2019年中国东南地区数学奥林匹克试题(高一高二组)
历届东南数学奥林匹克试题
目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。
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a
单独考虑左边, 左边可以看成是一个 a 的函数, b 为参数, 那么关于 a 取最
小值的时候有
Å
ã
Ç…
å
ab + (1 + b2) + b (b + 1) ≥ 2 ab · b + (1 + b2) (b + 1) = (b + 1)3
a
a
于是我们只需要取 k ≤ (b + 1)3b−2 即可.
设
值得一说的是, 在这个题目中, 对于任何整数 n, 我们可以定义一个新的 函数 fn(a) = f (an), 那么 fn(ab) = f (abn) 要整除 max{ f (an), b} = max{ fn(a), b}. 也就是说 fn 也是一个满足相同性质的函数, 那么实际上, 我们可以证明对任 意一个 k 满足 f (k) = 1, 那么 {mk}∞m=1 中有无限多个 m 满足 f (mk) = 1. 更复 杂的话, 有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个 f (k) = 1 的解的密度.
评析 3. 欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式, 在证明某一类数字有无限多个的时候, 通过反证假设这一类数字只有有限 个, 不妨设为 k1 < k2 < . . . < kn, 套路上我们可以考虑 kn, kn + 1, k1k2 . . . kn, k1k2 . . . kn + 1, [k1, k2, . . . , kn] 等数字来找到矛盾, 本题也是如此.
22 2 2
22
Å
b b ã1/3
Å ab ab
ã1/3
Å bb
ã1/3
≥3 a· ·
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析
1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥．2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠．证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等．3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){}max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论．4．将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示．现有一个固定放置的918⨯方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由．6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值．7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上．8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +−−=++．（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <．第十六届中国东南地区数学奥林匹克参考答案1．原不等式()()2221(1)a b b a b b kab ⇔++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ⎛⎫⇔++++≥ ⎪⎝⎭ 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ⎛⎫⎛⎫++++≥++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是我们只需要取32(1)k b b −≤+即可．设32(1)()b f b b +=，那么23(1)(2)()b b f b b+−'=，演算可知2b =是f 的极小值点，那么min 27(2)4f f ==，即max 274k =，取极值时有1a =，2b =． 评析1．不等号的左边和右边都不对称，但是右边只是一个2kab ，所以可以考虑一下类似于分离变量的方法把a 或2b 挪到左边去．本答案用的是把a 挪到左边的方法．把2b 挪到左边也有类似的做法，但是会变得比较复杂，有兴趣的同学不妨一试．该题做法非常多，本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法，但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话，纯粹不等式的方法也是可行的．比如， ()(1)(1)11222222b b ab ab b b a b ab b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1/31/31/333131222222b b ab ab b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2274ab = 2．如图．