高考理科圆锥曲线(解析打印版)
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
圆锥曲线十年高考题(带详细解析)
答案解析1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，又∵e ＝21=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，∴椭圆中心到准线距离为6.答案：C 渐近线方程为y =±b a x ，由b a ²（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.8.答案：A 将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x＝1，所以选A.9.答案：A 由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1, 10.答案：C 如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 11.答案：B 把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.12.答案：A 由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2.13.答案：D ，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sinθ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C 将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以应选C.14.答案：D 原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.15.答案：A 解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A.16.答案：23因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|²|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b17.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 18.答案：1625)2(22y x +- =1由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3 ∵长轴长为10，∴2a =10，∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 19答案：（±7，0）由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2m x ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 20.答案：（2，1）抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1）21.答案：－1椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k -5，b 2=1又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－122答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1 23.答案：516设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ）a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2 m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516 24.答案：16922y x -=1由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 25.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .26解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=a b 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .27.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2³59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 图8—18④⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9³4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 28.解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2即|PF 1|2＝（6－|PF 1|）2＋20， 得|PF 1|＝314，|PF 2|＝34，故27||||21=PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋（6－|PF 1|）2，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故||||21PF PF ＝2.29.证法一：依题设得椭圆的半焦距c =1，右焦点为F （1，0），右准线方程为x =2，点E 的坐标为（2，0），EF 的中点为N （23，0）. 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1），∴AC 中点为N （23，0），即AC 过EF 中点N .若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为y =k （x －1），k ≠0.记A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则（2，y 2）且x 1，x 2满足二次方程22x +k 2（x －1）2=1，即（1+2k 2）x 2－4k 2x +2（k 2－1）=0∴2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+. 又x 12=2－2y 12＜2，得x 1－23≠0，故直线AN 、CN 的斜率分别为 )1(2232,32)1(22322211111-=-=--=-=x k yk x x k x y k .∴k 1－k 2=2k ²32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（x 1－1）－（x 2－1）（2x 1－3）=3（x 1+x 2）－2x 1x 2－4 =2211k+［12k 2－4（k 2－1）－4（1+2k 2）］=0， ∴k 1－k 2=0，即k 1=k 2.故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N .30.解：设椭圆C 的方程为12222=+b y a x ，由题意a =3，c =22，于是b =1.∴椭圆C 的方程为92x ＋y 2＝1．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．图8—22。
专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录 专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高考数学理试题分类圆锥曲线(含答案及解析)
高考数学试题分类汇编：圆锥曲线（理科）一、选择题1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段上的点，且PM =2MF ,则直线的斜率的最大值为（A （B ）23（C ）2 （D ）1【答案】C2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D3、（2016年全国I 高考）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1) （C ）(0,3) （D ）(0)【答案】A4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知，C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B5、（2016年全国高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2 【答案】A6、（2016年全国高考）圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A7、（2016年全国高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线经过的中 点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8、（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形的边，所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形的边长为2，则a =. 【答案】22、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形的四个顶点在E 上，，的中点为E 的两个焦点，且23，则E 的离心率是. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离【答案】54、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是． 【答案】9三、解答题1、（2016年北京高考） 已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=.⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段的中点为D ，直线与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－．所以点M 在定直线41=y －上．（）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
押新高考第21题 圆锥曲线(新高考)(解析版)
圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值. 【详解】（1）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()20A ，，所以2a =， 32c ca ==，所以3c =222431b ac =-=-=， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2580x x ，解得128,05x x ==，所以118583155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，或110011x y =⎧⎨=-=-⎩，可得83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1Q -，或者83,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1P -，所以()834312,02,155555AP AQ ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+， 所以(2)log 245a f -=-=-， 有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-， 因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-， 所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+. 当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN = 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c =6c e a =，所以3a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:2MN y k x =即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>2211k k =+，解得1k =±，联立(22213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122343x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =++-⋅所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=++-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22241k k =+3 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:2MN y x =或2y x =-+所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =. （2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故21111+1+1+444R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-， 同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-， 令21s t =-，则12s t +=且0s ≠， 故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩， 解得73n ≤--7431n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为743n ≤--731n -+<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-． 因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-． 同理3112Q m y k +=-． 由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-． 因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得73m ≤--731m -+≤<或1m．故直线l 在x 轴上的截距的范围为(,743)[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-． 所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--． 设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-， 则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）． 