,若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ,则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论:在一个
n
阶图中,若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ,则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理:在一个 n 阶图中,若vi 到自身存在回路, 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论:在一个 n 阶图中,若vi 到自身存在一个 简单回路,则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中,
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1, e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2, e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的, v5 为孤立点,v4 为悬挂点,
e3 v3
e6 为悬挂边,e2 为环,e4, e5 为平行边,重数2,
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合,称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点,所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。
离散数学-第7章-图论廖学生用

05
图论中的优化问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中一类经典的优化问题,旨在寻找图中 两个节点之间的最短路径。
详细描述
最短路径问题有多种算法,其中最著名的算法是Dijkstra算法 和Bellman-Ford算法。Dijkstra算法适用于带权重的有向图 或无向图,而Bellman-Ford算法适用于带权重的无向图。这 两种算法都能有效地找到最短路径,但时间复杂度和适用范 围有所不同。
03
图的遍历算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过,搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
06
图论的应用实例
社交网络分析
社交网络分析
图论在社交网络分析中有着广泛的应用。通过构建社交网络模型,可以研究人际关系、信 息传播、社区结构等方面的问题。例如,通过分析社交网络中的节点和边的关系,可以发 现社区结构、影响力传播路径、信息扩散规律等。
社交网络模型
社交网络模型通常由节点和边构成,节点代表个体或组织,边代表它们之间的关系。根据 实际需求,可以选择不同的社交网络模型,如社交关系网、信息传播网等。
力传播等。
生物信息学
交通运输
图论用于基因调控网络、 蛋白质相互作用网络等 生物信息学领域的研究。
图论用于交通路线的规 划和管理,如最短路径 算法、交通流量优化等。
第7章 图论

图
论
1
图(Graph):
可直观地表示离散对象之间的相互关系,
研究它们的共性和特性,以便解决具体问题。
图是一类相当广泛的实际问题的数学模型,
有着极其丰富的内容,是数据结构等课程的先
修内容。学习时应掌握好图论的基本概念、基
本方法、基本算法,善于把实际问题抽象为图
论的问题,然后用图论的方法解决问题。
5
G=<V(G),E(G), φG>
说明:
若把图中的边ei看作总是与两个结点 关联,则一个图G由两种实体组成,它有 一个叫做顶点(有时也叫做节点)的元素 的有限集合V={a,b,c……}和一个叫做边的 不同顶点对的有限集合E,一个图可简记 为G=<V,E>。集合V中顶点的个数n叫做图 的阶。6Fra bibliotek 2 一些概念
若边ei与结点无序偶(vj,vk)相关联,则 称该边为无向边。 若边ei与结点有序偶<vj,vk>相关联, 则称该边为有向边。其中vj称为ei的起 始结点;vk 称为ei的终止结点。 每一条边都是无向边 的图称无向图。
G=<V,E>=<{v1,v2,v3, v4,v5},{(v1,v2),(v2,v3), (v3,v4),(v2,v4)}>
16
例:图 7-1.5 所示的均为多重图。
图(a) 中结点 a 和 b 之间有两条平行边,结点 b 和 c 之间有三条平行边,在结点 b 有两个平行的 环。结点 a 的度数为 3 ,结点 c 的度数为 4 ,结 点 b 的度数为 9 。 图(b) 中,只有结点v1和v2之间有两条平行边。 这是因为该有向图中, < v1,v2 > 与 < v2 , v1 > 认为是不同的结点对。 17
第7章--图论

第7章 图论
定义 7.1 ― 13 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的结点集V的一个子集V1的所有结点及与其关联的 所有边得到的, 则将该子图记为G-V1。