记G 为CF ，DE 的交点，ALM ∆和BKN ∆的外接圆圆心为A O ，B O ．取两圆切线上任意一点为1H ，切线另一边的任意一点为2H ，连接CD ．LN ，AB ，MK ，EF ，A B O O ，由于180DCA DBA FBA FEA ∠+∠=∠+∠=︒，我们有180DCA FEA ∠+∠=︒，即//CD EF ．另外，由圆幂定理我们有~GLN GEF ∆∆，~GKM GDC ∆∆，于是我们有GLN GDC GEF GKM ∠=∠=∠=∠，即//LN MK ．另一方面，那么因为//CD EF ，我们有180180180LGM CDG EFG CAM EAL LAM ∠=∠+∠=−∠+−∠=−∠︒︒︒，即G 在A O 上．同理G 在B O 上．由于A O 与B O 相切，我们知道G 在A B O O 上．那这个时候G 在LK ，MN ，A B O O 上，我们知道12GKN NGH MGH GLM ∠=∠=∠=∠，故//LM KN ．由于//LM KN ，我们知道LMKN 是一个平行四边形，那么LGM KGN ∆≅∆，那么两个三角形的外接圆半径相等，ALM ∆和BKN ∆的外接圆半径相等．评析2．熟悉平面几何的同学应该很快就可以凭经验知道//CD EF ，//LN MK ，且G 在这两个外接圆上．余下的部分，观察题图可以猜测//LM NK ，如果有这一条的话我们很容易推出两个外接圆的半径相等，剩下就是一些比较角度的工作．总体来说本题偏简单题．3．一定存在无穷多个这样的k ，使得()1f k =．若不然，假设只有有限多个k 使得()1f k =，我们分两种情况讨论．若这样的k 不止一个，那我们可以取到最大的一个，还是记为k ，那么对任意n k >，我们有()1f n >．对任意一个素数p ，由于pk k >，我们有()1f pk >．但是由于()f pk 整除max{(),}max{1,}f k p p p ==．我们知道()f pk p =．对任意两个素数p ，q ，不妨p q ≤，那么()f pqk 整除max{(),}max ,}f pk q p q q ==．那么我们现在亏虑三个素数p ，q ，r 满足p q r ≤≤，但是pq r >（比如，2p =，3q =，5r =）．那么一方面，()f pqrk 整除max{(),}max{,}f rk pq r pq pq ==．另一方面，()f pqrk 整除max{(),}max{,}f pqk r q r r ==．但是(,)1pq r =，所以()|1f pqrk 即()1f pqrk =．但是pqrk k >，矛盾．所以一定存在无穷多个k ，使得()1f k =．评析3．欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式，在证明某一类数字有无限多个的时候，通过反证假设这一类数字只有有限个，不妨设为12n k k k ⋅<<，套路上我们可以考虑n k ，1n k +，12n k k k ，121n k k k +．[]12,,,n k k k 等数字来找到矛盾，本题也是如此．值得一说的是，在这个题目中，对于任何整数n ，我们可以定义一个新的函数()()n f a f an =，那么()()n f ab f abn =要整除{}max{(),}max (),n f an b f a b =．也就是说n f 也是一个满足相同性质的函数．那么实际上，我们可以证明对任意一个k 满足()1f k =．那么1{}m mk ∞=中有无限多个m 满足()1f mk =．更复杂的话，有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个()1f k =的解的密度．4．首先显然，一个92⨯的格子里面放置两面旌旗一共有两种方法，如下图：或那么918⨯的格子中可以放入9个92⨯的格子，所以每个92⨯的格子里有两种可能，一共92512=种放法．下面证明没有别的放法．首先我们考察918⨯的侧边，即变成为9这条边．若我们用18面旌旗把这些格子填满了，那么我们考察这条边上放的旌旗．旌旗的几条边长为5，4，2，1．若旌旗边长为1的边靠着底边，那么1的左右某一边的格子只能用另一面旌旗的边长为5的边来填，如图：那么这条边上剩下三个格子，无法用2和1来填满（因为1需要伴随5）．若旌旗边长为2的边靠着底边，那么这时侧边只能是9522=++用三条旌旗来覆盖，这个时候两条旌旗横着用边长为2的底边来接触侧边．同时第二列只有一个空着的格子，若要填住这个格子只能用一条旌旗的旗头来填，所以只能是如图的填法：其中虚线表示两面用边长为2的底边填充格子侧边的旌旗可以放在用边长为5的底边填充侧边的旌旗的上面或者下面．于是无论如何在第三列总会出现三个连续的空格无法被旌旗填充，所以侧边只能用54+的填法，那么消去这两列之后新的侧边也只能用54+的填法来填充，这种归纳的想法可知没有其他的填法． 评析4．本题的答案非常送分，证明的方法却变得非常朴素．一般遇到填格子的题目的话很常规的一种套路就是用染色的方法，我们可以斑马条纹染色，也可以国际象棋棋盘染色，但是这个题目似乎用染色的方法做不出来，反而用这种硬讨论的朴素方法可以做，似乎有时也需要跳出套路来想问题．5．显然，若m M ∈满足(mod 4)m i ≡，那么任何n 满足()4mod 4n i ≡−都不能在4里面．所以将S 按照模4的余数分为4种：0{1928,1932,1936,1940,1944,1948}S =1{1929,1933,1937,1941,1945,1949}S =2{1930,1934,1938,1942,1946}S =3{1931,1935,1939,1943,1947}S = 那么016S S ==，235S S ==．