所以(,1483][1483,)m ∈-∞-++∞． 因此直线l 在x 轴上的截距为(,743][743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤， 综上，31k -≤<-或13k <≤.1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.【解析】(1)根据题目列方程2222226a b c c a a b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 解得24a =，22b =， 所以椭圆的方程为22142x y +=. (2)由已知得12=-AH k ，所以，直线AH 的方程为()122y x =--，所以，S 点的坐标为()0,1.当直线l 的斜率不存在时，21=-ASM S △，213+=HSN S △， 或21=+ASM S △，213-=HSN S △都与已知不符； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212420k x kx ++-=， 122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， 1sin 2=⋅∠ASM S AS MS ASM △，1sin 2=⋅∠HSN S HS NS HSN △， 由△ASM 的面积是△HSN 面积的32可得23=ASM HSN S S △△化简23⋅=⋅AS MS HS NS ，即23=AS NSHS MS， 又3==-A HAS xHS x ，所以，2=NS MS ，即212=-x x ，也就是212x x =-， 所以，12412--=+k x k ，12412=+k x k ，22812-=+k x k ，()2122223221212k x x k k --==++， 解得，2114k =，所以，直线方程为14114=±+y x .2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，22.过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 由题意知：2c e a ==，即2a c =； 当A 为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b ，则()2,AF b c =-，(),2AP b =-，2223AF AP b c ∴⋅=+=，又22222a b c c =+=，22∴=b c ，即223c c +=，解得：1c =，2a ∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；(2)设():2l y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k +-+-=， ()()42264421820k k k ∆=-+->，22k ⎛∴∈ ⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，()()()42222121212224821221k k x x x x x x k -+∴+=+-=+，()11,0F -，()()2222221111111111112222F A x y x x x x ∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++， ()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++， 又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，即()()22211430k k -+=，解得：2k =，222k ⎛∈- ⎝⎭，∴不存在直线l 符合题意. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且1222AF F S =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程. 【解析】 (1)由题直线l 斜率存在且不为0，设:l x my c =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22221x my cx ya b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222221210m mc c y y ab a a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 则2222122122222222214,511mc c a a y y y y y y m m a b a b -+=-==-=++，消去2y ，得2222454a m c b =-，不妨设0m >，则()()122121212215452226AF F c y y y y c y y cSy +--====，整理可得64272176136330e e e -+-=，解得212e =3537-3537+（舍）. (2)由题知22:142x y C +=， 若1l 斜率不存在，则与C 无交点，不合题意； 若1l 斜率存在，设1:(4)1l y k x =-+，与22142x y +=联立， 得()()222221416321620k x k k x k k ++-+--=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122216432162,2121k k k k x x x x k k ---+==++，由()2Δ812810k k =-++>得2727k -+∈⎝⎭，设()00,T x y ，由题120111444x x x +=---，即()1212120811644x x x x x x x --=+-+-， 则可得07424x k -=+， 若07424x k -=+，则008954,2424k k x y k k +-+==++，消去k 得0042110x y +-=，若07424x k --=+，则0082394,2424k k x y k k ++==++，消去k 得0042250x y +-=， 综上，T 的轨迹方程为42110x y +-=或42250x y +-=.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3M ⎛ ⎝⎭，且焦距1223F F =,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,s t =≠,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ． 【解析】(1)由已知，3c =3M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=，又因为222a c b -=，所以 224,1a b ==，所以椭圆的方程为：224,1a b ==.(2)选①，则()()(1,),2,0,2,0N t A B -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， ,,12312NA NB t t t k k t ====-+-所以()():2,:2,3NA NB tl y x l y t x =+=-- ()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2222941616360t x t x t +++-=， ()()42222564941636360t t t ∆=-+-=>所以221636294P t x t --=+，所以2281894Pt x t -+=+，则21294P t y t =+，所以22281812,9494t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222214161640t x t x t +-+-=， ()()422256414164160t t t ∆=-+-=>，所以22164214Q t x t -=+，所以228214Qt x t -=+，则2414Q t y t =+，所以 222824,1414t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以322224222124322429414818823664349414PQt tt t t t t k t t t t t t ---++===-+--+-++，所以直线PQ 的方程为：22224282143414t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+++⎝⎭， 所以()()43216832162830y x t yt x t y +-++-+=，所以0,4y x ==，故直线PQ 恒过定点()4,0.选②，则()()(,2),0,1,0,1N s C D -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， 211213,,NC ND k k s s s s -+====所以13:1,:1,NC ND l y x l y x s s=+=- 221114y x s x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()22224240s y s y s +++-=， ()()4224444640s s s ∆=-+-=>所以2244P s y s -=+，所以284P s x s -=+， 所以22284,44s s P s s ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 同理：223636Q s y s -=+，所以22436Q s x s =+，所以2222436,3636s s Q s s ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()()()2222222222364121212364248161612364PQs s s s s s s k s s s s s s s ---+⋅--++===-+-++所以直线PQ 的方程为：22224128+4164s s s y x s s s --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令0x =，则()()2222212+2841=22424s s s y s s --+==++ 故直线PQ 恒过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由． 【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-， 易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--， 可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下： 取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ， 由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ， 所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ， 又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线， 即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .【详解】（1）由圆()22116x y -+=，可得圆心()1,0C ，半径4r =，因为24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =， 所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设直线GH 的方程为4x my =+，()11,G x y ，()22,H x y ，()2,0A -，()2,0B ，将4x my =+代入22143x y +=，得()223424360m y my +++=，1222434my y m -+=+，1223634y y m =+， 直线AG 的方程为11(2)2y yxx ，令1x =得1132y y x =+，即1131,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，NH 的直线方程为121121323(1)12y y x y y x x x -+=-+-+， 2x =代入得()()()()121211211212133231231212y y y y x y x x y y x x x x --++-+=+=-+-+ 12112213(6)3(3)(1)(2)y y my y my x x -++--=-+12122146()(1)(2)my y y y x x ++=-+222136244634340(1)(2)mm m m x x -⨯+⨯++==-+，所以直线NH 过定点(2,0)B ．2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 【详解】(1)依题意有2111||42GO GO GO GP O P +=+==，所以G 点轨迹是以1O ，2O 为焦点的椭圆，长轴长242a =，焦距24c =，故点G 的轨迹C 方程为22184x y +=；(2)设存在直线l 满足2MD MA MB =⋅，因为()()22AM BM AO OMBO OM AO OM ⋅=+-=-，222MD AO OM =-，设l 方程为2x my =+，()11,D x y ，()22,E x y ，222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)440m y my ++-=，12242m y y m -+=+，12242y y m -=+． 22221222241642(1)11()222m m DE m y mm m m -+=+-=++=+++，222(1)m MD += 121228()42x x m y y m +=++=+，∴2242(,)22m M m m -++，2OM m k =-，224m OM +=，AB 方程为2m y x =-，设()00,A x y ，()00,B x y --，由222184m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22162x m =+， ∴22222000224(1)42m m OA x y x m +=+=+⋅=+∴2222222228(1)4(4)4(4)(2)2(2)m m m m m m +++=-+++，解得：22m =或21m =-(舍)，2m =±，故存在符合条件的直线l ，其方程为220x y +-=或220x --=．3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=， 所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-，所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭． ()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--， 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设02,3D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得0002022122433142223419DA DB y y k k a a a y y ab ⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎩， 2214b a ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点()0,0T x ，由题意得TP BQ ⊥，由（1）得()2,0B ，设2,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,Q x y ，由题意可设直线AP 的方程为2x my =-， 由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22440m y my +-=，1244m y m ∴=+或10y =(舍去)，212284m x m -=+， 223mt =-，83t m∴=， TP BQ ⊥，()0112203TP BQ x x ty ⎛⎫∴⋅=--+= ⎪⎝⎭， 210212284403233416ty m m x x m m +∴=+=+⋅⋅=-+-， ∴直线PM 过定点()0,0T ，∴存在定点()1,0N ，使得1MN =.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=- 又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A N A N A NB M A N y y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.。