如图7 ― 5中, G1=G-{4}。 定义 7.1 ― 14 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的边集E的一个子集E1的所有边, 而不删去它们的 端点而得到的, 则将该子图记为G-E1。 如图7 ― 5中, G2=G-{(2, 4)}。
第7章 图论
如例1中的图, 结点集V={a, b, c, d}, 边集 E={e1, e2, e3, e4, e5}, 其中 e1=(a, b), e2=(a, c), e3=(a, d), e4=(b, c), e5=(c, d)。
d与a、 d与c是邻接的, 但d与b不邻接, 边e3与e5是邻 接的。
定义中的结点对可以是有序的, 也可以是无序的。 我们将结点 u、 v 的无序结点对记为(u, v), 有序 结点的边e与结点u、 v的无序结 点对(u, v)相对应, 则称e为无向边, 记为 e=(u, v)。 这时称e与两个结点u和v互相关联, u、 v称为该边的两个端点。 这时也称u与v是邻接的, 否则 称为不邻接的。 关联于同一结点的两条边称为邻接边。
第7章 图论
7.1.4 子图 在研究和描述图的性质时, 子图的概念占有重要
地位。 定义 7.1 ― 12 设有图G=(V, E)和图
G′=(V′, E′)。 (1) 若V′ V, E′ E, 则称G′是G的子图。 (2) 若G′是G的子图, 且E′≠E, 则称G′是G的真子
图。
第7章 图论
(3) 若V′=V, E′ E , 则称G′是G的生成子图。 图 7 ― 5给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件,如:
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念:
路: 图G=<V, E>,设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边,交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v, 则 删 去 v 得 到 子 图 G , 在 G 中 这 两个结点必定不连通,故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理: 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
(5)多重图:含有平行边的图
简单图:不含有平行边和环的图
完全图:每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图:完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理: n个结点的无向(有向)完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明: 在完全图中,每个结点的度数应为n-1,则n个结点的
度数之和为n(n-1),因此|E|=n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
(6)子图:
G V , E , 有 G ' V ', E ' , 且 E ' E , V ' V ,
则 G '为 G 的 子 图
e
f
h
g
e e
f
f h
h
g
生成子图:包含G中所有结点的子图
a
b
a
e
fg
f
b
d
cd
ch
ge
h
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)和(b)同构
(c)和(d)同构
7-1 图的基本概念
G与G'同构的充要条件是: a、结点一一对应 b、边一一对应 c、保持关联关系
由同构的定义,易见两图同构必定满足以下条件:(必要条件)
a、结点数目相等 b、边数相等 c、度数相同的结点数目相同
混合图:图中既有有向边,也有无向边
平凡图:仅由一个孤立结点构成的图
a
e hi
k
b
df
c
j
l
g
7-1 图的基本概念
(3)邻接点:由一条有向边或一条无向边相关联的两结点 邻接边:关联于同一结点的两条边
平行边:连接于同一对结点的多条边
自回路(环):关联于同一结点的一条边(既可看作是有
向边,也可作无向边)
决。例如:可以用图来表示生态环境里不同物种的竞争;可以 用图来表示在组织里谁影响谁,以及用图来表示比赛结果;旅 行商问题;地球着色问题等。
一个简单的例子:大城市之间的高速公路系统建模: 可以把各个城市看成结点,城市之间存在高速公路,则认 为这两个城市之间有连线,这样可以构成一个简单的图
7-1 图的基本概念
v5e7v3e4v2;通路 v4e8v5e6v2e1v1e2v3;圈 v2e1v1e2v3e7v5e6v2
7-2 路与回路
定理: G=<V, E>具有n个结点,如果从结点vj到结点vk存在一 条路,则此两结点间必存在一条边不多于n-1的路
证明:设结点vj到vk的路上的结点序列为 vj … vi…vk,结点序列 中结点的个数为L+1,则这条路中有L条边。若L>n-1,则结点 序列中必出现重复结点,因而可去除重复结点之间的边,得到 的仍是联结vi到vk的路。依此类推,必可得到边不多于n-1的路