那么入前所述，0S ，2S 的元素顶多有一个在M 中，1S ，3S 的元素不能同时在M 中，所以四元红色子集有四种情况：四个元素都属于1S 或3S ；一个元素属于0S ，剩下三个元素都属于1S 或3S ；一个元素属于2S ，剩下三个元素都属于1S 或3S ；一个元素属于0S ．一个元素属于2S ，剩下两个元素都属于1S 或3S ，所以4433332265656565665565651100x C C C C C C C C =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=．同理，5544443365656565665565651127y C C C C C C C C =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=．所以x y <评析5．这个题目就算是出自高考全国卷都不会让人感觉到任何奇怪……6．考虑拉格朗日乘子(1)axy byz czx x y z λ=++−⋅++−，那么ay cz x λ∂=−++∂ ax bz y λ∂=−++∂ cx by z λ∂=−++∂ 1x y z λ∂=−−−∂ 那么0L L x y z λ∂∂∂∂====∂∂∂∂的解为： 222()222b c a b x ab bc ca a b c +−=++−−−，222()222c a b c y ab bc ca a b c+−=++−−− 222()222a b c a z ab bc ca a b c +−=++−−−，2222222abc ab bc ca a b c λ−=++−−− 于是max 222()222abc axy byz czx ab bc ca a b c ++=++−−− 评析6．三元二次极值问题用拉格朗日乘子比较容易解决，因为拉格朗日量的各种偏导数都是线性的，最终我们只需要解决一个线性方程即可，所以这篇答案中用了最简单暴力的方法．事实上，这个题目可以用几何不等式的方法来做，或者直接用嵌入不等式来做，但是我不会．7．对于任意的四边形ABCD （甚至不要求凸），我们都可以找一条直线l 使得l 不在任何一条边上，也不与任何一条边平行，并且AB ，BC ，CD ，DA 分别与l 交于四个不同的点P ，Q ，R ，S ．我们将证明一个更强的结论：若P ，Q ，R ，S 是一条直线l 上的四个不同的点，那么我们可以找到一个正方形A B C D ''''，使得A B ''，B C ''，C D ''，D A ''分别过P ，Q ，R ，S 点．我们不妨设l 就是y 轴（不然通过旋转即可），P ，Q ，R ，S 的纵坐标为p ，q ，r ，s ．那么考虑一个斜率参数k ，过P ，R 做斜率为k 的直线y kx p =+和y kx r =+，过Q ，S 做斜率为1k−的直线1y x q k =−+和1y x s k=−+．那么设这四条直线就是A B ''，C D ''，B C ''，D A ''，于是我们可以解得 ()2221(),11k A s p k s p k k ⎛⎫=−+ ⎪++⎝⎭，()2221(),11k B q p k q p k k ⎛⎫=−+ ⎪++⎝⎭ ()2221(),11k C q r k q r k k ⎛⎫=−+ ⎪++⎝⎭，()2221(),11k D s r k s r k k ⎛⎫=−+ ⎪++⎝⎭于是22222||()||()AB k q s l AD p r −==− 即p r k q s−=±− 那么由于p ，q ，r ，s 互不相同可知存在这样的斜率，使得A B C D ''''是正方形．评析7．这道平面几何的题目非常的非主流，同学们如果直接从平几方法来构造的话可能会被卡很久，这里给了一种解析的方法．实际上这个题目也可以用复数做，假设A B C D ''''的中心所对应的复数为z ，那么正方形的四个点可以设为z t +，z it +，2z i t +，3z i t +，这种做法也一样可行．8．（1）设11k s s k x p p =(2)k ≥，直接计算可以有 22221010()i i i i s s k k s j s j i i i i i i j f x p p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−−====⎛⎫ ⎪==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑222112111111i i i s k k s s i ii i i ii p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−==−=⋅<⋅−−∑∑ 21114123i i k s s i i i i p p −==<⋅=−∑∑（因为i p 最小为2） 记录i s i i a p =，，那么2i a ≥，我们重点考虑i a ∑和i a ∏之间的大小关系． 令()1,,k i i f a a a a λ=⋅−∑∏，那么j i j if a a λ≠∂=−∏∂，所以事实上若j i j a λ≠≤∏，对任意i 都成立，那么在i a 变小的时候f 变大，则()1,,(2,,2)22k k f a a f k λ≤=−．用求导的方法很容易知道22k k λ−会在()()()1111ln 2ln2ln (2)ln 22ln (2)ln (2)3k λ−−−−=⋅⋅≤⨯⨯⋅<的时候取到，那么在整数的取值上，我们取2k =，3得到 222244λλ⨯−=−323268λλ⨯−=−由于2λ≤，我们知道2244kk λλ−≤−．