高考数学圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题(解析版)
圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经过仿射变换x′=xy′=a b y，则椭圆变为了圆x 2+y′2=a2，并且变换过程有如下对应关系：(1)点P x0,y0变为P′x0,a b y0；(2)直线斜率k变为k′=a b k，对应直线的斜率比不变；(3)图形面积S变为S′=a b S，对应图形面积比不变；(4)点、线、面位置不变(平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等)；(5)弦长关系满足A′B′AB=1+k′21+k2，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程x2a2+y2b2=1a>b>0x 2+y′2=a2横坐标x x纵坐标y y =ab y斜率k=ΔyΔx k =ΔyΔx =abΔyΔx=ab k面积S=12Δx⋅Δy S =12Δx ⋅Δy =ab S弦长l=1+k2Δxl =1+k 2Δx =1+a2b2k2Δx=1+a2b2k21+k2l不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、非对称韦达问题在一元二次方程ax 2+bx +c =0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x 1,x 2，则有根与系数关系：x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a ，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理x 1-x 2 ,x 21+x 22,1x 1+1x 2之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x 1,x 2的不同系数的代数式的应算，比如求x 1x 2,3x 1x 2+2x 1-x 22x 1x 2-x 1+x 2或λx 1+μx 2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如x 1+2x 2,λx 1y 2+μx 2y 1,x 1x 2或3x 1x 2+2x 1-x 22x 1x 2-x 1+x 2之类中x 1,x 2的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1.椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)．【引理1】若点A ,B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到A ,B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 和直线L 的交点．【引理2】若点A ,B 在直线L 的两侧，且点A ,B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点A ,B 距离之差最大的点，即PA -PB 最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 的延长线和直线L 的交点．【引理3】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1,F 2分别是其左、右焦点，若点D 在椭圆外，则DF 1+DF 2>2a ．2.双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点(如图)．【引理4】若点A ,B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到A ,B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 和直线L 的交点．【引理5】若点A ,B 在直线L 的两侧，且点A ,B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点A ,B 距离之差最大的点，即PA -PB 最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A 与点B 连线A B 的延长线和直线L 的交点．【引理6】设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，F 1,F 2分别是其左、右焦点，若点D 在双曲线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF 1-DF 2<2a ．3.抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行(或重合)．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线C :x 2=2py p >0 ，F 0,p2为其焦点，j 是过抛物线上一点D x 0,y 0 的切线，A ,B 是直线j 上的两点(不同于点D )，直线DC 平行于y 轴．求证：∠FDA =∠CDB ．(入射角等于反射角)【结论2】已知：如图，抛物线C :y 2=2px p >0 ，F 是抛物线的焦点，入射光线从F 点发出射到抛物线上的点M ，求证：反射光线平行于x 轴．【典例例题】题型一：仿射变换问题例1.(2022·全国·高三专题练习)MN 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P 是MN 的中点，则k MN ⋅k OP =_________，A ，B 是该椭圆的左右顶点，Q 是椭圆上不与A ，B 重合的点，则k AQ ⋅k BQ =_________．CD 是该椭圆过原点O 的一条弦，直线CQ ，DQ 斜率均存在，则k CQ ⋅k DQ =_________．【答案】 -b 2a 2 -b 2a 2 -b 2a 2【解析】作变换x ′=xy ′=a by，那么椭圆变为圆，方程为：x 2+y 2=a 2，P ′是M ′N ′中点，那么k M ′N ′⋅k OP ′=-1，∴k MN ⋅k OP =b a k M ′N ′ ⋅b a k OP ′ =b 2a 2k M ′N ′⋅k OP ′=-b 2a 2，A ′B ′是圆的左右顶点即直径，那么A ′Q '⊥B ′Q ′⇒k A ′Q '⋅k B ′Q ′=-1，∴k AQ ⋅k BQ =b a k A ′Q ′ ⋅bak B ′Q ′ =b 2a 2k A ′Q ′⋅k B ′Q ′=-b 2a2，C ′D ′是过圆心O 的一条弦即直径，那么C ′Q '⊥D ′Q '⇒k C ′Q ′⋅k D ′Q ′=-1，∴k CQ ⋅k DQ =b a k C ′Q ′ ⋅b a k D ′Q ′ =b 2a 2k C ′Q ′⋅k D ′Q ′=-b 2a2．例2.(2022·全国·高三专题练习)如图，作斜率为12的直线l 与椭圆x 24+y 2=1交于P ,Q 两点，且M 2,22 在直线l 的上方，则△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．【答案】x =2【解析】如图，作仿射变换：x =2xy =y ，椭圆变为x 2+y 2=1，直线PQ 的斜率12变为直线P Q 的斜率1，M 2,22 变为M22,22 ∴kONk PQ=-1,∴O N ⊥P Q ，由垂径定理M N 平分∠P M Q ，其方程为x =1，∴MN 平分∠PMQ ，∴△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为x =2．故答案为：x =2例3.(2022·全国·高三专题练习)Р是椭圆x 24+y 23=1上任意一点，O 为坐标原点，PO =2OQ ，过点Q 的直线交椭圆于A ，B 两点，并且QA =QB ，则△PAB 面积为______________．【答案】92【解析】作变换x '=xy '=32y之后椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=4，∵P 'O =2OQ 'A 'Q '=B 'Q ' ,∴O 是△P ′A ′B ′的重心，又O 是△P ′A ′B ′的外心∴△P ′A ′B ′′是等边三角形，∴S △P ′A ′B ′=343R 2=33．∴S △PAB =32S △P 'A 'B '=92故答案为：92变式1.(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 与椭圆x 24+y 22=1交于M ，N 两点，当k OM ⋅k ON =______，△MON 面积最大，并且最大值为______.记M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，当△MON 面积最大时，x 21+x 22=_____﹐y 21+y 22=_______.Р是椭圆上一点，OP =λOM +μON ，当△MON 面积最大时，λ2+μ2=______.【答案】 -122 4 2 1【解析】作变换x '=xy '=2x此时椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=4，当OM ′⊥ON ′时，S △M ′ON ′=12OM ′ ON ′ sin ∠M ′ON ′最大，并且最大为12×22=2，此时k OM ⋅k ON =12k OM ′ ⋅12k ON ′ =12k OM ′⋅k ON ′=-12，S △MON =12S △M ′ON ′=2.由于OM ′⊥ON ′，OM '=ON ',∴x 1'=y 2'y 1'=x 2' ，∴x 21+x 22=x ′21+x ′22=x ′21+y ′21=4，y 21+y 22=y ′12 2+y ′22 2=y ′21+y ′222=x ′22+y ′222=2，因为OP =λOM +μON ，所以OP 2=λ2OM 2+μ2ON 2+2λμOM ⋅ON∴4=4λ2+μ2 ,∴λ2+μ2=1.故答案为：-12；2；4；2；1.变式2.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 22+y 2=1左顶点为A ，P ,Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP ,OQ 的斜率分别为k 1,k 2且k 1k 2=-12，AD=λDF ,AE =μEQ(λ,μ是非零实数)，求λ2+μ2=______________.【答案】1【解析】解法1：可得点A -2,0 ，设P x 1,y 1 ,D x 0,y 0 ，则y 1=k 1x 1,y 0=k 2x 0，由AD =λDP 可得x 0+2=λx 1-x 0 ,y 0=λy 1-y 0 ，即有x 0=λx 1-21+λ,y 1=1+λλy 0，∵k 1x 1=y 1，∴1+λλy 0=1+λλk 2x 0=k 2x 1-2λ ，两边同乘以k 1，可得k 21x 1=k 1k 2x 1-2λ=-12x 1-2λ ，解得x 1=2λ1+2k 21 ,y 1=2λ1+2k 21k 1，将P x 1,y 1 代入椭圆方程可得λ2=11+2k 21，由AE =μEQ 可得μ2=11+2k 22=2k 1+2k 21，可得λ2+μ2=1；故答案为：1．解法2：作变换x '=xy '=2y之后椭圆变为圆，方程为x ′2+y ′2=2，k QP ′⋅k OQ ′=2k OP ⋅2k OQ =2k OP ⋅k OQ =-1⇒OP ′⊥OQ ′，设∠P ′A ′O =α,∠Q ′A ′O =β，则α+β=∠P ′A ′Q ′=12∠P ′A ′Q ′=π4，D ′P ′=R cos α,E ′Q ′=Rcos β,A ′P ′=2R cos α,A ′Q ′=2R cos β，∴λ=AD DP =A ′D ′D ′P ′=A ′P ′-D ′P ′D ′P ′=2cos 2α-1=cos2α，μ=AE EQ =A ′E ′E ′Q ′=A ′Q ′-E ′Q ′E ′Q ′=2cos 2β-1=cos2β，∴λ2+μ2=cos 22α+cos 2β=cos 22α+cos 2π2-2α =cos 22α+sin 22α=1.故答案为：1．题型二：非对称韦达问题例4.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且ΔF 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：PF 2PN是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：c a =224a =42，a =2，c =1，则b =1，所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(ⅰ)由(1)知A 1-2,0 ，A 22,0 ，F 21,0 ，设直线PQ 的方程是x =my +1，代入椭圆方程得：m 2+2 y 2+2my -1=0，易知Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+8>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1>y 2，则y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+1y 2-y 1=-y 1+y 2 2-4y 1y 2=-22m 2+2m 2+2，直线A1P的方程是：y=y1x1+2x+2①，直线A2P的方程是：y=y2x2-2x-2②，设M x,y，既满足①也满足②，则x=2⋅x2y1+x1y2+2y2-y1x1y2-x2y1+2y2+y1=2⋅2my1y2+y1+y2+2y2-y12y1+y2+y2-y1=2⋅-2mm2+2-2mm2+2-222m2+2m2+2-22mm2+2-22m2+2m2+2=2⋅4m+22⋅2m2+222m+22m2+2=2，故直线A1P与A2P交点M在一条定直线l：x=2上. (ⅱ)设N2,t，P x1,y1，x1∈-2,2，则PN=2-x1，∴PF2PN=x1-12+y212-x1=x1-12+1-x222-x1=12x1-222-x1=22.例5.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，短轴长为23．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．