联结v0到vn的路;v0,vn分别称为路的起点和终点
回路:起点和终点相等的路
e1
圈:除v0=vn外其余结点都不相同的路 v2
v1 e3 e2 v3
迹:所有的边都不相同的路 通路:所有的结点都不相同的路
e5 e6 e4
e7
v4
e8
v5
上图中有:路 v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3;迹 v5e8v4e5v2e6
e f
g
deg+(e)=2, deg-(e)=1, deg(e)=3 h deg+(f)=1, deg-(f)=2, deg(f)=3
deg+(g)=deg-(g)=1, deg(g)=2 deg+(h)=deg-(h)=1, deg(h)=2
7-1 图的基本概念
(4)结点的度数
最大度: ( G ) m a x { d e g v |v V ( G ) }
a
e b
c a
d
cbΒιβλιοθήκη 7-1 图的基本概念(4)结点的度数 图G=<V,E〉中,与结点v关联的边数为度数,记为deg(v)。 一个环的度数为2。
a
e b
d c
deg(a)=2 deg(b)=3 deg(c)=2 deg(d)=2 deg(e)=5
7-1 图的基本概念
(4)结点的度数 在有向图中,定义入度、出度的概念 入度: 射入一个结点的边的条数,记为deg-(v); 出度: 由一个结点射出的边的条数,记为deg+(v); 入度与出度之和为该结点的度数:deg(v)= deg+(v)+ deg-(v)\
推论: G=<V,E>具有n个结点,如果从结点vj到结点vk存在一 条路,则此两结点间必存在一条边不多于n-1的通路
7-2 路与回路
2、无向图的连通性: 在无向图G中,若结点u和v之间存在一条路,则称u和v是
连通的。 结点之间的连通性是结点集上的等价关系。
证明:自反性:v和v是连通的 对称性:若u和v连通,则v和u必定也是连通的 传递性:u和v连通,v和w连通,则u和w中也存在路,
随着科技的发展,图论在解决运筹学、网络理论、信息 论、控制论、博弈论等问题时,发挥了巨大的作用。
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-1 图的基本概念
1、图的定义及表示 图由结点和连接两个结点之间的连线组成。连线的长度和
结点的位置是无关紧要的。 几乎每一门可以想象的学科里都有问题可以用图模型来解
2、图的表示法
三元组表示G=<V(G),E(G), φG>:V(G)-非空的结点集合; E(G)-边集合;φG-边集合E到结点无序偶(有序偶)集合上的函 数。 图可简记为G=<V,E>
7-1 图的基本概念
3、图的一些基本概念
(1)无向边:与结点无序偶关联的边,用 (a,b)表示
有向边:与结点有序偶关联的边,用<a,b>表示;表明是从
非连通图的点连通度为0 存在割点的连通图的点连通度为1 完全图Kp的点连通度为p-1
7-2 路与回路
(2)边割集: : G=<V, E>为无向连通图,E1⊂E,图G删除 了E1所有的边后,所得的子图是非连通图,但删除E的任何真 子集,得到的子图仍是连通图,称E是G的一个边割集
割边(桥): 若边割集中只有一条边,此边称为割边 边连通度:产生一个不连通图需要删去的最少边数,记为
最小度: ( G ) m i n { d e g v |v V ( G ) }
a b
c
e Δ(G)=5
δ(G)=2 d
7-1 图的基本概念
定理: 结点度数总和等于边数的两倍,即: deg(v)2|E| vV
证明:每条边关联两个结点 一条边给相关的每个结点的度数为1 因此,在图中,结点度数总和等于边数的两倍。
割点: 若点割集中只有一个结点,此结点称为割点
点割集或者割点是否唯一?
a
c
e
b
d
a fb
c
a
c
e
d
fb
f
e和d都为图的割点(不唯一)
7-2 路与回路
不同点割集中的结点数目未必相同 a
c
g
e
f
如右图中,有点割集{e}和{f}和{c,d} b
d
h
点连通度: 产生一个非连通图需要删去的点的最少数目, 记为 k(G)=min{|V1| | V1是G的点割集}
a
a
e6 e1 e2
b
e3
e5
e1
e6
d
e3 d
b
e5
e4
e4
c
c
左右为同一图形
V(G)={a,b,c,d}
e2 E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6} φG(e1)=(a,b),φG(e2)=(a,c), φG(e3)=(b,d),φG(e4)=(b,c), φG(e5)=(d,c),φG(e6)=(a,d).
(G ) min{| E1 | E1 是 G 的 边 割 集 }
不连通图的边连通度为0 存在割边的连通图的边连通度为1 完全图Kp的边连通度为p-1
7-2 路与回路
定理: 对于任何一个图G,有 k ( G ) ( G ) ( G )
k ( G ): 点 连 通 度 ; ( G ): 边 连 通 度 ; ( G ): 最 小 度 。
a
e
右 图 中 , deg(v)=14, E=7 b
v∈ V
d
c
7-1 图的基本概念
定理: 度数为奇数的结点必定是偶数个
证明: 设V1、V2分别为G中奇数度数点集和偶数度数点集,则: