立体几何专题突破之《探究性问题》

立体几何专题突破之《探究性问题》

考点动向

立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

方法范例

例１ 如图８－１，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =．

（１）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所

成角的正切值为

（２）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于

AP ，并证明你的结论．

解析 本题的两问都充满了探究性，问题的情景具有运动变化的特点，此时，只需要确定某一个位置进行推理，其它作类似推理即可．即所谓的化动为静．

解法1 （1）连AC ，设A

C B

D O A P =，与面11BDD B 交于点G ，连OG ．因为PC ∥面

11BDD B ，面11

BDD B 面APC OG =，故

O G P C ∥．所以122m

OG PC ==

．又1AO DB AO BB ，⊥⊥，所以AO ⊥面11BDD B ．故AGO ∠即为AP 与面11BDD B 所成

A 1

图８－１

P

1A D 1

图８－２

的角．在Rt AOG △

中，2tan 2

AGO m ∠==，即13m =．故当1

3m =时，直线AP 与

平面11BDD B

所成角的正切值为

（2）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥．可推测11A C 的中点1O 即为所

求的Q 点．因为1111111D O AC D O AA ，⊥⊥，所以11D O ⊥面11ACC A ．又AP ⊂面11ACC A ，故11D O AP ⊥．从而11D O 在平面1AD P 上的射影与AP 垂直．

解法２（1）建立如图８－３所示的空间直角坐标系，则(100)(110)(01)A B P m ，，，，，，，，，

11(010)(000)(111)(001)C D B D ，，，，，，，，，，，．

所以1(110)(001)(11)(110)BD BB AP m AC =--==-=-，，，，，，，，，，，． 又由100AC BD AC BB ==，知，AC 为平面11BB D D 的一个法向量．设AP 与平面11BB D D 所成的角为

θ，则

s i n c o s θθπ⎛⎫

=

- ⎪2⎝⎭

2

2

2AP AC AP AC

m =

=

+．

2

2

2m =

+，解得

13m =

．故当1

3

m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为

（2）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则

1(11)(10)

Q x x D Q x x -=-，，，，，．依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于111

0(1)02

D Q AP AP D Q x x x ⇔=⇔-+-=⇔=⊥．即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．

[规律小结]

探究性问题一般具有一定的深度，需要深入分析题目的条件和所问，根据题目的特征，选用适当的解题方法．必要时，进行假设推理，或者反证推理，往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题．

考点误区分析

解答探究性问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过备考阶段的联练习，加强解题信心的培养．确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．

同步训练

１．两相同的正四棱锥组成如图８－４所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱

锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．

均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）．

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个

２．在正方体''''D C B A ABCD -中，过对角线'

BD 的一个平面交'

AA 于E ，交'CC 于

F ，则（ ）．

① 四边形E BFD '

一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形

③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '

有可能垂直于平面D BB '

以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）

３．如图８－５，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD

ACD ，是全等的直角三角形，AD 是

公共的斜边，且1AD BD CD ===，另一侧面ABC 是正三角形． （1）求证：AD BC ⊥；

A B

C

D 图８－４

A C

D

图８－５

（2）求二面角B AC D

--的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

［参考答案］

１．［解析］本题相当于一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个；或者

两个正四棱锥的高均为1

2

，放入正方体后，面ABCD的面积是不固定的，其范围是

1

[,1)

2

．

［答案］()

D．

２．［解析］借助图形及面面平行的性质定理，射影的定义，面面垂直的判定可得．［答案］①③④．

３．［答案］（２）AC上存在E点，且1

CE=时符合条件．