【解析】(1)因为椭圆的离心率12，∴ca=12，∴a=2c，又2b=23，∴b=3．因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)解法一：设直线MN:x=ty+4，M x1,y1，N x2,y2，x=ty+4x2 4+y23=1，可得3t2+4y2+24ty+36=0，所以y1+y2=-24t3t2+4y1y2=363t2+4 ．直线AM的方程：y=y1x1+2x+2①直线BN的方程：y=y2x2-2x-2②由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立①②可得x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1．因为y1+y2y1y2=-23t，所以x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1=-3y1+y2+6y2+2y13y2-y1=1所以点Q在直线x=1上．解法二：设M x1,y1，N x2,y2，Q x3,y3，x1,x2,x3两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，所以y 1x 1-4=y 2x 2-4⇒y 21x 1-4 2=y 22x 2-4 2⇒31-x 214 x 1-4 2=31-x 224x 2-4 2，整理得：2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0．又A ，M ，Q 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2①又B ，N ，Q 三点共线，有y 3x 3-2=y 2x 2-2②将①与②两式相除得：x 3+2x 3-2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 ⇒x 3+2x 3-2 2=y 22x 1+2 2y 21x 2-2 2=31-x 224 x 1+2 231-x 214x 2-2 2=x 2+2 x 1+2x 1-2 x 2-2 即x 3+2x 3-2 2=x 2+2 x 1+2x 1-2 x 2-2=x 1x 2+2x 1+x 2 +4x 1x 2-2x 1+x 2 +4，将2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0即x 1x 2=52x 1+x 2 -4=0代入得：x 3+2x 3-2 2=9解得x 3=4(舍去)或x 3=1，(因为直线BQ 与椭圆相交故x 3≠4)所以Q 在定直线x =1上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例6.(2022·全国·高三专题练习)点A ,B 是椭圆E :x 24+y 23=1的左右顶点若直线l :y =k (x -1)与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上．【解析】由题意得，A -2,0 ，B 2,0 ，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立x 24+y 23=1y =k (x -1)，化简得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，所以x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立y =y 1x 1+2x +2y =y 2x 2-2(x -2) ，即y =k (x 1-1)x 1+2x +2y =k (x 2-1)x 2-2(x -2)，解得x =2(2x 1x 2-3x 1+x 2)x 1+3x 2-4原式=22x 1x 2-3x 1+x 2 +4x 2 x 1+x 2 +2x 2-4=22⋅4k 2-123+4k 2-3⋅8k 23+4k 2+4x 2 8k 23+4k 2+2x 2-4=2-16k 2-243+4k 2+4x 2 -8k 2-123+4k 2+2x 2=4-8k 2-123+4k 2+2x 2 -8k 2-123+4k 2+2x2=4，故直线AM 与直线BN 交点在定直线x =4上．变式3.(2022·全国·高三专题练习)已知A 1、A 2分别是离心率e =22的椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1 ⋅PA 2=-1.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 过点0,-4 ，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.【解析】(1)由题意得A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，P 0,b ，则PA 1 ⋅PA 2=(-a ,-b )⋅(a ,-b )=-a 2+b 2=-c 2=-1，所以c =1，又e =c a =22a 2=b 2+c 2，所以a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l :y =kx -4，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M -x 2,y 2 ，由x 22+y 2=1y =kx -4，消去y 得1+2k 2 x 2-16kx +30=0.由Δ=(-16k )2-1201+2k 2 >0，得k 2>152，所以x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k 2.k AM =y 1-y 2x 1+x 2=kx 1-4-kx 2+4x 1+x 2=k x 1-x 2 x 1+x 2，直线AM 的方程为y -y 1=k x 1-x 2x 1+x 2x -x 1 ，即y =y 1+k x 1-x 2 x 1+x 2x -x 1 =kx 1-4+k x 1-x 2 x 1+x 2x -x 1 =kx 1-4 x 1+x 2 +k x 1-x 2 x -x 1x 1+x 2=2kx 1x 2-4x 1+x 2 +kx x 1-x 2 x 1+x 2=k x 1-x 2 x 1+x 2x +2kx 1x 2x 1+x 2-4，因为x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k2，所以2kx 1x 2x 1+x 2-4=2k 301+2k216k 1+2k2-4=-14，直线AM 的方程为可化为y =k x 1-x 2 x 1+x 2x -14，则直线AM 恒过定点0,-14.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点0,-14 ，综上知直线AM 恒过定点0,-14 .变式4.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点P 2,2 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为A ,B ，过点0,4 斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】(1)由椭圆过点P 2,2 ，且离心率为22，所以4a 2+2b 2=1c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=8b 2=4 故所求的椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)由题意得A 0,2 ，B 0,-2 ，直线MN 的方程y =kx +4，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +4x 28+y 24=1，整理得1+2k 2 x 2+16kx +24=0，∴x 1+x 2=-16k 1+2k 2，x 1x 2=241+2k 2．由求根公式可知，不妨设x 1=-8k -24k 2-61+2k 2，x 2=-8k +24k 2-61+2k 2，直线AN 的方程为y -2=y 2-2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ，联立y -2=y 2-2x 2x y +2=y 1+2x 1x，得y -2y +2=y 2-2 x 1y 1+2 x 2=kx 2+2 x 1kx 1+6 x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2代入x 1,x 2，得y -2y +2=24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2=8k -44k 2-6-24k +124k 2-6=-13，解得y =1，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线y =1上．题型三：椭圆的光学性质例7.(2022·全国·高三专题练习)如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点F 1,F 2的椭圆C 1与双曲线C 2构成，已知C 1与C 2的离心率之比为2:5.现一光线从右焦点F 2发出，依次经C 1与C 2的反射，又回到了点F 2，历时3×10-8秒.将装置中的C 2去掉，如图④，此光线从点F 2发出，经C 1两次反射后又回到了点F 2，历时___________.秒【答案】10-7【解析】设F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，光速为v ，而C 1与C 2的离心率之比为2:5，即c a 1c a 2=25，即a 2=25a 1，在图③BF 1 +BF 2 =2a 1,AF 1 -AF 2 =2a 2，两式相减得：BF 1 +BF 2 +AF 2 -AF 1 =2a 1-2a 2，即BF 2 +AB +AF 2 =2a 1-2a 2.在图④中，BF 1 +DF 1 +DF 2 +BF 2 =4a 1，设图④，光线从点F 2发出，经C 1两次反射后又回到了点F 2，历时t 秒，由题意可知：3×10-8×v =2a 1-2a 2,tv =4a 1，则3×10-8t =2a 1-2a 24a 1=310，故t =10-7(秒)，故答案为：10-7例8.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2+4y 2=4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|=1，过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |:|F 2M |=()A.2:3B.1:2C.1:3D.1:3【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线l '平分角F 1PF 2，因为S △PMF1S △PMF2=F 1M F 2M =12F 1P PMsin ∠F 1PM12F 2P PM sin ∠F 2PM =PF 1 PF 2 由PF 1 =1，PF 1 +PF 2 =4得到PF 2 =3，故F 1M : F 2M =1:3.故答案为C .例9.(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l ：x +2y -8=0与椭圆C ：x 216+y 212=1相切于点P ，椭圆C的焦点为F 1，F 2，由光学性质知直线PF 1，PF 2与l 的夹角相等，则∠F 1PF 2的角平分线所在的直线的方程为( )A.2x -y -1=0B.x -y +1=0C.2x -y +1=0D.x -y -1=0【答案】A【解析】x +2y -8=0x 216+y 212=1⇒x =2y =3 ⇒P 2,3 ，直线l 的斜率为-12，由于直线PF 1，PF 2与l 的夹角相等，则∠F 1PF 2的角平分线所在的直线的斜率为2，所以所求直线方程为y -3=2x -2 ,2x -y -1=0.故选：A 题型四：双曲线的光学性质例10.(2022·全国·高三专题练习)双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C ：x 216-y 29=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线射向C 上的点P 8,y 0 后，被C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )A.1314B.-1114C.1114D.-1314【答案】C【解析】设P (8,y 0)在第一象限，6416-y 029=1⇒y 0=33，PF 2=(8-5)2+(33)2=6PF 1=6+8=14，F 1F 2=10，cos ∠F 1PF 2=142+62-1022×14×6=1114故选：C例11.(2022·全国·高三专题练习)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2-y 2=1的左.右焦点，若从F 2发出的光线经双曲线右支上的点A x 0,1 反射后，反射光线为射线AM ，则∠F 2AM 的角平分线所在的直线的斜率为( )A.-3 B.-2 C.-1 D.-22【答案】D【解析】由已知可得A x 0,1 在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得：x 20-1=1，解得x 0=2，所以A 2,1 ，又由双曲线的方程可得a =1，b =1，所以c =2，则F 2(2,0)，所以|AF 2|=1，且点A ，F 2都在直线x =2上，又|OF 1|=|OF 2|=2，设过点A 与双曲线相切的直线方程为y =k x -2 +1，代入x 2-y 2=1所以tan ∠F 1AF 2=|F 1F 2||AF 2|=221=22，设∠F 2AM 的角平分线为AN ，则∠F 2AN =(180°-∠F 1AF 2)×12，所以直线AN 的倾斜角为90°+∠F 2AN =180°-12∠F 1AF 2，所以直线AN 的斜率为tan 180°-12∠F 1AF 2 =-tan 12∠F 1AF 2，因为tan ∠F 1AF 2=2tan 12∠F 1AF 21-tan 12∠F 1AF 2=22，解得tan 12∠F 1AF 2=22所以直线AN 的斜率为-22故选：D ．题型五：抛物线的光学性质例12.(2022·全国·高三专题练习)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43B.-43C.±43D.-169【答案】B【解析】由题意可知点A 的纵坐标为1．将y =1代入y 2=4x ，得x =14，则A 14,1 ，由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k =1-014-1=-43．故选：B ．例13.(2022·全国·高三专题练习)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A.9+10 B.9+26C.7112+26 D.8312+26【答案】B【解析】如下图所示：因为M3,1，所以y A=y M=1，所以x A=y2A4=14，所以A14,1 ，又因为F1,0，所以l AB:y-0=1-014-1x-1，即l AB:y=-43x-1，又y=-43x-1y2=4x，所以y2+3y-4=0，所以y=1或y=-4，所以y B=-4，所以x B=y2B4=4，所以B4,-4，又因为AB=AF+BF=x A+x B+p=14+4+2=254，AM=x M-x A=3-14=114，BM=4-32+-4-12=26，所以△ABM的周长为：AB+AM+BM=254+114+26=9+26，故选：B.例14.(2022·全国·高三专题练习)已知：如图，抛物线C:x2=2py p>0，F0,p 2为其焦点，j是过抛物线上一点D x0,y0的切线，A,B是直线j上的两点(不同于点D)，直线DC平行于y轴．求证：∠FDA=∠CDB．(入射角等于反射角)【解析】作抛物线的准线m:y=-p2，延长CD交m于点D x0,-p2，则DF=DD ；由C:x2=2py p>0得C:y=x22p，因此y =1p x ，当x0≠0时直线j的斜率k j=x0p，直线FD 的斜率k FD =-p2-p2x0=-px0，两条直线斜率乘积为-1，所以直线j垂直平分线段FD ，则∠FDA=∠D DA=∠CDB．当x0=0时，点D(0,0),此时直线j为x轴，结论显然成立．综上所述，结论成立．变式5.(2022·全国·高三专题练习)已知：如图，抛物线C:y2=2px p>0，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴．【解析】证明：设My202p,y0，过点M的抛物线的切线为l，且x=t y-y0+y202p，入射光线FM经抛物线壁反射后的反射光线为MN，由y2=2pxx=t y-y0+y202p得y2-2pty+2pty0-y2=0，故Δ=4p2t2-8pt+4y20=0即t=y0p，故切线l的斜率k=py0．设直线l到直线FM的角为α，直线MN到直线l的角为β，则由tanα=tanβ得k FM-k1+k FM⋅k=k-k MN1+k⋅k MN，即y 0x -p 2-py 01+y 0x -p 2⋅py 0=py 0-k MN 1+p y 0⋅k MN ，解得k MN =0,∴反射光线平行于x 轴．【过关测试】一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216+y 29=1，点A 、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从A 点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最长路程是A.20 B.18C.16D.14【答案】C【解析】由题知，椭圆长半轴长a =4依题意可知小球经两次椭圆壁反弹后回到A 点，根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a =4×4=16故选：C2.(2022·全国·高三专题练习)双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为F 1，F 2，经过F 2且与F 1F 2垂直的光线经双曲线E 反射后，与F 1F 2成45°角，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.2+1C.22D.22-1【答案】B【解析】由题意得：∠AF 1F 2=π4，则AF 2=F 1F 2=2c ，将x =c 代入到x 2a 2-y 2b2=1，y =b 2a ，即AF 2=b 2a ，故2c =b 2a ，即c 2-2ac -a 2=0，同除以a 2得：e 2-2e -1=0，解得：e =2+1或e =1-2<0(舍去)故选：B二、多选题3.(2022·全国·高三专题练习)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F 1，F 2是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点F 1的小球(小球的半径不计)，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时，小球经过的路程可以是( )A.4a B.4cC.2a +cD.2a -c【答案】ACD【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2a -c ；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2a +c ；(3)球从F 1不沿x 轴，斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点D ，经D 反弹后经过点F 1．此时小球经过的路程是CF 1 +CF 2 +DF 2 +DF 1 =4a ．综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F 1时，小球经过的路程是4a 或2a +c 或2a -c ．故选：ACD .4.(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 22=1的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在F 1P 延长线上，点Q 的坐标为33,0，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列正确的是( )A.PF 1 PF 2=2B.PF 1 +PF 2=23C.点P 到x 轴的距离为3D.∠F 2PM 的角平分线所在直线的倾斜角为150∘【答案】AD【解析】先证明结论双曲线C :x 2-y 22=1在其上一点P x 0,y 0 的切线的方程为x 0x -y 0y 2=1，由已知x 20-y 202=1，联立x 0x -y 0y 2=1x 2-y 22=1可得x 2-2x 0x +x 20=0，即x -x 0 2=0，解得x =x 0，所以，双曲线C :x 2-y 22=1在其上一点P x 0,y 0 的切线的方程为x 0x -y 0y 2=1.本题中，设点P x 0,y 0 ，则直线PQ 的方程为x 0x -y 0y2=1，将点Q 33,0代入切线方程可得x 0=3，所以P 3,2 ，即点P 到x 轴的距离为2，C 错；在双曲线C 中，a =1，b =2，则c =a 2+b 2=3，则F 1-3,0 、F 23,0 ，所以，PF 1 =23 2+22=4，PF 2 =02+22=2，所以，PF 1 PF 2=2，A 对；PF 1 =-23,-2 ，PF 2 =0,-2 ，所以，PF 1 +PF 2 =-23,-4 ，则PF 1 +PF 2=-23 2+-4 2=27，B 错；因为∠F 2PM 的角平分线交x 轴于点N ，则∠QPF 2+∠NPF 2=12∠F 1PF 2+∠F 2PM =90∘，所以，PN ⊥PQ ，∵k PQ =23-33=3，则k PN =-1k PQ =-33，故∠F 2PM 的角平分线所在直线的倾斜角为150∘，D 对.故选：AD .三、填空题5.(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x 24+y 23=1的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB 面积最大值为_______.【答案】32【解析】作变换x =xy =23y之后椭圆变为圆，方程为x 2+y 2=4，F 1,0 ，由于OF =1<22r =2，因此A B ⊥OF 时面积最大，此时S △A OB=12⋅OF ⋅A B =12×1×23=3，那么S △AOB =32S △A OB=32，故答案为：326.(2022·全国·高三专题练习)已知A ，B ，C 分别是椭圆x 24+y 23=1上的三个动点，则△ABC 面积最大值为_____________.【答案】92【解析】作变换x '=xy '=y '=23y之后椭圆变为圆，方程为x 2+y ′2=4，△A ′B ′C ′是圆的内接三角形，设△A ′B ′C ′的半径为R ，设A ,B ,C 所对应边长为a ,b ,c ，所以S △ABC=12a b sin C =12⋅2R sin A ⋅2R sin B ⋅sin C =2R 2sin A ⋅sin B ⋅sin C≤2R 2sin A +sin B +sin C 3 3，当且仅当A =B =C =π3时取等，因为y =sin x 在0,π 上为凸函数，则sin A +sin B +sin C 3≤sin A +B +C3，S △ABC=2R 2sin A +sin B +sin C 3 3≤2R 2sin A +B +C 33=2R 2sin π3 3=334R 2，当且仅当A =B =C =π3时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此S △A ′B ′C ′=334R 2=334×4=33，又因为S △ABCS △ABC=b a，∴S △ABC =b a S △A ′B ′C ′=32×33=92.故答案为：92.7.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆左右焦点，过F 1、F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M 、N 、P 、Q 四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M 、N 、P 、Q 所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.【答案】0，22【解析】作仿射变换，令x =x ,y =aby ，可得仿射坐标系x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x 2+y 2=a 2，点F 1、F 2坐标分别为(-c ,0)、(c ,0)，过F 1、F 2作两条平行的弦分别与圆交于M 、N 、P 、Q 四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q 的面积为M 、N 、P 、Q 四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q 面积的最大值在弦P Q 与x 轴垂直时取到即可.当c ∈0,22a时，三角形O P Q面积的最大值在弦P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为0，22.故答案为：0，22.8.(2022·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F 一侧做成镜面，并在F 处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),F 1,F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经椭圆上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°,tan ∠ABC =34，则该椭圆的离心率为_________．【答案】22【解析】由椭圆的光学性质可知，BC ,AD 都经过F 1，且在△ABF 1中∠BAF 1=90°，tan ∠ABF 1=34，如图，所以|AF1|=3k ,|AB |=4k ,|BF 1|=5k ，由椭圆的定义可知3k +4k +5k =4a ，即a =3k ，又|AF 1|+|AF 2|=2a ，可得|AF 2|=6k -3k =3k ，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2，所以|F 1F 2|=2c =32k ，所以e =2c 2a =32k 6k=22.故答案为：22四、解答题9.(2022·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,AF =2FB .(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程.【解析】(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意知y 1>0，y 2<0.直线l 的方程为y =3x +c ，其中c =a 2-b 2.联立y =3x +c x 2a 2+y 2b2=1得3a 2+b 2 y 2-23b 2cy -3b 4=0，解得y 1=3b 2c +2a 3a 2+b 2，y 2=3b 2c -2a3a 2+b 2.因为AF =2FB ，所以-y 1=2y 2.即-3b 2c +2a 3a 2+b 2=23b 2c -2a3a 2+b 2，得离心率e =c a =23.(2)因为|AB |=1+13|y 2-y 1|，所以23·43ab 23a 2+b 2=154.由c a =23得b =53a .所以54a =154，得a =3，b =5.椭圆C 的方程为x 29+y 25=110.(2022·全国·高三专题练习)椭圆有两个顶点A (-1,0),B (1,0),过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ,D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ．(1)当CD =322时，求直线l 的方程；(2)当P 点异于A ,B 两点时，证明：OP ⋅OQ为定值．【解析】(1)由题意，椭圆的方程为y 22+x 2=1易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为y =kx +1k ≠0,k ≠±1 ，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，由y =kx +1,y 22+x 2=1,消去y 整理得k 2+2 x 2+2kx -1=0，判别式Δ=8k 2+1 >0.由韦达定理得x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1x 2=-1k 2+2，①故CD =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅8k 2+1 k 2+2=322，解得k =±2，即直线l 的方程为y =±2x +1．(2)证明：直线AC 的斜率为k AC =y 1x 1+1，故其方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线BD 的斜率为k BD =y 2x 2-1，故其方程为y =y 2x 2-1x -1 ，由y =y 1x 1+1x +1 ,y =y 2x 2-1x -1,两式相除得x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 =kx 2+1 x 1+1 kx 1+1 x 2-1 =kx 1x 2+kx 2+x 1+1kx 1x 2-kx 1+x 2-1即x Q +1x Q -1=kx 1x 2+kx 2+x 1+1kx 1x 2-kx 1+x 2-1.由(1)知x 1=-2kk 2+2-x 2，故x Q +1x Q -1=-k k 2+2+kx 2-2k k 2+2-x 2+1-k k 2+2-k -2k k 2+2-x 2 +x 2-1=k -1 k -2 k 2+2+k -1 x 2k -2 k +1 k 2+2+k +1 x 2=k -1k +1解得x Q =-k ．易得P -1k ,0 ，故OP ⋅OQ =x P x Q =-1k⋅-k =1，所以OP ⋅OQ为定值111.(2022·全国·高三专题练习)已知A 、B 分别是椭圆x 22+y 2=1的右顶点和上顶点，C 、D 在椭圆上，且CD ⎳AB ，设直线AC 、BD 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1k 2为定值．【解析】证明：由题意得A 2,0 ，B 0,1 ，则k AB =-22，设直线CD 的方程为y =-22x +t ，设点C x 1,y 1 、D x 2,y 2 ．由y =-22x +tx 22+y 2=1，消去y 得x 2-2tx +t 2-1=0，Δ=2t 2-4t 2-1 =4-2t 2>0，可得-2<t <2，且有t ≠1，由韦达定理可得x 1+x 2=2t ，x 1x 2=t 2-1，y 1y 2=-22x 1+t -22x 2+t =12x 1x 2-22t x 1+x 2 +t 2=12t 2-1 ，∴k 1k 2=y 1x 1-2⋅y 2-1x 2=y 1y 2-y 1x 1x 2-2x 2=12t 2-12+22x 1-tt 2-1-2x 2，又由x 1+x 2=2t 得x 1=2t -x 2，代入上式得：k 1k 2=12t 2-12+222t -x 2 -t t 2-1-2x 2=12t 2-12-22x2t 2-1-2x 2=12，所以，k 1k 2为定值12.12.