于是1144()2233k kk i i i i f x a k a λλ==⎛⎫<≤⋅−+ ⎪⎝⎭∑∏ 14416144333k i i a x λλλλλ=−⎛⎫≤⋅−+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭∏ 那么我们只需要取一个λ使得423λ<≤即可，比如我们取2λ=就会得到28()33f x x <+． （2）若不存在这样的Q ，那么存在n a 使得28n a m >+，不妨设n a ，1n a −，，n m a −中最大的是a ，那么显然28a m >+．于是()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +−−=++ ()2828max ,,3333n n m a a m −⎧⎫<+++⎨⎬⎩⎭()()2828max ,,3333n n m a m a m −⎧⎫≤++++⎨⎬⎩⎭ {}228max ,,333n n m a a m −=++ 22833m a a +≤+< 所以归纳可证明n k a a +<，这与无上界是矛盾的．所以一定存在这么一个Q ，使得n a Q <对所有*n N ∈都成立．评析8．数论中出现素因子的加法一般都会变得很难，但是这个题目主要通过估计就可以达到要求，所有同学做题的时候一定要注意看题目，不要看一眼觉得很复杂就马上放弃，这个题还是可做的．从答案上看这个估计并不太难，只要敢拆敢放就能做出来，实际上这种估计也的确没有用到任何解析数论的方法，所有的步骤都是高中生都可以做出来的，但是我还是建议各位同学在学习潘承洞，潘承彪两位先生的《初等数论》的时候把后面章节的内容也看一看，素数定理和 Eratosthenes 筛法的基础知识并不会太难，了解一下并没有什么坏处．另外，这篇答案的放缩放得非常狠，比如公式第二行的不等号基本上是i s 直接放到无穷，第三行的不等号就直接把所有i p ；都放成2，之后讨论函数的时候又把所有i s i p 当2来做，可以说23是一个非常粗略的答案．有兴趣的同学可以算算2k =的情况玩玩，看看自己能把这个不等号放到多小．。
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
(因为
C325
≥
max L(x, y)).
(x,y)∈X
下面构造例子说明 C325 是可以取到的最好的常数:
设 S = {1, 2, · · · , 35}, 考虑置换 f = (12 · · · 35), 即:
f (1) = 2, f (2) = 3, · · · , f (34) = 35, f (35) = 1,
极值可以在满足一些对称性的序列 (ai) 上取到. 毋庸置疑，满足题目条件的数列集合是闭集，因此两个
小题中的目标函数（都是连续的）确实能取到最大值.
（1）设序列
(ai)
使
a+b+c+d
取到最大，令
ci
=
ai
+
ai+10
+ ai+20 4
+ ai+30 ，下标模
40
理解.
根
据上一段，ci 满足题目条件，而且（1）中目标函数在序列 (ai) 和 (ci) 上取值相同，因此可以只对具有
2019 年中国数学奥林匹克试题解析
6
注意到: L(x, y) ≤ L(f1(x), f1(y)) + 1, 从而
L(x, y) ≤ L (fk−1(· · · (f1(x))), fk−1(· · · (f1(y)))) + (k − 1) = k ≤ |X| = C325,
所以
m
≥
C325
时总是可以办到的
（解题 ： ）
题 2. 已知：△ABC 中，AD 为角平分线，E 为 AD 上一点，EF 、EG 为 △ABD、△ACD 外接圆 切线，F 、G 分别为切点，CF 交 BG 于 J. 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG、DE 于 H、I、K.
2019年高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
题 5. 数列 {an } 定义如下: 正整数 a1 > 1, an+1 = an + P (an ), n ≥ 1, 其中, P (x) 表示正整数 x 的最 大素因子. 证明: 数列 {an } 中有完全平方数.
题 6. 是否存在正实数 a1 , a2 , · · · , a19 ，使得多项式 P (x) = x20 + a19 x19 + · · · + a1 x + a0 无实数根， 但是任意调换两个系数 ai , aj 形成的新多项式都有实根.
（1）设序列 (ai ) 使 a + b + c + d 取到最大， 令 ci = 根
，下标模 40 理解.
据上一段， ci 满足题目条件， 而且（1） 中目标函数在序列 (ai ) 和 (ci ) 上取值相同， 因此可以只对具有
周期 10 的序列考虑这个最大值. 此时 a = b = c = d.
a20+k = − k (0 ≤ k ≤ 10), a30+k = a40 − k = − − k (0 ≤ k ≤ 5)
时取等.
（解题人：龚 固）
题 2. 已知： △ABC 中， AD 为角平分线， E 为 AD 上一点， EF 、EG 为 △ABD 、△ACD 外接圆 切线， F 、G 分别为切点， CF 交 BG 于 J . 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG 、DE 于 H 、I 、K .
(a29+k + a41 − k ) + (a15 + a35 )
≥ (x − 2k) + (x − 2k) + (x − 18 − 2k) + (x − 20)
2020年(第17届)中国东南地区数学奥林匹克高二年级第二天试题(含答案)
第十七届中国东南地区数学奥林匹克浙江•诸暨高二年级第二天2020 年8 月 6 H 上午8:00-12:001.集合…，2020}.称W={w(a,b)=(a + b) + a〃a,bwJ}c/ 为“吴，填合,Y = {y{a ,h) = (n + b) ah\a. bEI]C\l为“翻”集介.X = wcy为“西子,集合. (I) K求“西子”集合中最大致与最小数之和:(Z)若“越”集合中的元#"=y(%b)(a&b)及小方法不姓一(妇30 = y(l,5) = y(2.3)〉，就称〃为“卓越ST.求“越”亲合中“卓越故’的个数.2.如图，在四边形4BC0中,cKBC - ^ADC < 90\以4C为直径的圆。
与边BC. CD的％一个交点分用为E. F. M为9D的中点，AN LBD尸点M证明：M , N, E, F四点其四.B V3.将所行不含T方国了的正整数从小到大排成数列5，/山3.・・・，/ 证明；存在无方多个正整数八,使得册八一0=2020.4,用•个喷头对一张lx ri的方格方条的条一格进行喷法,当啧头对指定的第«1 WiVn）格喷涂时，该格被染成黑色•同时。
第i格相邻的左例方格和右侧方格（在存在的情况卜）独立地各彳弓的概率也被染成黑色.设在最佳策略卜（使喷涂次数尽可能少）,喷完n个方格所需要喷涂的次教期望侑为了（初求7S）的通项公式.第十七届中国东南地区数学奥林匹克浙江•诸暨高二年级第二天2020年8月6日上午8:00T2:001.集合，=口，2,…，2020).称 W = {w(a,b) = (a + b) + aZj|a,b|e/}n/ 为“吴”集合，f = {y(a,d) = (a + d)• ab\a,为“越”集合，X = WAV为••西子”集合.(1)试求“西了”集合中最大数与最小数之和；(2)若“越”集合3的元素n = y(aM(asb)表小”法不唯一(如30 = y(L5) = y(2,3)),就称几为“卓越数”.求“越”集合中“卓越数”的个数.证明：(1)若正整数孤£卬,即有正整数a,b,使得n = a十力十。
2022年东南赛高二试卷题头
第十九届中国东南地区数学奥林匹克参考答案江西·吉安 高二年级 第二天2022年8月3日 上午8: 00－12: 005．设,,,a b c d 为非负整数, Sabcd ．(1) 若2222022a b cd , 求S 的最小值; (2) 若2222022a b cd , 求S 的最小值．解: (1) 首先,c d 都不为0(否则将有222022a b , 则220(mod3)a b ,于是,a b 均为3的倍数, 但这导致229a b , 与222022a b 矛盾)．由于222()2022a b a b , 故45ab．若45ab, 则只能是{,}{0,45}a b (否则22221442022a b , 矛盾)．此时22204520223cd , 得3,1c d , 相应有49S．若46ab, 则,a b 同奇偶, 故2cd 为偶数, 于是,c d 中含有偶数, c d 至少为3, 此时46349S(当{,}{1,45},1,2a b c d 时能取到等号)．若47ab , 则471149S．综上可知S 的最小值为49． (2) 首先有222017172022, 故(,,,)(0,1,7,17)a b c d 满足条件, 此时S 取到25．以下假设24S ．若24cd, 则0a b, 此时22022cd , 注意到2022无平方因子, 故1,2022dc, 与24c d 矛盾．若23c d , 由均值不等式得 3231444()2232227d dd d cd cc cd ,①于是2324723231900272cd ．此时222202220221900122a b cd , 所以11a ．从而2413c d S a ba , 再利用①知23241321340027cd ．于是220224001600a , 得40a S , 矛盾．综上可知S 的最小值为25．注: 第(2)题在估计S 的下界时, 不等关系①起到了重要的作用．事实上, 如果2cd 较大, 则由①知cd 也较大, 导致S 较大; 如果2cd 较小, 则由条件知222022a b cd 较大, 也会导致S 较大．具体的下界估计方法及解答的呈现方式很多, 例如下面也是一种: 假设24S , 则24a, 故222220222022241446cd b a , 由均值不等式得32321224d d cd cdc(①的等价形式),故22c d ．于是32233()()3()()()S ab cd a b cd cd222273()223()224ab ab cd 22222727()3()2244a b ab cd 22720223()224ab ． 若1a b , 则323272022322244S , 与24S矛盾．故0a b, 则22022cd , 注意到2022无平方因子, 故1,2022dc,此时24S, 矛盾．在鉴别第(2)题S 的下界估计是否有实质进展时, “出现不等关系①或其等价形式”或可作为一个主要观察点．6. 如图所示, 点O 为锐角ABC ∆的外心．P 过,A O 两点, 且//OP BC ．点D 和A 在边BC 的两侧, 满足ABD ACD BAC ∠=∠=∠．Q 是以AD 为直径的圆,R 是BCD ∆的外接圆．证明:,,P Q R 交于同一点．证明: 设,AC BD 的延长线相交于点U , ,AB CD 的延长线相交于点V ．设R 和UDV ∆的外接圆相交于,D M 两点, 下证M 是,,P Q R 的公共点．取A 关于OP 的对称点A ', 则A '是,O P 的一个交点, 且AA BC '⊥．设N 是BC 的中点．由于ABD ACD BAC ∠=∠=∠, 故AU BU =且AV CV =．而O 是ABC ∆的外心, 故OU AB ⊥且OV AC ⊥, 进而O 是AUV ∆的垂心．于是9090OUV OAB ACB AA B A BC ''∠=∠=-∠=-∠=∠︒︒,即OUV A BC '∠=∠．同理OVU A CB '∠=∠, 因此OUV A BC ∽'∆∆．又由圆周角定理可知,MBC MDC MUV ∠=∠=∠即MBC MUV ∠=∠．同理MCB MVU ∠=∠, 故MBC MUV ∽∆∆．结合OUV A BC ∽'∆∆与MBC MUV ∽∆∆可知(,),A MO BC UV NOA '==即A MO NOA '∠=∠．又//ON AA ', 故180A MO OAA NOA OAA '''∠+∠=∠+∠=︒,于是,,,A O M A '四点共圆, 即M 在P 上．又显然ABU ACV ∠=∠, 故,,,B C U V 四点共圆．由密克点的性质可知AM DM ⊥, 故M 也在Q 上．综上所述, ,,P Q R 共点于M , 结论成立．7.证明: 对任意实数0, 存在n 个正整数12,,,n a a a (2n ), 满足122n na a a , 且对任意1,2,,kn , 均有 12(,)(,)(,)0(mod )k k n k k a a a a a a a ,这里(,)u v 表示正整数,u v 的最大公约数．证明: 取正整数2r 满足2121r r ．考虑正整数1221rnbb b 及以下n 个正整数1211222122,,,,2,2,,2r r r rrr n r nb b b b b b , ①这里122r b b b 均为奇素数．对每一个(12)r k k, 显然k b 与①中其余1n 个数互素, 从而12(,)(,)(,)1k k n k k b b b b b b n b1220(mod )rk k bb b b b ．②对每一个(21)rk k n , 有1,12,(,),211,,.r r i k i k ib b b i k b ki n因此1212122(,)(,)(,)21rr r k k n k k b b b b b b b b b12221222220(mod )r r rrrrk rk kk b b ．③显然22rr b , 故1222221222rrr rrrn r bb b rb b ,于是222rr bnb b ．所以12max{,,,}nn b b b b ．显然12,,,n b b b 两两不等．将12,,,n b b b 从小到大排列为12,,,n a a a ．注意到2121rr , 有211222r nr n n na a ab ．结合②、③, 可知n 及12,,,n a a a 满足条件．注: 本题的形式及证明思路由2018年伊朗国家队选拔考试题联想而得, 原题如下:称不同的正整数12,,,n a a a 是“调和的”, 当且仅当11(,)nii j i i j na a a ．证明: 存在无穷多个正整数n , 使得存在n 个正整数是调和的．该问题的一种证明方法是将12,,,n a a a 取为如下形式:01312212,2,,2,3,n nnna a a a a q (其中(,6)1q )．对11(,)nii j i ij na a a 进行化简后发现,当4n q时, 题述等式成立．8. 小陶同学玩如下游戏: 取定大于1的常数v ; 对正整数m , 游戏的第m 轮与第1m +轮间隔为2m -单位时长; 第m 轮在平面上有策略地取一个半径为12m -+的圆形安全区域(含边界, 取圆时间忽略不计); 每轮取定的圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动, 半径以速率v 匀速减小(半径减小到零时, 去掉该圆形安全区域); 若可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域取在剩余的安全区域的并集内, 则取得游戏胜利．若小陶同学有必胜策略, 求11v ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的最小值 ([]x 表示不超过x 的最大整数)． 解 记01v v +=, +∈⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=Z v k 11. 下面证明k 的最小值为18. 记小陶在第m 轮开始时所画的圆为m C , 故在第l m +轮开始时, 它的半径为,011111max(0,(1(1)))max(0,(1(21)))222l m l m l m l r v v -+-=--=--...(1) 注意到由(1)式, 设⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-+1100021,121l l v ,其中+∈Z l 0, 则在任何一个轮m 开始的时候平面上至多剩下0l 个半径为011(1(21))2l m v ---的圆, 0,...,2,1l l =. 问题变为是否能用这0l 个圆覆盖一个半径为112m -的圆. 也即能否用半径为))12(1(0--l v ,0,...,2,1l l =的圆覆盖一个半径为1的圆.首先, 易知若对于1>v 小陶有必胜策略, 则对于(1,)v v '∈, 小陶也有必胜策略. 故对于任何k , 若存在⎥⎦⎤⎝⎛+∈k k v 1,110使得小陶有必胜策略, 则对于k k '>,亦存在011,1v k k ⎛⎤'∈ ⎥''+⎝⎦使得小陶亦有必胜策略. 我们先证明18=k 时存在1811910≤<v 使得小陶有必胜策略. 在这个时候, 40=l , 故平面上在任何一个时刻至多剩下4个圆, 其半径分别为0000151,71,31,1v v v v ----.考虑一个凸四边形ABCD . 连接对角线AC , 设B 对于AC 的垂足为B H , 设D 对AC 的垂足为D H . 以AB,BC,CD,DA 为直径做圆DA CD BC AB O O O O ,,,, 则直角三角形,,,D B B ADH BCH ABH D CDH 分别被CD DA BC AB O O O O ,,,覆盖. 故凸四边形ABCD 被这4个圆覆盖. 固定四边长度, 我们可以调整四边形ABCD 使得A,B,C,D 四点共圆. 这个圆也必然被CD DA BC AB O O O O ,,,所覆盖. 若这个圆的半径1≥, 则小陶已经获胜. 记角ABC 为θ, 则角ADC 为θπ-.设AB,BC,CD,DA 的长度分别为d c b a ,,,. 则对角线AC 的长度x 满足:)cos(2222θab b a x -+= )cos(2222θπ--+=cd d c x由以上两式我们有:cdab d c ab b a cd x ++++=)()(22222...(2) 即四边形ABCD 的外接圆半径为R, 故该圆也是三角形ABC 的外接圆. 由海伦公式, 我们有))()()((4a x b b x a x b a x b a abxS abx R ABC -+-+-+++==...(3) 由(3), 我们得出1≥R 当且仅当))()()((2222222b a x x b a x b a ---+≥即0)()22(222222224≥-+-+-b a x b a b a x (4)带入)151(2),71(2),31(2),1(2,19100000v a v b v c v d v -=-=-=-==以及(2)进入(4), 我们知道(4)左边严格大于0. 此处可首先考虑1936,1932,1924,198====d c b a . 同时将d c b a ,,,乘以419, 我们得到9,8,6,2''''====d c b a 以及对应的552=x . 只需验证03262194-622-552222222≥+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+而上式左侧的值满足:0361925-144361165510243262194-622-552222222>=+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+）（故由连续性, 对于某个略大于191但181<的'0v , (4)依然成立. 故对于这个'0v , 小陶有必胜策略, 且18=k . 下面说明18=k 是最小值. 我们用反证法.若对于某个1710≥v , 即17≤k , 小陶仍然有必胜策略, 则在1710=v 时小陶有必胜策略. 于是我们可以用至多不超过4个半径为0000151,71,31,1v v v v ----的圆, 记为圆21,O O , 43,O O , 覆盖一个半径为1的圆O .下面分两种情况讨论:(A) 设圆O 的边界与4321,,,O O O O 按以起点顺时针顺序交于弧4321,,,L L L L . 则我们必然能找到凸四边形ABCD 使得A,B,C,D 在圆O 上并且,,,AB BC CD DA 分别被包含在圆41,...,O O 内. 故,,,AB BC CD DA 的长度一定小于等于421...,,O O O 的直径, 即),31(2),1(200v b v a -=-=)151(2),71(200v d v c -=-=的某个排列. 我们知道外接圆半径是边长AB,BC,CD,DA 的递增函数, 故若(4)式对于,,,AB BC CD DA 正确, 那对于d c b a ,,,的某个排列必然正确. 然而当1810=v 时, 固定01v a -=, 无论d c b ,,如何排列, (4)式均不成立. 故这种情况下无法满足要求.(B) 存在至少一个圆}4,3,2,1{,∈i O i , 使得该圆和O 的边界不相交. 不妨设为4O . 不妨设圆O 的边界与圆1O 相较于弧1L . 由于圆1O 的半径小于圆O , 必然存在对直径点,E F 使得他们都不被圆1O 覆盖, 而另外的圆32,O O 每个至多能覆盖,E F 中的一个(已经假设,E F 不在4O 当中). 那么32,O O 必然与圆O 的边界相交,设为弧32,L L . 不妨假设32,1,,L L L 起始点以顺时针依次排列. 于是必然能找到顺时针三个点,,A B C 都在圆O 的边界上, 使得,,AB BC CA 分别在圆321,,O O O 之内. 故AB,BC,CA 的长度)71(2),31(2),1(2000v c v b v a -=-=-=≤.另)151(200v d -≤=并且D 与C 重合. 我们易知同样在1810=v 时(4)不成立, 故圆O 的半径R 必然1<. 矛盾. 所以k 的最小值为18.。
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题
第十六届中国东南地区数学奥林匹克1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()211a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠.证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等.3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){}max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论.4. 将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示.现有一个固定放置的918⨯方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高二年级 第一天2019年7月30日 上午8:00-12:001. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[]a a a =−.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =，110105k k k x x x m +⎡⎤⎧⎫=++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(0k =，1，…，1n −)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠︒，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆.3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值.4. 在55⨯矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)：（,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5)（1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5)（1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ），（1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）.若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高一年级 第二天2019年7月31日 上午8:00-12:005. 称集合{}1928192919301949S =⋯，，，，的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数.试比较x ，y 的大小，并说明理由.6. 设a ，b ，c 为给定的三角形的三边形.若正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值.7. 设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形''''A B C D ，使得点P 在直线AB 与''A B 上，点Q 在直线BC 与''B C 上，点R 在直线CD 与''C D 上，点S 在直线DA 与''D A 上.8.对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且 其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有n N *∈，n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克江西吉安高二年级 第二天5. 对任意正整数n ，用n a 表示三边长均为整数且最长边的长为2n 的三角形的个数.（1）求n a 关于的表达式；（2）设数列{}n b 满足：()()11n n k k n k n k C b a n N −*=−=∈∑.求使2019n n b a ≤成立的正整数n 的个数.6. 在ABC ∆中，AB AC >，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，过A 作ABC ∆的外接圆的切线，交ED 的延长线于点P .已知AP BC =.证明：//BD CP .7. 甲、乙两人从0，1，2，…，81中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选1个数.当这82个数被选定完之后，记A 为甲选择的所有数之和，B 为乙选择的所有数之和.在挑选数的过程中，甲希望A ，B 的最大公约数越大越好，而乙希望A ，B 的最大公约数越小越好.在甲、乙各自的最佳策略下，求挑选完毕之后A ，B 的最大公约数.8. 对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数N ，l ，使得对所有n N ≥，1n n a a +=成立.。
第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年级)
程锐诚 杨天行 张瑾
高一 高一 高一
二 二 二
115
陕西西安铁一中学
谢泽钰 高一
二
116 117 118
四川成都嘉陕祥西外西国安语铁学一校中（学含北城、成 华、达州四、川锦省江绵、阳郫中县学校区 ）
王可尚 吴思宏 王力
高一 高一 高一
二 二 二
119
泰国代表队
NATCHAN 高一
魏欣悦
高一
一
9
广东华南师大附属中学
饶睿
高一
一
10
广东华南师大附属中学
唐语阳
高一
一
11
广东华南师大附属中学
李其璋
高一
一
12
广东深圳实验学校高中部
张泽豪
高一
一
13
广东深圳外国语学校
李东睿
高一
一
14 15 16
广州大学附属中学（大学城、黄华路校 广州大学附属中学区（）大学城、黄华路校
河北衡水区第）一中学
曾相如 李思博 肖振超
第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单（高一年）
序号
学校名称
学生姓名 年级 获奖等第
1
安徽合肥一六八中学
陈昶旭
高一
一
2
北京第十二中学（含钱学森学校）
毕寅奥
高一
一
3
北京四中
魏泽明
高一
一
4
福建莆田一中
陈路晰
高一
一
5
福建莆田一中
杨智杰
高一
一
6
福建泉州五中
林冠儒
高一
一
7
福建师大附中