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，M ,N 分别为左右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ,B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ,BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k1k 2为定值．【解析】(1)当t =-33时，直线l ：x =-33y +1，令x =0，得y =3，即椭圆的上顶点为0,3 ，则b =3，又△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，a +c =3，又a 2-c 2=b 2=3，解得a =2,c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知，M -2,0 ,N 2,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，依题意，点A ，B 不在x 轴上，由x =ty +1x 24+y 23=1消去x 并整理得：3t 2+4 y 2+6ty -9=0，y 1+y 2=-6t 3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，联立直线AM 、BN 的方程得x +2x -2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2ty 1+3 y 1ty 2-1=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1，由y 1+y 2=-6t 3t 2+4得y 1=-6t3t 2+4-y 2代入上式，得x +2x -2=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=-9t 3t 2+4+3y 2-9t 3t 2+4+6t 3t 2+4+y 2=-9t 3t 2+4+3y2-3t 3t 2+4+y2=3，于是得x =4，所以直线AM ,BN 交点Q 在定直线x =4上．(3)由(2)知，k 1k 2=y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1ty 2-1 y 2ty 1+3 =ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2，由y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4得：ty 1y 2=32y 1+y 2 ，所以k 1k 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=12y 1+32y232y 1+92y 2=13为定值．13.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知x 29+y 25=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点T t ,m 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，其中m >0，y 1>0，y 2<0．(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4，求点P 的轨迹；(2)设x 1=2，x 2=13，求点T 的坐标；(3)设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．【解析】(1)设点P x ,y ，则F 2,0，B 3,0 ，A -3,0 ，由PF 2-PB 2=4，得x -2 2+y 2-x -3 2+y 2 =4，化简得x =92，故所求点P 的轨迹为直线x =92．(2)将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M 2,53 ，N 13,-209，直线MA 方程为y -053-0=x +32+3，即y =13x +1，直线MB 方程为y -0-209-0=x -313-3，即y =56x -52，联立方程组，解得x =7y =103，所以点T 的坐标为7,103．(3)点T 的坐标为9,m ，直线MA 的方程为y -0m -0=x +39+3，即y =m12x +3 ，直线MB 的方程为y -0m -0=x -39-3，即y =m6x -3 ，分别与椭圆x 29+y 25=1联立方程组，同时考虑到x 1≠-3，x 2≠-3，解得M 380-m 2 80+m 2,40m 80+m 2 、N 3m 2-20 20+m 2,-20m20+m 2，若x 1=x 2，240-3m 280+m 2=3m 2-6020+m 2且m >0,得m =210，此时直线MN 的方程为x =1，过点D 1,0 ；若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD =40m 80+m 2÷240-3m 280+m 2-1 =10m40-m 2，直线ND 的斜率k ND =-20m 20+m 2÷3m 2-6020+m 2-1 =10m40-m 2，所以k MD =k ND ,所以直线MN 过点D 1,0 ，因此直线MN 必过x 轴上一定点D 1,0 .14.(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C 0：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1:x 2+y 2=t 21，b <t 1<a ．点A 1,A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;(2)设动圆C 2:x 2+y 2=t 22与C 0相交于A /,B /,C /,D /四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A /B /C /D /的面积相等，证明：t 21+t 22为定值．【答案】(1)x 2a 2-y 2b2=1(2)证明见解析【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1)，又知A 1(-a ,0),A 2(a ,0)，则直线A 1A 的方程为y =y 1x 1+a (x +a ) ①直线A 2B 的方程为y =-y 1x 1-a(x -a ) ②由①②得y 2=-y 12x 12-a2(x 2-a 2) ③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2+y 21b 2=1，从而y 21=b 21-x 12a2代入③得x 2a 2-y 2b2=1(2)证明：设A (x 2,y 2)，由矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，得4x 1 y 1=4 x 2 y 2 故x 21y 21=x 22y 22因为点A ，A均在椭圆上，所以，b 2x 211-x 21a 2 =b 2x 221-x 22a2由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12+x 22=a 2.从而y 12+y 22=b 2因此t 12+t 22=a 2+b 2为定值考点定位：本大题主要考查椭圆、圆、直线的标准方程的求法以及直线与椭圆、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等15.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 22+y 2=1左顶点为A ，O 为原点，M ，N 是直线x =t 上的两个动点，且MO ⊥ON ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点(1)若t =-1，求ΔMON 的面积的最小值；(2)若E ，O ，D 三点共线，求实数t 的值.【解析】(1)由勾股定理、三角形面积可得：MN2=OM 2+ON 2≥2OM •ON ，MN =OM •ON ,当且仅当OM =ON 等号成立∴MN ≥2．S ΔMON =12MN •1≥12×2=1，即ΔMON 的面积的最小值为1．(2)设E 2cos θ,sin θ ，则AE 方程为：y =sin θ2cos θ+2x +2 ，则M 为t ,t +2 sin θ2cos θ+1，同理N 为t ，-t +2 sin θ21-cos θt ,-t +2 sin θ21-cos θ，∵MO ⊥ON ，∴OM •ON =t 2-t +2 22=0，得t =2±2．16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆W :x 24m +y 2m=1的长轴长为4，左、右顶点分别为A ,B ，经过点P (1,0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ,D (不与点A ,B 重合).(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)求四边形ACBD 面积的最大值；(3)若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. (结论不要求证明)【解析】(Ⅰ)由题意，得a 2=4m =4 , 解得m =1.所以椭圆W 方程为x 24+y 2=1.故a =2，b =1，c =a 2-b 2=3.所以椭圆W 的离心率e =c a =32.(Ⅱ)当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为x =1，代入椭圆W 的方程，得C 1,32 ，D 1,-32 ，又因为AB =2a =4，AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 的面积S =12AB ×CD =23.当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k x -1 k ≠0 ，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程y =k x -1 ,x 24+y 2=1,消去y ，得4k 2+1 x 2-8k 2x +4k 2-4=0. 由题意，可知Δ>0恒成立，则x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2-44k 2+1四边形ACBD 的面积S =S ΔABC +S ΔABD =12AB ×y 1+12AB × y 2 =12AB ×y 1-y 2 =2k x 1-x 2=2k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2 =8k 23k 2+1 4k 2+12， 设4k 2+1=t ，则四边形ACBD 的面积S =2-1t2-2t +3，1t ∈0,1 ，所以S =2-1t+1 2+4<23.综上，四边形ACBD 面积的最大值为23.(Ⅲ)结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为x =4.17.(2022·全国·高三专题练习)已知F 1(-3,0),F 2(3,0)分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|=2|PF 1|．(1)求椭圆C 的标准方程：(2)过点Q (-4，0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版
圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。
高考数学圆锥曲线答案及解析
1、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A 、()22,y x B 两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么AB 等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 42、已知双曲线中心在原点且一个焦点为()0,7F，直线1-=x y 与其相交与M ，N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则次双曲线的方程是（ ） A. 14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 3、抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相较于点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ） A. 4B. 33C. 34D. 84、已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线42-=x y 与C 交于A ，B 两点，则=∠AFB cos A. 54 B. 53 C. 53- D. 54-5、过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=则椭圆的离心率是（ ） A.23 B. 22 C. 32 D. 216、如果椭圆193622=+y x 的弦被点()2,4A 平分，那么这条弦所在的直线方程是___________。
7、在抛物线x y 162=内，通过点()1,2且在此点被平分的弦所在直线的方程是___________。
8、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴负半轴上，过顶点且倾角为43π的弦长为22，求抛物线的方程。
9、试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同两点关于直线m x y +=4对称。
10、设双曲线1222=-y x 上两点A 、B ，AB 中点()2,1P ， （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？11、已知抛物线()022>=p px y ，一条长为p 4的弦AB 的两个端点A 、B 在抛物线上滑动，求此动弦的中点Q 到y 轴的最小距离。
高中数学圆锥曲线专题含解析(理科专用
专题十：圆锥曲线（理科专用）考点35. 椭圆及其性质基础闯关1．（2003•北京）在同一坐标系中，方程与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，整理抛物线方程得y2=﹣x∵a＞b＞0∴﹣＜0∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．故选A【点评】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，曲线与方程的问题．考查了学生对基础知识的掌握程度．2．（2016•衡水模拟）若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．故选：B．【点评】本题考查曲线与方程，考查了三种圆锥曲线的定义，是基础题．3．（2015秋•陕西校级期末）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．故选D【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题．考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力．4．（2016春•新余期末）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件【解答】解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．【点评】本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和．5．（2016•延安校级二模）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．B．C．（0，3），（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）【解答】解：由椭圆的标准方程，得a2=10，b2=1，∴c2=a2﹣b2=10﹣1=9，则c=3，∴椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0）．故选：D．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．6．（2016•红桥区模拟）焦点在y轴上，焦距等于4，离心率等于的椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在y轴上，焦距等于4，离心率等于，可得c=2，a=2，b=2，所求的椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查计算能力．7．（2016•湖北模拟）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．8．（2015秋•嘉峪关校级期末）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意知bc=1．∴，∴．∴，故选D．【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要熟练掌握公式的灵活运用．9．（2014•鼓楼区校级二模）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【解答】解：方程x2+my2=1变为x2+=1∵焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴=2，解得m=故应填【点评】考查椭圆的性质，是一个基本题．10．（2016•湖南校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．【解答】解：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，，∴a=2c﹣b，又a2=b2+c2，∴（2c﹣b）2=b2+c2，解得：c=4．∴b=3，a=5．∴椭圆C的方程为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．11．（2016•上饶一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为．【解答】解：直线l的倾斜角为，且过椭圆的右顶点为（a，0），则直线l：y=tan（x﹣a），即有y=（x﹣a），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，则=b，即有b=a，c==a=a，则e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．12．（2014秋•烟台期末）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是x+2y﹣8=0．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．13．（2016秋•淄博校级月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【解答】解：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．【点评】本题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于基础题．14．（2016•天津）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．拓展提升1．（2013秋•潮州期末）△ABC的顶点A（﹣5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的顶点A（﹣5，0）、B（5，0），△ABC的周长为22，∴CA+CB=12＞AB=10，∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（除去三点共线情形），且a=6，c=5，∴=，∴顶点C的轨迹方程是．故选C．【点评】本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，正确运用椭圆的定义是关键．2．（2016春•南安市校级月考）如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣6 B．﹣2＜a＜3C．a＜﹣2或a＞3 D．a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3【解答】解：∵方程表示椭圆，∴，解得a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3．故选：D．【点评】本题考查实数的取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．3．（2015秋•毕节市校级期末）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的定义，4a=16，a=4，又e==，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，则椭圆的方程是故选D【点评】本题考查椭圆标准方程求解、简单几何性质．属于基础题．4．（2016•浙江）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【解答】解：∵椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，∴满足c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，则c＜m．c＞n，e1=，e2=，则e1•e2=•=，则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+ =1+＞1，∴e1e2＞1，故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．5．（2016•淮南一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力．6．（2016•海口校级模拟）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=﹣；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在x轴，y轴分类讨论是关键，考查推理运算能力，属于中档题．7．（2015秋•南充期末）椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．（2015秋•十堰校级期中）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，∴a=2c．设椭圆方程为，则解得a=2，c=，b2=6．故椭圆的方程为+=1．故选A．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键．9．（2016春•孝感期末）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是．【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故答案为：．【点评】本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a，b的值．10．（2016•福建模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y2=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为．【解答】解：如图，由抛物线E：y2=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），又Q（0，1）且QF⊥QP，∴QP所在直线斜率为1，则QP所在直线方程为y=x+1，联立，解得P（1，2），则2a==，∴a=，则e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了抛物线方程的应用，考查椭圆的定义，是中档题．11．（2016•河南模拟）在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果椭圆经过A，B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为．【解答】解：建立如图坐标系RT△ABC周长：4a，4a=1+1+=2+则a=，记AB上的另一个焦点为D，则AD=2a﹣AC=，在RT△ACD中，∠A=90°，AC=1，AD=，则2c=CD==，则c=，e==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查椭圆的定义的应用，椭圆的离心率的求法，直角三角形的应用，考查计算能力．12．（2014•沧浪区校级模拟）已知椭圆与x轴相切，左、右两个焦点分别为F1（1，1），F2（5，2），则原点O到其左准线的距离为．【解答】解：由题意，F1（1，1）关于x轴的对称点坐标为A（1，﹣1），|F1F2|==∵椭圆与x轴相切，∴切点为AF2与x轴的交点，即（，0）∴2a=|AF2|==5，∵==，∴左准线的斜率为﹣4，故设左准线的方程为y=﹣4x+b，即4x+y﹣b=0，∴由第二定义可得=，∴b=1或b=（舍去），∴左准线的方程4x+y﹣1=0，∴原点O到其左准线的距离为=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，有难度．13．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．14．（2016•常德一模）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…（3分）又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（5分）（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…（6分）即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…（7分）将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…（12分）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．考点36. 双曲线及其性质基础闯关1．（2015秋•大连校级期中）平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M 的轨迹（）A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线【解答】解：根据双曲线的定义，|MF1|﹣|MF2|=±4，且|F1F2|=6＞4，∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，是基础题目．2．（2014•大连二模）如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2）【解答】解：由题意知（2+m）（1+m）＜0，解得﹣1＜m＜﹣1．故λ的范围是（﹣2，﹣1）．故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题；解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．3．（2016•江门模拟）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=【解答】解：由题意，设双曲线方程为﹣=1（a＞0），则c=a，渐近线y=x，∴=，∴a2=2．∴双曲线方程为x2﹣y2=2．故选B【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．4．（2016•金凤区校级四模）在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，∴设双曲线C的标准方程为x2﹣=λ，λ≠0，把P（1，1）代入，得：1﹣=λ，解得λ=，∴双曲线C的方程为=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．5．（2016春•唐山校级期末）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（2016•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c=，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．7．（2016•岳阳二模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（2014•安徽模拟）点P为双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意：PF1⊥PF2，且2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°．设|PF2|=m，则|PF1|=m，|F1F2|=2m．e===+1．故选C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．9．（2012春•雅安期末）已知B（﹣5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且，则顶点A的轨迹方程是．【解答】解：∵，∴∵B（﹣5，0），C（5，0）∴AC﹣AB=6＜BC∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支，方程为故答案为：【点评】本题考查正弦定理，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（2016•潮南区模拟）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．【解答】解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，∴c==5，且=因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：【点评】本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．11．（2016•丹东一模）如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c= a∴=故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．12．（2013秋•沅江市校级期末）点P在双曲线x2﹣y2=1上运动，O为坐标原点，线段PO中点M的轨迹方程是4x2﹣4y2=1．【解答】解：设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程得4x2﹣4y2=1，即为所求．∴点M的轨迹方程4x2﹣4y2=1．故答案为：4x2﹣4y2=1．【点评】本题考查双曲线的方程，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（2016春•内江期末）（1）若双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），求实数m的取值范围；（2）若方程﹣=1表示椭圆，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）双曲线﹣=1的a=，b=，c==，可得e==，由1＜＜2，解得0＜m＜15．则m的取值范围是（0，15）；（2）方程﹣=1表示椭圆，即有方程为+=1，可得2t＞0，1﹣t＞0，且2t≠1﹣t，即0＜t＜1，且t≠，则实数t的取值范围为（0，）∪（，1）．【点评】本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查运算能力，属于基础题．14．（2016春•荆州校级月考）（1）求焦点在x轴上，且经过点（﹣5，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线上两点P1，P2的坐标分别为，求双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意设双曲线方程为，把点（﹣5，2）代入可得，解得a2=5，∴双曲线方程为；（2）设所求双曲线方程为：mx2﹣ny2=1，（mn＞0），∵点在双曲线上，∴，解得，故所求双曲线方程为．【点评】本题考查利用待定系数法求双曲线的方程，考查学生的计算能力，是基础题．拓展提升1．（2015秋•长沙校级期中）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．.线段D．圆【解答】解：∵声速为340 m/s，以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系；设炮弹爆炸点的轨迹上的点P（x，y），由题意可得|PA|﹣|PB|=680＜|AB|，∴点P（x，y）所在的轨迹为双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016•大庆一模）双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．3．（2016•温州一模）如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±C．y=± D．y=±【解答】解：由题意，（）•=0，∴|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，∴由余弦定理可得=，∴c=a，∴b=a，∴双曲线C的渐近线方程为y=x．故选：B．【点评】本题考查双曲线C的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a，b的关系是关键．4．（2016•洛阳校级模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：如图所示，右焦点F（c，0）与右顶点A（a，0）的中点M即（b，0）．∵交点M到渐近线的距离为，∴．联立，解得a2=9，b2=16，c=5．因此双曲线的方程为：．故选：C．【点评】本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、双曲线的标准方程及其性质，属于中档题．5．（2016春•黔南州期末）已知F1、F2分别是双曲线的左右焦点，A为双曲线的右顶点，线段AF2的垂直平分线交双曲线与P，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1、F2分别是双曲线的左右焦点，A为双曲线的右顶点，且|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵线段AF2的垂直平分线交双曲线于P，∴P点横坐标x P=，设线段AF2的垂直平分线交x轴于B，则|F1B|=，|BF2|=，∴（3a）2﹣（）2=a2﹣（）2，整理，得当8a2﹣2c2﹣2ac=0，∴e2+e﹣4=0，解得e=，或e=（舍）．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，注意勾股定理的合理运用．6．（2016•天津）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A． B． C．24 D．48【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．8．（2014•博白县模拟）双曲线，（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|﹣|PF2|=2①|PF1|+|PF2|=2②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=﹣，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选B【点评】本题考查双曲线的应用，通过设出双曲线的焦点，建立等式，并求解，本题考查了学生对双曲线知识的熟练灵活应用，属于中档题．9．（2016•梅州二模）在平面直角系xOy中，已知中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=的双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点F重合，则双曲线C的方程为．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点F（5，0），∵离心率e=的双曲线C的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点F重合，∴c=5，a=4，∴b=3，∴双曲线C的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定基本量是关键．10．（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD 的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．11．（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=2．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，即a=b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：2【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．12．（2015•普陀区三模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．13．（2016•江西模拟）设双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（Ⅲ）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且•=0．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵e=2，∴c2=4a2∵c2=a2+3，∴a=1，c=2，∴双曲线方程为，渐近线方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），∵2|AB|=5|F1F2|∴，∴，∵，，2x=x1+x2，2y=y1+y2∴，，∴，∴，即，则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆．（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l．设l：y=k（x﹣1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），∵•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，∴，∵，∴，∴k2+3=0∴k不存在，即不存在满足条件的直线l．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式和两点的距离公式以及联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，属于中档题．14．（2016•四川模拟）已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的性质，考查直线的存在性问题的解法，注意运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．考点37. 抛物线及其性质基础闯关1．（2016•海南校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是（）A．y2=12x B．y2=﹣12x C．x2=﹣12y D．x2=12y【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y=﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2=12y．故选D．【点评】掌握抛物线的定义是解题的关键．2．（2014秋•延边州校级期末）AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4，∴=，故选C【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．3．（2016春•孝感期中）焦点是F（0，1）的抛物线的标准方程是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣4y D．y2=﹣4x【解答】解：焦点是F（0，1）的抛物线的标准方程是x2=4y．故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．4．（2015•德阳模拟）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）A．y2=﹣2x B．y2=2x C．y=x2D．y=﹣x2【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故选：B．。
15圆锥曲线选填题(解析版)
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
2．(2021年高考全国乙卷理科)设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的方法，如 时，抛物线焦点为 ，椭圆焦点为 ，排除A，同样可排除B，C，故选D．
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2012高考理科圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.233 B 。
62C.2D. 32.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 454.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、255.【2012高考真题山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考真题福建理8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A.5 B. 42 C.3 D.58.【2012高考真题安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 22()B 2 ()C322()D 22 9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)4511.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为二、填空题12.【2012高考真题湖北理14】如图，双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则（Ⅰ）双曲线的离心率e = ； （Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = . 13.【2012高考真题四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
14.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.15.【2012高考真题重庆理14】过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .16.【2012高考真题辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。
17.【2012高考真题江西理13】椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m的值为 ▲ ．三、解答题19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若126AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。
点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。
(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠。
若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：2212t t +为定值。
22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）24.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程 26.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分)如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。
27.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.yxB A OM28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆E ：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 29.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ． （1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥； （3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.30.【2012高考真题陕西理19】本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。